2025-2026学年人教A版数学选择性必修第三册课时提升练：6.3.2二项式系数的性质（含答案）

6.3.2二项式系数的性质
一．选择题
1.已知(3－x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn.若展开式中第2项的二项式系数与第4项的二项式系数相等，则a0－a1＋a2－…＋(－1)nan等于(　　)
A．32 B．64
C．128 D．256
2．(多选)已知(x－1)n的展开式中奇数项的二项式系数之和是64，则(　　)
A．n＝7
B．所有项的系数和为0
C．偶数项的系数和为－64
D．展开式的中间项为－35x3和35x4
3．(多选)在n的展开式中，各项系数的和与各二项式系数的和之和为128，则(　　)
A．各二项式系数的和为64
B．各项系数的和为64
C．常数项为－135
D．常数项为135
4．已知m为正整数，(x＋y)2m的展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1的展开式的二项式系数的最大值为b，且13a＝7b，则m的值为(　　)
A．4 B．5
C．6 D．7
5．已知(x2＋1)(x－2)10＝a0(x－1)12＋a1(x－1)11＋…＋a11(x－1)＋a12，则a0＋a1＋…＋a11的值为(　　)
A．2 B．0
C．－2 D．－4
6．已知(1－2x)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，则|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a6|＝(　　)
A．1 B．－1
C．36 D．26
7．在(a＋b)10的二项展开式中，与第3项的二项式系数相同的项是(　　)
A．第8项 B．第7项
C．第9项 D．第10项
8．(多选)已知10(a>0)的展开式的各项系数之和为1 024，则下列说法正确的是(　　)
A．展开式中奇数项的二项式系数之和为256
B．展开式中第6项的系数最大
C．展开式中存在含x6的项
D．展开式中含x15的项的系数为45
9．(2x2－3x＋a)5的展开式的各项系数之和为1，则该展开式中含x7项的系数是(　　)
A．－600 B．－840
C．－1 080 D．－2 040
二．填空题
10.n的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则第4项为__________.
11.(x＋y)8的展开式中x2y6的系数为________.(用数字作答)
12.n的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则n的展开式中各项系数的绝对值之和为__________.
三．解答题
13．已知n的展开式的各二项式系数的和为256.
(1)求n的值；
(2)若展开式中常数项为，求m的值；
(3)若(x＋m)n的展开式中系数最大的项只有第6项和第7项，求m的值．
14．已知C＝C，且(1－2x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋anxn.
(1)求(a0＋a1)＋(a0＋a2)＋(a0＋a3)＋…＋(a0＋an)的值；
(2)求＋＋…＋的值；
(3)求a1＋2a2＋3a3＋…＋nan的值．
6.3.2二项式系数的性质
一．选择题
1.D　解析：因为C＝C，所以n＝4.令二项式中x＝－1，可得a0－a1＋a2－a3＋a4＝44＝256.故选D.
2．ABC　解析：由已知可得2n－1＝64，解得n＝7，故A正确；(x－1)7的展开式中共有8项，令x＝1，得所有项的系数和为0，故B正确；偶数项的系数和为－64，故C正确；展开式的中间项为第4项与第5项，T4＝Cx4·(－1)3＝－35x4，T5＝Cx3(－1)4＝35x3，故D错误．故选ABC.
3．ABD　解析：在n的展开式中，各项系数的和与各二项式系数的和之和为128.令x＝1，得各项系数的和为2n，各二项式系数的和为2n，则2×2n＝128，得n＝6，即各二项式系数的和为64，各项系数的和也为64.6的展开式的通项为Tk＋1＝C·(3x)6－k·k＝C·(－1)k36－k·x6－k.令6－k＝0，得k＝4.因此，展开式中的常数项为T5＝C×(－1)4×32＝135.
4．C　解析：由题意可知C＝a，C＝C＝b.因为13a＝7b，
所以13C＝7C，即13×＝7×，
所以13＝7×，解得m＝6.故选C.
5．C　解析：在展开式中，令x＝2，得a0＋a1＋…＋a11＋a12＝0.令x＝1，得a12＝2.所以a0＋a1＋…＋a11＝－2.故选C.
6．C　解析：由已知得展开式中a0，a2，a4，a6大于零，a1，a3，a5小于零，所以|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a6|＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6.
令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6＝36.
所以|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a6|＝36.
7．C　解析：由二项式系数的性质与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，可知选C.
8．BD　 解析：因为展开式的各项系数之和为1 024，所以令x＝1，得(a＋1)10＝1 024.因为a＞0，所以a＝1，则10的展开式的通项为Tk＋1＝C(x2)10－kk＝Cx20－k.
展开式中奇数项的二项式系数之和为×210＝512，故A错误；
由展开式的通项可知，项的系数与其二项式系数相同，且展开式有11项，故展开式中第6项的系数最大，故B正确；
令20－k＝6，可得k＝不是自然数，则展开式中不存在含x6的项，故C错误；
令20－k＝15，解得k＝2，所以展开式中含x15的项的系数为C＝45，故D正确．
故选BD.
9．D　解析：因为(2x2－3x＋a)5的展开式的各项系数之和为1，
令x＝1，得(－1＋a)5＝1，解得a＝2，
所以(2x2－3x＋2)5的展开式中含x7项为C(2x2)3C·(－3x)×2＋C(2x2)2C(－3x)3＝－2 040x7，
所以该展开式中含x7项的系数是－2 040.
故选D.
二．填空题
10. 120x　解析：因为展开式中只有第6项的二项式系数最大，即＋1＝6，所以n＝10，
所以T4＝C()73＝120x.
11.－28　解析：因为(x＋y)8＝(x＋y)8－(x＋y)8，所以(x＋y)8的展开式中含x2y6的项为Cx2y6－Cx3y5＝－28x2y6.
所以(x＋y)8的展开式中x2y6的系数为－28.
12. 38(或者写成6 561)　解析：因为展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，所以C＝C.由组合数的性质可得n＝6＋2＝8，即n＝8.
因为8的展开式中各项系数的绝对值之和等于8的展开式中各项系数和，所以，令x＝1可得8＝38＝6 561.
故答案为38(或者写成6 561)．
三．解答题
13．
解：(1)由各二项式系数的和为2n＝256，可得n＝8.
(2)设常数项为第(r＋1)项，则
Tr＋1＝Cx8－rr＝Cmrx8－2r.
令8－2r＝0，得r＝4，则Cm4＝，
解得m＝±.
(3)易知m>0，设第(r＋1)项的系数最大．
则化简可得≤r≤.
由于只有第6项和第7项的系数最大，
所以解得
所以m的值为2.
14．
解：(1)因为C＝C，所以n＝5.
则(1－2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5.
令x＝0，则a0＝1.
令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－1.
所以(a0＋a1)＋(a0＋a2)＋(a0＋a3)＋…＋(a0＋an)＝3.
(2)令x＝，则0＝a0＋＋＋…＋，所以＋＋…＋＝－1.
(3)对(1－2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5两边关于x求导，则5(1－2x)4(－2)＝a1＋2a2x＋3a3x2＋4a4x3＋5a5x4.再令x＝1，
可得a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝－10.
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