2025-2026学年人教A版数学选择性必修第三册课时提升练：7.1.1条件概率（含答案）

7.1.1条件概率
一．选择题
1．下列概率是条件概率的是(　　)
A．甲、乙二人投篮命中率分别为0.6,0.7，甲、乙各投篮一次都投中的概率
B．甲、乙二人投篮命中率分别为0.6,0.7，在甲投中的条件下乙投篮一次命中的概率
C．有10件产品，其中4件次品，抽2件产品进行检验，恰好抽到1件次品的概率
D．小明上学路上要过四个路口，每个路口遇到红灯的概率都是，小明在一次上学途中遇到红灯的概率
2．下列说法正确的是(　　)
A．事件A，B中至少有一个发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率大
B．若P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝1，则事件A，B为对立事件
C．若A，B为互斥事件，则P(A)＋P(B)≤1
D．若事件A，B，C满足条件P(B)>0，A和C为互斥事件，则P(A∪C|B)3．袋中有除颜色外完全相同的4个黑球和2个白球．如果不放回地随机取出2个球，那么在第一次取到的是黑球的条件下，第二次取到黑球的概率为(　　)
A．　　 B．　　
C．　　 D．
4．随着社会的发展，越来越多的共享资源陆续出现，它们不可避免地与我们每个人产生密切的关联，逐渐改变着每个人的生活方式．已知某种型号的共享充电宝循环充电超过500次的概率为，超过1 000次的概率为，现有一个该型号的充电宝已经循环充电超过500次，则其能够循环充电超过1 000次的概率是(　　)
A． B．
C． D．
5．若B，C是互斥事件且P(B|A)＝，P(C|A)＝，则P(B∪C|A)＝(　　)
A． B．
C． D．
6．数学上把相差为2的两个素数叫做“孪生素数”．在不超过30的自然数中，随机选取两个不同的数，记事件A＝“这两个数都是素数”，事件B＝“这两个数不是孪生素数”，则P(B|A)＝(　　)
A． B．
C． D．
7．已知甲在上班途中要经过两个路口，在第一个路口遇到红灯的概率为0.5，两个路口连续遇到红灯的概率为0.4，则甲在第一个路口遇到红灯的条件下，第二个路口遇到红灯的概率为(　　)
A．0.6 B．0.7
C．0.8 D．0.9
8．(多选)已知事件A，B满足P(A)＝0.4，P(B)＝0.3，则下列结论正确的是(　　)
A．若B A，则P(AB)＝0.4
B．若A与B互斥，则P(A＋B)＝0.7
C．若A与B相互独立，则P(AB)＝0.4
D．若P(B|A)＝0.3，则A与B相互独立
9．甲、乙、丙、丁4名同学报名参加假期社区服务活动，社区服务活动共有关怀老人、环境监测、教育咨询、交通宣传四个项目，每人限报其中一项．记事件A为“4名同学所报项目各不相同”，事件B为“只有甲同学一人报关怀老人项目”，则P(A|B)＝(　　)
A． B．
C． D．
10．将两枚骰子各掷一次，设事件A＝“两枚骰子出现的点数不相同”， B＝“至少出现一个6点”，则P(A|B)＝(　　)
A． B．
C． D．
二．填空题
11．数学家高斯在著作《算术研究》中首次引入了二次剩余的概念．二次剩余理论在噪声工程学、密码学及大数分解等领域都有广泛的应用．已知对于正整数a，n(n≥2)，若存在一个整数x，使得n整除x2－a，则称a是n的一个二次剩余，否则为二次非剩余．从1到20这20个整数中随机抽取1个整数a，记事件A＝“a与12互质”，B＝“a是12的二次非剩余”，则P(A)＝________，P(B|A)＝________.
12．加工某种零件需要两道工序，第一道工序出废品的概率为0.4，两道工序都出废品的概率为0.2，则在第一道工序出废品的条件下，第二道工序又出废品的概率为________.
13．某校组织甲、乙、丙等6名学生参加演讲比赛，采用抽签法决定演讲顺序，在“学生甲和乙都不是第一个出场，且甲不是最后一个出场”的前提下，学生丙第一个出场的概率为________.
三．解答题
14．如图，一个大正方形被平均分成9个部分，向大正方形区域随机地投掷一个点(每次都能投中)．将投中最左侧3个小正方形区域记为事件A，投中最上面3个小正方形或正中间的1个小正方形区域记为事件B，求P(AB)，P(A|B)．
15．一袋中共有10个除颜色外完全相同的黑球和白球．若从袋中任意摸出2个球，至少有1个白球的概率为.
(1)求白球的个数；
(2)现从中不放回地摸球，每次随机摸出1个球，摸两次，已知第一次摸处白球，求第二次摸出黑球的概率．
7.1.1条件概率
一．选择题
1．B　解析：条件概率为在某一事件发生的条件下，另一事件发生的概率.
对于A，甲、乙各投篮一次都投中的概率，不是条件概率；
对于B，在甲投中的条件下乙投篮一次命中的概率，是条件概率；
对于C，抽2件产品恰好抽到1件次品的概率，不是条件概率；
对于D，一次上学途中遇到红灯的概率，不是条件概率．
故选B.
2．C　解析：对于A，若事件A和B都为不可能事件，此时两个概率相等，所以A错误；
对于B，若在不同试验下，虽然有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝1，但事件A与B不对立，若在同一试验下，则事件A与B对立，所以B错误；
对于C，若A，B互斥，且A，B对立，则P(A)＋P(B)＝1，
若A，B互斥，且A，B不对立，则P(A)＋P(B)<1，所以C正确；
对于D，若事件A，B，C满足条件P(B)>0，A和C为互斥事件，
则P(A∪C|B)＝P(A|B)＋P(C|B)，所以D错误．
故选C.
3．C　解析：设事件A表示“第一次取出黑球”，事件B表示“第二次取出黑球”，
P(A)＝＝，P(AB)＝＝，
所以在第一次取到的是黑球的条件下，第二次取到黑球的概率为P(B|A)＝＝.
4．B　解析：记事件A为“该充电宝循环充电超过500次”，则P(A)＝，记事件B为“该充电宝循环充电超过1 000次”，则P(B)＝.易知P(AB)＝P(B)＝，所以P(B|A)＝＝＝×＝.故选B.
5．D　解析：因为B，C是互斥事件，
所以P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)＝＋＝.
6．C　解析：不超过30的自然数有31个，其中素数有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29共10个，孪生素数有3和5,5和7,11和13,17和29，共4组．
所以P(A)＝＝，P(AB)＝＝，
所以P(B|A)＝＝＝.
故选C.
7．C　解析：设“第一个路口遇到红灯”为事件A，“第二个路口遇到红灯”为事件B，则P(A)＝0.5，P(AB)＝0.4，所以P(B|A)＝＝0.8.
8．BD　解析：对于A，因为P(A)＝0.4，P(B)＝0.3，B A，所以P(AB)＝P(B)＝0.3，故A错误；
对于B，因为A与B互斥，所以P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.7，故B正确；
对于C，因为A与B相互独立，所以P(AB)＝0.4×0.3＝0.12，故C错误；
对于D，因为P(B|A)＝0.3，即＝0.3，所以P(AB)＝0.3×0.4＝0.12，
又因为P(A)P(B)＝0.12，所以P(AB)＝P(A)·P(B)，所以A与B相互独立，故D正确．
故选BD.
9．C　解析：由已知有P(B)＝＝，P(AB)＝＝，所以P(A|B)＝＝.
10．A　解析：给两枚骰子编号：1号与2号，至少出现一个6点的情况分三类：1号是6点，2号不是6点，有5种；2号是6点，1号不是6点，有5种；1号是6点，2号也是6点，有1种．故事件B包含的样本点数为11，即n(B)＝11，事件AB包含的样本点数为10，即n(AB)＝10，所以P(A|B)＝＝.
二．填空题
11． 　　解析：在1到20内与12互质的整数有1,5,7,11,13,17,19，所以P(A)＝.
根据定义，若对于＝m(m∈Z)的x不存在，则a是12的二次非剩余，
显然，当a＝1时，x可取11；当a＝13时，x可取7；
当a＝5,7,11,17,19时，x不存在．
所以P(AB)＝.
所以P(B|A)＝＝.
12． 0.5　解析：设“第一道工序出废品”为事件A，则P(A)＝0.4，“第二道工序出废品”为事件B.根据题意可得P(AB)＝0.2，故在第一道工序出废品的条件下，第二道工序又出废品的概率P(B|A)＝＝0.5.
13． 　解析：设事件A：“学生甲和乙都不是第一个出场，且甲不是最后一个出场”，事件B：“学生丙第一个出场”．对事件A，甲和乙都不是第1个出场，第一类：乙在最后，则优先从中间4个位置中选1个给甲，再将余下的4个人全排列，有C·A种排法；第二类：乙没有在最后，则优先从中间4个位置中选2个给甲、乙，再将余下的4个人全排列，有A·A种排法．故总的样本点数n(A)＝C·A＋A·A.对事件AB，此时丙第一个出场，优先从除了甲以外的4人中选1人安排在最后，再将余下的4人全排列，有C·A种排法，则n(AB)＝C·A，所以P(B)＝＝＝.
三．解答题
14．
解：由题意可知n(Ω)＝9，n(A)＝3，n(B)＝4，n(AB)＝1，所以P(AB)＝，P(A|B)＝＝.
15．
解：(1)记“从袋中任意摸出2个球，至少有1个白球”为事件A，记袋中白球的个数为x.则P(A)＝1－＝，解得x＝5，即白球的个数为5.
(2)记“第一次摸出白球”为事件B，“第二次摸出黑球”为事件C，则P(BC)＝＝＝，P(B)＝＝.
故P(C|B)＝＝＝.
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