/ 让教学更有效 精品试卷 | 数学学科
专题02 函数及其性质
（试卷满分120，考试用时120分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．（本题3分）中国象棋是中华民族的文化瑰宝，因趣味性强，深受大众喜爱．如图，在象棋棋盘上建立平面直角坐标系，若“馬”的坐标为，“車”的坐标为，则“炮”的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．（本题3分）对于一次函数，下列结论正确的是（ ）
A．它的图象与轴交于点 B．随的增大而增大
C．当时， D．它的图象经过第一、二、三象限
3．（本题3分）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
4．（本题3分）将的图象先向上平移6个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到的新图象的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
5．（本题3分）下表是二次函数（，均为整数）的自变量与因变量的部分对应值．
自变量 0.07 1.33
因变量 7.0089 0.1664 1.4025 3.2849 10.0889
给出下列判断，其中错误的是（ ）
A．该抛物线的对称轴是直线 B．该二次函数的最小值为
C．当、时， D．当时，
6．（本题3分）已知一次函数与反比例函在同一直角坐标系中的图象如图所示，当时，x的取值范围是（ ）
A． B．或
C．或 D．
7．（本题3分）如图，反比例函数的图象上有一点P，其中P的横坐标为，连接并将绕点O逆时针旋转且缩短至原来的一半得到，反比例函数恰好经过点Q，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
8．（本题3分）RobotMaster机甲大师挑战赛鼓励学生自主研发制作多种机器人参与团队竞技，其某场对抗赛的轨道可简化成下图，其中和均为半圆，点，，，依次在同一直线上，且．现有比赛双方的机器人（看成点）分别从，两点同时出发，沿着轨道以大小相同的速度匀速移动进行射击比赛，其路线分别为和．若移动时间为，两个机器人之间距离为．则与关系的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
9．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中有一系列格点，其中，且，是整数．记，如，即，，即，，即，，以此类推．则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．（本题3分）如图，二次函数的图象经过点，且与轴的交点的横坐标分别为，，其中，．下列结论：①；②；③；④对任意，都成立，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．（本题3分）函数的自变量的取值范围是 ．
12．（本题3分）点A是反比例函数在第一象限内图象上的一点，过点A作轴，垂足为点B，的面积是1，则下列结论中，正确的是 （填序号）．
①此反比例函数图象经过点；②此反比例函数的解析式为；③若点在此反比例函数图象上，则点也在此反比例函数图象上；④点在此反比例函数的图象上且，则．
13．（本题3分）甲、乙两个工程组同时挖掘沈白高铁某段隧道，两组每天挖掘长度均保持不变，合作一段时间后，乙组因维修设备而停工，甲组单独完成了剩下的任务，甲、乙两组挖掘的长度之和与甲组挖掘时间x（天）之间的关系如图所示．则乙组每天挖掘 m
14．（本题3分）如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则关于x的方程的解为 ．
15．（本题3分）衡山红脆桃，湖南省衡阳市衡山县特产，全国农产品地理标志，衡山红脆桃为早熟品种，肉质甜脆爽口，成熟果肉血红色、多汁、离核，深受人们喜爱．某特产批发店以30元/箱的价格购进了一批衡山红脆桃，根据市场调查发现：售价定为58元/箱时，每天可销售600箱，为保证市场占有率，决定降价销售，发现每箱降价1元，每天可增加销量60箱，每天的利润w（元）与每箱降价x（元）之间的函数表达式为 ．
16．（本题3分）如图，中，为中点，是边上的动点，从出发向运动，同时以相同的速度从出发向运动，运动到停止，当为 时，的面积最大．
17．（本题3分）定义新运算：，即的取值为，，的中位数，例如：，，已知函数与直线有个交点时，则的取值范围为 ．
18．（本题3分）已知抛物线（，a，b，c是常数）开口向上，过，两点（其中），下列四个结论：
①；
②若，则；
③对于任意实数t，总有；
④关于x的一元二次方程必有两个不相等的数根．
其中正确的是 （填写序号）．
三、解答题（本大题共8个小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19．（本题6分）图1为小明和妹妹小红每天的出行路线，某天兄妹俩从学校出发，到书吧看书后回家，哥哥小明步行先出发，途中速度保持不变：妹妹骑车从学校出发，到书吧前的速度为200米分，两人离学校的路程（米）与哥哥离开学校的时间（分）的函数图像在图2中分别表示．
(1)求小明步行的速度．
(2)已知妹妹小红比哥哥小明迟2分钟到书吧．
①求图中的值；
②若妹妹仅在书吧停留了11分钟后就准备回家，且速度是哥哥的1.6倍，求追上时兄妹俩离家还有多远．
20．（本题6分）某数学小组探究“酒精对人体的影响”，资料显示，一般饮用低度白酒100毫升后，血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）的关系可近似的用如图所示的图象表示．国家规定，人体血液中的酒精含量大于或等于20（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．
(1)求部分双曲线的函数表达式；
(2)参照上述数学模型，假设某人晚上喝完100毫升低度白酒，则此人第二天早上能否驾车出行？请说明理由．
21．（本题8分）已知如图，直线与反比例函数的图象交于点和点，与轴交于点，与轴交于点．
(1)求的值；
(2)求点、点的坐标，并直接写出一次函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围；
(3)求的面积．
22．（本题8分）吃月饼是中秋节的传统习俗，市面上最受欢迎的两种月饼是五仁馅月饼和蛋黄馅月饼．某超市购买45个蛋黄馅月饼和50个五仁馅月饼需要520元，购买50个蛋黄馅月饼和45个五仁馅月饼需要525元．
(1)求蛋黄馅月饼和五仁馅月饼每个的单价；
(2)超市将蛋黄馅月饼的售价定为8元，五仁馅月饼的售价定为6元．根据市场需求，超市计划再用不超过1050元的总费用购进这两种月饼共200个进行销售，怎样进货才能使售完后获得的利润最大，最大利润是多少元？
23．（本题9分）已知反比例函数的图象与一次函数的图象相交于，两点．
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)点在轴上，是以为腰的等腰三角形，请直接写出点的坐标；
(3)点在轴负半轴上，连接，过点作，交的图象于点，连接．当时，若四边形的面积为36，求的值．
24．（本题9分）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点，在轴上，在轴上，，的长是方程的两个根．请解答下列问题：
(1)求点的坐标；
(2)若直线分别交轴、轴、于点，，，且是的中点，直线交延长线于点，，求的值；
(3)在（2）的条件下，在直线上是否存在点（不与点重合），使与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
25．（本题10分）如图， 已知抛物线经过原点，且与直线l交于和两点．
(1)求抛物线的解析式和的值．
(2)若是抛物线上的一个动点（在点 和点 之间），作 于点 ， 轴交于点 ，在点运动的过程中，是否存在某一位置，使得的面积最大？若存在，请求出此时点的坐标及面积的最大值；若不存在，请说明理由．
(3)将抛物线绕顶点旋转 后，再平移使其顶点在直线上，且经过点 ，得到抛物线，试问在抛物线上是否存在点，使是以为直角边的直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
26．（本题10分）如图，抛物线经过，，三点，连接．
(1)求抛物线的解析式：
(2)作直线，l交抛物线于E、F两点（点E在点F的左侧），已知，
①求直线l的解析式；
②点P是抛物线上的动点，作，垂足为点K，是否存在点P，使得以P、E、K为顶点的三角形与相似？若存在，请写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)/ 让教学更有效 精品试卷 | 数学学科
专题02 函数及其性质
（试卷满分120，考试用时120分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．（本题3分）中国象棋是中华民族的文化瑰宝，因趣味性强，深受大众喜爱．如图，在象棋棋盘上建立平面直角坐标系，若“馬”的坐标为，“車”的坐标为，则“炮”的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了实际问题中用坐标表示位置，根据“馬”和“車”的坐标建立坐标系，进而得到“炮”的坐标即可．
【详解】解：根据题意可建立如下坐标系，
∴炮”的坐标为，
故选：C．
2．（本题3分）对于一次函数，下列结论正确的是（ ）
A．它的图象与轴交于点 B．随的增大而增大
C．当时， D．它的图象经过第一、二、三象限
【答案】A
【分析】本题考查了一次函数的图象性质，根据一次函数，且，得出随的增大而减小，令，得出一次函数与轴交于点，它的图象经过第一、二、四象限，当时，则，即可作答．
【详解】解：∵一次函数，且，
∴随的增大而减小，故B选项不符合题意；
令时，则，即一次函数与轴交于点，
故A选项符合题意；
则一次函数经过第一、二、四象限，故D选项不符合题意；
∵一次函数的随的增大而减小，
∴令时，则，
∴当时，则，故C选项不符合题意；
故选：A．
3．（本题3分）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了比较反比例函数值的大小，反比例函数的增减性，根据解析式可得反比例函数图象经过第二、四象限，在每个象限内y随x增大而增大，再由，即可得到答案．
【详解】解：∵反比例函数解析式为，
∴反比例函数图象经过第二、四象限，在每个象限内y随x增大而增大，
∵点，，都在反比例函数的图象上，且，
∴，
故选：C．
4．（本题3分）将的图象先向上平移6个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到的新图象的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移，把化成顶点式等知识点，熟练掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键：左加右减，上加下减．
先把化成顶点式，然后根据二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”即可直接得出答案．
【详解】解：
，
将的图象先向上平移6个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到的新图象的解析式为：
，
故选：．
5．（本题3分）下表是二次函数（，均为整数）的自变量与因变量的部分对应值．
自变量 0.07 1.33
因变量 7.0089 0.1664 1.4025 3.2849 10.0889
给出下列判断，其中错误的是（ ）
A．该抛物线的对称轴是直线 B．该二次函数的最小值为
C．当、时， D．当时，
【答案】D
【分析】利用待定系数法求出该二次函数解析式，并改为顶点式，即可判断A和B选项．利用二次函数的对称性和增减性即可判断C和D选项．
【详解】根据表格将和代入二次函数解析式，得：
，
解得：．
故该二次函数解析式为，且改为顶点式为．
∴该抛物线的对称轴是直线，故A正确，不符合题意；
该二次函数的最小值为 1，故B正确，不符合题意；
∵关于对称轴对称为，
∴，
当时，y随x的增大而增大，
∴，即．故C正确，不符合题意；
∵，
∴，
∴，，
∴，故D错误，符合题意．
故选D．
【点睛】本题考查利用待定系数法求函数解析式，二次函数图象和性质．根据表格利用待定系数法求出该函数解析式是解答本题的关键．
6．（本题3分）已知一次函数与反比例函在同一直角坐标系中的图象如图所示，当时，x的取值范围是（ ）
A． B．或
C．或 D．
【答案】B
【分析】本题考查一次函数与反比例函数，巧用数形结合的思想是解题的关键．
利用数形结合的思想即可解决问题．
【详解】解：根据所给的函数图象可知，
图象在直线右侧，且在轴左侧的部分，
一次函数的图象在反比例函数图象的下方，
即，
图象在直线右侧的部分，
一次函数的图象在反比例函数图象的下方，
即．
所以当或时，．
故选：B．
7．（本题3分）如图，反比例函数的图象上有一点P，其中P的横坐标为，连接并将绕点O逆时针旋转且缩短至原来的一半得到，反比例函数恰好经过点Q，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】过点P作轴，过点Q作轴，过点Q作的延长线于点，记与轴的交点为点，先得出，，再结合连接并将绕点O逆时针旋转且缩短至原来的一半得到，得出，，运用三角形内角和性质得，再结合勾股定理列式计算，得出，得出，即可作答．
【详解】解：如图所示：过点P作轴，过点Q作轴，过点Q作的延长线于点，记与轴的交点为点，
∵反比例函数的图象上有一点P，其中P的横坐标为，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵连接并将绕点O逆时针旋转且缩短至原来的一半得到，
∴，
则，
∵，
∴，
解得，
∴，，
∴，
∵过点Q作轴，过点Q作的延长线于点，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
设（为正数），
在中，
即，
∴，
解得，
∴，
则，
∵点在第二象限，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了解直角三角形的性质，反比例函数的图象性质，勾股定理，三角形内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
8．（本题3分）RobotMaster机甲大师挑战赛鼓励学生自主研发制作多种机器人参与团队竞技，其某场对抗赛的轨道可简化成下图，其中和均为半圆，点，，，依次在同一直线上，且．现有比赛双方的机器人（看成点）分别从，两点同时出发，沿着轨道以大小相同的速度匀速移动进行射击比赛，其路线分别为和．若移动时间为，两个机器人之间距离为．则与关系的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查动点函数图像，找到运动时的特殊点用排除法是关键．
设圆的半径为R，根据机器人移动时最开始的距离为，之后同时到达点A，C，两个机器人之间的距离y越来越小，当两个机器人分别沿和移动时，此时两个机器人之间的距离是直径，当机器人分别沿和移动时，此时两个机器人之间的距离越来越大．
【详解】解：由题意可得：机器人（看成点）分别从M，N两点同时出发，
设圆的半径为R，
∴两个机器人最初的距离是，
∵两个人机器人速度相同，
∴分别同时到达点A，C，
∴两个机器人之间的距离y越来越小，故排除A，C；
当两个机器人分别沿和移动时，此时两个机器人之间的距离是直径，保持不变，
当机器人分别沿和移动时，此时两个机器人之间的距离越来越大，故排除C，
故选：D．
9．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中有一系列格点，其中，且，是整数．记，如，即，，即，，即，，以此类推．则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用图形寻找规律，再利用规律解题即可．
本题考查了坐标的规律，熟练掌握规律的探索是解题的关键．
【详解】解：第1圈有1个点，即，这时；
第2圈有8个点，即到，这时；
第3圈有16个点，即到，这时；
依次类推，第n圈，；
由规律可知：是在第4圈上，且，即，故A选项不正确：
是在第23圈上，且，即，故选项B正确；
第n圈，，所以，故C，D选项不正确；
故选：B．
10．（本题3分）如图，二次函数的图象经过点，且与轴的交点的横坐标分别为，，其中，．下列结论：①；②；③；④对任意，都成立，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查二次函数图象与性质，根据二次函数图象与性质逐项判断即可得到相关不等式的关系，熟记二次函数图象与性质是解决问题的关键．
【详解】解：由图象可知，抛物线开口向下，则，①错误；
由图象可知，抛物线对称轴，结合①中可得，即，②正确；
如图所示：
当时，，③正确；
，，
，
由①知，则，即，则，
，即，④正确；
综上所述，题中结论正确的是②③④，共3个，
故选：C．
填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．（本题3分）函数的自变量的取值范围是 ．
【答案】且
【分析】此题考查了求函数自变量的取值范围，根据被开方数大于等于，分母不等于列式求解即可，熟练掌握函数是分式、二次根式时的自变量取值范围是解题的关键．
【详解】解：∵函数有意义，
∴自变量的取值范围为，
解得：且，
故答案为：且．
12．（本题3分）点A是反比例函数在第一象限内图象上的一点，过点A作轴，垂足为点B，的面积是1，则下列结论中，正确的是 （填序号）．
①此反比例函数图象经过点；②此反比例函数的解析式为；③若点在此反比例函数图象上，则点也在此反比例函数图象上；④点在此反比例函数的图象上且，则．
【答案】②③/③②
【分析】根据反比例函数比例系数的几何意义可得此反比例函数解析式为，即可判断①②；根据反比例函数的对称性即可判断③；根据反比例函数的增减性即可判断④．
【详解】解：设点A所在的反比例函数解析式为，
∵轴，点A在反比例函数图象上，的面积是1，
∴，
∴，
∴此反比例函数解析式为，故②正确；
当时，，即反比例函数图象经过点，不经过点，故①错误；
∵点在此反比例函数图象上，
∴由反比例函数的对称性可知，点也在此反比例函数图象上，故③正确；
∵反比例函数解析式为，
∴反比例函数图象经过第一、三象限，在每个象限内y随x增大而减小，
∵点在此反比例函数的图象上且，
∴，故④错误；
故答案为：②③．
【点睛】本题主要考查了反比例函数图象的性质，反比例函数比例系数的几何意义，根据反比例函数比例系数的几何意义求出反比例函数解析式是解题的关键．
13．（本题3分）甲、乙两个工程组同时挖掘沈白高铁某段隧道，两组每天挖掘长度均保持不变，合作一段时间后，乙组因维修设备而停工，甲组单独完成了剩下的任务，甲、乙两组挖掘的长度之和与甲组挖掘时间x（天）之间的关系如图所示．则乙组每天挖掘 m
【答案】4
【分析】本题考查函数的图象，根据两组合作30天共挖掘210可得两组的工作效率和，再根据甲组单独工作30天挖掘了90可得甲组的工作效率，进而得出乙组的工作效率，从而得出答案．
【详解】两组的工作效率和为：（天），
甲组的工作效率为：天），
∴乙组的工作效率为：天），
即乙组每天挖掘4，
故答案为：4．
14．（本题3分）如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则关于x的方程的解为 ．
【答案】，
【分析】本题考查抛物线与x轴交点、一元二次方程等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会利用图象法解决实际问题，利用图象法即可解决问题，方程的解就是两个函数图象的交点的横坐标．
【详解】解：由图象可知，关于x的方程的解，就是抛物线与直线的两个交点坐标分别为，的横坐标，
即，．
故答案为：，．
15．（本题3分）衡山红脆桃，湖南省衡阳市衡山县特产，全国农产品地理标志，衡山红脆桃为早熟品种，肉质甜脆爽口，成熟果肉血红色、多汁、离核，深受人们喜爱．某特产批发店以30元/箱的价格购进了一批衡山红脆桃，根据市场调查发现：售价定为58元/箱时，每天可销售600箱，为保证市场占有率，决定降价销售，发现每箱降价1元，每天可增加销量60箱，每天的利润w（元）与每箱降价x（元）之间的函数表达式为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了列二次函数解析式，根据总利润单个的利润销售量，列出函数解析式即可．
【详解】解：每天的利润w（元）与每箱降价x（元）之间的函数表达式为：
．
故答案为：．
16．（本题3分）如图，中，为中点，是边上的动点，从出发向运动，同时以相同的速度从出发向运动，运动到停止，当为 时，的面积最大．
【答案】4
【分析】本题考查二次函数的应用，涉及二次函数图象与性质，设点运动的距离，则点运动的距离，表示出，然后根据二次函数的图象与性质求解即可得到答案，读懂题意，准确表示出是解决问题的关键．
【详解】解：根据题意，设点运动的距离，则点运动的距离，
，
，
，
，
，
抛物线开口向下，当时，的面积最大，即当时，的面积最大，
故答案为：4．
17．（本题3分）定义新运算：，即的取值为，，的中位数，例如：，，已知函数与直线有个交点时，则的取值范围为 ．
【答案】或
【分析】本题考查中位数，函数的图像等知识，解题的关键画出函数的图像，观察图像，利用图像法解决问题即可．也考查了函数图像之间的交点坐标．
【详解】解：由题意：函数的图像如图所示（图中实线）．
由，解得：或，
∴，，
由，解得：或，
∴，，
由，解得：，
∴，
由，当时，得，
即函数图像与轴的交点坐标为，
∵函数与直线有个交点，且，
观察图像可知：符合条件的的取值范围是：或．
故答案为：或．
18．（本题3分）已知抛物线（，a，b，c是常数）开口向上，过，两点（其中），下列四个结论：
①；
②若，则；
③对于任意实数t，总有；
④关于x的一元二次方程必有两个不相等的数根．
其中正确的是 （填写序号）．
【答案】①③④
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与轴的交点．利用抛物线的对称性求得对称轴为直线，由，即可求得，即可判断①；由，得到抛物线，即可求得过，，得到，，求得，即可判断②；根据二次函数的最值即可判断③；抛物线与直线由两个交点，即可判断④．
【详解】解：抛物线经过，，
抛物线对称轴为直线，
抛物线开口向上，
，
，即，①正确；
，，
抛物线，
过，，
，，
，②错误；
抛物线开口向上，对称轴为直线，
对于任意实数，总有，即，③正确；
抛物线开口向上，且与轴有两个交点，
抛物线与直线由两个交点，
关于的一元二次方程必有两个不相等的实数根，④正确．
故答案为：①③④．
三、解答题（本大题共8个小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19．（本题6分）图1为小明和妹妹小红每天的出行路线，某天兄妹俩从学校出发，到书吧看书后回家，哥哥小明步行先出发，途中速度保持不变：妹妹骑车从学校出发，到书吧前的速度为200米分，两人离学校的路程（米）与哥哥离开学校的时间（分）的函数图像在图2中分别表示．
(1)求小明步行的速度．
(2)已知妹妹小红比哥哥小明迟2分钟到书吧．
①求图中的值；
②若妹妹仅在书吧停留了11分钟后就准备回家，且速度是哥哥的1.6倍，求追上时兄妹俩离家还有多远．
【答案】(1)
(2)①；②追上时兄妹俩离家米远
【分析】本题考查一次函数的应用；
（1）根据“速度=路程÷时间”计算即可；
（2）①根据时间=路程+速度可知妹妹到书吧所用的时间，再根据题意确定a得值即可；
②分别求出哥哥与妹妹返程时的函数解析式，再联立方程组即可得出结论．
【详解】（1）由可知哥哥的速度为：.
（2）①∵妹妹骑车到书吧前的速度为200米/分，
∴妹妹所用时间t为：.
∵妹妹比哥哥迟2分钟到书吧，
∴；
②由（1）可知：哥哥的速度为100，
∴设所在直线为，
将代入得：，
解得.
∴所在直线为：.
当时，.
∵返回时妹妹的速度是哥哥的1.6倍，
∴妹妹的速度是160米/分.
∴设妹妹返回时得解析式为，
∵妹妹仅在书吧停留了11分钟后就准备回家时，
∴
将代入得，
解得，
∴.
令，则有，
解得，
∴妹妹能追上哥哥，
此时哥哥所走得路程为：（米）.
兄妹俩离家还有（米），
即妹妹能追上哥哥，追上时兄妹俩离家米远．
20．（本题6分）某数学小组探究“酒精对人体的影响”，资料显示，一般饮用低度白酒100毫升后，血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）的关系可近似的用如图所示的图象表示．国家规定，人体血液中的酒精含量大于或等于20（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．
(1)求部分双曲线的函数表达式；
(2)参照上述数学模型，假设某人晚上喝完100毫升低度白酒，则此人第二天早上能否驾车出行？请说明理由．
【答案】(1)
(2)不能，见解析
【分析】本题考查反比例函数的应用，熟练掌握一次函数与反比例函数的图象、待定系数法的应用是解题关键．
（1）由待定系数法可以求出的函数表达式，从而得到点坐标，进一步得到点坐标，然后再利用待定系数法可以得到部分双曲线的函数表达式；
（2）在部分双曲线的函数表达式中令，可以得到饮用低度白酒100毫升后完全醒酒的时间范围，再把题中某人喝酒后到准备驾车的时间间隔进行比较即可得解．
【详解】（1）解：设的函数表达式为，则：
，
，
的函数表达式为，
当时，，
可设部分双曲线的函数表达式为，
由图象可知，当时，，
，
部分双曲线的函数表达式为；
（2）解：在中，令，
可得：，
解之可得：，
晚上到第二天早上的时间间隔为，，
某人晚上喝完100毫升低度白酒，则此人第二天早上时体内的酒精含量高于20（毫克百毫升），
某人晚上喝完100毫升低度白酒，则此人第二天早上不能驾车出行．
21．（本题8分）已知如图，直线与反比例函数的图象交于点和点，与轴交于点，与轴交于点．
(1)求的值；
(2)求点、点的坐标，并直接写出一次函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围；
(3)求的面积．
【答案】(1)
(2)，或
(3)4
【分析】本题主要考查一次函数和反比例函数的综合应用，正确求出表达式是解题的关键．
（1）先求出反比例函数解析式，再求出点B的坐标，将A、B坐标代入求出a、b的值即可；
（2）根据一次函数解析式求出点C、D的坐标即可；根据函数图象求出一次函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围即可；
（3）根据求出的C、D点的坐标，结合函数图象，求出三角形的面积即可．
【详解】（1）解：∵直线与反比例函数的图象交于点和点，
∴ ，
解得：，
∴，
解得：，
∴
解得；
（2）解：关于直线，当时，；当时，，
∴点C的坐标为， 点D的坐标为，
观察图形得：一次函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围为或．
（3）解：
．
22．（本题8分）吃月饼是中秋节的传统习俗，市面上最受欢迎的两种月饼是五仁馅月饼和蛋黄馅月饼．某超市购买45个蛋黄馅月饼和50个五仁馅月饼需要520元，购买50个蛋黄馅月饼和45个五仁馅月饼需要525元．
(1)求蛋黄馅月饼和五仁馅月饼每个的单价；
(2)超市将蛋黄馅月饼的售价定为8元，五仁馅月饼的售价定为6元．根据市场需求，超市计划再用不超过1050元的总费用购进这两种月饼共200个进行销售，怎样进货才能使售完后获得的利润最大，最大利润是多少元？
【答案】(1)蛋黄馅月饼每个元，则五仁馅月饼每个元；
(2)购进蛋黄馅月饼个，则购进五仁馅月饼个，最大利润为元．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，不等式的应用，一次函数的应用．
（）设蛋黄馅月饼每个元，则五仁馅月饼每个元，根据题意，列出二元一次方程组即可求解；
（）设购进蛋黄馅月饼个，则购进五仁馅月饼个，总利润为，利用一次一次不等式求出的取值范围，再根据题意求出与的一次函数，根据一次函数的性质解答即可求解．
【详解】（1）解：设蛋黄馅月饼每个元，则五仁馅月饼每个元，
根据题意得，，
解得，
答：蛋黄馅月饼每个元，则五仁馅月饼每个元；
（2）解：设购进蛋黄馅月饼个，则购进五仁馅月饼个，总利润为，
根据题意得，，
解得，
又由题意得，，
，随的增大而增大，
当时，利润最大，最大值为，
，
答：购进蛋黄馅月饼个，则购进五仁馅月饼个，最大利润为元．
23．（本题9分）已知反比例函数的图象与一次函数的图象相交于，两点．
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)点在轴上，是以为腰的等腰三角形，请直接写出点的坐标；
(3)点在轴负半轴上，连接，过点作，交的图象于点，连接．当时，若四边形的面积为36，求的值．
【答案】(1)反比例函数为，一次函数为
(2)，，，
(3)
【分析】（1）运用待定系数法求解即可；
（2）设点G的坐标为，根据两点间距离公式得到， ，。若是以为腰的等腰三角形，则或，分别代入求解即可；
（3）证得四边形是平行四边形，根据平移的思想得到Q点的坐标，代入反比例函数解析式即可求得n的值即可．
【详解】（1）解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，
∴，
故反比例函数的解析式为，
∴，
故，
∴，
解得，
∴直线的解析式为．
（2）解：∵，，
∴，
设点G的坐标为，
则，
。
若是以为腰的等腰三角形，则或，
①当时，，
解得，
∴或；
②当时，，
解得或，
∴或；
综上所述，点G的坐标为，，，；
（3）解：∵，，，，，
∴四边形是平行四边形，
∴点A到点P的平移规律是向左平移个单位，向下平移4个单位，
∴点到点Q的平移规律也是向左平移个单位，向下平移4个单位，
∴，
∵在上，
∴，
解得：，
∴点P的坐标为，
设与x轴交于点C，连接，如图所示：
把代入，解得：，
∴，
∴，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴当时，符合题意．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点，待定系数法，两点间的距离公式，等腰三角形的性质，平移规律计算，熟练掌握规律是解题的关键．
24．（本题9分）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点，在轴上，在轴上，，的长是方程的两个根．请解答下列问题：
(1)求点的坐标；
(2)若直线分别交轴、轴、于点，，，且是的中点，直线交延长线于点，，求的值；
(3)在（2）的条件下，在直线上是否存在点（不与点重合），使与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)2
(3)存在，
【分析】（1）结合，的长是方程的两个根，进行解方程，即可作答．
（2）根据平行四边形的性质，得，再得出，结合直线分别交轴、轴、于点，，，且是的中点，得；；然后得出，是等腰直角三角形，得出，再证明，则，再证明是等腰直角三角形， 得，再运用勾股定理列式解得，再结合，得，代入数计算，即可作答．
（3）根据点在直线上，使与相似，第一种是，第二种是，然后根据相似三角形的性质列式计算，即可作答．
【详解】（1）解：由，得
∴或
∴，，
，
，，
∵在轴的负半轴，
；
（2）解：∵，，
∴，
∵平行四边形的顶点，在轴上，在轴上，
∴，，，
∵是的中点，
∴，
则，
∵直线分别交轴、轴、于点，，，
∴令时，则；即；
∴令时，则；即；
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，，
∴把代入，得
即，
过点作于，过点作于，
，，
，
，
，，
，
∴是等腰直角三角形，，，
∴，
∵点在直线，
∴，
解得，
∴，
同理证明是等腰直角三角形，，
∴，，
即，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
整理得，
∴，
∵，
∴，则，
解得，
经检验：是的解．
∴，
则．
（3）解：∵，
∴直线，
∵点在直线上，且，如图所示：
由（2）得出，则，，
∴，
∵，
∴，
则，
∵，
∴，
设点P的坐标为，
∴，
∵，
∴，
即，
则，
解得，
∴或，
如图所示：
即，，
∵点在直线上，，
∴只能，，
显然点不合题意；
∵点不与点重合，且，故不存在，
综上：．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，平行四边形的性质，解直角三角形，等腰三角形的判定与性质，因式分解法解一元二次方程，坐标与图形，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
25．（本题10分）如图， 已知抛物线经过原点，且与直线l交于和两点．
(1)求抛物线的解析式和的值．
(2)若是抛物线上的一个动点（在点 和点 之间），作 于点 ， 轴交于点 ，在点运动的过程中，是否存在某一位置，使得的面积最大？若存在，请求出此时点的坐标及面积的最大值；若不存在，请说明理由．
(3)将抛物线绕顶点旋转 后，再平移使其顶点在直线上，且经过点 ，得到抛物线，试问在抛物线上是否存在点，使是以为直角边的直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)存在，；
(3)或
【分析】本题考查了二次函数的综合题，考查了一次函数的性质，待定系数法，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识点，解题的关键是学会分类讨论，注意不要漏解，与方程相结合，利用相似三角形解决最值问题；
（1）由待定系数法分别求出抛物线的抛物线和直线的解析式，可求点坐标，即可求的正切值；
（2）由题意可以证明，可得，当最大时，的面积最大，由二次函数性质可求的最大值，即可求解；
（3）由题意先求出解析式或，分两种情况讨论即可求出点的坐标；
【详解】（1）解：设抛物线的解析式为：，
抛物线经过原点，且与直线交于，两点，
，
解得：，
抛物线的解析式为：，
设直线解析式为：，
，
解得：，
直线解析式为：，
如图，设直线与轴的交点为，
当时，，
点的坐标，且点，
，
的正切值，
（2），
，
，
轴，
，
，且，
，
，
，
当最大时，的面积最大，
设点，则点，
，
当时，的最大值为，
点，
的面积的最大值为：
（3）抛物线的解析式为：，
设抛物线解析式为：，
顶点坐标，
抛物线顶点在直线上，且经过点，
，
解得：或，
抛物线的解析式为：或，
当抛物线解析式为时，如图，
是以为直角边的直角三角形，
或，
直线解析式为：，
直线解析式为：，直线解析式为：，
若点在抛物线上，点在直线上，
，
解得：（不合题意，舍去），
点；
若点在抛物线上，点在直线上，
，
，
，
方程无解，
当抛物线解析式为：时，如图，
是以为直角边的直角三角形，
或，
直线解析式为：，
直线解析式为：，直线解析式为：，
若点在抛物线上，点在直线上，
，
解得：（不合题意，舍去），
点坐标，
若点在抛物线上，点在直线上，
，
，
，
方程无解，
综上所述：点或
26．（本题10分）如图，抛物线经过，，三点，连接．
(1)求抛物线的解析式：
(2)作直线，l交抛物线于E、F两点（点E在点F的左侧），已知，
①求直线l的解析式；
②点P是抛物线上的动点，作，垂足为点K，是否存在点P，使得以P、E、K为顶点的三角形与相似？若存在，请写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)①；②点的坐标为或或．
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）①作于点，作于点，证明，求得，即，设直线的解析式为，联立得，利用根与系数的关系，列方程求解即可；
②分三种情况讨论，画出图形，同①法求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线经过，，
∴设抛物线的解析式为，
把代入得，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：①，，，
∴，，，
∴，
作于点，作于点，如图，
∵直线，即，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
∵直线，
∴设直线的解析式为，
联立得，
整理得，
∴，，
∴，
即，
解得，
∴直线的解析式为；
②∵，，，，
∴，，
∵，
∴是直角三角形，且，
∴，
作轴交抛物线于点，
∵，
∴，
∴，
∴点符合题意，
∵，即，
整理得，
解得或，
当时，，
∴，
∴点的纵坐标为，
解方程，
得或，
∴点的坐标为；
作点关于直线的对称点，连接交延长交抛物线于点，
此时，
∴，
∴点符合题意，
∵，直线，又，
∴，
同理，直线的解析式为，
同理，直线的解析式为，
联立得，
解得，，
即点的坐标为，
∵点与点关于直线对称，
∴点的坐标为，
同理，直线的解析式为，
联立，
解得或，
当时，，
∴点的坐标为；
过点作交轴于点，交抛物线于点，
∴，
∴，
∴点符合题意，
作轴于点，
设直线交轴于点，
令，，
解得，
∴点的坐标为，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴点的坐标为，
同理，直线的解析式为，
联立得，
解得或，
当时，，
∴点的坐标为；
综上，点的坐标为或或．
【点睛】本题考查了是二次函数的综合问题，相似三角形的判定和性质．正确引出辅助线解决问题是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
