2026年高考数学模拟卷：入门基础（含解析）

2026年普通高等学校招生全国统一考试
数学（入门基础卷）
本试卷满分150分，考试时间120分钟
注意事项：
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
已知集合，，则（　）
A. B.
C. D.
若复数，则复数的实部为（　）
A. 5 B. -5 C. 7 D. -7
已知平面向量，，则（　）
A. -5 B. 5 C. -11 D. 11
函数的最小正周期为（　）
A. B. C. D.
已知等差数列满足，公差，则（　）
A. 7 B. 9 C. 11 D. 13
在中，角的对边分别为，若，，，则（　）
A. B. C. D.
函数的导函数为，则的值为（　）
A. 0 B. 2 C. 4 D. 6
已知圆的圆心为，点在圆内，则过点的弦中，最短弦的长度为（　）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题5分，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
下列说法中，正确的是（　）
A. 命题“若，则”的否命题为“若，则”
B. 若为真命题，则为真命题
C. 命题“，”的否定为“，”
D. 若，则
关于空间几何体的体积，下列说法正确的是（　）
A. 棱长为的正方体的体积为
B. 底面半径为，高为的圆柱的体积为
C. 底面边长为，高为的正三棱柱的体积为
D. 半径为的球的体积为
已知函数，则下列说法正确的是（　）
A.
B. 是的极大值点
C. 在区间上单调递减
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
的展开式中，项的系数为。
已知圆锥的底面半径为2，母线长为5，则该圆锥的侧面积为。
已知函数，则在处的切线方程为。
四、解答题：本题共5小题，共80分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
（本小题满分14分） 已知数列是等比数列，且，。
求数列的通项公式；
求数列的前项和。
（本小题满分14分） 如图，在长方体中，，，为的中点。
求证：；
求三棱锥的体积。
（本小题满分16分） 为了解某社区居民的健身情况，随机抽取该社区50名居民，统计其每周健身时长（单位：），整理得到频率分布表如下：
每周健身时长（单位：）
频数 5 10 15 12 8
求这50名居民每周健身时长的平均数（同一组数据用该组区间中点值作代表）；
从每周健身时长在的8名居民中，随机抽取2人参加健身讲座，求其中至少有1名居民健身时长超过9的概率（已知中有5名居民健身时长超过9）。
（本小题满分18分） 已知直线：与圆：相交于两点。
求圆的圆心坐标和半径；
求线段的长度；
求过点且与直线垂直的直线方程。
（本小题满分18分） 已知函数，。
求的导函数，并求的单调区间；
求在区间上的最大值和最小值；
若在上恒成立，求实数的取值范围。
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参考答案与详细解答
一、选择题答案速查表
B；2. A；3. A；4. B；5. C；6. A；7. B；8. A
ACD；10. ABC；11. ABD
二、详细解答
（一）单项选择题
解答：根据集合交集的定义，是同时属于和的元素组成的集合，故。答案：B。
解答：展开复数，实部为5。答案：A。
解答：根据平面向量数量积的坐标运算，。答案：A。
解答：由二倍角公式得，余弦函数的最小正周期，故。答案：B。
解答：等差数列通项公式为，由，，得，则。答案：C。
解答：在中，由勾股定理得，根据正弦函数定义，。答案：A。
解答：由基本初等函数求导法则，，则。答案：B。
解答：圆的圆心，半径，圆心到点的距离，过圆内一点的最短弦与该点和圆心的连线垂直，弦长。答案：A。
（二）多项选择题
解答：
A：否命题是对条件和结论同时否定，命题“若，则”的否命题为“若，则”，正确；
B：为真，说明至少一个为真，为真需都为真，错误；
C：特称命题的否定是全称命题，结论否定，正确；
D：由基本不等式，时，，则，故，当且仅当时取等号，正确。 答案：ACD。
解答：
A：正方体体积公式为棱长的立方，棱长为时体积为，正确；
B：圆柱体积公式为（为底面半径，为高），正确；
C：正三角形面积为，正三棱柱体积=底面积×高=，正确；
D：球的体积公式为，而非，错误。 答案：ABC。
解答：
A：，正确；
B：求导得，令，得或，当时，，时，，故是极大值点，正确；
C：当时，，单调递增，错误；
D：，正确。 答案：ABD。
（三）填空题
解答：由二项式定理，展开式的通项为，则的通项为，令，得，则项的系数为。答案：24。
解答：圆锥侧面积公式为（为底面半径，为母线长），则。答案：。
解答：，求导得，则切线斜率，由点斜式得切线方程为，整理为。答案：。
（四）解答题
解答
设等比数列的公比为，由等比数列通项公式，得，即，解得，故通项公式为。
等比数列前项和公式为，代入，，得。 评分：（1）8分，（2）6分，共14分。
解答
证明：以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，则，故，即。
求体积：三棱锥的体积等于，，点到平面的距离为的坐标，即，由棱锥体积公式，得。 评分：（1）8分，（2）6分，共14分。
解答
各组区间中点值依次为1,3,5,7,9，平均数。
设“至少有1名居民健身时长超过9”为事件，其对立事件为“2名居民健身时长都不超过9”。中有5名超过9，3名不超过9，从8人中抽2人的总组合数为，的组合数为，则，故。 评分：（1）6分，（2）10分，共16分。
解答
将圆的方程化为标准方程：，即，故圆心，半径。
圆心到直线：的距离，说明直线过圆心，故弦长。
直线的斜率为1，与其垂直的直线斜率为，过点，由点斜式得直线方程为，整理为。 评分：（1）4分，（2）6分，（3）8分，共18分。
解答
由求导法则得，令，得，即；令，得。又，故的单调递减区间为，单调递增区间为。
由（1）知，在处取得极小值，也是最小值，；计算区间端点值：，，故的最大值为3。
在上恒成立，即，由（2）知，故实数的取值范围为。 评分：（1）6分，（2）6分，（3）6分，共18分。
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