第五单元数学广角——鸽巢问题（情境化试题）（含解析）——2025-2026学年人教版数学六年级下册

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第五单元数学广角——鸽巢问题（情境化试题）——2025-2026学年人教版数学六年级下册
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题2分，共14分）
1．把21支笔放在（ ）个笔筒里，可以确保至少有一个笔筒里面放了3支笔。
A．10 B．7 C．6 D．3
2．一个口袋里装有红、白、蓝三种不同颜色的小球各8个，至少要摸出（ ）个小球，其中肯定有8个颜色相同。
A．8 B．9 C．17 D．22
3．盒子里装有1个红球，3个黄球和4个白球（这些球除颜色外完全相同）。至少摸出（ ）个球，才能保证取到两个颜色相同的球。
A．3 B．4 C．5 D．6
4．纸箱里有同样大小的蓝色发卡5个，红色发卡6个，紫色发卡7个，想要保证摸出2个同色的发卡，至少要摸出（ ）个。
A．2 B．6 C．4 D．8
5．一个黑色袋子里有红、黄、蓝三种颜色的球（形状、大小一样）各5个。闭上眼睛摸球，要保证摸到两个颜色相同的球，至少要摸（ ）个。
A．2 B．3 C．4 D．5
6．袋子里有红、黄、蓝三种颜色的球各5个，要保证摸出的球一定有两个颜色相同，至少要摸出（ ）个；要保证摸出的球一定有两个颜色不同，至少要摸出（ ）个。
A．4；6 B．6；10 C．10；11 D．11；6
7．把红、橙、黄、绿、青、蓝、紫七种颜色的珠子（珠子的大小、形状完全相同）各10颗放到一个袋子里。至少取出几颗才能保证取到两颗颜色相同的珠子？（ ）
A．7颗 B．8颗 C．10颗 D．11颗
二、填空题（每题2分，共24分）
8．盒子里有黑、白、黄三种颜色的筷子各8根，任意地取出筷子，使取出的筷子至少有两双不同色，那么至少要取出( )根。
9．一个袋子里装了同样大小的红、黑、白玻璃球各2个，要保证取出的玻璃球三种颜色都有，至少要取出( )个：要保证取出的玻璃球中两个是同色的，至少要取出( )个。
10．一个布袋中有40块相同的木块，其中编上号码1，2，3，4的各有10块。一次至少要取出( )块木块，才能保证其中至少有3块号码相同的木块。
11．不透明的袋子里有3个黄球，5个白球，7个红球（这些球除颜色外其他均相同）。如果每次从袋子里摸出1个球，那么摸出( )球的可能性最小，至少摸出( )个球才能保证摸出2个同色的球。
12．冬奥会上设有滑冰、滑雪、雪车、雪橇、冰球、冰上溜石和冬季两项这7个大项。本届冬奥会中国队共获得了15枚奖牌，至少有一个大项获得奖牌达到( )枚。
13．奇奇想要购买一张电影票，购买时他发现第8排一共有19个座位，并且已经有一部分座位被选中，无论他购买这一排哪个位置，都有一个人与他相邻，则第8排至少已经被选中了( )个座位。
14．盒子里有红、黄、蓝、白4种颜色的玻璃球各10个，大小相同，至少要摸出( )个玻璃球才能保证有3个玻璃球的颜色相同。
15．书箱里有4本《红楼梦》，3本《西游记》和2本《三国演义》，一次至少取出( )本书才能保证每种书至少有一本。
16．“六一”儿童节那天，幼儿园买来了许多的苹果、桃子、橘子和香蕉，如果每个小朋友可以任意选择两个不同的水果，那么至少要有( )个小朋友才能保证有两人选的水果是相同的；如果每个小朋友选的两个水果可以是同一种，也可以是不同种，那么至少要有( )个小朋友才能保证有两人选的水果是相同的。
三、判断题（每题2分，共12分）
17．盒子中有红、黄球各10个，只要摸10个就保证一定能摸出两种不同颜色的球。( )
18．某地一年有新生婴儿368人，总有一天他们中至少有2个人出生。( )
19．给一个正方体木块的6个面分别涂上红、黄两种颜色，一个面只涂一种颜色，不论怎么涂至少有3个面涂的颜色相同。( )
20．一个袋子中装有只有颜色不同的10个红球和5个黄球，从中每次往外拿3个，至少拿2次，才能保证一定有红球。( )
21．袋子里有4个黄球，6个白球，从袋子里面至少摸出5个球，才能保证一定有2个不同颜色的球。( )
22．把10个衣架挂在3个挂钩上，不管怎么挂，总有一个挂钩上至少挂了4个衣架。( )
四、解答题（每题6分，第23-26每题5分，共50分）
23．六年级有22名同学进行投篮训练，每人投3次。投中一次得1分，未投中得0分。至少有几名同学的成绩相同？
24．一个不透明的袋子里装有除颜色外其他都相同的红色帽子和黑色帽子各6顶，闭着眼睛摸，至少摸出几顶帽子才能保证有2种颜色的帽子？
25．小明表演扑克牌“魔术”。一副扑克牌，取出大小王，还剩52张牌，9人每人随意抽1张，至少有3张牌是相同的花色。你理解这个扑克牌“魔术”的道理吗？
26．文学、数学、英语、美术等4个课外学习小组共有51人，它们当中有参加1个、2个、3个和4个课外学习小组的，其中至少有几位同学参加的学习小组相同？
27．元旦时老师给表现最好的12个小朋友送贺卡，其中收到贺卡最多的小朋友至少收到5张贺卡，那么老师至少要准备多少张贺卡？
28．六（3）班有学生40人，至少有几名同学是在同一个月过生日的？如果他们要从3个候选人中选出班长，那么得票最多的候选人至少会得到多少票？（每人限投一票，候选人也参与投票）
29．六（1）班有6名同学参加知识竞赛，满分100分。如果他们的成绩中最低分为96分，那么参赛的同学中至少有2人成绩相同。这种说法对吗？六（2）班有7名同学参加知识竞赛，他们的成绩中最低分也是96分，六（2）班参赛的学生中至少有几人成绩相同？（竞赛成绩的分数均为整数）
30．10个小朋友相约去游乐场，共有碰碰车、摩天轮、旋转木马三种游乐设施可选择，每个小朋友可选一个游乐设施组合（不重复的两种游乐设施）游玩，至少有几个小朋友选的游乐设施组合相同？
31．宁宁到舅舅家去做客。舅妈端出一大盘水果，对他说：“这些都是你爱吃的水果，不过我要先考考你。盘子里有苹果、柚子、菠萝三种水果共12个，其中柚子的个数是菠萝的2倍。随便拿出4个，其中至少有1个苹果，你知道这三种水果各有几个吗？”
参考答案
1．A
【分析】根据最不利原则，先确保每个笔筒里放2支笔。用总数减去1，算出剩下的笔的数量，用剩下的数量除以2即可。
【详解】（21－1）÷2
＝20÷2
＝10（个）
把21支笔放在10个笔筒里，可以确保至少有一个笔筒里面放了3支笔。
2．D
【分析】根据抽屉原理中最不利原则，需要颜色相同，则拿出的球都是不同的颜色，红球拿出7个，白球拿出7个，蓝球也拿出7个，就摸出7×3＝21个，那么再取出1个球，无论取的球是什么颜色的球都有8个颜色相同，据此解答。
【详解】7×3＋1
＝21＋1
＝22（个）
一个口袋里装有红、白、蓝三种不同颜色的小球各8个，至少要摸出22个小球，其中肯定有8个颜色相同。
故答案为：D
3．B
【分析】把3种不同颜色看作3个抽屉，把不同颜色的球看作元素，从最不利情况考虑，先从每个抽屉摸出1个球，一共是3个球，再摸出1个球，不论是什么颜色，总有一个抽屉里的球和它同色，据此解答。
【详解】3＋1＝4（个）
因此至少摸出4个球，才能保证取到两个颜色相同的球。
故答案为：B
4．C
【分析】有3种颜色的发卡，考虑最倒霉的，摸出的前3个都是不同颜色，再摸一个，无论是什么颜色，都能保证有2个同色的发卡，据此分析。
【详解】3＋1＝4（个）
想要保证摸出2个同色的发卡，至少要摸出4个。
故答案为：C
5．C
【分析】根据用鸽巢问题解决实际问题中的最不利原则，从最坏情况考虑，三种颜色的球各摸出1个，此时再摸出1个球，一定有两个颜色相同的球，因此至少需要摸出4个。
【详解】（个）
要保证摸到两个颜色相同的球，至少要摸4个。
故答案为：C
6．A
【分析】由题意可知，有红、黄、蓝三种颜色的球，要保证至少有2个颜色相同，最坏的情况是每种颜色各取出1个，即取出3个，此时只要再任取一个，即取出3＋1＝4个就能保证至少有2个球颜色相同。红、黄、蓝三种颜色的球各5个，最坏的打算是取出5个，都是同一种颜色的，那再取一个，就能得到有2个球的颜色不相同，即5＋1＝6个，据此解答。
【详解】3＋1＝4（个）
所以要保证摸出的球一定有两个颜色相同，最少要摸出4个；
5＋1＝6（个）
要保证摸出的球一定有两个颜色不同，至少要摸出6个。
故答案为：A
【点睛】此题考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用，关键是从最差情况考虑。
7．B
【分析】把红、橙、黄、绿、青、蓝、紫七种颜色看做7个抽屉，利用抽屉原理，考虑最差情况，摸出7个球，分别是红、橙、黄、绿、青、蓝、紫不同的颜色，再任意摸出1个球即可。
【详解】7＋1＝8
所以，至少取出8颗才能保证取到两颗颜色相同的珠子。
故答案为：B
8．11
【分析】根据题干，可以把黑色，白色和黄色看作3个抽屉，考虑最差情况：摸出10根：8根黑色的，1根白色的，1根黄色的，那么再任意摸出1根，无论从白色抽屉，还是从黄色抽屉摸出，都会出现有两双不同颜色的筷子，由此即可解决问题。
【详解】由分析可得：
（根）
至少要取11根才能保证达到要求。
【点睛】此题考查了利用抽屉原理解决问题的方法，这里要注意考虑最差情况。
9． 5 4
【分析】第①空：先取最不利情况，把两种颜色全部取完，再取1个必是第三种。
第②空：先每种颜色各取1个，再取1个一定和前面某一个同色。
【详解】第①空：保证三种颜色都有：2＋2＋1＝5（个）
第②空：保证两个同色：3＋1＝4（个）
10．9
【分析】（1）抽屉原理最不利原则：考虑最坏情况，即每个号码都取了2块（未满足3块同号码的最大可能）。
（2） 计算最坏情况的总块数：4个号码2块8块。
（3）再取1块必满足条件：块。
【详解】根据分析可得：
一个布袋中有40块相同的木块，其中编上号码1，2，3，4的各有10块。一次至少要取出（9）块木块，才能保证其中至少有3块号码相同的木块。
【点睛】此题考查了利用抽屉原理解决实际问题的方法的灵活应用，这里要注意考虑最不利情况。
11． 黄 4
【分析】①可能性是由各种颜色球的数量决定的，数量越少，摸到的可能性越小；②分析最不利的情况，先摸出所有不同颜色各一个后，再摸出一个必出现颜色重复的情况。据此回答即可。
【详解】①黄球有3个，白球有5个，红球有7个，黄球的数量最少，因此摸到黄球的可能性最小。
②先摸出1个黄球、1个白球和1个红球，共3个，此时没有同色球。再摸1个球，无论摸到哪种颜色的球，必定与之前的某种颜色重复。因此，至少摸出个球才能保证摸出2个同色的球。
12．3
【分析】把中国队一共获得的15枚奖牌看作被分放物体，冬奥会的7个大项看作抽屉，被分放物体的数量÷抽屉的数量＝平均每个抽屉分放物体的数量……剩下物体的数量，一个抽屉里至少分放物体的数量＝平均每个抽屉分放物体的数量＋1，据此解答。
【详解】15÷7＝2（枚）……1（枚）
2＋1＝3（枚）
所以，至少有一个大项获得奖牌达到3枚。
13．7
【分析】要解决这个问题，需要构造一种座位选择方式，使得任意未选中的座位都至少有一个相邻的被选中座位，并找到这种方式下最少的被选中座位数。那么座位的排列应该是每隔两个空座位就有一个已选座位，即“空空选空空选……”这样的规律，据此解答。
【详解】把“空空选”看作一组，一组有3个座位。19÷3＝6（组）……1（个），6组就有6个已选座位，余下的1个座位也应该是已选座位，这样才能保证无论选哪个位置都有相邻的人，所以已选座位有6＋1＝7（个）。
故第8排至少已经被选中了7个座位。
【点睛】本题依据鸽巢原理考查座位选择和排列规律的问题。解题关键在于找出满足“无论选哪个位置都有一个人与他相邻”的最少已选座位排列方式。
14．9
【分析】要保证有3个玻璃球颜色相同，最不利的情况是：每种颜色的玻璃球都先摸出2个，此时再摸1个，无论是什么颜色，都能使该颜色的玻璃球达到3个。
【详解】红、黄、蓝、白4种颜色，每种颜色摸2个。
2×4＝8（个）
再摸1个球，无论这个球是什么颜色，都能保证有3个玻璃球颜色相同。
8＋1＝9（个）
至少要摸出（9）个玻璃球才能保证有3个玻璃球的颜色相同。
15．8
【分析】根据抽屉原理：考虑最差情况，4本《红楼梦》全部取出来，再把3本《西游记》全部取出来，那么再取一本书一定是《三国演义》，据此列式为4＋3＋1。
【详解】4＋3＋1
＝7＋1
＝8（本）
所以一次至少取出8本书才能保证每种书至少有一本。
16． 7 11
【分析】水果有苹果、桃子、橘子、香蕉共4种，选两个不同的水果，组合方式有：苹果和桃子、苹果和橘子、苹果和香蕉、桃子和橘子、桃子和香蕉、橘子和香蕉，共3＋2＋1＝6种不同选择。要保证有两人选的水果相同，最不利的情况是前6个小朋友各选一种不同的组合，第7个小朋友无论选哪种组合，都会与前面某一人相同。因此，至少需要6＋1＝7个小朋友。
除了上述6种不同水果的组合，还需加上选同一种水果的情况（苹果和苹果、桃子和桃子、橘子和橘子、香蕉和香蕉），共6＋4＝10种不同选择。最不利的情况是前10个小朋友各选一种不同的组合，第11个小朋友无论选哪种组合，都会与前面某一人相同。因此，至少需要10＋1＝11个小朋友。
【详解】组合方式有：苹果和桃子、苹果和橘子、苹果和香蕉、桃子和橘子、桃子和香蕉、橘子和香蕉。共6种不同选择。前6个小朋友各选一种不同的组合，第7个小朋友无论选哪种组合，都会与前面某一人相同。
6＋1＝7（个）
上述6种不同水果的组合，还有：苹果和苹果、桃子和桃子、橘子和橘子、香蕉和香蕉。
6＋4＝10（种）
前10个小朋友各选一种不同的组合，第11个小朋友无论选哪种组合，都会与前面某一人相同。
10＋1＝11（个）
如果每个小朋友可以任意选择两个不同的水果，那么至少要有7个小朋友才能保证有两人选的水果是相同的；如果每个小朋友选的两个水果可以是同一种，也可以是不同种，那么至少要有11个小朋友才能保证有两人选的水果是相同的。
17．×
【分析】最倒霉的情况下，连续摸10次都是同一种颜色的球，只要再摸1次，肯定会出现两种颜色的球，据此分析解答。
【详解】10＋1＝11（次）
至少摸11次才能保证能摸到两种颜色的球，原题说法错误。
故答案为：×
【点睛】此题考查抽屉原题的应用，要考虑最不利的条件下进行。
18．√
【分析】在此类抽屉问题中，至少数等于被分配的物体数除以抽屉数的商加1（有余的情况下）。在本题中，被分配的物体数是婴儿数368人，抽屉数是一年的天数，是365或366，据此计算即可。
【详解】368÷365＝1（人）……3（人）
1＋1＝2（人）
368÷366＝1（人）……2（人）
1＋1＝2（人）
所以，某地一年有新生婴儿368人，总有一天他们中至少有2个人出生。
故答案为：√
【点睛】先建立抽屉和确定元素的总个数，然后根据“至少数＝元素的总个数÷抽屉的个数＋1（有余数的情况下）”解答。
19．√
【分析】此题根据抽屉原理，把两种颜色看作两个抽屉，把6个面看作6个元素，那么不管怎么涂至少有三个面的颜色相同。
【详解】6÷2＝3（个）
则不论怎么涂至少有3个面涂的颜色相同。
故答案为：√
【点睛】本题考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用，关键是从最差情况考虑。
20．√
【分析】假设先从袋子里拿出的5个球都是黄球，那么袋子里只剩下红球，此时任意从袋子里取出一个球，一定是红球，至少拿出6个球才能保证一定有红球，如果每次往外拿3个球，至少要拿2次，据此解答。
【详解】5＋1＝6（个）
6÷3＝2（次）
所以，一个袋子中装有只有颜色不同的10个红球和5个黄球，从中每次往外拿3个，至少拿2次，才能保证一定有红球。
故答案为：√
【点睛】本题主要考查抽屉问题，从最差情况分析问题是解答题目的关键。
21．×
【分析】袋子里白球的数量比黄球多，从最不利情况考虑，先从袋子里摸出6个白球，再从袋子里摸出1个球一定是黄球，此时一定有两种不同颜色的球，据此解答。
【详解】6＋1＝7（个）
所以，从袋子里面至少摸出7个球，才能保证一定有2个不同颜色的球。
故答案为：×
【点睛】本题主要考查利用抽屉原理解决实际问题，分析出最不利情况是解答题目的关键。
22．√
【分析】把10个衣架挂在3个挂钩上，10÷3＝3（个） 1（个），即平均每个挂钩上挂3个衣架，还剩下1个衣架，根据抽屉原理可知，总有一个挂钩上至少挂3＋1＝4个。据此解答。
【详解】10÷3＝3（个） 1（个）
3＋1＝4（个）
故答案为：√
【点睛】在此类抽屉问题中，至少数＝物体数除以抽屉数的商＋1（有余数的情况下）。
23．
6名
【分析】每人投3次，投中一次得1分，未投中得0分，可能得分有四种情况：①三次都投中，计1＋1＋1＝3分；②两次投中，一次不投中：计1＋1＋0＝2分；③一次投中，两次不投中：计1＋0＋0＝1分；④三次都不投中，计0分；现在有22名同学，相当于22个“元素”要放进这4个“抽屉”里，用22除以4，得到22÷4＝5……2，这意味着平均每个“抽屉”放5个“元素”后，还剩下2个“元素”。根据抽屉原理，剩下的这2个“元素”无论放到哪个“抽屉”里，都会使得至少有一个“抽屉”里有5＋1＝6个“元素”，也就是至少有6名同学的成绩相同。
【详解】得分可能为3分、2分、1分、0分，共4种情况。
22÷4＝5（名）……2（名）
5＋1＝6（名）
答：至少有6名同学的成绩相同。
24．7顶
【分析】这是典型的 “抽屉原理” 问题，我们用最不利原则来分析： 最倒霉的情况，先把一种颜色的帽子全部摸完。 袋子里每种颜色各有6顶，假设先摸出的全是红色（或全是黑色），共6顶。 保证有两种颜色：此时再摸1顶，必然是另一种颜色。 因此，至少需要摸顶，才能保证有2种颜色的帽子。
【详解】（顶）
答：至少摸出7顶帽子才能保证有2种颜色的帽子。
25．见详解
【分析】这是一道典型的抽屉原理的题目。一副扑克牌一共有54张，去掉大小王就是52张，扑克牌除了大小王以外有4种花色， 也就是将这4种花色看成4个抽屉，9个人每人取1张牌就是9张，将这9张牌放入这4个抽屉中，尽量平均分，多出的1张总要放进其中的一个抽屉里。
【详解】据分析：
9÷4＝2（张）……1（张）
2＋1＝3（张）
答：每个花色已经有2张了，多出的1张牌肯定是4种花色的任意一种，则9人每人随意抽1张，至少有3张牌是相同的花色。
26．4位
【分析】文学、数学、英语、美术等4个课外学习小组参加1个课外学习小组的情况数为①文学、②数学、③英语、④美术的4种；参加2个课外学习小组的情况数为①文学、数学、②文学、英语、③文学、美术、④数学、文学、⑤数学、英语、⑥数学、美术的6种；参加3个课外学习小组的情况数为①文学、数学、英语、②文学、数学、美术、③文学、英语、美术、④数学、英语、美术的4种，参加4个课外学习小组的情况数为1种，情况数一共有15种，也就是抽屉数为15，再用物体数除以15，求出商，用商＋1就是至少数。
【详解】情况数一共：（种）
（位）
答：至少有4位同学参加的学习小组相同。
【点睛】本题考查鸽巢问题，解答本题的关键是掌握解决鸽巢问题的计算方法。
27．49张
【分析】此题中求至少要准备多少件礼物，即为“最不利原则”问题。收到最多贺卡的小朋友即“抽屉王”收到5张贺卡，则其他小朋友应收到：5－1＝4（张），根据抽屉原理：4×12＝48（张），再加上“抽屉王”多出的1张贺卡，则至少准备：48＋1＝49（张），所以老师至少准备49张贺卡。
【详解】5－1＝4（张）
4×12＝48（张）
48＋1＝49（张）
答：老师至少要准备49张贺卡。
【点睛】根据抽屉原理中的“最不利原则”进行分析是完成本题的关键。
28．4名；14票
【分析】一年有12个月，从最不利的情况考虑，如果每个月都有3名同学过生日，那么剩下的4名同学中的任意1人无论在哪个月过生日，都至少有4名同学在同一个月过生日；
如果每个候选人都先得到了13票，那么剩下的1票无论投给谁，得票最多的候选人至少会得到14票。
【详解】40÷12＝3（名）……4（名）
3＋1＝4（名）
40÷3＝13（票）……1（票）
13＋1＝14（票）
答：至少有4名同学是在同一个月过生日。得票最多的候选人至少会得到14票。
【点睛】熟练掌握抽屉问题的解题方法是解决本题的关键。
29．对；2人
【分析】得分为整数，最低分是96分，那么得分的可能是96、97、98、99、100分，共5种分数。从最不利的情况考虑，如果前5名同学得分都不相同，那么第6名或第7名无论得分是多少，都至少有2人成绩相同。
【详解】如果5名同学的成绩分别是96、97、98、99、100分，共5种分数；
6÷5＝1（名）……1（名）
1＋1＝2（名）
六（1）班参赛的同学中至少有2人成绩相同，这种说法是对的。
7÷5＝1（名）……2（名）
1＋1＝2（名）
答：六（1）班有6名同学参加，参赛的学生中至少有2人成绩相同，这种说法是对的。
六（2）班有7名同学参加，参赛的学生中至少有2人成绩相同。
【点睛】本题考查鸽巣问题，采用最不利原则解答。
30．4个
【分析】根据题意，三种游乐设施可组合成：碰碰车和摩天轮、碰碰车和旋转木马、摩天轮和旋转木马，共有3种组合；把10个小朋友平均分配给3种游乐设施组合，那么每种组合有3个小朋友，还剩下1个小朋友，无论把他放在哪个组合，总有一个组合至少有4个小朋友。
【详解】10÷3＝3（个）……1（个）
3＋1＝4（个）
答：至少有4个小朋友选的游乐设施组合相同。
【点睛】本题考查鸽巣问题，采用最不利原则解题。
31．苹果有9个；菠萝有1个；柚子有2个
【分析】根据抽屉原理，随便拿出4个，其中至少有1个苹果，除苹果以外的其它水果共有3个，可知苹果有12－3＝9个，又因为柚子的个数是菠萝的2倍，且柚子与菠萝共有3个，可求得柚子有2个，菠萝有1个，据此解答即可。
【详解】苹果有：12－3＝9（个）
菠萝有：3÷（1＋2）
＝3÷3
＝1 （个）
柚子有：3－1＝2（个）
答：柚子有2个，菠萝有1个，苹果有9个。
【点睛】理解抽屉原理，读清题意，运用规律灵活解题。
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