2026届湖南省长沙市高三第二次模拟自编卷数学试题（人教版2019）（含答案）
文档属性
| 名称 | 2026届湖南省长沙市高三第二次模拟自编卷数学试题（人教版2019）（含答案） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 543.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-31 00:00:00 | ||
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文档简介
2026届湖南省长沙市高三第二次模拟自编卷
数学试题
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知，则（ ）
A． B． C． D．
2．若复数，则（ ）
A． B．3i C． D．3
3．在平行四边形ABCD中，点在线段AC上，且.若，其中，，则（ ）
A． B． C． D．
4．清明将至，为倡导文明祭祀，筑牢防火安全防线，4名青年志愿者到3个社区参加“绿色清明”公益宣讲活动，要求每名志愿者只能选择一个社区，每个社区至少要有一名志愿者，则不同的分配方案共有（ ）
A．24种 B．36种 C．64种 D．72种
5．已知菱形的边长为2，是的中点，则（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
6．已知抛物线的焦点为，点在轴上且位于右侧，点在上，若为等边三角形，则（ ）
A．2 B．2 C．2 D．4
7．已知函数的值域是，则（ ）
A．1 B． C． D．2
8．在正四棱台中，，且，记能将正四棱台罩住的半球的最小半径为，正四棱台外接球的半径为，则（ ）
A． B．1 C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列说法中，正确的是（ ）
A．已知随机变量服从二项分布，若，，则
B．已知随机变量服从正态分布，若，则
C．已知，为随机事件，，，若，相互独立，则
D．样本点的经验回归方程为，若样本点与的残差相等，则
10．以下四个命题表述正确的是（ ）
A．若直线与互相垂直，则
B．已知抛物线的焦点为，点在上，若，则
C．已知双曲线，则双曲线的焦点到渐近线的距离为
D．已知椭圆和圆分别为椭圆和圆上的动点，若为椭圆的左焦点，则的最小值为6
11．已知函数且且，则下列选项中正确的是（ ）
A．当时，若在区间恒成立，则实数的取值范围为
B．当（e为自然对数的底数）时，的最小值为2
C．当（e为自然对数的底数）时，若恒成立，则实数的最小值为
D．当时，若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围为
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共10分。
12．已知集合，若，则m的可能取值组成的集合为______．
13．在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于原点对称.若，则的最大值为________．
14．已知正四面体的棱长为，动点P满足，用所有这样的点P构成的平面截正四面体，则所得截面的面积为________.
四、解答题：本题共5小题，共82分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．已知数列的首项，的前项和为且满足.
(1)证明：数列是等差数列；
(2)若，求数列的前项和.
16．甲、乙、丙三人各自独立投篮，甲和乙都投中的概率是，甲投中而丙未投中的概率是，乙投中而丙未投中的概率是.
(1)请问三人中哪一位投篮水平较高？并说明理由；
(2)现将投篮水平较低的两人组成一组（记为），与投篮水平较高的人（记为组）进行投篮比赛，甲、乙、丙各自独立投篮次，且每次投篮的结果互不影响，投中次数较多的一组获胜，求组获胜的概率.
17．如图，三棱柱 的所有棱长都为3，点在底面上的射影恰好是的中心.
(1)证明: 四边形是正方形;
(2)设分别为的中点, 求二面角的正弦值.
18．记为数列的前n项和，且为等差数列，为等比数列，．
(1)求的值，并求的通项公式；
(2)探究是否存在唯一的最大项；
(3)证明：．
19．甲同学与乙同学进行如下游戏：在个白色小方格中，甲同学将从上往下数的第i行，从左往右数的第j列涂黑，而乙同学从除黑色方格以外的任意一格出发，只能往前、后、左、右四个方向移动，且不能经过黑色方格.若乙可以不重复的一次性经过所有白色方格，则乙获胜，否则甲获胜，记甲涂黑的方格为.
(1)若，甲同学随机涂黑一个方格，求甲获胜的概率.
(2)若甲将涂黑，求证：当m为奇数时，甲一定获胜.
(3)若m为奇数，乙从出发，甲将涂黑，其中i，j不同时为1，求证：甲获胜的概率.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
2026届湖南省长沙市高三第二次模拟自编卷
数学试题(参考答案）
1．C 2．A 3．A 4．B 5．C 6．D 7．A 8．D
9．ACD 10．BD 11．ACD
12．
13．/
14．
15．(1)证明见解析
(2)
16．(1)丙投篮水平较高，理由见解析
(2)
17．(1)（1）设点为的中心，连接，连接并延长交于点，
则平面，因为平面，所以，
又因为，、平面，所以平面，
因为平面，所以，
又因为，所以，且，
所以四边形是矩形，因为，
所以四边形是正方形.
(2)
18．(1)，；
(2)不存在唯一的最大项；
（3）法一：因为，
记，注意到，
所以，
于是，
因此．
法二：①．
两边同乘，得②．
①－②，整理得③．
两边同乘，得④．
③－④，整理得，
即．
19．(1)
（2）我们为格子标号：
1 黑格 1 2 1
2 1 2 1 2
1 2 1 2 1
2 1 2 1 2
1 2 1 2 1
乙不妨从1出发，则乙的路线必定是1→2→1→2…，
若乙要获胜，则标号为1的格子数与标号为2的格子数之差的绝对值不大于1，
若最后是2，则说明1的数量和2的数量相同，若最后是1，则说明1比2多一个，
由于m为奇数，则第1,3，5，7…m列，1的数量比2的数量多1个，
这样的列数一共有个，也就是1比2的数量多，
同理，第2，4，6，…列，2的数量比1的数量多一个（不考虑黑格），这样的列一共有列，
因此1的数量比2的数量多个，
但实际情况是第二列中1的数量和2的数量一样多，因此1的数量比2的数量多两个，
这说明乙无法不重复地一次性经过所有白色方格，因此当m为奇数时，甲一定获胜.
（3）受到（2）的启发，我们仍然为格子标号：
1 2 1 2 1
2 1 2 1 2
1 2 1 2 1
2 1 2 1 2
1 2 1 2 1
乙的路线仍然是1→2→1→2→…,乙获胜只需要使1和2一样多，或1比2多一个，
我们考虑1比2多两个的情况：
若不考虑涂黑的格子，由（2）可知：1比2的数量多1个
当且仅当涂黑2时，1比2的数量多两个，此时甲一定获胜，
第1，3，5…m列每列个2，第2，4，6…列每列有个2，因此一共有个2，
又因为甲可以涂黑除了共个方格，因此甲获胜的概率.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
数学试题
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知，则（ ）
A． B． C． D．
2．若复数，则（ ）
A． B．3i C． D．3
3．在平行四边形ABCD中，点在线段AC上，且.若，其中，，则（ ）
A． B． C． D．
4．清明将至，为倡导文明祭祀，筑牢防火安全防线，4名青年志愿者到3个社区参加“绿色清明”公益宣讲活动，要求每名志愿者只能选择一个社区，每个社区至少要有一名志愿者，则不同的分配方案共有（ ）
A．24种 B．36种 C．64种 D．72种
5．已知菱形的边长为2，是的中点，则（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
6．已知抛物线的焦点为，点在轴上且位于右侧，点在上，若为等边三角形，则（ ）
A．2 B．2 C．2 D．4
7．已知函数的值域是，则（ ）
A．1 B． C． D．2
8．在正四棱台中，，且，记能将正四棱台罩住的半球的最小半径为，正四棱台外接球的半径为，则（ ）
A． B．1 C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列说法中，正确的是（ ）
A．已知随机变量服从二项分布，若，，则
B．已知随机变量服从正态分布，若，则
C．已知，为随机事件，，，若，相互独立，则
D．样本点的经验回归方程为，若样本点与的残差相等，则
10．以下四个命题表述正确的是（ ）
A．若直线与互相垂直，则
B．已知抛物线的焦点为，点在上，若，则
C．已知双曲线，则双曲线的焦点到渐近线的距离为
D．已知椭圆和圆分别为椭圆和圆上的动点，若为椭圆的左焦点，则的最小值为6
11．已知函数且且，则下列选项中正确的是（ ）
A．当时，若在区间恒成立，则实数的取值范围为
B．当（e为自然对数的底数）时，的最小值为2
C．当（e为自然对数的底数）时，若恒成立，则实数的最小值为
D．当时，若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围为
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共10分。
12．已知集合，若，则m的可能取值组成的集合为______．
13．在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于原点对称.若，则的最大值为________．
14．已知正四面体的棱长为，动点P满足，用所有这样的点P构成的平面截正四面体，则所得截面的面积为________.
四、解答题：本题共5小题，共82分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．已知数列的首项，的前项和为且满足.
(1)证明：数列是等差数列；
(2)若，求数列的前项和.
16．甲、乙、丙三人各自独立投篮，甲和乙都投中的概率是，甲投中而丙未投中的概率是，乙投中而丙未投中的概率是.
(1)请问三人中哪一位投篮水平较高？并说明理由；
(2)现将投篮水平较低的两人组成一组（记为），与投篮水平较高的人（记为组）进行投篮比赛，甲、乙、丙各自独立投篮次，且每次投篮的结果互不影响，投中次数较多的一组获胜，求组获胜的概率.
17．如图，三棱柱 的所有棱长都为3，点在底面上的射影恰好是的中心.
(1)证明: 四边形是正方形;
(2)设分别为的中点, 求二面角的正弦值.
18．记为数列的前n项和，且为等差数列，为等比数列，．
(1)求的值，并求的通项公式；
(2)探究是否存在唯一的最大项；
(3)证明：．
19．甲同学与乙同学进行如下游戏：在个白色小方格中，甲同学将从上往下数的第i行，从左往右数的第j列涂黑，而乙同学从除黑色方格以外的任意一格出发，只能往前、后、左、右四个方向移动，且不能经过黑色方格.若乙可以不重复的一次性经过所有白色方格，则乙获胜，否则甲获胜，记甲涂黑的方格为.
(1)若，甲同学随机涂黑一个方格，求甲获胜的概率.
(2)若甲将涂黑，求证：当m为奇数时，甲一定获胜.
(3)若m为奇数，乙从出发，甲将涂黑，其中i，j不同时为1，求证：甲获胜的概率.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
2026届湖南省长沙市高三第二次模拟自编卷
数学试题(参考答案）
1．C 2．A 3．A 4．B 5．C 6．D 7．A 8．D
9．ACD 10．BD 11．ACD
12．
13．/
14．
15．(1)证明见解析
(2)
16．(1)丙投篮水平较高，理由见解析
(2)
17．(1)（1）设点为的中心，连接，连接并延长交于点，
则平面，因为平面，所以，
又因为，、平面，所以平面，
因为平面，所以，
又因为，所以，且，
所以四边形是矩形，因为，
所以四边形是正方形.
(2)
18．(1)，；
(2)不存在唯一的最大项；
（3）法一：因为，
记，注意到，
所以，
于是，
因此．
法二：①．
两边同乘，得②．
①－②，整理得③．
两边同乘，得④．
③－④，整理得，
即．
19．(1)
（2）我们为格子标号：
1 黑格 1 2 1
2 1 2 1 2
1 2 1 2 1
2 1 2 1 2
1 2 1 2 1
乙不妨从1出发，则乙的路线必定是1→2→1→2…，
若乙要获胜，则标号为1的格子数与标号为2的格子数之差的绝对值不大于1，
若最后是2，则说明1的数量和2的数量相同，若最后是1，则说明1比2多一个，
由于m为奇数，则第1,3，5，7…m列，1的数量比2的数量多1个，
这样的列数一共有个，也就是1比2的数量多，
同理，第2，4，6，…列，2的数量比1的数量多一个（不考虑黑格），这样的列一共有列，
因此1的数量比2的数量多个，
但实际情况是第二列中1的数量和2的数量一样多，因此1的数量比2的数量多两个，
这说明乙无法不重复地一次性经过所有白色方格，因此当m为奇数时，甲一定获胜.
（3）受到（2）的启发，我们仍然为格子标号：
1 2 1 2 1
2 1 2 1 2
1 2 1 2 1
2 1 2 1 2
1 2 1 2 1
乙的路线仍然是1→2→1→2→…,乙获胜只需要使1和2一样多，或1比2多一个，
我们考虑1比2多两个的情况：
若不考虑涂黑的格子，由（2）可知：1比2的数量多1个
当且仅当涂黑2时，1比2的数量多两个，此时甲一定获胜，
第1，3，5…m列每列个2，第2，4，6…列每列有个2，因此一共有个2，
又因为甲可以涂黑除了共个方格，因此甲获胜的概率.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
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