2026年高中数学全国普通高等院校招生【九省联考】统一适应性试题（含答案）

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2026年高中数学全国普通高等院校招生【九省联考】统一适应性试题
一、单选题
1．已知，则曲线在点处的切线方程为（　　）
A． B． C． D．
2．已知向量，满足，则在上的投影向量为（　　）
A． B． C． D．
3．在区间[－2，2]内随机取一个数x，使得不等式成立的概率为（　　）
A． B． C． D．
4．已知直线 平面 ，点 平面 ，那么过点 且平行于直线 的直线（　　）
A．有无数条，仅有一条在平面 内
B．只有一条，且不在平面 内
C．有无数条，均不在平面 内
D．只有一条，且在平面 内
5．设，则“”是“”的（　　）
A．充分不必要条件 B．充要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件
6．某乡镇实现脱贫目标后，在奔小康的道路上，继续大步前进，依托本地区苹果种植的优势，经过3年的发展，苹果总产量翻了一番，统计苹果的品质得到了如下饼图：70，80是指苹果的外径，则以下说法中不正确的是（　　）
A．80以上优质苹果所占比例增加
B．经过3年的努力，80以上优质苹果产量实现翻了一番的目标
C．70~80的苹果产量翻了一番
D．70以下次品苹果产量减少了一半
7．南北朝时期的伟大数学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积总是相等，则这两个立体的体积相等.如图，两个半径均为 的圆柱体垂直相交，则其重叠部分体积为（　　）
A． B． C． D．
8．已知，，且，则的最小值为（　　）
A．10 B．9 C． D．
9．已知函数的部分图像，如下图所示，则该函数的解析式可能为（　　）
A． B．
C． D．
10．实数，满足，且，则对，的最大值为，则
A． B． C． D．
二、多选题
11．下列说法正确的是（　　）
A．若不等式的解集为，则
B．命题“，都有”的否定是“，使得”
C．当时，的最小值是5
D．函数（，）过定点
12．已知a，，有一组样本数据为，3，，，8，10，，12，13，若在这组数据中再插入一个数8，则（　　）
A．平均数不变 B．中位数不变 C．方差不变 D．极差不变
13．已知在数列中，，，则下列结论正确的是（　　）
A．是等差数列 B．是递增数列
C．是等差数列 D．是递增数列
14．下列说法正确的是（　　）
A．将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数 后，方差也变为原来的 倍；
B．若四条线段的长度分别是1，3，5，7，从中任取3条，则这3条线段能够成三角形的概率为 ；
C．线性相关系数 越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱；
D．设两个独立事件 和 都不发生的概率为 ， 发生且 不发生的概率与 发生且 不发生的概率相同，则事件 发生的概率为 .
15．快递行业作为邮政业的重要组成部分，具有带动产业领域广 吸纳就业人数多 经济附加值高 技术特征显著等特点.它将信息传递 物品递送 资金流通和文化传播等多种功能融合在一起，关联生产 流通 消费 投资和金融等多个领域，是现代社会不可替代的基础产业.下图是国家统计局公布的2020年下半年快递运输量情况，请根据图中信息选出正确的选项（　　）
A．2020年下半年，每个月的异地快递量都是同城快递量的6倍以上
B．2020年10月份异地快递增长率小于9月份的异地快递增长率
C．2020年下半年，异地快递量与月份呈正相关关系
D．2020年下半年，同城和异地快递量最高均出现在11月
三、填空题
16．某工厂名工人某天生产同一类型零件，生产的件数分别是，，，，，，，，，，则这组数据的方差为　 　．（参考数据：这组数据的平方和为）
17．若命题“”是假命题，则实数的最大值为　 　．
18．已知的展开式中，唯有的系数最大，则的系数和为　 　．
19．若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为　 　.
20．已知 ，则曲线 在点 处的切线方程是　 　.
21．已知P，Q是椭圆 上的两点(点Q在第一象限)，若 ，且直线PM，QM的斜率互为相反数，且 ，则直线QM的斜率为　 　.
22．已知函数，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为　 　.
四、解答题
23．已知正项数列{an}满足 ，且 .
（1）求{an}的通项公式；
（2）若 ，求{bn}的前n项和Tn.
24．在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知 ， ， .
（1）求 ；
（2）求 ；
（3）求 的值.
25．某景区内有一项“投球”游戏，游戏规则如下：
游客投球目标为由近及远设置的A，B，C三个空桶，每次投一个球，投进桶内即成功，游客每投一个球交费10元，投进A桶，奖励游客面值20元的景区消费券；投进B桶，奖励游客面值60元的景区消费券；投进C桶，奖励游客面值90元的景区消费券；
投不进则没有奖励．游客各次投球是否投进相互独立．
（1）向A桶投球3次，每次投进的概率为p，记投进2次的概率为，求的最大值点；
（2）游客甲投进A，B，C三桶的概率分别为，若他投球一次，他应该选择向哪个桶投球更有利？说明理由．
26．已知函数 ，满足 的 的最小值是 .
（1）求 的单调递增区间；
（2）求 在 上的最大值和最小值.
27．已知函数.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若对任意，使得不等式恒成立，求实数a的取值范围.
28．设 是椭圆 的四个顶点，菱形 的面积与其内切圆面积分别为 ．椭圆 的内接 的重心（三条中线的交点）为坐标原点 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2） 的面积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
2．【答案】B
【知识点】平面向量的投影向量
3．【答案】B
【知识点】几何概型
4．【答案】D
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系；直线与平面平行的性质
5．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
6．【答案】D
【知识点】随机抽样和样本估计总体的实际应用
7．【答案】B
【知识点】棱柱的结构特征；棱锥的结构特征
8．【答案】C
【知识点】对数的性质与运算法则；基本不等式
9．【答案】A
【知识点】函数的图象
10．【答案】B
【知识点】数列的函数特性；数列的递推公式
11．【答案】A,B,D
【知识点】命题的否定；指数型复合函数的性质及应用；基本不等式在最值问题中的应用；一元二次方程的根与系数的关系
12．【答案】A,D
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
13．【答案】C,D
【知识点】等差数列的性质；数列的递推公式；数列的通项公式
14．【答案】B,D
【知识点】极差、方差与标准差；线性相关；相互独立事件的概率乘法公式；古典概型及其概率计算公式
15．【答案】B,C,D
【知识点】频率分布折线图、密度曲线；随机抽样和样本估计总体的实际应用
16．【答案】
【知识点】极差、方差与标准差
17．【答案】
【知识点】存在量词命题；命题的否定；命题的真假判断与应用；对勾函数的图象与性质
18．【答案】64
【知识点】二项式定理；二项展开式
19．【答案】y=±2x
【知识点】双曲线的简单性质
20．【答案】2x+y-2=0
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
21．【答案】1
【知识点】直线的斜率；直线与圆锥曲线的关系
22．【答案】[0，e]
【知识点】奇偶性与单调性的综合；函数恒成立问题；利用导数研究曲线上某点切线方程
23．【答案】（1）解：正项数列{an}满足an2=an﹣1 an+1(n≥2)，
可得数列{an}为等比数列，设公比为q，q>0，
由a2=2，a5=4a3，可得a1q=2，a1q4=4a1q2，
解得a1=1，q=2，
则an=2n﹣1；
（2）解： ，
，
两式相减可得
化简可得
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；等比关系的确定；数列的求和
24．【答案】（1）解：由余弦定理得 ，
所以 ，
即 ，解得 .
所以 .
（2）解：由正弦定理 ，得 ，
解得
（3）解：由 ，可知 为锐角.
所以由（2）可得 .
所以 ， ，
所以
【知识点】两角和与差的余弦公式；二倍角的正弦公式；同角三角函数间的基本关系；正弦定理；余弦定理
25．【答案】（1）解：3次向A桶投球投进2次的概率．
．
令，得．
当时，；当时，．
∴在上单调递增，在单调递减，
∴所以的最大值点．
（2）解：由（1）得游客甲投进A，B，C三桶的概率分别为．
设投进A桶的纯收入为X元，；
设投进B桶的纯收入为Y元，；
设投进C桶的纯收入为Z元，；
因为
所以游客甲选择向B桶投球更有利．
【知识点】等可能事件的概率；相互独立事件的概率乘法公式；n次独立重复试验中恰好发生k次的概率；离散型随机变量的期望与方差
26．【答案】（1）解：
又 ， ， ，
或 ，同理 或 ，
，又 的最小值是 ，
令 ，解得
所以 的单调递增区间为
（2）解： ， ，
利用正弦函数的性质可知 ，则
所以 在 上的最大值为 ，最小值为
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；正弦函数的性质；函数最值的应用
27．【答案】（1）解：当时，.
当时，，解得，；
当时，，解得，；
当时，，解得，.
则原不等式的解集为.
（2）解：由题，恒成立，去绝对值有，
又，故，，故，即a的取值范围为[1，3].
【知识点】二次函数在闭区间上的最值；绝对值不等式；含绝对值不等式的解法
28．【答案】（1）解：∵菱形 的面积与其内切圆面积分别为 ，
∴ ，
，
联立解得 ， ，
故所求椭圆 的方程为
（2）解：当直线 斜率不存在时，
∵ 为 的重心，∴ 为椭圆的左、右顶点，不妨设 ，
则直线 的方程为 ，可得 ， 到直线 的距离 ，
∴ ．
当直线 的斜率存在时，设直线 方程为： ， ， ．
联立 ，得 ，
则 ．
即 ，
， ，
∴ ．
∵ 为 的重心，∴ ，
∵ 点在椭圆 上，故有 ，
化简得 ．
∴ ．
又点 到直线 的距离 （ 是原点到 距离的3倍得到）．
∴ ．
综上可得， 的面积为定值 ．
【知识点】椭圆的应用
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