(共12张PPT)
第六章 一元一次方程
6.1 认识方程
1．[2025·衡山县期中]下列四个式子中，是方程的是( )
A．3＋2＝5 B．x＝1
C．2x－3 D．a2＋2ab＋b2
3．[2025·隆昌市期末]若(m－2)x|m|－1－3＝0是关于x的一元一次方程，则m等于( )
A．2 B．0
C．－2 D．±2
4．[2025·宽城区期中]要使关于x的方程mx＝m的解为x＝1，则( )
A．m≠0 B．m可为任何有理数
C．m＞0 D．m＜0
①④⑤
7.[培素养]阅读下列材料：
关于x的方程
x3＋x＝13＋1的解是x＝1；
x3＋x＝23＋2的解是x＝2；
x3＋x＝(－2)3＋(－2)的解是x＝－2；
根据以上材料，解答下列问题：
(1)观察上述方程以及解的特征，
请你直接写出关于x的方程x3＋x＝43＋4的解为_____；
(2)比较关于x的方程x3＋x＝a3＋a与上面各式的关系，猜想它的
解是_____；
(3)请验证第(2)问猜想的结论．
x＝4
x＝a
解：(1)根据阅读材料可知：
关于x的方程x3＋x＝43＋4的解为x＝4；
故答案为：x＝4；
(2)关于x的方程x3＋x＝a3＋a的解是x＝a；
故答案为：x＝a；
(3)把x＝a代入等式左边＝a3＋a＝右边．
11(共32张PPT)
第4课时 去分母解一元一次方程
5或－7
x＝17
－9
2
解：(1)当m＝1时，B＝－2x2＋4mx＋2＝－2x2＋4x＋2，
2A－B＝2(x2＋6x)－(－2x2＋4x＋2)
＝2x2＋12x＋2x2－4x－2
＝4x2＋8x－2；
(2)2A－B＝2(x2＋6x)－(－2x2＋4mx＋2)
＝2x2＋12x＋2x2－4mx－2
＝4x2＋(12－4m)x－2，
因为多项式2A－B不含x项，所以12－4m＝0，解得m＝3；
所以n＝－5或n＝－4或n＝－1或n＝4，
因为n为正整数，所以n＝4，
因为m＝3，所以mn＝34＝81.
16.[培素养][2024·拱墅区期末]综合与实践
【问题背景】
解方程：(1)3x＋2＝5x；(2)3(y＋2)＋2＝5(y＋2)．
小张同学通过观察这两个方程的结构，发现这两个方程的解存在关联．请你观察并解这两个方程；
解：【问题背景】(1)3x＋2＝5x，2x＝2，x＝1；
(2)3(y＋2)＋2＝5(y＋2)，
3y＋6＋2＝5y＋10，－2y＝2，y＝－1；
17.[培素养 新定义][2024·萨尔图区期末]定义：如果两个一元一次方程的解之和为2，我们就称这两个方程互为“成双方程”．例如：方程2x－1＝2和2x－1＝0互为“成双方程”．
(1)请判断方程4x－(x＋5)＝1与方程－2y－y＝3是否互为“成双方程”；
解：(1)方程4x－(x＋5)＝1与方程－2y－y＝3不互为“成双方程”，理由如下：
4x－(x＋5)＝1，
4x－x－5＝1，3x＝6，x＝2.
－2y－y＝3，－3y＝3，y＝－1，
因为2＋(－1)＝1，
所以方程4x－(x＋5)＝1与方程－2y－y＝3不互为“成双方程”；(共36张PPT)
第六章 章末能力突破
一、选择题
1．若(m＋2)x|m|－1＝－5是关于x的一元一次方程，则m的值
为( )
A．±2 B．－2
C．2 D．4
3．[2025·昭通期末]若关于x的一元一次方程2kx＝3x－(8－x)有非负整数解，则符合条件的所有整数k的值( )
A．1 B．1或－2
C．0或－2 D．0或1或－2
5．[2025·鄞州区期中]若一个长方形可以分割为几个大小不
同的小正方形，则称这个长方形为完美长方形，1925年数学
家莫伦发现了第一个完美长方形，它被分割成9个大小不同的
正方形，已知最小正方形的周长为8，则最大正方形A的面积
为( )
A．1 296 B．1 444
C．2 304 D．20 736
1
7．[2025·浦东新区期末]对于两个不相等的有理数a，b我们规
定符号max{a，b}表示a，b中较大的值，如max{3，4}＝4，按照
这个规定，方程max{x，－x}＝2x＋1的解是_______．
8．[2024·钱塘区期末]某校组织七年级全体师生参加社会实践
活动．如果单独租用30座客车若干辆，会有15人没有座位；如
果单独租用45座客车，可少租3辆，且还余15个座位．由此可知，
七年级全体师生的人数为____．
345
9．[2024·绥棱县期末]一项工程，甲队独立完成需24天，乙队
独立完成需30天，甲、乙两队合作若干天后，甲队继续做了6天
完成，则乙队做了___天．
10
11.[新定义]定义：关于x的方程ax－b＝0与方程bx－a＝0(a，b
均为不等于0的常数)称互为“相反方程”．例如：方程2x－1＝
0与方程x－2＝0互为“相反方程”．
(1)若关于x的方程①：5x－p＋2＝0的解是x＝2，则与方程①互
为“相反方程”的方程的解是_____；
(3)将方程2m(4x－1)＋2＝－7nx整理，得(8m＋7n)x－2m＋2＝0，
因为关于x的方程kx＋k＝0与2m(4x－1)＋2＝－7nx互为“相反方程”，
所以k＝－2m＋2，k＝8m＋7n，
所以－2m＋2＝8m＋7n，
所以10m＋7n＝2，
12.[规律探究题][2025·封丘县期中]如表，将正整数1至2 025按一定规律排列．
(1)若用一个如表中所示的带有阴影的方框在此表格中移动，当方框中的数字总和为2 025时，方框中间的数字是多少？
(2)若用该带有阴影的方框在此表格中移动，方框中的三个数的和能不能为2 880
解：(1)设方框中间的数字是x，则另外两个数字分别是x－1，x＋1，
根据题意得x－1＋x＋x＋1＝2 025，
解得x＝675.
答：方框中间的数字是675；
(2)方框中的三个数的和不能为2 880，理由如下：
假设方框中的三个数的和能为2 880，设方框中间的数字是y，则另外两个数字分别是y－1，y＋1，
根据题意得y－1＋y＋y＋1＝2 880，
解得y＝960，
因为960＝8×120，
所以960在第8列，
所以假设不成立，即方框中的三个数的和不能为2 880.
13.[探究题][2024·泉港区期末]如图，在单位长度为1 cm的数轴上，设A，B，C，D四点在数轴上对应的数分别为a，b，c，d，其中a＜b＜0＜c＜d，a＝－12，d＝15，线段AB，CD的长度分别为AB＝|a－b|＝3 cm，CD＝|c－d|＝1 cm.
(1)请求出线段BC的长度；
(2)若线段AB，CD分别以每秒1 cm，2 cm的速度同时开始向右匀速运动．设线段AC，BD的中点分别为M，N点，运动时间为t秒，其中0＜t＜24.
①当运动时间t为何值时，点B与点M恰好重合？
②在线段AB，CD的运动过程中，线段MN的长是否为某一固定值？如果是，试求出这个值；如果不是，请说明理由．
解：(1)因为AB＝3，点A在数轴上表示的数是－12，
所以点B在数轴上表示的数是－12＋3＝－9；
因为CD＝1，点D在数轴上表示的数是15，
所以点C在数轴上表示的数是15－1＝14，
所以BC＝14－(－9)＝23；
即线段BC的长度为23 cm；
14.[模型意识 方程思想][2024·济源期末]方程是一类常见的重要的数学模型，无论方程的类型如何变化，方程模型本质上表示的都是一种相等关系，即方程两边的式子表达的是同一个量从不同角度的刻画．
【问题呈现】
李明和刘伟分别从A，B两地同时出发，李明骑自行车，刘伟步行，沿同一道路相向匀速而行，出发24 min后两人相遇，相遇时李明比刘伟多行驶4.8 km，相遇后6 min李明到达B地．求两人每小时分别行驶多少千米？
分析：可以用示意图来分析本题中的数量关系，
结合图形分析题意可得相等关系有；
①刘伟行驶24 min的路程＝李明行驶6 min的路程；
②李明行驶24 min的路程比刘伟行驶24 min的路程多4.8 km.
【解决问题】
(1)由②可知，李明与刘伟的速度关系是：李明的速度＝刘伟的
速度＋0.2；
可设刘伟的速度是x km/min，则李明的速度是(x＋0.2) km/min，
用两种方式表示出“刘伟行驶24 min的路程”，根据①列方程
为：_______________；
24x＝6(x＋0.2)
(2)类比(1)的分析，由①可知李明与刘伟的速度关系是：_____
______________________；请你尝试根据②列方程解决问题．
李明
的速度＝刘伟的速度×4
解：(1)根据①列方程为：
24x＝6(x＋0.2)，
故答案为：24x＝6(x＋0.2)；
(2)由①可知李明与刘伟的速度关系是：李明的速度＝刘伟的速度×4；
可设刘伟的速度是x km/min，
则李明的速度是4x km/min，(共29张PPT)
第5课时 解较复杂的一元一次方程
0.1
2 024
－3
24
(1)按照规律，第5个方程的解是x＝__；
(2)解是x＝2 026的方程是__________________．
6
(1)请你继续进行小亮的求解；
(2)请利用小亮的方法解下面的方程：
7(x＋3)＋4＝24－3(x＋3)．
(2)7(x＋3)＋4＝24－3(x＋3)，
7(x＋3)＋3(x＋3)＝24－4，
10(x＋3)＝20，
x＋3＝2，
x＝－1.
12.[培素养](1)如表，方程1、方程2、方程3…是按照一定的规律排列的一列方程，解方程1，并将它的解填在表中的横线上.(共25张PPT)
第3课时 去括号解一元一次方程
1．[2025·泰山区期中]对于非零的两个数a，b，规定a b＝
b－2a，若(x－2) 3＝5，则x的值为( )
A．2 B．1
C．0 D．－1
2．[2024·西湖区期末]方程2－3(x－2)＝x去括号正确的
是( )
A．2－3x＋2＝x B．2－3x－6＝x
C．2－3x＋6＝x D．3－3x－2＝x
3．[2025·阳谷县二模]按如图所示的程序运算，若开始输入的x为正数，最后输出的结果为31，则满足条件的x的值为( )
A．0 B．1
C．6 D．1或6
5．定义：若A－B＝m，则称A与B是关于m的关联数．例如：若A－B＝2，则称A与B是关于2的关联数．若2x－1与3x－5是关于4的关联数，则x的值是( )
A．0 B．1
C．8 D．2
6．[2025·清原县模拟]方程4x－2＝2(5－x)的解为_____．
7．[2025·浙江模拟]若式子3x＋2与式子2(x－2)－3的值相等，
则x的值为____．
8．[2025·海阳市期中]定义新运算：对于任意有理数a，b都有
a b＝a(a－b)＋1，如：2 5＝2×(2－5)＋1＝－5.若4 x
＝13，则x的值为__．
x＝2
－9
1
9．已知点A在数轴上表示3x＋1，点B在数轴上表示8x－10，若
点A、点B到原点的距离相等，则x的值是________．
10．解方程：
(1)5(x＋2)＝2(4x－1)；
(2)3x－2(4x－1)＝5；
(3)3－2(2x－1)＝5(2－x)；
(4)7－6(x＋4)＝3－28x.
11．[2024·白云区期末]解方程：2(3－4x)＝1－3(2x－1)．
解：去括号，得6－4x＝1－6x－1，(第一步)
移项及合并同类项，得2x＝－6，(第二步)
系数化为1，得x＝－3.(第三步)
以上解方程的步骤正确吗？若不正确，请指出错误的步骤，并给出正确的解答过程．
解：不正确，错在第一步．正确的解答过程如下：
去括号，得6－8x＝1－6x＋3，
移项及合并同类项，得－2x＝－2，
系数化为1，得x＝1.
12.[培素养]若关于x的方程3(x－k)＝2(x＋1)与x－3(x－1)＝2－(x＋1)的解互为相反数，求k2－(6k－2)的值．
13.[培素养]已知x＝1是方程6－(a－x)＝6x的解，求关于y的方程a(y－5)－2＝a(2y－3)的解．
解：把x＝1代入方程，得6－(a－1)＝6，
解得a＝1，
代入方程a(y－5)－2＝a(2y－3)，得(y－5)－2＝2y－3，解得y＝－4.
14．当k为何值时，关于x的方程(k－5)x－7＝x－1的解是－2
解：把x＝－2代入方程，得－2(k－5)－7＝－2－1，
去括号，得－2k＋10－7＝－3，
移项，合并同类项，得－2k＝－6，
解得k＝3.
15．已知关于x的方程3(x－2)＝2x＋a的解比x＋a＝2x－a的解小2，求a的值．
解：3(x－2)＝2x＋a，
去括号，得3x－6＝2x＋a，
移项，合并同类项，得x＝a＋6；
x＋a＝2x－a，
移项，合并同类项，得－x＝－2a，
解得x＝2a，
根据题意得a＋6＋2＝2a，解得a＝8，
则a的值为8.
16.[培素养 新定义][2024·开江县期末]定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程4x＝8和x＋1＝0的解分别为2和－1，2＋(－1)＝1，故方程4x＝8和x＋1＝0为“美好方程”．
(1)若关于x的方程3x＋m＝0与方程4x－2＝x＋10是“美好方程”，求m的值；
(2)若“美好方程”的两个方程的解的差为8，且其中一个解为n，求n的值；(共44张PPT)
第六章综合测试卷
3．[2024·滨海新区期中]若(m－1)x|m|－2＝0是关于x的一元一次方程，则m的值为( )
A．1 B．－1
C．±1 D．2
4．[2024·广水市期末]若x＝3是关于x的方程a－2b－2x＝0的解，则代数式2a－4b＋1的值为( )
A．7 B．11
C．12 D．13
5．[2025·鲤城区期中]新定义一种运算：a△b＝2a－3b.例
如：3△4＝2×3－3×4＝－6.若2△(2△x)＝－35，则x的值
为( )
A．3 B．－3
C．－4 D．4
7．[2024·宿城区期末]整式mx－n的值随x取值的变化而变化，下表是当x取不同值时对应的整式的值：
则关于x的方程－mx＋n＝－6的解为( )
A．x＝－1 B．x＝0
C．x＝2 D．x＝4
x －1 0 1 2 3
mx－n －4 －2 0 2 4
9．[2024·江油市期末]小王同学想根据方程8x＋3＝6(x＋8)－5编一道应用题：“几个人为学校建花坛搬砖， ，求参与搬砖的人数．”若设参与搬砖的有x人，那么横线部分的条件应描述为( )
A．若每人搬8块，则缺3块砖；若再添8人一起搬，则每人搬6块，缺5块砖
B．若每人搬8块，则剩3块未搬；若再添8人一起搬，则每人搬6块，缺5块砖
C．若每人搬8块，则缺3块砖；若再添8人一起搬，则每人搬6块，剩5块砖未搬
D．若每人搬8块，则剩3块未搬；若再添8人一起搬，则每人搬6块，剩5块砖未搬
10．某商人一次卖出两件商品，一件赚了20%，一件赔了10%，售价为450元，在这次买卖过程中，该商人( )
A．赚了45元 B．赚了25元
C．赔了25元 D．不赚不赔
二、填空题(每小题3分，共24分)
11．[2025·西安期中]相传大禹治水时，“洛水”中出现了一
个神龟，其背上有美妙的图案，史称“洛书”．就是我们今天
的幻方．三阶幻方是最简单的幻方．由三阶幻方可以衍生出许
多有特定规律的新幻方．在如图所示的“幻方”
中，每个小三角形的三个顶点上的数字之和都
与中间正方形四个顶点上的数字之和相等．则
这个“幻方”中的m的值为__．
3
－6
13．[2024·西陵区期末]若x＝2是关于x的一元一次方程a－bx
＝3的解，则代数式5－2a＋4b的值是____．
－1
13．[2024·西陵区期末]若x＝2是关于x的一元一次方程a－bx
＝3的解，则代数式5－2a＋4b的值是____．
－1
14．[2025·哈尔滨期中]如图，长方形甲与三角形乙重叠部分
的面积相当于长方形甲面积的 ，相当于三角形乙面积的 ，
若两个图形不重叠部分的面积和是50 cm2，则重叠部分的面积
是___cm2.
10
15．[2025·泰州期中]已知x1，x2，x3，…，x2 025是2 025个由
1和－1组成的数，且满足x1＋x2＋x3＋…＋x2 025＝25，则
(x1＋1)2＋(x2＋1)2＋(x3＋1)2＋…＋(x2 025＋1)2的值为______．
4 100
解析：设xi＝1的个数为a，则xi＝－1的个数为2 025－a，
可得a－(2 025－a)＝25，解得a＝1 025，
则2 025－1 015＝1 000.
当xi＝1时，(xi＋1)2＝4，当xi＝－1时，(xi＋1)2＝0.
1025×4＋1 000×0＝4 100.
16．[2025·雷州市期末]某次数学知识竞赛共25道题，评分标
准如下：答对1题加5分；答错1题扣2分；不答记0分．已知小明
不答的题比答错的题多2道，他的总分为91分，则他答对了___题．
19
17．[2025·樊城区模拟]《九章算术》中有“盈不足术”的问
题，原文如下：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，
不足三．问人数、羊价各几何？”题意是：若干人共同出资买
羊，每人出5枚钱，则差45枚钱；每人出7枚钱，则差3枚钱．求
人数和羊价各是多少？
答：人数是___人，羊价是____枚钱．
21
150
18．去年国庆节，某商场的促销活动规定：
(1)一次性购物不超过100元，不享受优惠；
(2)一次性购物超过100元，但不超过300元，一律九折；
(3)一次性购物超过300元，一律八折．
节日期间刘阿姨先后两次到该超市购物分别付款50元和252元，
如果刘阿姨一次购买这些商品，则应付款_________元．
264或292
解：(1)7x＋6＝16－3x，
移项得7x＋3x＝16－6，
合并得10x＝10，所以x＝1；
(2)2(3－x)＝－4(x＋5)，
去括号得6－2x＝－4x－20，
移项得－2x＋4x＝－20－6，
合并得2x＝－26，所以x＝－13；
20．(6分)[2025·商丘期中]综合与实践
【定义新运算】规定：对于任意有理数m，n，都有m△n＝3m－2n.
(1)计算：(－2)△5；
(2)若x△(1－x)＝4，求x的值；
(3)若a△b＝b△a，试判断a与b的关系．
(3)根据新运算，a△b＝3a－2b，b△a＝3b－2a，
因为a△b＝b△a，
所以3a－2b＝3b－2a，解得a＝b，
所以a与b的关系为a＝b.
21．(6分)(1)已知关于x的方程2(x－1)＝－3a－6的解与方程2x＋3＝－1的解互为倒数，求a2 025的值；
(2)小马虎在解关于x的方程2x＝ax－21时，出现了一个失误：“在将ax移到方程的左边时，忘记了变号．”结果他得到方程的解为x＝－3，求a的值和原方程的解．
(2)由题意得2x＋ax＝－21，x＝－3为此方程的解，
所以－6－3a＝－21，所以a＝5，
所以原方程为2x＝5x－21，所以x＝7，
原方程的解是x＝7.
22．(8分)[新定义][2024·仓山区期末]定义：若关于x的方程ax＋b＝0(a≠0)的解与关于y的方程cy＋d＝0(c≠0)的解满足|x－y|＝m(m为正数)，则称方程ax＋b＝0(a≠0)与方程cy＋d＝0(c≠0)是“m差解方程”．
(1)请通过计算判断关于x的方程2x＝5x－12与关于y的方程
3(y－1)－y＝1是不是“2差解方程”；
解：(1)关于x的方程2x＝5x－12与关于y的方程3(y－1)－y＝1是“2差解方程”，理由如下：
2x＝5x－12的解为x＝4，
3(y－1)－y＝1的解为y＝2，
因为|x－y|＝|4－2|＝2，
所以关于x的方程2x＝5x－12与关于y的方程3(y－1)－y＝1是“2差解方程”；
23．(8分)[2025·博山区期末]某商场采购甲、乙两种篮球，采购40个甲种篮球和30个乙种篮球共需要5 550元，其中甲、乙两种篮球的进价和售价如表：
甲种篮球 乙种篮球
进价(元/个) m m－25
售价(元/个) 100 75
(1)求表中m的值；
(2)第二次商场采购了35个甲种篮球和45个乙种篮球，由于两种篮球进价都比上次优惠了20%，商场准备对甲种篮球进行打折出售，让利于顾客，乙种篮球价格不变，全部售完后总利润为1 665元，求甲种篮球打了几折？
根据题意，得350x＋3 375－4 860＝1 665，
整理得，350x＝3 150，解得x＝9.
答：甲种篮球打了九折．
24．(10分)取号等候在生活中常常发生，如医院取药、银行办理业务、就餐等，大家都希望能尽可能减少等候时间．某市商业街有一家网红奶茶店，上午9：00开门营业时，恰好第20人完成自主取号．已知奶茶店给每位顾客的服务时间为2分钟，到中午12：00，有一位顾客正好完成取号，此时有50人在等候．(假设：相邻两位顾客到店的时间间隔相同；奶茶店为上一位顾客服务完成后，再为下一位顾客服务；每位取号的顾客都买并且只买一杯奶茶)
(1)求相邻两位顾客前来买奶茶的间隔时间；
(2)小滨在奶茶店等候时，在不远处的一家鸡排店下了一单，此时刚开始服务49号顾客，小滨是58号，他迅速骑上电动自行车，以12千米/小时的速度赶到鸡排店，立即取好鸡排，他以9.6千米/小时的速度返回奶茶店，到店时恰好轮到他取奶茶，求此鸡排店到该奶茶店的路程．(列方程解应用题)
解：(1)从上午9：00到中午12：00一共180分钟，
因为奶茶店给每位顾客的服务时间为2分钟，
所以这段时间奶茶店已经服务了180÷2＝90(位)顾客，
因为上午9：00开门营业时，恰好第20人完成自主取号，中午12：00时有50人在等候，
所以上午9：00到中午12：00前来买奶茶的顾客有90－20＋50＝120(位)，
所以相邻两位顾客前来买奶茶的间隔时间为180÷120＝1.5(分钟)；(共27张PPT)
第2课时 一元一次方程的应用——
形积变化问题
2．如图，周长为34 cm的长方形ABCD被分成7个形状大小完全相同的小长方形，则一个小长方形的面积为( )
A．7 cm2 B．10 cm2
C．12 cm2 D．14 cm2
3．[2024·济南模拟]一个瓶子的容积为1.9 L，瓶内装着一些溶液，当瓶子正放时，瓶内溶液的高度为15 cm，倒放时，空余部分的高度为4 cm(如图)，则瓶内溶液的体积是( )
A．1.8 L B．1.3 L
C．1.5 L D．1.9 L
4．用绳子测井的深度，四折而入，则余9米；把绳子剪去18米后，三折而入，则余12米，井深( )
A．18米 B．21米
C．27米 D．30米
5．如图，6个正方形无缝拼成一个大长方形，中间最小的正方形面积为1，大长方形的面积是( )
A．80 B．99
C．143 D．169
6．如图，在一块长为a米，宽为10米的长方形草地上，修建两
条宽为2米的长方形小路，若这块草地的绿地面积(图中空白部
分)为144平方米，则a＝___．
20
7．如图，一个盛有水的圆柱形玻璃容器的内底面半径为10 cm，
容器内水的高度为12 cm.把一根半径为2 cm的玻璃棒垂直插入
水中，则容器内的水将升高____cm(假设水不会溢出)．
0.5
8．如图，用一块长7.5 cm、宽3 cm的长方形纸板，和一块长
6 cm、宽1.5 cm的长方形纸板，与一块小正方形纸板以及另两
块长方形纸板，恰好拼成一个大正方形，则小正方形的边长是
____cm，拼成的大正方形的面积是___cm2.
4.5
81
9．一个正方形的边长增加3.5 cm后，得到的新正方形的周长
是38 cm，则原来正方形的面积等于______．
36 cm2
10．将一个底面直径是10 cm、高为36 cm的“瘦长”形圆柱铁块锻压成底面直径为20 cm的“矮胖”形圆柱体铁块，求高变成了多少？
解：设高缩短了x cm，
由题意得π(10÷2)2×36＝π(20÷2)2×(36－x)，
解得x＝27，36－27＝9(cm)，
答：高变成了9 cm.
11．一个长方形的养鸡场的一条长边靠墙，墙长13 m，其他三边用篱笆围成．现有长为32 m的篱笆，小明的设计方案是长比宽多5 m，小颖的设计方案是长比宽多2 m，你认为谁的设计符合实际？
解：根据小明的设计可以设宽为x米，则长为(x＋5)米，根据题意得2x＋(x＋5)＝32，解得x＝9.
因此小明设计的长为x＋5＝14(米)，而墙的长度只有13米，小明的设计不符合实际．
根据小颖的设计可以设宽为y米，长为(y＋2)米，
根据题意得2y＋(y＋2)＝32，解得y＝10.
因此小颖设计的长为x＋2＝12，而墙的长度13米，小颖的设计符合实际．
12.[培素养]现有底面半径为2厘米，高为20厘米的两根完全一
样圆柱，将其中一根圆柱锻造成一根新的圆柱(体积不变)，原
来的圆柱比新圆柱的高多 ；
(1)求新圆柱的底面积？
(2)将原来的圆柱放到一个底面长和宽分别为8厘米和6厘米的长方体的水箱里，原水箱里的水面高为9厘米，则放入圆柱后水面上升了多少厘米？
(3)在(2)的条件下，将新圆柱放入水箱，若新圆柱恰好被淹没，则原来的圆柱应提升多少厘米？(π取3)
(2)设放入圆柱后水面上升了x厘米，
8×6×9＝(8×6－π×22)(9＋x)，x＝3，
答：放入圆柱后水面上升了3厘米；
(3)设原来的圆柱在水中y厘米，
8×6×9＝8×6×16－π×22y－15×16，所以y＝8，
所以原来的圆柱提升高度＝9＋3－8＝4(厘米)．
(1)已知r＝8 cm，求圆柱的体积；
(2)在(1)的基础上，现有一规格大小与该圆柱完全相同的玻璃杯，置入一与图中球同样大小的冰球，冰球完全融化成水后，水与之前冰的体积比是9∶10，则融化后水的高度是多少厘米？
(3)若往(2)中杯里垂直放入一个圆锥形铅锤，已
知铅锤的底面半径是4厘米，铅锤的高是9厘米，
求圆柱形杯中水面上升的高度是多少厘米？
14．如图，甲、乙两个长方体容器放置在同一水平桌面上，容器甲的底面积为80 dm2，高为6 dm；容器乙的底面积为40 dm2，高为9 dm.容器甲中盛满水，容器乙中没有水，容器乙的最下方装有一只处在关闭状态的水龙头．现从容器甲向容器乙匀速注水，每分钟注水20 dm3.(共13张PPT)
2 一元一次方程的解法
第1课时 等式的基本性质
2．[2025·大方县模拟]观察图1，若天平保持平衡，在图2天
平的右盘中需放入多少个 才能使其平衡( )
A．5 B．6
C．7 D．8
4．[2024·株洲期末]如图，天平的两个盘内分别盛有102 g和
96 g的糖，应从盘A中拿出__g糖放到盘B中，才能使两者所盛糖
的质量相等．
3
5．已知2y－3x＝5，用含x的代数式表示y，则y＝______．
问题：
(1)求2＋22＋23＋24＋…＋22 024的值；
(2)求4＋12＋36＋…＋4×32 024的值．
解：(1)令S＝2＋22＋23＋24＋…＋22 024①，
将等式两边同时乘2，得2S＝22＋23＋24＋…＋22 025②，②－①得
S＝22 025－2；
(2)因为4＋12＋36＋…＋4×32 024＝4×(1＋3＋32＋33＋…＋32 024)，
令S＝4×(1＋3＋32＋33＋…＋32 024)①，
将等式两边同时乘3得到3S＝4×(3＋32＋33＋…＋32 025)②，②－①
得2S＝4×(32 025－1)，
所以S＝2×(32 025－1)．
7．阅读与探究
.
.
.
初步探究：
(1)根据上述推理过程，0.8. ___(填“是”或“不是”)有理
数；
类比迁移：
(2)请根据材料中的方法，判断0.23. 是否为有理数，并说明理
由．
.
..
是(共29张PPT)
第5课时 一元一次方程的应用——
行程问题
4．一列火车正在匀速行驶，它先用30 s的时间通过了一条长280 m的桥(即从车头进入桥头到车尾离开桥尾)，又用20 s的时间通过了一条长为120 m的桥，这列火车的长度是( )
A．160 m B．180 m
C．200 m D．220 m
5．A，B两地相距200千米，甲骑摩托车以40千米/时的速度从A地向B地行驶，半小时后乙开车以60千米/时的速度从A地向B地行驶，则当两人相距10千米时，甲骑摩托车行驶的时间是( )
A．1小时
B．1小时或1.5小时
C．1小时或2小时
D．1.5小时或2小时
6．《九章算术》是我国古代一部伟大的数学名著，其中描述
了这样一个问题：一个人用车装米，从甲地运往乙地，装米的
车日行25千米，不装米的空车日行35千米，5日往返三次，则
两地相距____千米．
7．[2024·行唐县期末]我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中
有这样的记载：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，
驽马先行一十二日，良马数日追及之”．其大意是：跑得快的
马每天走240里，跑得慢的马每天走150里，慢马先走12天，快
马___天可以追上慢马．
20
8.[培素养][2024·扎兰屯市期末]小明家距学校3 000米，放学
后小明以80米/分的速度回家，出发10分钟时，同学小亮以280
米/分的速度从学校出发骑自行车回家，小明和小亮是邻居(两
家距离忽略不计，两人路上互不等待，两人到家后不再外出)，
请问：小亮出发________________分钟时，两人相距300米．
2.5或5.5或23.75
9．甲、乙两地之间的道路分上坡和下坡两种路段，共24千米，
小明上坡速度为4千米/时，下坡速度为6千米/时，去时用了4.5
小时，则返回时用____小时．
10．小明和小亮在长为400米的圆形跑道上练习长跑．小亮每分
钟跑320米，小明每分钟跑240米，如果两人同时由同一起点出
发，同向跑步，经过__分钟两人首次相遇．
5.5
5
11．[2024·承德市期末]甲、乙两车分别从相距210千米的A，B两地相向而行．
(1)两车均保持匀速行驶且甲车的速度是乙车速度的2倍，若甲车比乙车提前2小时出发，则甲车出发后3小时两车相遇．求甲、乙两车的速度分别是多少(单位：千米/小时)
(2)如果甲、乙两车保持(1)中的速度，两车同时出发相向而行，求经过多少小时两车相距30千米？
解：(1)设乙车的速度是x千米/小时，则甲车的速度是2x千米/小时，
根据题意得
3×2x＋(3－2)x＝210，
解得x＝30，
所以2x＝2×30＝60(千米/小时)．
答：甲车的速度是60千米/小时，乙车的速度是30千米/小时；
12．某快递员接到任务需在规定时间内从甲地出发将快递送至乙地．若快递员开车速度为每小时50千米，则要迟到30分钟；若速度为每小时60千米，则可提前20分钟到达．求规定时间和甲地到乙地的总路程．
13．[2025·雁塔区二模]在一次体育测试中，小红同学在进行女子800米测试时，先以3米/秒的平均速度跑了大部分路程，之后以5.5米/秒的平均速度逐渐冲刺到达终点，成绩为3分零30秒．问小红在冲刺阶段花了多少秒．
解：3分零30秒＝210秒．
设小红在冲刺阶段花了x秒，则小红以3米/秒的平均速度跑了(210－x)秒，
由题意，可得
3(210－x)＋5.5x＝800，
解得x＝68.
答：小红在冲刺阶段花了68秒．
14．已知甲车速度为每小时60千米，乙车速度为每小时40千米．甲、乙两车分别从A，B两地同时出发相向而行，在途经C地时乙车比甲车早到30分钟，第二天，甲、乙分别从B，A两地出发以各自原来的速度同时返回原来出发地，在途经C地时甲车比乙车早到1.5小时．求第二天乙车返回B地花了多长时间．
15.[培素养][2024·东城区二模]据新华网北京频道(2023年11月24日)报道，京雄高速五环至六环段主体已经完工．北京段计划于2023年12月31日全线贯通．通车后、由西南五环至雄安新区可实现1小时通达，比原来节省了30分钟．小艺爸爸发现通车后从西南五环去雄安新区出差比通车前少走27.5千米，如果平均车速比原来每小时多走17千米，正好和报道中描述的情况吻合，通车前小艺爸爸驾车去雄安新区出差的平均时速是多少？
16．星期天天气晴好，小米骑自行车向宁波登山基地九峰山出发，由于太匆忙，出发半个小时后，他爸爸发现他把可以免费进入景区的证件落在家里，于是，他立即骑摩托车去追，已知小米骑自行车的平均速度为12千米/时，摩托车的平均速度为48千米/时．
(1)求出爸爸多长时间能追上小米？
(2)若爸爸出发的同时手机通知小米掉头回来，那么爸爸多久与小米相遇？
(3)若爸爸出发的同时手机通知小米掉头来取，结果爸爸出发十分钟还没有遇到小米，手机联系才发现他俩已经错开了一段距离了，这时他们又赶紧掉头，问爸爸从家里出发到送证件成功共花了多少时间？
(4)小米继续骑自行车，他留意到每隔15分钟有一辆某路公交车从他身后驶向前面，假设小米的平均速度是12千米/时，公交车的平均速度为60千米/时．小米就想：每隔几分钟从车站开出一辆该路公交车呢？请你帮小米求出．(共20张PPT)
第3课时 一元一次方程的应用——
总量与分量问题
1．石家庄首届中俄国际文化交流暨国家大马戏世界巡演石家庄站的演出活动于2016年正月初三持续至二月初二．若某班45名全体学生去看演出，甲种票每张60元，乙种票每张120元，共花费4 140元，则该班学生甲种票共购买了( )
A．21张 B．22张
C．23张 D．24张
2．张叔叔家养的公鸡和母鸡共240只．其中公鸡的只数是母
鸡的 ，张叔叔家养的母鸡有( )
A．90只 B．150只
C．160只 D．108只
3．足球比赛的得分规则：胜一场得3分，平一场得1分，输一
场不得分．在某赛季山东鲁能足球队共比赛30场，输了9场，
积分为51分，最终名列第五，则本赛季山东鲁能足球队胜
了( )
A．14场 B．15场
C．16场 D．17场
4．某学校在“读一本好书”活动中，为学生购买了名著《三国
演义》20套，《西游记》16套，共用了1 820元，其中《三国演
义》每套比《西游记》每套多1元，求《三国演义》和《西游记》
每套各多少元？设《西游记》每套x元，可列方程为___________
___________．
20(x＋1)＋
16x＝1 820
5．抚州“名人园汤显祖冰雕节”期间，小米妈妈和几个闺蜜带
小米及其他小朋友去冰雕屋体验冰火二重天，小米在检票口看
到价牌上写道“大人每张60元，小孩每张30元”小米妈妈买了
10张门票共花了420元，则大人票买了__张．
6．[2025·聊城期中]甲乙两仓库共存粮食260吨，如果甲仓库
运25%到乙仓库，则乙仓库比甲仓库多20吨，原来甲仓库存粮食
____吨．
4
160
7．[2024·扎兰屯市期末]小明家经营一家文化创意产品商店，
他在课余时间关注了文化创意背包和文化创意摆件两种商品的
销售情况，如表：
统计日期 售出文化创意 背包件数(件) 售出文化创意 摆件件数(件) 总售
价(元)
12月30日 0 1 80
12月31日 1 2 420
1月1日 5 5 1 700
若小明家的文化创意产品商店售出文化创意背包和文化创意摆
件共15件，总售价为3 000元，那么售出文化创意背包和文化
创意摆件各多少件？
解：由题意可知，售出1件文化创意摆件的价格为80元，售出1件文化创意背包的价格为420－2×80＝260(元)，
设售出文化创意背包x件，则售出文化创意摆件(15－x)件，
由题意得260x＋80(15－x)＝3 000，
解得x＝10，
所以15－x＝15－10＝5，
答：售出文化创意背包10件，售出文化创意摆件5件．
8．[2025·永寿县模拟]中国基础建设快速发展，各地修建了许多高速公路，带动了当地的经济发展，提高了人们的生活水平．某市招标建设一段长为14千米的无桥梁高速公路路基，现有A，B两家公司竞标了这项工程，已知A公司每天能修建路基0.5千米，B公司每天能修建路基1千米，若由A，B两家公司合作完成任务，且B公司的工作时间比A公司工作时间的2倍多4天，则A公司的工作时间为多少天？
解：设A公司的工作时间为x天，则B公司的工作时间为(2x＋4)天，
根据题意得0.5x＋(2x＋4)＝14，解得x＝4.
答：A公司的工作时间为4天．
9．[2024·昂仁县期中]为了喜迎全国藏文书法日，在2024年4月30日昂仁县中学党总支举行了铸牢中华民族共同体意识之迎4.30“全国藏文书法日”为主题的学生书法比赛，此次比赛中前50名学生每人发放一本笔记本或一支钢笔作为比赛的奖品，已知，笔记本的单价为12元，钢笔的单价为10元，购买奖品共花费了540元，本次活动中学校购买了多少本笔记本？
解：设购买笔记本x本，钢笔为(50－x)支，
由题意得，12x＋10(50－x)＝540，
解得x＝20.
答：本次活动中学校购买了20本笔记本．
10．[2025·雁塔区模拟]袁隆平，“共和国勋章”获得者，中国工程院院士，“中国杂交水稻之父”，一生致力于对水稻的研究．现有A，B两块试验田各30亩，A试验田种植普通水稻，B试验田种植杂交水稻，杂交水稻的亩产量是普通水稻的1.2倍，两块试验田单次共收获水稻66 000千克，求杂交水稻的亩产量是多少千克？
解：设普通水稻的亩产量是a千克，则
30a＋30×1.2a＝66 000，
所以a＝1 000，
所以1.2a＝1 000×1.2＝1 200.
答：杂交水稻的亩产量是1 200千克．
11．[2025·碑林区四模]2024年，我国快递业务量首次突破1 700亿件，提高分拣效率、降低分拣成本已成为物流公司的迫切需求．某快递公司引进了具有分拣功能的智能机器人，经过调查发现，一台智能机器人每小时分拣快递的数量比一个分拣员每小时分拣快递的数量的5倍还多10件，若一个分拣员和一台智能机器人同时工作，1小时共分拣快递730件，则每台智能机器人每小时分拣快递多少件？
解：设一个分拣员每小时分拣快递x件，则每台智能机器人每小时分拣快递(5x＋10)件，
由题意得x＋(5x＋10)＝730，
解得x＝120，
所以5x＋10＝5×120＋10＝610，
答：每台智能机器人每小时分拣快递610件．
12.[培素养][2024·宝山区期末]在综合与实践课程中，小丽同学在学习完“你的膳食健康吗？”课程后，对顾村实验学校为学生提供的午餐有A，B两种套餐进行了调查研究．(每天只提供一种午餐)
套餐 主食(克) 肉类(克) 蔬菜类(克) 其他(克)
A 160 95 120 125
B 200 70 140 90
为了膳食平衡，建议合理控制学生的主食摄入量，一周内学生午餐主食摄入总量建议为880克．那么在一周里小丽同学应该选择A，B套餐各几天时，能够达到控制主食摄入量的目的．(说明：一周按5天计算)
解：设在一周里小丽同学应该选择A套餐m天，则选择B套餐
(5－m)天，
根据题意得160m＋200(5－m)＝880，
解得m＝3，
所以5－m＝2，
答：在一周里小丽同学应该选择A套餐3天，B套餐2天时，能
够达到控制主食摄入量的目的．(共25张PPT)
第2课时 移项解一元一次方程
1．[2025·隆昌市期末]如果单项式－xyb＋2与 xa＋2y3是同类项，
那么关于x的方程ax＋b＝2 024的解为( )
A．x＝2 022 B．x＝－2 023
C．x＝－2 022 D．x＝2 023
2．[2024·单县期末]若a，b表示非零常数，整式ax＋b的值随x取值的变化而发生变化，如下表，则关于x的一元一次方程－ax－b＝－3的解为( )
A．x＝－3 B．x＝－1
C．x＝0 D．x＝3
x －3 －1 0 1 3 …
ax＋b －3 1 3 5 9 …
4．[2024·锡山区期末]方程4x－6＝2x＋4的解是( )
A．x＝－1 B．x＝1
C．x＝5 D．x＝－5
5．[2024·襄都区期末]解方程3x＝x时，嘉嘉和淇淇有不同的解法，如表所示：
嘉嘉的解法 解：方程两边都除以x，得3＝1. 因为3≠1， 所以3＝1不成立， 所以原方程无解． 淇淇的解法
解：移项，得3x＋x＝0.
合并同类项，得4x＝0.
系数化为1，得x＝0，
所以原方程的解为x＝0.
以下说法正确的是( )
A．嘉嘉的解法正确，淇淇的解法错误
B．嘉嘉的解法错误，淇淇的解法正确
C．嘉嘉和淇淇的解法都正确
D．嘉嘉和淇淇的解法都错误
6．[2025·沙市区三模]一元一次方程3x－1＝2x＋1的解为_____．
7．[2025·武乡县期中]当x＝___时，代数式3x－2与4x－3的值
互为相反数．
8．关于x的方程kx＋1＝0(k≠0)的解是_______．
x＝2
9．[2024·平泉市期末]如图所示的框图表示淇淇解方程3－5x
＝4－2x的流程．
出现错误的步骤是___(用流程中的序号表示)．
④
10．[2024·通州区期末]当a取任何一个有理数时，(2k－4)a
＋2 025的值总是2 025，则k的值为__．
11．[2025·肇源县二模]若有a，b两个数满足关系式：a＋b＝
ab－1，则称a，b为“共生数对”，记作(a，b)．例如：2，3
满足2＋3＝2×3－1，则(2，3)是“共生数对”．若(－x，4)
是“共生数对”，则x＝____．
2
12．[2025·安溪县期中]解方程：
(1)4x－3＝－x＋7；
(2)3x－1＝5x－7；
(3)5x－8＝3x－6；
(4)3x－5＝－x－1.
解：(1)移项，得4x＋x＝7＋3，
合并同类项，得5x＝10，
系数化为1，得x＝2；
(2)移项，得3x－5x＝－7＋1，
合并同类项，得－2x＝－6，
系数化为1，得x＝3；
(3)移项，得5x－3x＝8－6，
合并同类项，得2x＝2，
系数化为1，得x＝1；
(4)移项，得3x＋x＝－1＋5，
合并同类项，得4x＝4，
系数化为1，得x＝1.
13．[2024·金沙县期末]a※b是新规定的一种运算法则：a※b＝a2＋2ab，例如3※(－2)＝32＋2×3×(－2)＝－3.
(1)求(－2)※3的值；
(2)若(－2)※x＝－2＋x，求x的值．
14．[2025·武乡县期中]阅读与思考．
阅读下面的内容，并完成相应任务.
美好方程
定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，
那么我们就称这两个方程互为“美好方程”．
例如：方程5x＝10的解为x＝2，
方程x＋1＝0的解为x＝－1，
因为2＋(－1)＝1，
所以方程5x＝10与x＋1＝0互为“美好方程”.
任务：
(1)请判断方程4x－5＝1＋x与－2x－1＝3是否互为“美好方程”，并说明理由．
(2)若关于x的方程2x＋m＝0与4x＋2－5x＋8＝6互为“美好方程”，求m的值．
解：(1)方程4x－5＝1＋x与－2x－1＝3不互为“美好方程”，理由如下：
4x－5＝1＋x，解得x＝2，
－2x－1＝3，解得x＝－2，
因为2＋(－2)＝0≠1，所以方程4x－5＝1＋x与－2x－1＝3不互为“美好方程”；
15．[2024·武安市期末]我们规定若关于x的一元一次方程ax＝b的解为x＝b－a，则称该方程是“差解方程”，例如：3x＝4.5的解为x＝1.5＝4.5－3，则方程3x＝4.5是“差解方程”，请根据上述规定解答下列问题：
【定义理解】
(1)判断：方程2x＝4___(填“是”或“不是”)差解方程；
(2)若关于x的一元一次方程4x＝m是“差解方程”，求m的值；
【知识应用】
(3)已知关于x的一元一次方程4x＝ab＋a是“差解方程”，则
3(ab＋a)＝___；
(4)已知关于x的一元一次方程4x＝mn＋m和－2x＝mn＋n都是
“差解方程”，求代数式3(mn＋m)－9(mn＋n)2的值．
是
16(共22张PPT)
3 一元一次方程的应用
第1课时 一元一次方程的应用——
年龄及和差倍分问题
1．今年哥哥的年龄是妹妹年龄的2倍，4年前哥哥的年龄是妹妹年龄的3倍，若设妹妹今年x岁，可列方程为( )
A．2x－4＝3(x－4) B．2x＝3(x－4)
C．2x＋4＝3(x－4) D．2x＋4＝3x
2．已知甲车间有72人，乙车间有96人．若从乙车间调x人到
甲车间以后，乙车间的人数恰是甲车间人数的 ，则x的值
为( )
A．42 B．68
C．32 D．40
3．某年亚运会组委会组织高校学生去做志愿者，已知去乒乓球赛场的有10人，去羽毛球赛场的有16人，现调10人去支援，使在羽毛球赛场的人数是在乒乓球赛场人数的2倍，设应调往乒乓球赛场x人，则可列方程为( )
A．10＋x＝2(16＋10－x)
B．2(10＋x)＝16＋10－x
C．10＋10－x＝2(16＋x)
D．2(10＋10－x)＝16＋x
4．某同学今年12岁，他爸爸今年39岁，当爸爸年龄是这位同学年龄的2倍时，则经过的年数是( )
A．10 B．12
C．14 D．15
5．九(3)班的50名同学进行物理、化学两种实验测试，经最后统计知：物理实验做对的有40人，化学实验做对的有31人，两种实验都做错的有4人，则这两种实验都做对的有( )
A．17人 B．21人
C．25人 D．37人
6．哥哥8岁，妈妈32岁，弟弟年龄的16倍加上哥哥的年龄正好
等于爸爸的年龄，弟弟年龄的4倍加上妈妈的年龄也恰好等于
爸爸的年龄，则爸爸的年龄是_____．
7．某校六年级两个班共有78人，若从一班调3人到二班，那么
两班人数正好相等．一班原有人数是___人．
40岁
42
8．[2024·苍南县期末]七年(1)班32名同学报名参加了篮球、
足球训练．参加篮球训练的人数比参加足球训练的人数多12人，
两种训练都参加的有4人．设参加篮球训练的人数为x人，根据
题意，可列出方程为________________．
x＋x－12－4＝32
9．有两根竹竿，长度分别为2 m和3 m，若把它们绑接成长度为
4.2 m的竹竿，则重叠部分的长度为____m.
0.8
144
11．今年父亲的年龄是儿子年龄的3倍，5年前父亲的年龄是儿子年龄的4倍．问今年父亲、儿子各几岁？
解：设今年儿子的年龄是x岁，则父亲今年的年龄是3x岁，那么5年前儿子的年龄是(x－5)岁，父亲的年龄是(3x－5)岁，
由题意得(x－5)×4＝3x－5，
解得x＝15，3x＝3×15＝45(岁)；
答：今年父亲的年龄是45岁，儿子的年龄是15岁．
12．某课外活动小组中女生人数占全组人数的一半，如果再增
加6名女生，那么女生人数就占全组人数的 .求这个课外活动
小组的人数．
解：设这个课外活动小组的人数为x人，
根据题意得 x＋6＝ (x＋6)，解得x＝12.
答：这个课外活动小组的人数为12人．
13．[2025·宝山区期末]小明在寒假读一本课外书，第一天读完后，已读的和未读的页数之比为1∶6，第二天又读了30页，已读的和未读的页数之比是2∶7，求这本书的页数．
14．[2025·通州区一模]某水稻实验基地防治病害虫有无人机喷洒和人工打药两种方式．在一次作业中，一架无人机工作2小时和一名工人工作8小时，共完成了340亩的打药任务(不重复作业)，通过测量对比发现无人机每小时作业的面积恰好是人工的6倍．请问一架无人机和一名工人共同作业8小时能否完成960亩的打药任务？请说明理由．
解：一架无人机和一名工人共同作业8小时不能完成960亩的打药任务，
理由如下：
设一名工人每小时作业的面积为x亩，则一架无人机每小时作业的面
积为6x亩，
由题意得8x＋2×6x＝340，解得x＝17，
所以6x＝6×17＝102，
因为8(6x＋x)＝8×(102＋17)＝952＜960，
所以一架无人机和一名工人共同作业8小时不能完成960亩的打药任务．
15．[2025·泽州县三模]“曹冲称象”是流传很广的故事，主要内容是古人按照下面的方法测量大象的质量．
第一步：先将大象牵到大船上，并在船侧面标记水位，再将大象牵出；
第二步：往船上抬入20块等重的条形石，并在船上留3个搬运工，这时水位恰好到达标记的位置；
第三步：如果再抬入1块同样的条形石，船上只留1个搬运工，水位也恰好到达标记的位置．
已知搬运工的体重均为60千克，求大象的质量．
解：设每块条形石的质量为x千克，
根据题意得20x＋60×3＝(20＋1)x＋60，解得x＝120，
所以20x＋60×3＝20×120＋60×3＝2 580(千克)．
答：大象的质量是2 580千克．
16．[2024·闵行区期末]希腊数学家丢番图的墓碑上记载着：
“他生命的六分之一，两鬓长起了细细的胡须；
再活了他生命的十二分之一，两颊长起了细细的胡须；
又度过了一生的七分之一，他结了婚；
再过五年，他有了孩子，感到很幸福；
可是孩子只活到了他父亲全部年龄的一半；
儿子死后，他在极度悲痛中度过了四年，也与世长辞了．”求：
(1)丢番图的寿命；
(2)丢番图开始当爸爸时的年龄．(共21张PPT)
第4课时 一元一次方程的应用——
盈余问题
1．[2025·台州期末]把一些图书分给某班学生阅读，如果 ；
如果每个同学分4本，则缺25本．设这个班级有x名学生，可列
出方程3x＋20＝4x－25.则横线的信息可以是( )
A．分给3个同学，则剩余20本
B．每个同学分3本，则剩余20本
C．分给3个同学，则缺20本
D．每个同学分3本，则缺20本
6．[2025·朝阳区二模]我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：
“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房
九客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果每一间客房住7人，
那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间
客房．设有x间客房，可列方程为_______________．
7x＋7＝9(x－1)
7．[2025·北京期中]我国古代著作《增删算法统宗》中记载了
一首古算诗：“庭前孩童闹如簇，不知人数不知梨．每人四梨
多十二，每人六梨恰齐足．”其大意是：“孩童们在庭院玩耍，
不知有多少人和梨子．每人分4个梨，多12个梨；每人分6个梨，
恰好分完．”设有x个人，则可列方程___________．
4x＋12＝6x
8．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，是《算经十书》
之一，书中记载了这样一个题目：今有木，不知长短，引绳度
之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？其大意
是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折
再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺？设木长x尺，则可
列方程为________________．
x＋4.5＝2(x－1)
9．[2024·横山区期末]几个人共同种一批树苗，如果每人种10
棵，则剩下6棵树苗未种；如果每人种12棵，则缺8棵树苗，求
参与种树的人数．设参与种树的人数x人，则所列方程为_______
_________．
10x＋6
＝12x－8
10．我国古代数学名著《九章算术》第七章“盈不足”中有这
样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．
问：人数、物价各几何？”题目大意：几个人合伙买东西，若
每人出8钱，则会多出3钱；若每人出7钱，则还少4钱．合伙人
数、物品的价格分别是多少？
(1)如果设合伙人数为x人，则物价可以表示成________钱或
________钱，于是可以列出方程：_____________；
(2)如果设物价为y钱，则人数可以表示成______人或_____人，
于是可以列出方程：__________．
(8x－3)
(7x＋4)
8x－3＝7x＋4
11.[培素养][2024·南昌期末]自西汉张骞出使西域以来，丝绸之路作为中国和国外进行商贸往来和文化交流的商道，繁荣发展了十几个世纪．中国古代数学也经由丝绸之路进行传播，其中刘徽所著《九章算术》中“盈不足术”有一题，原文如下：“今有羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三．问人数、羊价各几何？”题意是：若干人共同出资买羊，每人出5元，还差45元；每人出7元，则还差3元，求人数和羊价各是多少？
解：设一共有x人，
由题意得，5x＋45＝7x＋3，解得x＝21，
所以5x＋45＝5×21＋45＝150，
答：一共有21人，羊价为150元．
12．[2024·东莞期中]如图，棋盘旁有甲、乙两个围棋盒．
(1)甲盒中有50个棋子，乙盒中有40个棋子，阿莲从甲盒拿出a枚黑子放入乙盒，使乙盒棋子总数是甲盒所剩棋子数的2倍，求a的值．
(2)把所有的棋子分给一群小朋友，如果每人
分3个，则剩余4个；如果每人分4个则还缺9
个，求这群小朋友的人数．
解：(1)根据题意，得40＋a＝2(50－a)，
解得a＝20，
故a的值为20；
(2)设有x个小朋友，根据题意列出方程3x＋4＝4x－9，
解得x＝13，
答：这群小朋友的人数是13人．
13．列方程解应用题
某校七年级一班的部分同学和二班的部分同学在元旦期间租小巴车从泸州去成都熊猫繁殖基地看熊猫宝宝，出发地到目的地约357 km，一班的车速为80 km/h，二班的车速为60 km/h.
(1)生活委员先去超市买大家都喜欢吃的零食，但超市的存货不多了，如果每人3包，则剩余20包：如果每人4包，则还缺25包，他们一共有多少人？
(2)因为一班的某同学临时出了些状况，二班的车先走1 h，一班的车能在到达目的地之前追上二班的车吗？如果能，什么时候追上？
解：(1)设他们一共有x人，根据题意得
3x＋20＝4x－25，解得x＝45，
答：他们一共有45人；
(2)设一班出发y小时后追上二班，根据题意得80y＝60(y＋1)，
解得y＝3，
此时二班行驶60×(3＋1)＝240 km＜357 km，
故一班的车能在到达目的地之前追上二班的车，在一班的车出
发3小时后追上二班的车.
