(共15张PPT)
第八章 实数
8.1 平方根
第1课时 平方根
知识点1 平方根的概念
一般地，如果一个数x的_____等于a，即x2＝a，那么这个数x叫
作a的_________________．求一个数a的平方根的运算，叫作
_______．平方与开平方互为逆运算．
符号：正数a的正的平方根记为“ ”读作“根号a”，a叫作
被开方数；正数a的负的平方根可用 表示．
正数a的平方根记为 .
平方
平方根或二次方根
开平方
【规律总结】
(1)如果被开方数为带分数，要先把它化为假分数．
(2)求一个正数的平方根，不要漏掉负的平方根．
知识点2 平方根的性质
平方根的性质：正数的平方根有两个，它们___________；0的
平方根是__；负数_____平方根．
互为相反数
0
没有
±11
±2
变式1 [2024·内江]16的平方根是( )
A．－4 B．4
C．2 D．±4
变式3 [2025·长春期末]下列各数没有平方根的是( )
A．－4 B．0
C．7 D．16
考点2 平方根的性质
典例2 一个正数的两个平方根分别是2a＋1和 a－7，求这个数．
思路导析 根据平方根的性质可得(2a＋1)＋(a－7)＝0，求解即可．
解：根据平方根的性质，得(2a＋1)＋(a－7)＝0，解得a＝2，2a＋1＝5，52＝25.
∴这个数是25.
变式1 一个正数a的两个平方根是2b－1和b＋4，则a＋5b的平
方根为____．
±2
变式2 [2025·西安期末]已知2a＋3是一个正数，它的一个平方根比另一个平方根大2，求a的值．
解：设正数2a＋3的一个平方根为x，则另一个平方根为x－2，
根据题意，得x＋x－2＝0，解得x＝1，
∴2a＋3＝12＝1，解得a＝－1.
考点3 平方根的运算
典例3 求下列各式中x的值．
(1)x2＝64；
(2)4x2－12＝0.
思路导析 根据平方根概念求解即可．
解：(1)x＝8或x＝－8；
(2)4x2－12＝0，4x2＝12，
x2＝3，x＝± .
变式 求x的值．
(1)(3x－1)2＝4；
(2)3(x＋1)2－75＝0.
解：(1)∵(3x－1)2＝4，
∴3x－1＝±2，
即3x－1＝2或3x－1＝－2，
∴x＝1或x＝－ ；
(2)∵3(x＋1)2－75＝0，
∴(x＋1)2＝25，
∴x＋1＝±5，
∴x＝4或x＝－6.(共15张PPT)
第2课时 算术平方根
知识点1 算术平方根的概念
我们知道，正数a有两个平方根，其中正的平方根 叫作a的
___________．
正数a的算术平方根用____来表示．
规定：0的算术平方根是0.
算术平方根
知识点2 算术平方根的性质
1．算术平方根的双重非负性
(1)a≥0；(2) ≥0.
2．被开方数越大，对应的___________也越大．
3．算术平方根为它本身的数是_____．
算术平方根
0和1
【注意】
算术平方根与平方根的区别与联系
联系：
(1)包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一种；
(2)只有非负数才有平方根和算术平方根；
(3)0的平方根是0，算术平方根也是0.
区别：
(1)个数不同：一个正数有两个平方根，但只有一个算术平方根；
(2)表示法不同：平方根表示为 ，而算术平方根表示为 .
知识点3 算术平方根的估算
思路导析 根据算术平方根的概念，即可解答．
变式1 a2的算术平方根是2，则a的值为( )
A．±2 B．2
C．4 D．±4
变式2 南昌某中学计划举行美术作品展，学校要求参展作品必须是正方形，某同学的作品是面积为256 cm2的正方形．请你帮助该同学计算，他的作品边长是( )
A．2 cm B．4 cm
C．8 cm D．16 cm
1
思路导析 根据平方式和算术平方根的非负性求得m，n的值，进而代值求解即可．
－2
考点3 算术平方根的估算与大小比较
典例3 [2024·天津]估算 的值在( )
A．1和2之间 B．2和3之间
C．3和4之间 D．4和5之间
思路导析 找出10在哪两个完全平方数之间即可解答．
0(共16张PPT)
第3课时 应用
知识点 用计算器求算术平方根
大多数计算器都有 键，用它可以求出一个正有理数的算术
平方根(或近似值)．
规律归纳：被开方数的小数点向右每移动__位，它的算术平方
根的小数点就向右移动__位；被开方数的小数点向左每移动__
位，它的算术平方根的小数点就向左移动__位．
2
1
2
1
【注意】
不同品牌的计算器，按键顺序不同．
考点1 用计算器计算算术平方根
典例1 用计算器计算出的表中各数的算术平方根如表所示：
41.4
思路导析 本题考查算术平方根，能够读懂题意．理解图表是解题的关键．根据表格得到规律，被开方数的小数点(向左或者右)每移动两位，其算术平方根的小数点相应的向相同方向移动一位．
变式2 (1)观察发现：表格中x＝ ，y＝ ；
(2)归纳总结：被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术
平方根的小数点就向 移动 位；
考点2 算术平方根的实际应用
典例2 [2025·武汉期中]如图1，把一个面积为200 cm2大正方形纸片沿对角线裁成四个三角形，然后再把这四个三角形拼成如图2所示的两个相同的小正方形．
(1)直接写出小正方形的边长为___cm；
(2)小明要在一个小正方形中沿边的方向裁出一个面积为72 cm2
的长方形，使它的长宽之比为4∶3，问能否成功，试说明理由．
10
变式 [2025·临夏期末]临夏刺绣，以其独特的婉约之美，让人沉醉其中．在八坊博物馆中，众多精美的刺绣织物静静陈列，诉说着临夏千年的故事．现有一张长方形绣布，长，宽之比为3∶2，绣布面积为384 dm2.
(1)求绣布的周长；
(2)刺绣师傅想用这张绣布裁出一张面积为198 dm2的完整圆形绣布来绣花鸟图，她能裁出来吗？请说明理由．(π取3)
解：(1)设绣布的长为3x dm，宽为2x dm，
根据题意，得3x·2x＝384，即6x2＝384，则x2＝64，
∵x>0，∴x＝8，
∴3x＝24，2x＝16.
∴绣布的长为24 dm，宽为16 dm，
其周长为2×（24+16）＝80(dm)．(共18张PPT)
8.3 实数及其简单运算
第1课时 实数
知识点1 无理数的概念
1. ___________小数叫作无理数，π＝3.141 592 65…也是
无理数．
无限不循环
【注意】
含有根号的数不一定是无理数；无理数是不能写成两个整数之比(分数)的数，因此无限不循环小数不能化为分数．
知识点2 实数的概念
_______和_______统称实数．
有理数
无理数
知识点3 实数的分类
1．按定义分
2．按正负分
知识点4 无理数都可以用数轴上的点来表示
比如，以1个单位长度为边长画一个正方形(如图所示)．以原
点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，与正半轴的交点就
表示____，与负半轴的交点就表示_____．
事实上，每一个无理数都可以用数轴上的_______表示出来，这
就是说，数轴上的点有些表示_______，有些表示_______．
当数的范围从有理数扩充到实数后，实数与数轴上的点是_____
_____的，即每一个实数都可以用数轴上的_______来表示；反
过来，数轴上的_______都表示一个实数．
一个点
有理数
无理数
一一
对应
一个点
一个点
知识点5 实数的大小比较
与规定有理数的大小一样，对于数轴上的任意两个点，右边的
点表示的实数总比左边的点表示的实数___．
大
思路导析 根据无理数是无限不循环小数结合立方根的定义，进行判断即可．
4
整数：___________；
正有理数： ___________；
无理数： ___________；
负分数： ___________．
思路导析 根据相关概念判断即可．
变式 [2024·宁波期末]下列说法正确的是( )
A．0既不是正数，也不是负数，所以0不是有理数
B．正数和负数统称实数
C．任何实数都可以用数轴上的一个点来表示
D．存在最大的负有理数
考点3 实数与数轴上的点及实数的大小比较
典例3 实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，若a与c互为相反数，则a，b，c中绝对值最大的数是( )
A．a B．b
C．c D．无法确定
思路导析 根据数轴上的位置及a，c互为相反数，得c
变式 [2024·巴中]在0，1，－1，π中最小的实数是( )
A．0 B．－1
C．1 D．π(共17张PPT)
第2课时 与实数相关的概念及
实数的运算
知识点1 实数的性质
在实数范围内，相反数、绝对值、倒数的意义和有理数范围内
的相反数、绝对值、倒数的意义完全一样．
数a的相反数是____，这里a表示任意_________．
－a
一个实数
一个正实数的绝对值是_______；一个负实数的绝对值是它的
_______；0的绝对值是__．一个实数的绝对值就是它在数轴上
的对应点与原点的距离.
它本身
相反数
0
知识点2 实数的运算
实数之间不仅可以进行加、减、乘、除(除数不为0)、乘方运算，
而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立
方运算．在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质
等同样适用．
【注意】
(1)实数范围内的运算方法及运算顺序与在有理数范围内都是一样的．
(2)在实数运算中，当遇到无理数并且需要求出结果的近似值时，可以按照所要求的精确度用相应的近似有限小数去代替无理数，再进行计算．
思路导析 根据实数的性质求解即可．
C
B
D
A
E
-3
-2-1
0
1(共28张PPT)
8.2 立方根
知识点1 立方根的概念
一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3＝a，那么这个数x叫
作a的_______(也叫作数a的_________)．求一个数的_______
的运算叫作开立方，_____与开立方互为逆运算．
一个数a的立方根记作____．读作“__________”，其中a_____
_____，3是_______，且根指数3_____(填“能”或“不能”)省
略，否则会与平方根混淆．
立方根
三次方根
立方根
立方
三次根号a
被开
方数
根指数
不能
正
负
0
【注意】
(1)任何数都有立方根，并且只有一个；
(2)互为相反数的两个数，它们的立方根也互为相反数；
(3)立方根等于它本身的数是0，1，－1；
(4)立方根的结果不是有理数的，就用立方根符号表示．
知识点3 用计算器求一个数的立方根
用计算器的 键，可以求出一个数的立方根(或其近似值)．
【注意】
有些计算器常用备用功能键求一个数的立方根，具体操作见计算器使用说明．
规律归纳：被开方数的小数点向左或向右移动___位时，立方
根的小数点就相应的向左或向右移动__位(n为正整数)．
3n
n
思路导析 根据立方根的概念求解即可．
变式2 [2025·恩施期末]已知实数a的立方根是－2，则实数－a的立方根是( )
A．－8 B．8
C．－2 D．2
思路导析 立方根等于它本身的数有0，1，－1.
考点3 立方根的运算
典例3 求下列各式中的x.
(1)3x3＝81；(2)(2x－1)3＝－8.
解：(1)∵3x3＝81，
∴x3＝27，解得x＝3；
(2)开立方，
得2x－1＝－2，
解得x＝－ .
变式 求下列各式中的x.
(1)(2x－1)3－27＝0；
(2)2(x－1)3－16＝0.
解：(1)由题意，得(2x－1)3＝27，
∴2x－1＝3，
∴x＝2；
(2)由题意，得2(x－1)3＝16，
∴(x－1)3＝8，
∴x－1＝2，
解得x＝3.
考点4 用计算器计算立方根
典例4 [2025·汕头期中](1)填表：
(2)观察上表，表中数a的小数点的移动与它的立方根 的小
数点的移动之间有何规律？请用语言叙述这个规律：________
_______________________________________________________
_____________________；
a 0.000 008 0.008 8 8 000
_____ ____ __ ___
0.02
0.2
2
20
数a的小
数点每向右或向左移动三位，它的立方根 的小数点就相应
地向右或向左移动一位
12.26
1.285
2.342
考点5 立方根与平方根的综合运用
典例5 已知x－2的平方根是±2，2x＋y＋7的立方根是3，求x2＋y2的算术平方根．
思路导析 根据平方根的意义、立方根的意义，求解即可．
解：∵x－2的平方根是±2，
∴x－2＝4，∴x＝6，
∵2x＋y＋7的立方根是3，
∴2x＋y＋7＝27，
把x＝6代入，解得y＝8，
∴x2＋y2＝62＋82＝100，
∴x2＋y2的算术平方根为10.
变式1 [2025·聊城期末]已知x是5的算术平方根，则x2－13的立方根是( )
A．－8 B．－3
C．－2 D．2
