(共13张PPT)
7.2 平行线
7.2.1 平行线的概念
知识点1 平行线的概念
在_________内，不_____的两条直线叫作平行线．
在同一平面内，不重合的两条直线只有两种位置关系：_____和
_____．直线a与直线b互相平行，记作_____．
同一平面
相交
相交
平行
a∥b
【注意】
(1)平行线的定义满足三个条件：一是“在同一平面内”；二是“两条直线”；三是“不相交”．三者缺一不可．(2)重合的直线视为一条直线．(3)两条线段或射线平行是指这两条线段或射线所在的直线平行．
知识点2 平行线的画法
一“放”：将三角尺的一边放在已知直线a上；
二“靠”：用一把直尺紧靠在三角尺的另一边上；
三“推”：推动三角尺，使与已知直线a重合的那一边经过
已知点；
四“画”：沿过已知点的三角尺的一边画直线b，则直线b与直
线a平行．
知识点3 平行线的基本事实及推论
1．平行线的基本事实：经过_______一点，有且只有_________
与这条直线平行．
2．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线
也互相平行．也就是说：如果b∥a，c∥a，那么_____．
直线外
一条直线
b∥c
【注意】
(1)平行公理强调“经过直线外一点”，而非直线上的点．
(2)平行公理的推论说明平行线具有传递性，即“平行于同
一条直线的两条直线平行”．
考点1 平行线的概念
典例1 判断正误：
(1)两条直线不相交就平行（ ）
(2)在同一平面内，两条不同的直线有且只有一个交点（ ）
(3)没有公共点的两条直线叫作平行线（ ）
(4)若两条线段平行，则它们不相交（ ）
×
×
×
√
变式 [2025·福州期末]如图，直线a，b，c，d，e在同一平面内，且直线a，b，c，d交于一点O，其中可能与直线e平行的直线是( )
A．a B．b
C．c D．d
考点2 平行线的基本事实及推论
典例2 如图所示为一个风车的示意图，当CD旋转到与地面EF平
行的位置时，AB_____(填“能”或“不能”)同时与地面EF平行，
理由是_______________________________________________．
思路导析 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．
不能
经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
变式1 下列说法中正确的个数为( )
①在同一平面内，两条不相交的直线叫作平行线
②经过直线外一点，能够画出一条直线与已知直线平行，并且只能画出一条
③如果a∥b，b∥c，则a∥c
④两条不平行的射线，在同一平面内一定相交．
A．1 B．2
C．3 D．4
变式2 [2025·黔南期末]如图，已知P是直线l外一点，若PA∥l，
PB∥l，则P，A，B三点在同一条直线上．其依据是( )
A．两点确定一条直线
B．两点之间，线段最短
C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
变式3 如图所示，字母“M”是运用画“平行线段”这种基本作
图方法书写的艺术字．
(1)请在正面，上面，右面上各找出一组平行线段，并用字母表
示出来；
(2)试判断EF与A′B′的位置关系，
并说明理由．
解：(1)正面：AE∥MF；
上面：AA′∥BB′；
右面：HR∥DD′.(答案不唯一)；
(2)EF∥A′B′.理由如下：
因为EF∥AB，A′B′∥AB，
所以EF∥A′B′.(共18张PPT)
7.2.2 平行线的判定
知识点1 平行线判定方法1
语言文字表达：_________________________________________
___________________．
简称：_______________________．
两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，
那么这两条直线平行
同位角相等，两直线平行
知识点2 平行线判定方法2
语言文字表达：_________________________________________
___________________．
简称：_______________________．
两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，
那么这两条直线平行
内错角相等，两直线平行
知识点3 平行线判定方法3
语言文字表达：_________________________________________
_______________________．
简称：_________________________．
两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互
补，那么这两条直线平行
同旁内角互补，两直线平行
【注意】
除了这三种判定平行线的方法外，还有以下三种：(1)平行线的定义；(2)平行公理的推论；(3)同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行．第(3)种需注意“在同一平面内”这个前提条件．
考点1 平行线判定方法1
典例1 [2022·吉林]如图，如果∠1＝∠2，那么AB∥CD，其依据可以简单说成( )
A．两直线平行，内错角相等
B．内错角相等，两直线平行
C．两直线平行，同位角相等
D．同位角相等，两直线平行
思路导析 根据“同位角相等，两直线平行”即可得．
变式 [2025·宝鸡期中]如图，已知直线EF与直线AB，CD分别相交于点E，F，GF⊥EF于点F，若∠1＝38°，∠2＝52°，直线AB与CD平行吗？请说明理由．
解：平行，理由如下：
∵GF⊥EF，
∴∠GFE＝90°
∴∠EFD＝180°－∠GFE－∠2＝38°，
∴∠EFD＝∠CFH＝38°，
∴∠1＝∠EFD＝38°，
∴AB∥CD.
考点2 平行线判定方法2
典例2 [2024·兰州]如图，小明在地图上量得∠1＝∠2，由此判断幸福大街与平安大街互相平行，他判断的依据是( )
A．同位角相等，两直线平行
B．内错角相等，两直线平行
C．同旁内角互补，两直线平行
D．对顶角相等
思路导析 本题主要考查了平行线的判定，由∠1＝∠2，即可得出幸福大街与平安大街互相平行，即内错角相等，两直线平行．
变式 已知：如图所示，CE平分∠ACD，∠AEC＝∠ACE.
求证：AB∥CD.
证明：∵CE平分∠ACD(已知)，
∴______＝______(_______________)．
∵∠AEC＝∠ACE(已知)，
∴∠AEC＝______(_________)．
∴AB∥CD(_______________________)．
∠ACE
∠DCE
角平分线的定义
∠DCE
等量代换
内错角相等，两直线平行
考点3 平行线判定方法3
典例3 如图所示，∠1＝25°，∠B＝65°，AB⊥AC.AD与BC有怎样的位置关系？为什么？
思路导析 先根据∠1＝25°，∠B＝65°，AB⊥AC得出∠B与∠BAD的关系，进而可得出结论．
解：AD∥BC.理由如下：
∵∠1＝25°，∠B＝65°，AB⊥AC，
∴∠BAD＝90°＋25°＝115°.
∵∠BAD＋∠B＝115°＋65°＝180°，
∴AD∥BC(同旁内角互补，两直线平行)．
变式1 [2025·遵义期末]在铺设栅栏时，要求栅栏是互相平行的．如图，已知∠1＝90°，要判断两条栅栏是否平行，需要再度量图中标出的哪个角( )
A．∠2 B．∠3
C．∠4 D．∠5
变式2 如图所示，若∠1＋∠2＝180°，∠1＝∠3，AB与CD，EF与GH平行吗？
解：∵∠1＋∠2＝180°(_____)，
∴AB∥___(_________________________)．
又∵∠1＝∠3(_____)，
∴∠2＋____＝180°(_________)，
∴EF∥GH(同旁内角互补，两直线平行).
已知
CD
同旁内角互补，两直线平行
已知
∠3
等量代换(共21张PPT)
7.1.2 两条直线垂直
知识点1 垂直的定义
一般地，当两条直线a，b相交所成的四个角中，有一个角是
_____时，我们说a与b_________，记作“a⊥b”，其中的一条
直线叫作另一条直线的_____，它们的交点叫作_____．
直角
互相垂直
垂线
垂足
垂直的表示方法：垂直用符号“___”来表示，若“直线AB垂直
于直线CD, 垂足为O”，则记为________________，并在图中任
意一个角处作上直角记号，如图所示．
⊥
AB⊥CD，垂足为O
知识点2 垂线的画法与性质
1．垂线的画法
一“落”：让三角尺的一条直角边落在已知直线上，即与已知直线
重合；
二“移”：沿已知直线移动三角板，使其另一条直角边经过已知点；
三“画”：沿与已知直线不重合的直角边画直线，这条直线就是已
知直线的垂线．
2．关于垂线的基本事实
在_________内，过一点有且只有_________与已知直线垂直．
同一平面
一条直线
【规律总结】
(1)遇到射线、线段的垂直问题，指的是它们所在直线的垂线．(2)垂线的性质，前提条件是“在同一平面内”；“过一点”的点可以在直线上，也可以在直线外；结论是“有且只有”一条直线与已知直线垂直．
知识点3 垂线段与点到直线的距离
1．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，_______最短．
2．直线外一点到这条直线的_______的长度，叫作点到直线的
距离．
垂线段
垂线段
【注意】
(1)垂线是直线，垂线段是线段；
(2)点到直线的距离是指垂线段的长度，而不是垂线段，垂线段是一个几何图形，而距离是一个数量．
考点1 垂直的定义
典例1 [2024·雅安]如图，直线AB，CD交于点O，OE⊥AB于O，若∠1＝35°，则∠2的度数是( )
A．55° B．45°
C．35° D．30°
思路导析 根据垂直、对顶角的性质求解即可．
【规律总结】
(1)垂直是相交的一种特殊情况，特殊在夹角是90°.(2)垂直的定义具有双重作用，即已知夹角为直角可以得到两直线垂直(判定)；反之，由两直线垂直可以得到夹角为90°(性质)．
变式 [2025·呼和浩特期末]如图，直线AB，CD相交于点O，OE
⊥CD，垂足为点O，OF平分∠BOD，∠BOF＝27°，则∠AOE的度
数是_____．
36°
考点2 垂线的画法
典例2 [2025·韶关期末]利用三角尺，过直线l外的点P作直线l的垂线，下列各图中，三角尺操作正确的是( )
变式1 下列各图中，过点P画直线l的垂线MN，用三角尺或量角器操作正确的是( )
A．①④
B．①③
C．②④
D．②③
变式2 [2025·唐山期中]下面是夕夕的作业纸，通过作图痕迹判断她做对了几个( )
题目：过点P画出线段AB的垂线
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
考点3 垂线的性质
典例3 下列说法正确的是( )
A．有且只有一条直线垂直于已知直线
B．在同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线
C．在同一平面内，互相垂直的两条直线不一定相交
D．过线段外一点作线段的垂线，垂足一定在线段上
思路导析 根据垂直的定义以及垂线的性质逐项判断即可．
变式 [2024·烟台期末]如图，直线l代表一条河流，在河边O处修建一水闸，再过点O修建两条引水渠OA和OB，使得OA⊥l，OB⊥l，垂足为点O，则OA与OB重合的理由是( )
A．两点确定一条直线
B．垂线段最短
C．平面内，过一点有且只有一条直线与已知
直线垂直
D．已知直线的垂线只有一条
考点4 垂线段
典例4 [2025·广西]在跳远比赛中，某同学从点C处起跳后，在
沙池留下的脚印如图所示，测量线段AB的长度作为他此次跳远
成绩(最近着地点到起跳线的最短距离)，依据的数学原理是( )
A．垂线段最短
B．两点确定一条直线
C．两点之间，线段最短
D．两直线平行，内错角相等
变式 [2025·济宁期中]如图，AB⊥BC，垂足为B，AB＝5，点P是射线BC上的动点，则线段AP长不可能是( )
A．4 B．5
C．6 D．8
考点5 点到直线的距离
典例5 如图所示，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，点C到AD的距离是下列哪条线段的长度( )
A．AC B．BC
C．CD D．AD
思路导析 根据点到直线的距离的定义得出即可．
变式1 [2025·安庆期末]下列作图能表示点B到AC的距离的
是( )
变式2 [2025·乌兰察布月考]如图，三角形ABC中，∠ACB＝
90°，CD⊥AB于点D，若AB＝5，AC＝3，BC＝4，则点C到直线
AB的距离是___．(共8张PPT)
7.2.3 平行线的性质
第1课时 平行线的性质
知识点 平行线的性质(如图所示)
1．性质1：两条平行直线被第三条直线所截，___________．
简称：___________，___________．
同位角相等
两直线平行
同位角相等
2．性质2：两条平行直线被第三条直线所截，___________．
简称：___________，___________．
3．性质3：两条平行直线被第三条直线所截，_____________．
简称：___________，_____________．
内错角相等
两直线平行
内错角相等
同旁内角互补
两直线平行
同旁内角互补
考点 平行线的性质
典例 [2025·云南]如图，已知直线c与直线a，b都相交．若a∥b，∠1＝50°，则∠2＝( )
A．53° B．52°
C．51° D．50°
思路导析 由平行线的性质可得∠1＝∠2，根据∠1＝50°解答即可．
变式1 [2024·重庆]如图，AB∥CD，若∠1＝125°，则∠2的度数为( )
A．35° B．45°
C．55° D．125°
变式2 [2025·甘肃]如图1，三根木条a，b，c相交成∠1＝80°，∠2＝110°，固定木条b，c，将木条a绕点A顺时针转动至如图2所示，使木条a与木条b平行，则可将木条a旋转( )
A．30°
B．40°
C．60°
D．80°
变式3 [2025·赣州期中]如图，EF∥CD，GD∥CA，∠1＝130°.
(1)求∠2的度数；
(2)若DG平分∠CDB，求∠A的度数．
解：(1)∵EF∥CD，
∴∠1＋∠ACD＝180°，
∵∠1＝130°，
∴∠ACD＝50°，
∵GD∥CA，∴∠2＝∠ACD＝50°；
(2)∵DG平分∠CDB，∠2＝50°，
∴∠BDG＝∠2＝50°，
∵GD∥CA，∴∠A＝∠BDG＝50°.(共9张PPT)
第七章 相交线与平行线
7.1 相交线
7.1.1 两条直线相交
知识点1 邻补角
1．定义：如果两个角有一条_______，且它们的另一边互为___
_________，这样的两个角互为邻补角．
2．性质：邻补角_____．
公共边
反
向延长线
互补
知识点2 对顶角
1．定义：两条直线相交，如果两个角有一个_____顶点，且其
中一个角的两边分别是另一个角的两边的___________，这样的
两个角互为对顶角．
2．性质：对顶角_____．
公共
反向延长线
相等
考点1 邻补角
典例1 [2025·广州]如图，直线AB，CD相交于点O.若∠1＝36°，则∠2的度数为____°.
144
变式1 [2025·临沂期末]如图，∠AOC＝90°，点B，O，D在同一直线上，若∠1＝23°，则∠2的度数为( )
A．67° B．107°
C．110° D．113°
变式2 如图所示，直线AB，CD相交于点O，若∠1＝3∠2，∠BOD
的度数为______.
135°
考点2 对顶角
典例2 [2025·济南期中]如图为一个破损的扇形零件，利用图中的量角器可量出此扇形零件的圆心角度数为( )
A．60° B．40°
C．120° D．140°
变式1 [2025·呼和浩特期末]在下列各图中，∠1和∠2互为对顶角的是( )
变式2 [2025·长沙期末]如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOE＝2∠AOC，若∠1＝38°，则∠DOE等于_____．
66°(共20张PPT)
7.4 平移
知识点1 平移的概念
在平面内，将一个图形沿某一方向_____一定的距离，这样的
图形运动叫作平移，平移改变的是图形的_____．
移动
位置
【注意】
(1)图形的平移是由平移的方向和平移的距离决定的．(2)平移的方向不限于水平或竖直方向，图形可以沿平面内任何方向平移．
知识点2 平移的性质
1．新图形与原图形的_____和_____完全相同．
2．新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，
这两个点是_______，连接各组_______的线段________________
________且_____．
形状
大小
对应点
对应点
平行(或在同一条
直线上)
相等
知识点3 平移的作图
几何图形都可以看作由点组成的，对于一些规则的几何图形，
先找出图形中的关键点，然后画出图形中这些关键点经过平移
后的对应点，连接这些对应点，就可以得到原图形平移后的图
形．
考点1 平移的概念和性质
典例1 [2023·通辽]如图，用平移方法说明平行四边形的面积公式S＝ah时，若三角形ABE平移到三角形DCF，a＝4，h＝3，则三角形ABE的平移距离为( )
A．3 B．4
C．5 D．12
思路导析 根据平移的概念可得，三角形ABE平移到三角形DCF，则点A与点D重合，故三角形ABE的平移距离为AD的长．
变式1 [2025·通辽期中]如图，将△DEF沿FE方向平移3 cm得到
△ABC，若△DEF的周长为24 cm，则四边形ABFD的周长为___cm.
30
变式2 [2025·青岛期中]如图，将长为5 cm，宽为3 cm的长方形
ABCD先向右平移2 cm，再向下平移1cm，得到长方形A′B′C′D′，
则阴影部分的面积为___cm2.
18
变式3 [2025·乌兰察布阶段练习]如图，直线a与直线b垂直于
点O，点A，B分别在直线a，b上，OB＝8 cm，△ABO向右平移
4 cm得到三角形CDE，线段CD与直线b交于点F.若图中阴影的面
积为20 cm2，求OF的长度．
解：∵直线a⊥b于点O，
∴∠AOB＝90°
∵三角形ABO向右平移4 cm得到三角形CDE，OB＝8 cm，
∴AC＝OE＝4 cm，BO＝DE＝8 cm，∠CED＝∠AOB＝90°，
S△AOB＝S△CED，
∴S阴影＝S△AOB－S△COF＝S△CED－S△COF＝S梯形OEDF
＝ (OF＋DE)·OE＝ (OF＋8)·4＝20，
解得OF＝2 cm.
考点2 平移的作图及应用
典例2 将图中的三角形ABC向右平移6格．
解：如图所示，三角形A′B′C′即为所求作．
变式1 [2025·德州期中]下列平移作图(如图所示)错误的
是( )
变式2 [2025·滨州期末]如图，在方格纸中，每个小正方形方格的边长都为1，三角形ABC的三个顶点和D，E都在格点上，平移三角形ABC得到的三角形A1B1C1，使三角形A1B1C1各顶点都在格点上，且使点D在三角形A1B1C1的边上，
使点E到三角形A1B1C1一边的距离为2.
请在图中画出满足要求的三角形A1B1C1
其中一种示意图．
解：如图，三角形A1B1C1即为所作，此时点D在三角形A1B1C1的边A1C1上，点E到三角形A1B1C1边B1C1的距离为2.
变式3 [2025·日照期中]在正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位长度，△ABC的三个顶点的位置如图所示．现将△ABC平移，使点A的对应点为D，点B，C的对应点分别是E，F.
(1)过点C作AB的平行线CH；
(2)请画出平移后的△DEF；
(3)连接AD，BE，则这两条线段之间的关系是___________．
平行且相等
解：(1)如图，CH即为所作的平行线；
(2)如图，△DEF即为所作的三角形；
(3)根据平移性质，这两条线段之间的关系是平行且相等，故答案为：平行且相等．(共12张PPT)
7.1.3 两条直线被第三条直线所截
知识点1“ 三线八角”
如图所示， “直线___和直线___与直线___相交” 也可以说成
“两条直线___，___被第三条直线___所截”，构成了小于平角
的角共有__个，通常将这种图形称为“三线八角”．其中直线
___，___称为被截线，直线___称为截线．
AB
CD
EF
AB
EF
8
AB
CD
EF
CD
知识点2 同位角
概念：如图所示，∠1和∠5分别在直线AB，CD的_____________，
并且都在直线EF的___________．具有这种位置关系的一对角叫
作同位角．
两条直线被第三条直线所截构成的8个角中，共有__对同位角．
同一侧(上方)
同侧(右侧)
4
知识点3 内错角
概念：如图所示，∠3和∠5都在直线AB，CD_____，并且分别在
直线EF的_____．具有这种位置关系的一对角叫作内错角．
两条直线被第三条直线所截构成的8个角中，共有__对内错角．
之间
两侧
2
知识点4 同旁内角
概念：如图所示，∠3和∠6都在直线AB，CD_____，但它们在
直线EF的_____________．具有这种位置关系的一对角叫作同
旁内角．
两条直线被第三条直线所截构成的8个角中，共有2对同旁内角．
之间
同一旁(左侧)
考点1 同位角
典例1 [2022·贺州]如图，直线a，b被直线c所截，下列各组角是同位角的是( )
A．∠1与∠2 B．∠1与∠3
C．∠2与∠3 D．∠3与∠4
思路导析 两直线a，b被第三条直线c所截，在截线的同侧，被截两直线的同一侧，把这种位置关系的角称为同位角，据此作答即可．
变式1 在下列图形中，∠1与∠2是同位角的是( )
变式2 [2025·咸阳期中]如图，直线EF分别交∠AOB的两边于点C，D，则∠ACE和∠BDE的位置关系是( )
A．内错角
B．对顶角
C．同位角
D．同旁内角
考点2 内错角、同旁内角
典例2 如图所示，下列说法错误的是( )
A．∠A与∠B是同旁内角
B．∠3与∠1是同旁内角
C．∠2与∠3是内错角
D．∠1与∠2是同位角
思路导析 根据同位角、内错角、同旁内角的概念判断．
变式1 如图所示，∠1和∠3是直线__,__被直线__所截得到的
_________；∠3和∠2是直线__,__被直线__所截得到的_______．
a
c
同旁内角
a
b
内错角
b
c
变式2 [2025·济宁期中]如图，点E在线段BC的延长线上，则对图中的两个角的位置关系判断错误的是( )
A．∠BCD和∠DCE是邻补角
B．∠B和∠DCE是直线AB和CD被直线BE所截形成的同位角
C．∠BAC和∠ACD是直线AD和BC被直线AC所截形成的内错角
D．∠BAC和∠ACB是直线AB和BC被直线AC所截形成的同旁内角(共12张PPT)
第2课时 平行线的性质与判定
的综合运用
在解决问题时，已知两直线平行，一般要用平行线的性质；已
知角相等或互补，一般用平行线的判定，有时交替运用．
考点 平行线的性质与判定的综合运用
典例 如图所示，点E在BC上，CD⊥AB，EF⊥AB，垂足分别为点D，F.
(1)CD与EF平行吗？为什么？
(2)如果∠1＝∠2，∠3＝65°，
求∠ACB的度数．
思路导析 (1)根据同位角相等，两直线平行即可说明CD与EF平
行；(2)结合(1)可得∠2＝∠DCB，根据∠1＝∠2，说明DG∥BC，
再根据两直线平行，同旁内角互补即可求∠ACB的度数．
解：(1)CD与EF平行．理由如下：
∵CD⊥AB，EF⊥AB，
∴∠CDB＝∠EFB＝90°，∴CD∥EF；
(2)∵CD∥EF，∴∠2＝∠DCB.
∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠DCB，
∴DG∥BC，
∴∠3＋∠ACB＝180°.
∵∠3＝65°，∴∠ACB＝115°.
变式1 [2025·呼伦贝尔期末]如图，∠1＋∠2＝180°，∠DEF＝∠A，∠BED＝60°，求∠ACB的度数．
解：∵∠1＋∠2＝180°(已知)
∠2＋∠BDC＝180°(___________)
∴∠1＝∠BDC(_______________)
∴AB∥___(_______________________)
∴∠DEF＋∠ADE＝180°(_________________________)
邻补角互补
同角的补角相等
EF
同位角相等，两直线平行
两直线平行，同旁内角互补
又∵∠DEF＝∠A(已知)
∴∠A＋______＝180°(_________)
∴AC∥DE(_________________________)
∴∠ACB＝∠BED＝60°(_______________________)
∠ADE
等量代换
同旁内角互补，两直线平行
两直线平行，同位角相等
变式2 如图所示，已知DF∥AC，∠C＝∠D，CE与BD有怎样的位置关系？说明理由．
解：CE∥BD.理由如下：
∵DF∥AC，
∴∠D＝∠ABD.
∵∠C＝∠D，
∴∠ABD＝∠C，
∴CE∥BD.
变式3 [2025·开封期末]近年来，我国一直提倡“绿色环保，低碳生活”，健康骑行成为一种时尚，环保的运动，深受人们的青睐，小慧的自行车示意图如图所示．其中AB∥CD，∠ACD＝70°，∠CDB＝65°，∠CAE＝45°.
(1)求∠ABD的度数；
(2)试判断AE与BD的位置关系，并说明理由．
解：(1)∵AB∥CD，
∴∠ABD＋∠CDB＝180°，
∵∠CDB＝65°，
∴∠ABD＝180°－∠BDC＝180°－65°＝115°；
(2)AE∥BD，理由如下：
∵AB∥CD，∴∠BAC＋∠ACD＝180°，
∴∠BAC＝180°－70°＝110°.
又∵∠CAE＝45°，
∴∠EAB＝∠BAC－∠CAE＝110°－45°＝65°，
∴∠EAB＋∠ABD＝65°＋115°＝180°，
∴AE∥BD.(共12张PPT)
7.3 定义、命题、定理
知识点1 定义与命题
1．定义：我们在学习一些新的数学对象时，对它们进行了清晰、
明确的描述，这样的描述称为数学对象的定义．
2．命题：可以判断为_______________________的陈述语句，
叫作命题．被判断为___________的命题叫作真命题，被判断
为___________的命题叫作假命题．
正确(或真)或错误(或假)
正确(或真)
错误(或假)
命题通常可以写成“如果……，那么……”的形式，这时“如
果”后接的部分是_____，“那么”后接的部分是_____．由题
设和结论组成的命题，如果题设成立，那么结论一定成立，这
样的命题就是正确的；如果题设成立，不能保证结论一定成立，
这样的命题就是错误的．
题设
结论
【注意】
有些命题的题设和结论不明显，在改写“如果……，那么……”
的形式时，要适当增减词语，使改后的语言通顺严谨，但不能
改变原意．
知识点2 定理、证明的概念
在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，
这个推理过程叫作_____，而经过推理证实得到的真命题叫作
_____．定理也可以作为继续推理的依据．
判定一个命题是错误的，只要___________________，它符合命
题的_____，但不满足_____就可以了．
证明
定理
举出一个例子(反例)
题设
结论
考点1 定义与命题
典例1 下列语句是命题的是( )
A．延长线段AB
B．你吃过午饭了吗
C．连接A，B两点
D．直角都相等
变式1 下列语句属于定义的是( )
A．两点确定一条直线
B．两直线平行，同位角相等
C．等角的补角相等
D．三条边都相等的三角形叫作等边三角形
变式2 [2025·北京期中]将“同角的补角相等”改成“如果…，
那么…”的形式为：如果_______________________，那么这两
个角相等．
两个角是同一个角的补角
变式3 写出命题的题设和结论．
(1)平行于同一条直线的两条直线平行；
(2)等角的余角相等．
解：(1)题设：两条直线都与第三条直线平行，
结论：这两条直线也互相平行；
(2)题设：两个角是相等的角，
结论：它们的余角相等．
考点2 真命题与假命题、证明与举反例
典例2 下列命题中，真命题是( )
A．同位角相等
B．两点之间，直线最短
C．同旁内角相等，两直线平行
D．平行于同一条直线的两条直线平行
思路导析 根据平行线的性质及判定、线段的性质即可得出正确答案．
变式1 已知三条直线a，b，c在同一平面内，下列命题是假命题的是( )
A．若a⊥c，b⊥c，则a∥b
B．若a∥c，b∥c，则a∥b
C．若a∥b，b⊥c，则a⊥c
D．若a⊥c，b⊥c，则a⊥b
变式2 [2025·北京]能说明命题“若a2>4b2，则a>2b”是假命
题的一组实数a，b的值为a＝____，b＝__．(答案不唯一)
－3
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