(共17张PPT)
第2课时 一元一次不等式的应用
知识点 列不等式解应用题的一般步骤
(1)审题：弄清题意及题目中的_________；
(2)设未知数，可_____设，也可_____设；
(3)列出_______；
(4)解不等式，并验证解的_______；
(5)写出_____．
数量关系
直接
间接
不等式
正确性
答案
考点 一元一次不等式的应用
典例 [2025·贵州]贵州省江口县被誉为“中国抹茶之都”，这里拥有全球最大的抹茶单体生产车间．为满足市场需求，某抹茶车间准备安装A，B两种型号生产线．已知，同时开启一条A型和一条B型生产线每月可以生产抹茶共200 t，同时开启一条A型和两条B型生产线每月可以生产抹茶共280 t.
(1)求一条A型和一条B型生产线每月各生产抹茶多少吨？
(2)为扩大生产规模，若另一车间准备同时安装相同型号的A，B两种生产线共5条，该车间接到一个订单，要求4个月生产抹茶不少于2 000 t，至少需要安装多少条A型生产线？
(2)设需要安装m条A型生产线，则安装B种生产线(5－m)条，
由题意，得4×[120m＋80(5－m)]≥2 000，
解得：m≥2.5，
∵m为正整数，
∴m最小取3，
答：至少需要安装3条A型生产线．
变式1 [2025·辽宁]小张计划购进A，B两种文创产品，在“文化夜市”上进行销售．已知A种文创产品比B种文创产品每件进价多3元，购进2件A种文创产品和3件B种文创产品共需花费26元．
(1)求B种文创产品每件的进价；
(2)小张决定购进A，B两种文创产品共100件，且总费用不超过550元，那么小张最多可以购进多少件A种文创产品？
解：(1)设B种文创产品每件的进价为x元，则A种文创产品每件的进价为(x＋3)元，
由题意，得：2(x＋3)＋3x＝26，
解得：x＝4，
答：B种文创产品每件的进价为4元；
(2)设小张购进m件A种文创产品，由(1)可知，A种文创产品每件的进价为4＋3＝7元，
由题意，得7m＋4(100－m)≤550，解得m≤50；
答：小张最多可以购进50件A种文创产品．
变式2 [2025·通辽期末]综合与实践：
【问题情境】
某学校大力开展社团活动，其中该校“百变魔方”社团准备去商店购买A，B两种魔方．
【素材展现】
素材1：某商店在无促销活动时，若购买2个A种魔方和6个B种魔方共需130元；购买3个A种魔方所需款数和购买4个B种魔方所需款数相同．
素材2：该商店开展促销活动：
活动一：“疯狂打折”：A种魔方八折，B种魔方四折；
活动二：“买一送一”：购买一个A种魔方送一个B种魔方．
【解决问题】
(1)该商店在无促销活动时，求A，B这两种魔方的销售单价各是多少元？
【拓展提升】
(2)结合同学们的需求，社团决定购买A，B两种魔方共100个(其中A种魔方不超过50个)．设购买A种魔方m个，按活动一和活动二购买所需费用分别为多少元？(均用含m的代数式表示)
【综合应用】
(3)请你帮小明算一算，在(2)的条件下，根据m的值说明选择哪种促销活动，购买魔方更实惠？
(2)由题意，得活动一：0.8×20m＋0.4×15(100－m)＝10m＋600；
活动二：20m＋15(100－m－m)＝－10m＋1 500.
综上所述，活动一：(10m＋600)元；
活动二：(－10m＋1 500)元；
(3)①当10m＋600<－10m＋1 500时，解得m<45，又∵0
∴当0②当10m＋600＝－10m＋1 500时，解得m＝45，
∴当m＝45时，选择优惠活动一和活动二同样实惠．
③当10m＋600>－10m＋1 500时，解得m＞45，
又∵0∴当45综上所述，当0当m＝45时，选择优惠活动一和活动二同样实惠；
当4511.3 一元一次不等式组
知识点1 一元一次不等式组的概念
由几个含有___________的一元一次不等式合起来组成一个一
元一次不等式组．
相同未知数
知识点2 一元一次不等式组的解集
一般地，几个不等式的解集的_________，叫作由它们所组成
的不等式组的解
公共部分
知识点3 一元一次不等式组的解法
(1)求出每个一元一次不等式的_____；
(2)求出这些解集的_________，便得到一元一次不等式组的解
集．
解集
公共部分
知识点4 一元一次不等式组解集的四种情况
设a＜b，则
也可以用下面的口诀记忆：同大取大，同小取小，大小小大中
间找，大大小小解不了．
知识点5 利用一元一次不等式组解应用题的步骤
利用一元一次不等式组解应用题的一般步骤：(1)审题；(2)设
未知数；(3)列不等式组；(4)解不等式组；(5)检验，确定实际
问题的答案；(6)答．
思路导析 利用一元一次不等式组的概念解答即可．
变式 [2022·十堰]关于x的不等式组中的两个不等式的解集
如图所示，则该不等式组的解集为_______．
0≤x<1
请结合题意填空，完成本题的解答．
(1)解不等式①，得_____；
(2)解不等式②，得_______；
x≤1
x≥－2
(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
答案：如图所示：
(4)原不等式组的解集为__________．
－2≤x≤1
思路导析 首先确定不等式组的解集，先利用含a的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于a的不等式，从而求出a的范围．
2
变式 [2025·遂宁]为了建设美好家园，提高垃圾分类意识，某社区决定购买A，B两种型号的新型垃圾桶．现有如下材料：
材料一：已知购买3个A型号的新型垃圾桶和购买2个B型号的新型垃圾桶共380元；购买5个A型号的新型垃圾桶和购买4个B型号的新型垃圾桶共700元．
∵a为整数，
∴a＝118或119或120，
∴有三种购买方案：①购买A种型号的新型垃圾桶118个，购买B种型号的新型垃圾桶82个；
②购买A种型号的新型垃圾桶119个，购买B种型号的新型垃圾桶81个；
③购买A种型号的新型垃圾桶120个，购买B种型号的新型垃圾桶80个；
任务三：∵A种型号的新型垃圾桶价格更低，
∴购买A种型号的新型垃圾桶越多，购买费用越低，
即购买A种型号的新型垃圾桶120个，购买B种型号的新型垃圾桶80个更省钱，
∴最低购买费用为60×120＋100×80＝15 200(元)，
答：购买A种型号的新型垃圾桶120个，购买B种型号的新型垃圾桶80个更省钱，最低购买费用是15 200元．(共23张PPT)
11.1.2 不等式的性质
知识点1 关于不等式的基本事实
1．交换不等式两边，不等号的方向_____．
用式子表示：如果a＞b，那么b＜a.
2．不等关系可以传递．
用式子表示：如果a＞b，b＞c，那么a＞c.
改变
知识点2 不等式的性质
不等式的性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等
号的方向_____，用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c.
不等式的性质2：不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的
方向_____，用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或
＞ )．
不变
不变
不等式的性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的
方向_____，用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或＜ )．
改变
知识点3 含“≤”“≥”的不等式
1．不等号有“>”“<”“≥”“≤”和“≠”．其中“≥”读
作大于或等于，也可以说是不小于，“≤”读作小于或等于，也
可以说是不大于．
2．常用的表示不等关系的关键词语及对应的不等号：
知识点4 利用不等式的性质解不等式的注意事项
1．在运用性质3时，要特别注意：不等式两边都乘或除以同一个负数时，要改变不等号的方向．
2．要注意区分“大于”“不大于”“小于”“不小于”等数学语言的使用，并把这些表示不等关系的语言用数学符号准确地表达出来．
3．在数轴上表示解集应注意的问题：方向、空心圆圈或实心圆点．
考点1不等式的性质
典例1 用“＞”或“＜”填空，并说明是根据不等式的哪一条
性质：
(1)若x＋3＞6，则x___3，根据______________；
(2)若3(a－2)＜9，则a－2__3，根据______________．
＞
不等式的性质1
<
不等式的性质2
变式1 [2024·苏州]若a>b－1，则下列结论一定正确的是( )
A．a＋1C．a>b D．a＋1>b
变式2 [2025·临沂期末]实数a，b，c在数轴上的对应点位置如图所示，下列结论错误的是( )
A．a>b>c B．c－b>c－a
C．c2>bc D．cb2>ab2
变式3 [2025·东营期末]若x>y，且ax是( )
A．2 B．－2
C．1 D．0
思路导析 根据不等式的性质求解即可．
解：(1)不等式两边同时减5x，得－3x＋5≥－4.
不等式两边同时减5，得－3x≥－9.
不等式两边同时除以－3，得x≤3；
在数轴上表示x的取值范围如图1所示：
变式1 [2025·丽水二模]不等式x－4≥2x－5的解在数轴上表示正确的是( )
变式2 [2024·广西]不等式7x＋5<5x＋1的解集为______．
x<－2
考点3 根据实际问题列不等式
典例3 (1)铁路部门对随身携带的行李有如下规定：每件行李
的长、宽、高之和不得超过160 cm.设行李的长、宽、高分别
为a cm，b cm，c cm，请你列出行李的长、宽、高满足的关系
式；
(2)一辆轿车在一条规定车速不低于60 km/h，且不高于100 km/h
的高速公路上行驶，如何用式子来表示轿车在该高速公路上行驶
的路程s(km)与行驶时间x(h)之间的关系呢？
思路导析 根据题意，找出不等关系，列式即可．
变式1 小明借到一本有72页的图书，要在10天之内读完，开始2天每天只读5页，那么以后几天里每天至少要读多少页？设以后几天里每天要读x页，所列不等式为( )
A．10＋8x≥72 B．2＋10x≥72
C．10＋8x≤72 D．2＋10x≤72
变式2 [2025·深圳期末]2025年6月21日是我国二十四节气中的夏至，深圳当天最高气温是34 ℃，最低气温28 ℃，则这天气温t(℃)的变化范围是( )
A．t≥28 B．t≤34
C．t＝31 D．28≤t≤34
变式3 用甲、乙两种原料配制成某种饮料，已知这两种原料的维生素C的含量及购买这两种原料的价格如表所示：
(1)现配制这种饮料9 kg，要求至少含有4 000 单位的维生素C，试写出所需甲种原料的质量x(kg)应满足的不等式；
(2)如果还要求购买甲、乙两种原料的费用不超过70元，试写出x(kg)应满足的另一个不等式．
原料 甲 乙
维生素C含量/(单位/kg) 500 80
价格/(元/kg) 16 4
解：(1)由题意，得500x＋80(9－x)≥4 000；
(2)由题意，得16x＋4(9－x)≤70.(共10张PPT)
11.2 一元一次不等式
第1课时 解一元一次不等式
知识点1 一元一次不等式的概念
含有___个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的次
数是__的不等式，叫作一元一次不等式．特别要注意的是未知
数的系数不能为0.
一
1
知识点2 解一元一次不等式的一般步骤
(1)去分母(根据不等式的______)；
(2)去括号(根据___________)；
(3)移项(根据不等式的______)；
(4)合并(根据_________________)；
(5)系数化为1(根据不等式的_____________)．
解一元一次不等式，要依据_____________，将不等式逐步化为
x＜a(x≤a)或x＞a(x≥a)的形式．
性质2
去括号法则
性质1
合并同类项的法则
性质2或性质3
不等式的性质
考点1 一元一次不等式的概念
典例1 下列式子：①－5＜0 ②2x＝3 ③3x－1＞2
④4x－2y≤0 ⑤x2－3x＋2＞0 ⑥x－2y
其中属于不等式的是_________，属于一元一次不等式的是___．
(填序号)
①③④⑤
③
思路导析 依据不等式及一元一次不等式的定义进行判断即可．
变式1 下列关系式中，哪些是一元一次不等式( )
①x＞0 ②2x＜－2＋x ③x－y＞－3 ④4x＝－1 ⑤x2＞2
A．①②③ B．①②
C．②④⑤ D．①②⑤
思路导析 根据解不等式的一般步骤求解即可．
解：去分母，得x－1<2(x＋1)，
去括号，得x－1<2x＋2，
移项，得x－2x<2＋1，
合并同类项，得－x<3，
系数化为1，得x>－3.
不等式的解集在数轴上表示如图所示：
解：去分母，得1＋x≥3(x－1)，
去括号，得1＋x≥3x－3，
移项，得x－3x≥－3－1，
合并同类项，得－2x≥－4，
系数化为1，得x≤2，
∴不等式的正整数解为1，2.(共11张PPT)
第十一章 不等式与不等式组
11.1 不等式
11.1.1 不等式及其解集
知识点1 不等式的概念
用符号“＜”或“＞”或“≠”表示不等关系的式子，叫作
_______．
不等式
知识点2 不等式的解与解集的定义
能使不等式成立的_______的值，叫作不等式的解．一般地，一
个含有未知数的不等式的所有的___，组成这个不等式的解集．
知识点3 解不等式的定义
求不等式的_____的过程叫作解不等式．
未知数
解
解集
知识点4 在数轴上表示不等式的解集
1．解集的表示方法
第一种：用式子(如x>2)，即用最简形式的不等式(如x>a或x来表示．
第二种：用数轴，一般标出数轴上某一区间，其中的点对应的
数值都是不等式的解．
2．用数轴表示不等式的解集的步骤：第一步：画数轴；第二
步：定界点；第三步：定方向．
【注意】
“>”“<”用空心的小圆圈表示．
考点1 不等式的概念与列不等式
典例1 老师在黑板上写了下列式子：
①x－1>1 ②－2＜0 ③x≠3 ④x＋2
⑤x－ y＝0 ⑥x＋2y<0.其中是不等式的有( )
A．2个 B．3个
C．4个 D．5个
变式 用不等式表示下列数量关系：
(1)x的5倍大于－7；
(2)a与b的和的一半小于－1；
(3)长、宽分别为x cm，y cm的长方形的面积小于边长为a cm
的正方形的面积．
解：(1)5x>－7；
(2) (a＋b)<－1；(3)xy变式 下列说法正确的是( )
A．x＝5是不等式x＞5的一个解
B．不等式x＞5的一个解是x＝5
C．x＝5是不等式x>0的一个解
D．不等式x>0的解是x＝5
考点3 在数轴上表示不等式的解集
典例3 在数轴上表示下列不等式的解集．
(1)x＞3；(2)x＜3.
解：(1)
(2)
变式 [逆向思维][2025·广州期末]如图，将不等式1－2x■5的
解集在数轴上表示出来，则■盖住的符号是__(填“>”或“<”)．
>
