(共20张PPT)
第3课时 市场经济问题与行程问题
考点1 市场经济问题
典例1 [2023·安徽]根据经营情况，公司对某商品在甲、乙两地的销售单价进行了如下调整：甲地上涨10%，乙地降价5元，已知销售单价调整前甲地比乙地少10元，调整后甲地比乙地少1元，求调整前甲、乙两地该商品的销售单价．
思路导析 设调整前甲、乙两地该商品的销售单价分别为x，y元，根据题意，列出二元一次方程组，解方程组即可求解．
变式1 李明在某商场购买甲、乙两种商品若干次(每次甲、乙两种商品都购买)，其中前两次按标价购买，第三次购买时，甲、乙两种商品同时打折，三次购买甲、乙两种商品的数量和费用情况如表所示：
购买甲商 品的数量 购买乙商 品的数量 购买总费用
第一次 6 4 880
第二次 4 6 920
第三次 9 8 912
(1)求甲、乙两种商品的标价各是多少元？
(2)若李明第三次购买时，甲、乙两种商品的折扣相同，则商场是打几折出售这两种商品的？
变式2 [2025·巴彦淖尔期中]内蒙古是一个充满草原风情的地方，除了远近闻名的马奶酒，还有许多特色饮品深受大家喜爱，比如香浓的呼伦贝尔奶茶，醇厚的锡林郭勒奶嚼口等．两位游客在草原上的蒙古包中品尝特色饮品，经询问得知：2碗呼伦贝尔奶茶和3份锡林郭勒奶嚼口共需46元；1碗呼伦贝尔奶茶和 1 份锡林郭勒奶嚼口共需18元．
(1)呼伦贝尔奶茶和锡林郭勒奶嚼口的销售单价各是多少元？
(2)若购买呼伦贝尔奶茶和锡林郭勒奶嚼口(两种都要)刚好共花90元，问有几种购买方案？
当m＝5时，n＝5，
当m＝10时，n＝1，
答：一共有两种购买方案：方案一，购买呼伦贝尔奶茶5碗，购买锡林郭勒奶嚼口5份；方案二，购买呼伦贝尔奶茶10碗，购买锡林郭勒奶嚼口1份．
考点2 行程问题
典例2 列二元一次方程组解应用题：
A地至B地的航线长1 200千米，一艘轮船从A地顺水开往B地需30小时，它逆水走同样的航线需要40小时．求轮船在静水中的平均速度和水速．
思路导析 设轮船在静水中的平均速度为x千米/小时，水速为y千米/小时，根据路程＝速度×时间，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
变式2 [2025·长治二模]黄河一号旅游公路是山西省以“踏访黄河，文明探源”为主题的文化旅游公路，起点为忻州市偏关县老牛湾村，终点到运城垣曲西哄哄村，全长1 200公里，连接起众多名胜古迹与自然景观．暑假小新和小韵沿着此公路自驾游，小新从老牛湾村出发，小韵从西哄哄村出发，小新比小韵晚5小时出发，小新出发29小时后两人相遇，两人沿途游玩，休息等消耗的时间均为20小时，小新驾车行驶的速度比小韵慢20公里/时．请分别求出小新和小韵驾车行驶的速度．
考点3 古代问题
典例3 [2025·兰州]《九章算术》是中国传统数学最重要的数学著作之一，“方程章”第11题大意是：两匹马一头牛总价超过1万，超过部分等于半匹马的价格；一匹马两头牛的总价不足1万，不足部分等于半头牛的价格，问一匹马，一头牛的价格分别是多少？若设一匹马价格为x，一头牛价格为y，则可列方程组为( )
变式 [2025·包头期末]《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，
《孙子算经》中的数学问题大多浅显易懂，其中一些趣味问题在后
世广为流传．其中有这样一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，
余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”译文大致是：
“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，
木条剩余1尺，问木条长多少尺？”如果设木条长x尺，绳子长y尺，
可列方程组为___________.(共24张PPT)
10.2 消元——解二元一次方程组
10.2.1 代入消元法
知识点1 消元思想
二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，
那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的_____________．
我们可以先求出一个未知数，然后再求另一个未知数．这种
将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫作_________．
一元一次方程
消元思想
知识点2 代入消元法
把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含_____________
_______表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这
个二元一次方程组的解，这种方法叫作___________，简称代入
法．
另一个未知数
的式子
代入消元法
知识点3 代入消元法的步骤
代入消元法解二元一次方程组的步骤：
第一步：选一个系数比较简单的方程，用一个未知数表示另一
个未知数；
第二步：将变形后的关系式代入另一方程，消去一个未知数，
得到一个一元一次方程；
第三步：解这个一元一次方程，得一个未知数的值；
第四步：将求得的未知数的值代入变形后的关系式，求出另一
个未知数的值；
第五步：把求得的两个未知数的值，用“{ ”联立起来，就是
方程组的解．
思路导析 将方程x－y＝4变形为x＝4＋y，将其代入2x＋y＝5，求解即可．
任务一：
(1)①以上求解过程中，小林用了_____(填“代入”或“加减”)
消元法．
②第___步开始出现错误，这一步错误的原因是_______________
___．
任务二：
(2)该方程组的正确解为________.
代入
三
去括号时没有变
号
任务三：
(3)请你根据平时的学习经验，就解二元一次方程组时还需要注意的事项给其他同学提一点建议．
(3)去括号时，如果括号前是负号，括号里面的各项都要变号(合理即可)．(共13张PPT)
*10.4 三元一次方程组的解法
知识点1 三元一次方程组的概念
含有___个未知数，且含有未知数的式子都是整式，含未知数的
项的次数都是__，并且一共有___个方程，这样的方程组叫作三
元一次方程组．
三
1
三
知识点2 解三元一次方程组的思想方法
解三元一次方程组的基本思路是：通过“_____”或“_____”
进行消元，把“_____”转化为“_____”，使解三元一次方程
组转化为解二元一次方程组，进而再转化为_______________．
即：
代入
加减
三元
二元
解一元一次方程
－1
考点3 三元一次方程组的应用
典例3 幼儿营养标准中要求每一个幼儿每天所需的营养量中应包含35单位的铁、70单位的钙和35单位的维生素．现有一批营养师根据上面的标准给幼儿园小朋友们配餐，其中包含A，B，C三种食物，如表给出的是每份(50 g)食物A，B，C分别所含的铁、钙和维生素的量．
(1)如果设食物A，B，C分别有x，y，z份，请列出方程组，使得A，B，C三种食物中所含的营养量刚好满足幼儿营养标准中的要求；
(2)解该三元一次方程组，求出满足要求的A，B，C的份数．
食物 铁 钙 维生素
A 5 20 5
B 5 10 15
C 10 10 5
变式 [2025·长沙期中]三堆西瓜共120个，先从第一堆中拿出与第二堆个数相等的西瓜放入第二堆；再从第二堆中拿出与第三堆个数相等的西瓜放入第三堆；最后又从第三堆中拿出与这时第一堆个数相等的西瓜放入第一堆，这时三堆西瓜的个数恰好相等，则第一堆原有西瓜( )
A．30个 B．35个
C．50个 D．55个(共25张PPT)
第十章 二元一次方程组
10.1 二元一次方程组的概念
知识点1 二元一次方程的概念
含有___个未知数，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数
的项的次数都是__，像这样的方程叫作二元一次方程．
两
1
知识点2 二元一次方程的解的概念
一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫
作二元一次方程的解．
知识点3 二元一次方程组的概念
方程组中含有两个未知数，且含有未知数的式子都是整式，含
有未知数的项的次数都是1，一共有两个方程，像这样的方程组
叫作二元一次方程组．
知识点4 二元一次方程组的解的概念
一般地，二元一次方程组的两个方程的_______，叫作二元一次
方程组的解．
公共解
思路导析 根据二元一次方程的定义判断即可．含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的整式方程叫作二元一次方程．
变式 若方程x|a|－1－(a－2)y＝5是二元一次方程，则( )
A．a＞2 B．a＝2
C．a＝－2 D．a＜－2
1
变式1 二元一次方程2x＋3y＝11的正整数解有( )
A．2组 B．3组
C．4组 D．5组
－6
思路导析 二元一次方程是指含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程．两个结合在一起的共含有两个未知数的一次方程叫作二元一次方程组．
1
－2
考点5 根据实际问题列二元一次方程(组)
典例5 甲、乙两人在相距18千米的两地，若同时出发相向而行，
经2小时相遇；若同向而行，且甲比乙先出发1小时，那么在乙
出发后经4小时甲追上乙，求甲、乙两人的速度．设甲的速度
为x千米/小时，乙的速度为y千米/小时，则可列方程组为( )
思路导析 根据甲乙两人在相距18千米的两地，若同时出发相向而行，经过2小时相遇，可得2x＋2y＝18；根据甲比乙先出发1小时，那么乙出发后经4小时甲追上乙，可得5x－4y＝18；从而可列出相应的方程组．
考点6 建立二元一次方程(组)解决实际问题
典例6 [2025·齐齐哈尔]神舟二十号发射窗口时间恰逢第十个“中国航天日”．为激发青少年探索浩瀚宇宙的兴趣，学校组织900名师生乘车前往航空科技馆参观，计划租用45座和60座两种客车(两种客车都要租)，若每名学生都有座位且每辆客车都没有空座位，则租车方案有( )
A．3种 B．4种
C．5种 D．6种
思路导析 本题考查的是二元一次方程的正整数解问题，设用x辆45座，y辆60座，建立方程，求出方程的正整数解可得答案．
变式 [2024·宜宾]某果农将采摘的荔枝分装为大箱和小箱销售，其中每个大箱装4千克荔枝，每个小箱装3千克荔枝．该果农现采摘有32千克荔枝，根据市场销售需求，大小箱都要装满，则所装的箱数最多为( )
A．8箱 B．9箱
C．10箱 D．11箱(共16张PPT)
10.3 实际问题与二元一次方程组
第1课时 和差倍分问题与配套问题
知识点1 列方程组解应用题的基本思想
列方程组解应用题是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它
的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系．
一般来说，有几个未知数就列出几个方程，所列方程必须满足：
(1)_______________________；
(2)___________________；
(3)_____________________．
方程两边表示的是同类量
同类量的单位要统一
方程两边的数值要相等
知识点2 用方程组解应用题的一般步骤
(1)审题：弄清题意和题目中的_________；
(2)设元：用_____表示题目中的未知数，可_____设未知数，也
可_____设未知数；
(3)列方程组：挖掘题中的所有条件，找出两个与未知数相关的
_________，并依此列出_______；
数量关系
字母
直接
间接
等量关系
方程组
(4)解方程组：利用_________法或_________法解所列方程组，
求出未知数的值；
(5)检验作答：检验所求的解是否符合题目的实际意义，然后
作答．
代入消元
加减消元
考点1 和差倍分问题
典例1 [2025·遵义二模]科学研究表明：树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用，已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4毫克，两片银杏树叶与三片国槐树叶一年的平均滞尘总量为146毫克．设一片银杏树叶一年的平均滞尘量为x毫克，一片国槐树叶一年的平均滞尘量为y毫克．依据题意，可列方程组( )
思路导析 本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量得2倍少4毫克，可得x＝2y－4，两片银杏树叶与三片国槐树叶一年的平均滞尘量为146，可得2x＋3y＝146，联立可得方程组．
变式1 [2025·云阳期末]某公司生产的两款新能源汽车深受消费者的欢迎，该公司生产汽车零部件的甲车间有工人50名，乙车间有工人60名，因接到加急生产一批新能源汽车的任务，所以该公司新增40名工人分配到甲、乙两个车间，分配后甲车间的总人数比分配后乙车间的总人数多10人．设新分配到甲车间的人数是x人，新分配到乙车间的人数是y人．
(1)完成下列表格填空：
根据题中的数量关系有：x＋y＝___；
(2)求新分配到甲车间、乙车间的人数各有多少人？
甲 乙
原来人数 50 60
新分配人数 x y
分配后,现有人数 ______ ______
x＋50
y＋60
40
变式2 [2025·安徽模拟]“霜降”是收获，播种的最后时节．某农科所利用试验田共种植5亩谷子进行新技术与传统技术的对比试验，共收获谷子3 300斤，经过对比发现，采用新技术种植的谷子，平均每亩产量是采用传统技术种植的谷子的1.25倍．已知传统技术种植的谷子平均每亩产量为600斤，请问该试验田采用传统技术和新技术各种植谷子多少亩？
考点2 配套问题
典例2 现有36卷相同的布料制作工作服，每卷布料可制作成上衣25件，或者制作成裤子40件，一件上衣和两件裤子组成一套．问：用多少卷布料制作上衣，多少卷布料制作裤子可以使上衣和裤子正好配套？
思路导析 设用x卷布料制作上衣，y卷布料制作裤子可以使上衣和裤子正好配套，根据制作的上衣和裤子正好配套，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
变式 [2025·丰台期末]青花瓷是中国瓷器主流品种之一，由于它具有白瓷如雪，青花似玉的特征，因此深受人们的喜爱．现某瓷器厂计划生产由1个茶壶和8个茶杯组成套装的青花瓷茶具．若一位工人一天只能生产200个茶杯或50个茶壶，该厂现有120名工人，如何安排生产茶杯或茶壶的工人人数使生产的茶具配套．(共27张PPT)
10.2.2 加减消元法
知识点1 加减消元法
二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数___________
或_____时，把这两个方程的两边分别_____或_____，就能消
去这个未知数，得到一个一元一次方程，进而求得二元一次方
程组的解．这种解二元一次方程组的方法叫作加减消元法，简
称加减法．
互为相反数
相等
相加
相减
知识点2 加减法的基本步骤
解二元一次方程组时，使方程组中同一个未知数的系数_____或
是互为_______，再将所得两个方程的两边分别相减或相加，消
去一个未知数，从而转化为一元一次方程．其步骤为：
①变形：方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不
相等又不互为相反数，就要用适当的数去乘方程的两边，使其中
一个未知数的系数相等或互为相反数．
相等
相反数
②加减：当同一个未知数的系数互为相反数时，用加法消去这个未知数，得到关于另一个未知数的一元一次方程；当同一个未知数的系数相等时，用减法消去这个未知数，得到关于另一个未知数的一元一次方程．
③解元：解所得的一元一次方程，求出未知数的值．
④求值：把求出的未知数的值代入原方程组中的任一个方程中，求出另一个未知数的值，从而得到方程组的解．
⑤求得的两个未知数的值联立起来就是方程组的解．
【规律总结】
加减消元法解二元一次方程组，当方程组中两个未知数的系数均不成整数倍时，一般选择系数较为简单的未知数消元，将两个方程分别乘以某个数，使该未知数的系数的绝对值相等，再加减消元求解，但必须注意，在方程两边同乘某个数时，每一项都要乘，尤其常数项不要漏乘．
1
思路导析 本题考查二元一次方程组的特殊解法，解题的关键是学会观察，并用整体法求解．
3
变式2 [2025·万州期中]换元法是把一个比较复杂的代数式的一部分看成一个整体，用另一个字母代替这整体(即换元)的方法，好处是能使式子得到简化，便于解决问题，充分体现数学的整体思想．
2a＋b
2b－3a
1
3(共21张PPT)
第2课时 几何图形问题与
图文信息问题
考点1几何图形问题
典例1 [2025·宜昌期末]据统计资料，甲，乙两种作物的单位面积产量的比是1∶2.现要把一块长200 m，宽100 m的长方形土地划分为两块小长方形土地，分别种植这两种作物．怎样划分这块土地，才能使甲，乙两种作物的总产量的比是3∶4？某学习小组设计了两种方案，根据问题中涉及的长度和产量的相等关系，可列出方程组求解．
方案一：按如图1的方式划分土地，甲，乙两种作物的种植区域分别为长方形AEFD和长方形EBCF，求AE，BE的长度是多少？
方案二：按如图2的方式划分土地，分别在长方形DMNC和长方形MABN土地中种植甲，乙两种作物，求AM，DM的长度是多少？
请你从以上两种方案中任选一种完成解答．
. . . .
思路导析 本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
变式2 [2025·三明期末]在长方形ABCD中放入六个相同的小长
方形，尺寸如图所标示．设小长方形的长，宽分别为x cm，
y cm，则可列方程组____________.
考点2 图文信息问题
典例2 [2024·东城期末]将9个不同的整数填入方格中，使得每行，每列，每条对角线上的三个数之和都相等，则a和b的值分别是( )
A. a＝－4，b＝3
B．a＝－4，b＝－3
C．a＝4，b＝3
D．a＝4，b＝－3
4b－2 12
2a＋1 7
3b－3 2a
思路导析 本题考查了二元一次方程组的应用；根据每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，列出二元一次方程组并求解即可．
变式1 [2025·南阳期末]如图，根据图中提供的信息，可知一个杯子的价格是( )
A．36元
B．32元
C．4元
D．8元
变式2 [2025·深圳期末]为充实班级图书角，班主任王老师倡导班级学生积极捐书，该班45名同学共捐书298本，捐书情况如下表：
表中捐书5本和8本的人数不小心被墨水污染，已看不清楚，请你帮忙确定表中的数据，并说明理由．
捐书(本) 3 5 8 10
人数(人) 4 9
考点3 工程问题
典例3 [2025·呼和浩特期末]“呼和浩特盛乐国际机场”坐落于呼和浩特市和林格尔县巧什营镇，是内蒙古自治区首座4F级国际民用机场，距呼和浩特市中心约38.5千米．为高效推进机场配套建设，甲，乙两个工程队接力承担一段长为29 000米的机场快速路修建任务，甲工程队每天修建100米，乙工程队每天修建150米，两队接力施工共用260天完成，求甲，乙两个工程队各自修建机场快速路的长度．
260
29 000
(1)请把盛盛和乐乐所列的方程组补充完整；
(2)请分别写出盛盛和乐乐所列方程组中未知数x，y表示的意义．
盛盛：x表示_________________________，y表示_____________
_____________；
乐乐：x表示_________________________，y表示_____________
_____________；
甲工程队修建快速路的长度
乙工程队修建
快速路的长度
甲工程队修建快速路的天数
乙工程队修建
快速路的天数
(3)请你从两位同学的方法中任选一种进行解答．
变式 [2025·池州期中]某科研团队计划开展两个研究项目．已知原计划A，B两个项目的总实验周期数为90个．在实际开展过程中，项目A的实验周期数超过原计划的10%，项目B的实验周期数只达到计划的90%，但总实验周期数保持不变．求原计划项目A，B的实验周期数．
