北师大版九年级上第四章《图形的相似》
《探索相似三角形的条件》第一课时教案
【教学目标】
1.知识与技能
（1）.使学生理解相似三角形的定义，掌握定义中的两个条件．
（2）.使学生掌握相似三角形判定定理1．
（3）.使学生初步掌握相似三角形的判定定理1的应用．
2.过程与方法
经历探索相似三角形的条件，进一步发展学生归纳、类比、交流等方面的能力. 网]
3.情感态度和价值观
经历自主探究、合作交流等学习方式的学习及激励评价，让学生在学习中锻炼能力.
【教学重点】
准确找出相似三角形的对应边和对应角度．
【教学难点】
掌握相似三角形判定定理1及其应用．
【教学方法】
合作、探究
【课前准备】
多媒体课件
【教学过程】
一、回顾与思考
1.你还记得三角形全等的条件吗？
(SSS,ASA,AAS,SAS)
2.若给定两个三角形,你有什么办法来判定它们是否相似 能不能根据三角形全等的条件来判断三角形的相似呢？如果可以，我们可以从哪些条件开始找呢？
二、探究新知
1.相似三角形
如图,在4×6方格内先任意画一个△ABC,然后画△ABC经某一相似变换(如放大或缩小若干倍)后得到△A′B′C′(点A′,B′,C′分别对应点A,B,C,顶点在格点上).
问题讨论1: △A′B′C′与△ABC对应角之间有什么关系 （对应角相等）
问题讨论2: △A′B′C′与△ABC对应边之间有什么关系 （对应边成比例）
归纳：相似三角形的定义：我们把对应角相等、对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。我们将相似三角形对应边的比称为相似比。记作△ABC∽△A'B'C' .
探索相似三角形的条件：
探究1、问题（1）（分四小组分别探索）画一个三角形ABC，使△ABC满足下面给定的条件之一，（1）使∠BAC=60°，（2）使∠BAC=120°，（3）使∠BAC=90°,与同伴交流，你们所画的三角形相似吗？www.21-cn-jy.com
(通过作图，得到三角形并不相似)
结论：只有一个角对应相等时，不能判定两个三角形相似。
探究2、与同伴合作，一人画△ABC, 另一人画△A′B′C′, 使得∠A和∠A′都有等于给定的∠α(如30°), ∠B和∠B′都等于给定的∠β (如45°),比较你们画的两个三角形, ∠C与∠C′相等吗 这样的两个三角形相似吗 对应边的比相等吗.2·1·c·n·j·y
改变∠α(如60°)和 ∠β(如75°)的大小,再试一试.通过上面的活动,你猜出了什么结论
在△ABC 和△A'B'C'中, ∠A=∠A'，∠B= ∠B'，且通过测量，它们对应边的比也相等，那么△ABC与△A'B'C'是否相似 21·世纪*教育网
它们是相似三角形！
归纳：相似三角形的判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似．
用数学符号表示：
∵ ∠A=∠A'， ∠B=∠B'
∴ ΔABC ∽ ΔA'B'C'
注意：记两个多边形相似时，要把对应顶点的字母写在对应的位置.
例题讲解：
判断题：
⑴所有的等腰三角形都相似。 （ × ）
⑵所有的等腰直角三角形都相似 。 （ √ ）
⑶所有的等边三角形都相似。 （ √ ）
⑷所有的直角三角形都相似。 （ × ）
⑸有一个角是120°的两个等腰三角形相似。 （ √ ）
⑹有一个角是60 °的两个等腰三角形相似。 （ × ）
ΔABC和ΔDEF中， ∠A=40°，∠B=80°，∠E=80°， ∠F=60°。ΔABC与ΔDEF ___相似______. （填“相似”或“不相似”）。 21世纪教育网版权所有
3.如图，点D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，DE∥BC，AB=7，AD=5，DE=10，求BC的长.21教育网
分析：（1）图中有哪些相等的角？（2）找出图中的相似三角形，并说明理由；（3）写出三组成比例的线段．【来源：21·世纪·教育·网】
巩固练习：
1、下列图形中两个三角形是否相似？
如图，△ABC中，DE∥BC,EF∥AB， 求证：△ADE∽△EFC.
解: ∵ DE∥BC，EF∥AB.
∴∠AED＝∠C，∠A＝∠FEC.
∴ △ADE∽△EFC.
3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°.正方形EFCD的三个顶点E，F，D分别在边AB，BC，AC上.已知AC=7.5，BC=5，求正方形的边长.21cnjy.com
解：∵四边形EFCD是正方形，
∴ED∥BC,ED=DC=FC=EF.
∵∠ADE=∠ACB=90°，
∴△ADE∽△ABC.
∴DE=3,即正方形的边长为3.
拓展提高
练习：如图，已知点D，E分别在AB，AC或它们的延长线上，且∠1=∠2，分别指出图中的相似三角形.
△ADE∽ △ACB △ADC∽ △ACB △ADE∽ △ABC △ADE∽ △ACB
六、课堂总结
1.相似三角形的定义
2.相似三角形的判定定理1
七、作业布置
习题4.5：知识技能第1，3两题
【板书设计】
§4.4 探索相似三角形的条件（1）
相似三角形的概念 探究1： 探究2： 相似三角形的判定1： 例题
【教学反思】
这节课主要教学目标是让学生在亲自操作、探究的过程中，获得三角形相似的第一个简单的识别方法；培养学生提出问题、解决问题的能力；从整堂课学生的表现看到，这节课基本上实现了以上目标。 21·cn·jy·com
A
B
C
D
E
A
B
C
A’
C’
B’
A
B
C
D
E
A
B
C
A’
B’
C’
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品资料·第 1 页 （共 1 页） 版权所有@21世纪教育网北师大版九年级上第四章《图形的相似》
《探索相似三角形的条件》第三课时教案
【教学目标】
1.知识与技能
（1）.使学生掌握相似三角形判定定理3．
（2）.使学生初步掌握相似三角形的判定定理3的应用．
2.过程与方法
经历探索相似三角形的条件，进一步发展学生归纳、类比、交流等方面的能力. 网]
3.情感态度和价值观
经历自主探究、合作交流等学习方式的学习及激励评价，让学生在学习中锻炼能力.
【教学重点】
相似三角形的判定定理3
【教学难点】
相似三角形判定定理3及其应用．
【教学方法】
合作、探究
【课前准备】
多媒体课件
【教学过程】
一、回顾与思考
如图，D，E分别是△ABC的边AC，AB上的点，请你添加一个条件，使△ADE∽△ABC.
(判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似)
∠ADE=∠B
(判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似)
那么还有其他方法判定三角形相似吗？
二、探究新知
相似三角形的判定3
探究：画一画
①画△ABC,使AB=3cm,AC=2cm,BC=4cm,
②再画△A′B′C′，使
③量出∠A与∠A′,∠A=∠A′吗,量出∠B与∠B′的度数，∠B′=∠B吗？由此可推出∠C′=∠C 吗？为什么？ 21世纪教育网版权所有
∠A=∠A′,∠B′=∠B，∠C′=∠C
④由上面的画图，你能发现△A′B′C′与△ABC有何关系？与你周围的同学交流.
我发现这两个三角形是相似的.
改变k值的大小，再试一试．
思考：我们能否用推理的方法得出这个结论？
我们来证明一下前面得出的结论：
如图，在△ABC与△A′B′C′中，已知，求证.
证明：在△A′B′C′的边A′B′上截取点D,使A′D=AB．过点D作DE∥B′C′,交A′C′于点E.21cnjy.com
∵DE∥B′C′,
∴△A′DE∽△A′B′C′.
∵
又∵A′D=AB
∴△A′DE≌△ABC，
∴△A′B′C′∽△ABC.
由此得到三角形的判定定理3： 三边成比例的两个三角形相似．
几何语言：∵
例题讲解：
例1.已知△ABC和 △DEF,根据下列条件判断它们是否相似.
(1)AB=3， BC=4， AC＝6.
DE＝6， EF＝8， DF＝9. （ 否）
(2)AB=4， BC=8， AC＝10.
DE＝20， EF＝16， DF＝8. （是）
(3) AB=12， BC=15， AC＝24.
DE＝16， EF＝20， DF＝30. （ 否）
（注意：大对大，小对小，中对中．）
例2.在正方形方格中，△ABC的顶点A、B、C在单位 正方形的顶点上，请在图中画一个格点△A1B1C1 ，使（相似比不为1），且点都在单位正方形的顶点上．21教育网
解：已知的△ABC的三边分别是,如图所示：将△ABC各边都扩大倍，得出△A1B1C1 ，即为所求．21·cn·jy·com
例3:如图所示，在△ABC和△ADE中， ∠BAD=20°,求∠CAE的度数.
解：∵
∴△ABC∽△ADE(三边成比例的两个三角形相似).
∴∠BAC=∠DAE.
∴∠BAC - ∠DAC =∠DAE-∠DAC.
即 ∠BAD=∠CAE.
∵∠BAD=20°.
∴∠CAE=20°
巩固练习：
下列每组的两个三角形是否相似，为什么？
解：（1）
∴△ABC∽△DEF
(2)∵AE=1，EB=1，AF=3，FC=3
∴AB=2,AC=6
∵∠A=∠A
∴△ABC∽△AEF
2.如图，小正方形的边长均为1，则下图中的三角形(阴影部分)与△ABC相似的为（ B ）
解析：已知给出的三角形的各边AB、CB、AC分别为；只有选项B的各边为.与它的各边对应成比例．故选B．2·1·c·n·j·y
3.在△ABC和△A′B′C′中，已知：AB＝6cm，BC＝8cm，AC＝10cm，A′B′＝18cm，B′C′＝24cm，A′C′＝30cm．求证：△ABC与△A′B′C′相似．
证明：∵
拓展应用
1.如图, △ ABC与△ A′B′C′相似吗 你用什么方法来支持你的判断
解：这两个三角形相似。
设1个小方格的边长为1，则
,
2.如图在△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm，点Q从B出发，沿BC方向以2cm/s的速度移动，点P从C出发，沿CA方向以1cm/s的速度移动．若Q、P分别同时从B、C出发，试探究经过多少秒后，以点C、P、Q为顶点的三角形与△CBA相似？
分析：此题要根据相似三角形的性质设出未知数，即经过x秒后，两三角形相似，然后根据速度公式求出他们移动的长度，再根据相似三角形的性质列出分式方程求解．www.21-cn-jy.com
解：设经过x秒后，两三角形相似，
则CQ=（8-2x）cm，CP=xcm，
∵∠C=∠C=90°，
∴当时，两三角形相似．
（1）当 时， ，；
（2）当 时， ，
所以，经过 秒后，两三角形相似.
课堂总结
相似三角形的判定定理1：两角对应相等的两个三角形相似．
相似三角形的判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．
相似三角形的判定定理3：三边比例的两个三角形相似．
七、作业布置
习题4.7：知识技能第1，3两题
【板书设计】
§4.4 探索相似三角形的条件（3）
相似三角形的判定3 例1 例2 练习
【教学反思】
这节课主要教学目标是让学生在亲自操作、探究的过程中，获得三角形相似的第三个判定方法；培养学生提出问题、解决问题的能力；从整堂课学生的表现看到，这节课基本上实现了以上目标。 【来源：21·世纪·教育·网】
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品资料·第 1 页 （共 1 页） 版权所有@21世纪教育网北师大版九年级上第四章《图形的相似》
《探索相似三角形的条件》第二课时教案
【教学目标】
1.知识与技能
（1）.使学生掌握相似三角形判定定理2．
（2）.使学生初步掌握相似三角形的判定定理2的应用．
2.过程与方法
经历探索相似三角形的条件，进一步发展学生归纳、类比、交流等方面的能力. 网]
3.情感态度和价值观
经历自主探究、合作交流等学习方式的学习及激励评价，让学生在学习中锻炼能力.
【教学重点】
相似三角形的判定定理2
【教学难点】
相似三角形判定定理2及其应用．
【教学方法】
合作、探究
【课前准备】
多媒体课件
【教学过程】
一、复习回顾
1、什么是相似三角形？
三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形相似。
2.相似三角形的判定1：
两角对应相等的两个三角形相似
二、探究新知
相似三角形的判定2
探究1：画一画
①画△ABC,使∠A=60°，AB=3cm,AC=2cm.
②再画△A′B′C′，使∠A′=∠A, 且
③量出B′C′及BC的长，计算的值，并比较是否三边都对应成比例？
通过测量得出BC=2.6cm,B'C'=3.9cm,且.
④量出∠B与∠B′的度数，∠B′=∠B吗？由此可推出∠C′=∠C 吗？为什么？
∠B′=∠B，∠C′=∠C
⑤由上面的画图，你能发现△A′B′C′与△ABC有何关系？与你周围的同学交流.
我发现这两个三角形是相似的.
改变k值的大小，再试一试．
思考：我们能否用推理的方法得出这个结论？
我们来证明一下前面得出的结论：
如图，在△ABC与△A′B′C′中，已知∠A= ∠A′,，求证.
证明：在△A′B′C′的边A′B′上截取点D,使A′D=AB．过点D作DE∥B′C′,交A′C′于点E.21教育网
∵DE∥B′C′,
∴△A′DE∽△A′B′C′.
∵A′D=AB，
∴A′E=AC.
又∠A′=∠A.
∴△A′DE∽△ABC，
∴△A′B′C′∽△ABC.
由此得到三角形的判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．
几何语言：∵∠A=∠A'
探究2：
观察下面图形，如果两个三角形两边对应成比例，有任意一角对应相等，那么，这两个三角形一定相似吗？
两边对应成比例且其中一边所对的角对应相等的两个三角形不一定相似．
注意：两边对应成比例并且必须是夹角对应相等两三角形才一定相似哦．
三、例题讲解：
例1.如图，每组中的两个三角形是否相似？为什么？
解：(1)∵∠A=∠A,
∴△AEF∽△ABC
∵∠B=∠E，
∴△ABC与△DEF不相似
例2. 如图，D是△ABC一边BC上一点，连接AD,使 △ABC ∽ △DBA的条件是 （ D ）21cnjy.com
A. AC:BC=AD:BD B. AC:BC=AB:AD
C. AB2=CD·BC D. AB2=BD·BC
解析：∵∠B=∠B,需添加条件
∴△ABC ∽ △DBA
故选D.
例3：如图，D、E分别是△ABC的边AC、AB上的点．AE=1.5，AC=2，BC=3，
求DE的长．
分析：要求DE的长，需先证明△ADE∽△ABC，由相似三角形的判定2，两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得证，再根据相似三角形的对应边的比例相等，求出DE的长。21·cn·jy·com
解：∵AE=1.5，AC=2，
又∵∠EAD=∠CAB
∴△ADC∽△ABC，
∵BC=3，
巩固练习：
如下图所示,在△ABC中,D﹑E分别在AC﹑AB上,且AD：AB=AE：AC=1：2，BC=5，则DE=________【来源：21·世纪·教育·网】
解：∵∠A=∠A,
∴△ADE∽△ABC
2.如图，在 △ABC 中，CD是边AB上的高，且 ，求证：∠ACB=90°．
解： ∵ CD是边AB上的高,
∴ ∠ADC= ∠CDB=90°.
∴△ABC∽△DEF.
∴ ∠ACD= ∠B.
∴ ∠ACB= ∠ACD+ ∠BCD= ∠B+ ∠BCD= 90°.
３.如图，AB AE=AD AC，且∠1=∠2，求证：△ABC∽△ADE．
证明：∵AB AC=AD AE，
∴
又∵∠1=∠2，
∴∠2+∠BAE=∠1+∠BAE，即∠BAC=∠DAE，
∴△ABC∽△AED．
拓展应用
1.如图，现用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等，OC=OD）测量内孔直径AB．若OC：OA=1：2，如果测量得CD=10 ,那么AB=2×10=20．你知道这是为什么吗？ www.21-cn-jy.com
解：∵AC=BD,OC=OD
∴OA=OB
又∵∠COD=∠AOB,
∴△COD∽△AOB，
2.有一池塘, 周围都是空地. 如果要测量池塘两端A、B间的距离, 你能利用本节所学的知识解决这个问题吗 2·1·c·n·j·y
解：1)先在陆地取一点可以直接到A点和B点的点C；
(2)连结AC并延长到点D，使CD：CA=1：2；
(3)连结BC并延长到点E，使CE：CB=1：2；
(4)连结DE，并测出它的长度．
由以上操作可得：△ABC∽△DEC，
∴ 如图，2DE的长度就是A、B间距离
六、课堂总结
相似三角形的判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．
两边对应成比例且其中一边所对的角对应相等的两个三角形不一定相似．
七、作业布置
习题4.6：知识技能第1，3两题
【板书设计】
§4.4 探索相似三角形的条件（2）
相似三角形的判定2 例1 例2 练习
【教学反思】
这节课主要教学目标是让学生在亲自操作、探究的过程中，获得三角形相似的第二个简单的识别方法；培养学生提出问题、解决问题的能力；从整堂课学生的表现看到，这节课基本上实现了以上目标。 21世纪教育网版权所有
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品资料·第 1 页 （共 1 页） 版权所有@21世纪教育网北师大版九年级上第四章《图形的相似》
《探索相似三角形的条件》第四课时教案
【教学目标】
1.知识与技能
（1）.知道黄金分割的定义.
（2）.会找一条线段的黄金分割点.
（3）.会判断某一点是否为一条线段的黄金分割点.
2.过程与方法
通过找一条线段的黄金分割点，培养学生的理解与动手能力.
3.情感态度和价值观
理解黄金分割的意义，并能动手找到和制作黄金分割点和图形，让学生认识数学与人类生活的密切联系对人类历史发展的作用.21·cn·jy·com
【教学重点】
了解黄金分割的意义，并能运用.
【教学难点】
找黄金分割点和画黄金矩形
【教学方法】
合作、探究
【课前准备】
多媒体课件
【教学过程】
一、欣赏图片，引入新课
芭蕾舞者，庄严的五角星，名画《梦娜丽莎》都给人美的感觉，归功于我们所要学的黄金分割.
探究新知：
黄金分割概念：
探究：小组合作:量一量，算一算
1、在图中，分别量出线段 AC 、BC 、AB 的长度.
2、分别计算与的值(精确到0. 1cm).
3、 与相等吗？
通过测量得到：AC=6.2cm,BC=3.8cm，AB=10cm;
给出定义：
黄金分割的定义：在线段AB上，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果,那么称线段AB被点C黄金分割,点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比.www.21-cn-jy.com
黄金分割就是三条能构成比例线段的特殊线段AB,AC和BC.其中线段AC是线段AB和线段BC的比例中项,也可写成 .【来源：21·世纪·教育·网】
思考：线段AB上就一个黄金分割点吗？
（一条线段有两个黄金分割点）
思考：AC与AB的比叫做黄金比，那么这个黄金比等于多少呢？
已知如图，，求AC:AB的值.
解：设AB=1,设AC=x,则BC=1-x.
.
探究2：如何找到一条线段的黄金分割点？
1.经过点B作BD⊥AB,
2.连接AD,在AD上截取DE=DB.
3.在AB上截取AC=AE.
根据上述作图，回答下列问题：
1、如果设AB=2a, 那么BD,AD,AC,BC 分别等于多少
2、点C是线段AB的黄金分割点吗
解：根据作图过程可知：
∴在Rt△ABD，
∴点C是线段AB的黄金分割点.
探究3：古希腊时期的巴台农神庙
右图是古希腊时期的巴台农神庙,如把图中虚线表示的矩形画成图中的ABCD,以矩形ABCD的宽为边在其内部作正方形AEFD,那么我们可以惊奇的发现点E是AB的黄金分割点吗 矩形ABCD的宽与长的比是黄金比吗 21·世纪*教育网
三、巩固练习：
拓展提高
课堂总结
解：∵AEFD是正方形
∴AE=BC，
∴点E是AB的黄金分割点，矩形ABCD的宽与长的比是黄金比
巩固练习：
1.判断正误：
①如果点C是线段AB的黄金分割点，那么. （ ×）
②如果，那么点C是线段AB 的黄金分割点。 （ ×）
③如果点C在线段AB上，且 ,那么点C是线段AB的黄金分割点. （√）
2.在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长的比为黄金比。已知这本书的长为20cm,则它的宽约为 （ A ）21世纪教育网版权所有
A.12.36cm B.13.60cm C.32.36cm D.7.64cm21教育网
解：根据题意有：宽：长=0.618，
∴宽=20×0.618≈12.36cm，故选A.
3.人体下半身（即脚底到肚脐的长度）与身高的比越接近0.618越给人以美感，遗憾的是即使是身材修长的芭蕾舞演员也达不到如此完美.某女士身高1.68m，下半身1.02m，她应选择多高的高跟鞋看起来更美丽？（精确到1cm）21cnjy.com
解：设她应选择高跟鞋的高度是xcm，则 ，
解得：x≈4.8cm．
经检验知x≈4.8是原方程的解，
∴她应选择4.8cm的高跟鞋看起来更美丽
拓展提高：
确定黄金分割点的另一个方法：
采用如下的方法也可以得到黄金分割点:如图设AB是已知线段.在AB上作正方形ABCD.取AD的中点E,连接EB.延长长DA至F,使EF=EB.以线段AF为边作正方形AFGH.点H就是AB的黄金分割点.2·1·c·n·j·y
解:设AB=1,那么在Rt△BAE中,
,
,
，
，
,
∴点H是AB的黄金分割点.
五、课堂小结：
1.黄金分割和黄金比的定义
在线段AB上，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果,那么称线段AB被点C黄金分割,点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比.
2.如何确定黄金分割点
3.感受黄金分割的美
六、作业布置
习题4.8：知识技能第1，3两题
【板书设计】
§4.4 探索相似三角形的条件（4）
黄金分割的相关概念 如何确定黄金分割点 例题分析 练习
【教学反思】
黄金分割无处不在，建筑、绘画、摄影、人体美学中有它的影子，医学、军事、生物、科学实验中它也扮演着举足轻重的角色。本节课先让学生感受黄金分割的美，通过正五角星引入黄金分割的概念，再让学生如何找到黄金分割点做具体的说明与介绍，最后介绍黄金分割的应用。整体效果良好.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品资料·第 1 页 （共 1 页） 版权所有@21世纪教育网探索相似三角形的条件练习
一、选择题(本大题共10小题，共30.0分)
1.下列说法错误的是（ ）
A.两个等边三角形一定相似 B.两个等腰三角形一定相似
C.两个等腰直角三角形一定相似 D.两个全等三角形一定相似
2.如图，在△ABC中，点D、E分别在边AC、BC上，下列条件中不能判断△CAB∽△CED的是（ ）
A.∠CDE=∠B B.∠CED=∠A C. D.
3.下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则在网格图中的三角形与△ABC相似的是（ ）
A. B. C. D.21教育名师原创作品
4.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD相交于点O，则下列三角形中，与△BOC一定相似的是（ ）
A.△ABD B.△DOA C.△ACD D.△ABO
5.已知图（1）、（2）中各有两个三角形，其边长和角的度数已在图上标注，图（2）中AB、CD交于O点，对于各图中的两个三角形而言，下列说法正确的是（ ）
A.只有（1）相似 B.只有（2）相似 C.都相似 D.都不相似
6.如图所示，给出下列条件：
①∠B=∠ACD；②∠ADC=∠ACB；③；④AC2=AD AB．
其中单独能够判△ABC∽△ACD的有（ ）
A.①②③④ B.①②③ C.①②④ D.①②21·世纪*教育网
7.如图，若A、B、C、P、Q、甲、乙、丙、丁都是方格纸中的格点，为使ABC∽△PQR，则点R应是甲、乙、丙、丁四点中的（ ）
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁21*cnjy*com
8.P是△ABC一边上的一点（P不与A、B、C重合），过点P的一条直线截△ABC，如果截得的三角形与△ABC相似，我们称这条直线为过点P的△ABC的“相似线”．Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，当点P为AC的中点时，过点P的△ABC的“相似线”最多有几条？（ ）
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条【版权所有：21教育】
9.如图所示，在△ABC中，AB=6，AC=4，P是AC的中点，过P点的直线交AB于点Q，若以A、P、Q为顶点的三角形和以A、B、C为顶点的三角形相似，则AQ的长为( )
A.3 B.3或 C.3或 D.
（ 第9题） （ 第10题）
10.如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，如果DE∥BC，且∠DCE=∠B，那么下列说法中，错误的是（ ）
A.△ADE∽△ABC B.△ADE∽△ACD C.△ADE∽△DCB D.△DEC∽△CDB
二、填空题(本大题共6小题，共18.0分)
11.如图，已知∠A=∠D，要使△ABC∽△DEF，还需添加一个条件，你添加的条件是 ______ ．（只需写一个条件，不添加辅助线和字母）2-1-c-n-j-y
12.如图，AB与CD相交于点O，OA=3，OB=5，0D=6．当OC= ______ 时，图中的两个三角形相似．（只需写出一个条件即可）
（ 第11题） （ 第12题）
13.要做两个形状为三角形的框架，其中一个三角形框架的三边长分别为4，5，6，另一个三角形框架的一边长为2，欲使这两个三角形相似，三角形框架的两边长可以是____________cm． 21*cnjy*com
14.如图，在△ABC中，AB=9，AC=12，BC=18，D为AC上一点，DC=AC．在AB上取一点E得△ADE．若图中两个三角形相似，则DE的长是 ______ ．
（ 第14题） （ 第15题） （ 第16题）
15.如图，在△ABC中，AB=6cm，AC=5cm，点P从A点出发，以2cm/S的速度沿AB方向向B运动，同时点Q从C点出发，以1cm/S的速度沿CA方向向点A运动，当一点到达终止，当一点也停止，连接PQ．设运动时间为ts，当t= ______ S时，△ABC与△APQ相似．
16.如图所示，正方形ABCD边长是2，BE=CE，MN=1，线段MN的端点M、N分别在CD、AD上滑动，当DM= ______ 时，△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似．
三、解答题(本大题共9小题，共72.0分)
17.如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，EC⊥AB，垂足为E连接DE．试说明△BDE∽△BAC．
21cnjy.com
18.如图，△ABC中，AB=AC，BE⊥AC于E，D是BC中点，连接AD与BE交于点F，求证：△AFE∽△BCE．
【出处：21教育名师】
19.如图，B，C，E是同一直线上的三个点，四边形ABCD与四边形CEFG都是正方形．连接BG，DE，DE交GF于点H．
（1）求证：△BCG≌△DCE；
（2）求证：△BCG∽△DGH．
20.如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AB=6cm，CD=4cm，BD=14cm，点P在BD上由点B向点D方向移动，当点P移到离点B多远时，△APB和△CPD相似？
21.如图，在△ABC中，AB=AC=1，BC=，在AC边上截取AD=BC，连接BD．
（1）通过计算，判断AD2与AC CD的大小关系；
（2）求∠ABD的度数．
22.如图，已知△ABC中，AB=，AC=，BC=6，点M为AB的中点，在线段AC上取点N，使△AMN与△ABC相似，求MN的长．
23..如图已知AB⊥BD，CD⊥BD．若AB=9，CD=4，BD=10，请问在BD上是否存在P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似？若存在，求BP的长；若不存在，请说明理由．
【来源：21·世纪·教育·网】
24.如图，在平面直角坐标系中，已知OA=12厘米，OB=6厘米．点P从点O开始沿OA边向点A以1厘米/秒的速度移动；点Q从点B开始沿BO边向点O以1厘米/秒的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间（0≤t≤6），那么，当t为何值时，△POQ与△AOB相似？
www-2-1-cnjy-com
25.如图，已知OA⊥OB，OA=4，OB=3，以AB为边作矩形ABCD，使AD=a，过点D作DE垂直OA的延长线交于点E．
（1）证明：△OAB∽△EDA；
（2）当a为何值时，△OAB与△EDA全等？请说明理由，并求出此时点C到OE的距离．
www.21-cn-jy.com
探索相似三角形的条件练习参考答案
选择题：
B
解：A、两个等边三角形一定相似，所以A选项的说法正确；
B、两个等腰三角形不一定相似，如等边三角形与等腰直角三角形不相似，所以B选项的说法错误；
C、两个等腰直角三角形一定相似，所以C选项的说法正确；
D、两个全边三角形一定相似，所以D选项的说法正确．
故选B．
2. D【来源：21cnj*y.co*m】
解：A、∵∠CDE=∠B，∠C=∠C，
∴△CAB∽△CED，
∴选项A能判断△CAB∽△CED；
B、∵∠CED=∠A，∠C=∠C，
∴△CAB∽△CED，
∴选项B能判断△CAB∽△CED；
C、∵，∠C=∠C，
∴△CAB∽△CED，
∴选项C能判断△CAB∽△CED；
D、由，∠C=∠C，
不能判断△CAB∽△CED；
故选：D．
3. B
解：根据勾股定理，AB==2，BC=，
所以，夹直角的两边的比为=2，
观各选项，只有B选项三角形符合，与所给图形的三角形相似．
故选：B．
4. B
解：∵AD∥BC，
∴∠OBC=∠ODA，∠OCB=∠OAD，
∵∠AOD=∠BOC，
∴△BOC∽△DOA，
故选 B．
5.C
解：对于图（1）：180°-75°-35°=70°，则两个三角形中有两组角对应相等，所以（1）图中的两个三角形相似；
对于（2）图：由于=，∠AOC=∠DOB，所以△AOC∽△DOB．
故选C．
6. C
解：∵∠A是公共角，
∴当∠B=∠ACD时，△ABC∽△ACD（有两组角对应相等的两个三角形相似）；
当∠ADC=∠ACB，△ABC∽△ACD（有两组角对应相等的两个三角形相似）；
当=时，∠A不是夹角，则不能判定△ABC与△ACD相似；
当AC2=AD AB时，即=，△ABC∽△ACD（两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似）．
∴能够判定△ABC与△ACD相似的条件是：①②④．
故选：C．
7.C
解：根据题意，△ABC的三边之比为：：，
要使△ABC∽△PQR，则△PQR的三边之比也应为：：，经计算只有丙点合适，故选C．
8. C
解：如图所示：
当PD∥BC时，△APD∽△ACB；
当PE∥AB时，△CPE∽△BAC；
当PF⊥AB时，△APF∽△ABC
故过点P的△ABC的相似线最多有3条．
故选：C．
9.B．21·cn·jy·com
解：当△ABC∽△AQP时，，即，AQ=3；
当△ABC∽△APQ时，，即，AQ=，
故选B．
10. C
解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，∠BCD=∠CDE，∠ADE=∠B，∠AED=∠ACB，
∵∠DCE=∠B，
∴∠ADE=∠DCE，
又∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACD；
∵∠BCD=∠CDE，∠DCE=∠B，
∴△DEC∽△CDB；
∵∠B=∠ADE，
但是∠BCD＜∠AED，且∠BCD≠∠A，
∴△ADE与△DCB不相似；
正确的判断是A、B、D，错误的判断是C；
故选：C．
二、填空题：
11. 解：∵∠A=∠D，
∴当∠B=∠DEF时，△ABC∽△DEF，
∵AB∥DE时，∠B=∠DEF，
∴添加AB∥DE时，使△ABC∽△DEF．
故答案为AB∥DE．
12. 解；∵OA=3，OB=5，0D=6，
∴当OC=时，则==，
而∠AOC=∠DOB（公共角），
∴△AOC∽△DOB．
∴当OC=时，图中的两个三角形相似．
故答案为：． 2·1·c·n·j·y
13. 解：题中没有指明边长为2的边与原三角形的哪条边对应，所以应分别讨论：
(1)若边长为2的边与边长为4的边相对应，则另两边为和3；
(2)若边长为2的边与边长为5的边相对应，则另两边为和；
(3)若边长为2的边与边长为6的边相对应，则另两边为和．
故三角形框架的两边长可以是：和3或和或和． 21教育网
14. 解：∵AC=12，DC=AC；
∴AD=4．
若AD与AC对应成比例，则DE=BC=6；
若AD与AB对应成比例，则DE=×BC=×18=8．
所以DE的长为6或8．
15. 解：根据题意得：AP=2tcm，CQ=tcm，则AQ=（5-t）cm，
∵∠A=∠A，
∴分两种情况：
①当时，，
解得：t=；
②当时，，
解得：t=；
综上所述：t=s或s时，△ABC与△APQ相似；
故答案为：或．
16. 解：∵正方形ABCD边长是2∴BE=CE=1，∠B=∠D=90°
∴在Rt△ABE中，AE==
第一种情况：当△ABE∽△MDN时，AE：MN=AB：DM，即：1=2：DM，∴DM=；
第二种情况：当△ABE∽△NDM时，AE：MN=BE：DM，即：1=1：DM，∴DM=．
所以DM=或．
三、解答题：
17.证明：∵AD⊥BC
∴∠ADB=90°
∵EC⊥AB
∴∠CEB=90°
∴点D和点E在以AC为直径的圆上，
∴∠BDE=∠BAC，
而∠DBE=∠ABC，
∴△BDE∽△BAC．
18.证明：∵AB=AC，D是BC中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴∠FAE+∠AFE=90°，
∵BE⊥AC，
∴∠BEC=90°，
∴∠CBE+∠BFD=90°，
∵∠AFE=∠BFD，
∴∠FAE=∠CBE，
∴△AFE∽△BCE．
19.证明：（1）∵正方形ABCD与正方形CEFG中，
BC=CD，CE=CG，∠BCG=∠ECD=90°
在△BCG与△DCE中， ，
∴△BCG≌△DCE；
（2）∵△BCG≌△DCE，
∴∠GBC=∠GDH
又∠BCG=∠DGH=90°，
∴△BCG∽△DGH．
20.解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠B=∠D=90°，
∴当或时，△PAB与△PCD是相似三角形，
∵AB=3，CD=8，BD=10，
∴=或=，
解得：BP=6或4或，
即PB=6或4或时，△PAB与△PCD是相似三角形． 21世纪教育网版权所有
21.解：（1）∵AB=BC=1，BC=，
∴AD=，DC=1-=．
∴AD2==，AC CD=1×=．
∴AD2=AC CD．
（2）∵AD=BD，AD2=AC CD，
∴BD2=AC CD，即．
又∵∠C=∠C，
∴△BCD∽△ABC．
∴，∠DBC=∠A．
∴DB=CB=AD．
∴∠A=∠ABD，∠C=∠D．
设∠A=x，则∠ABD=x，∠DBC=x，∠C=2x．
∵∠A+∠ABC+∠C=180°，
∴x+2x+2x=180°．
解得：x=36°．
∴∠ABD=36°．
22.解：①图1，作MN∥BC交AC于点N，则△AMN∽△ABC，
有，
∵M为AB中点，AB=，
∴AM=，
∵BC=6，
∴MN=3；
②图2，作∠ANM=∠B，则△ANM∽△ABC，
有，
∵M为AB中点，AB=，
∴AM=，
∵BC=6，AC=，
∴MN=，
∴MN的长为3或．
23.解：存在P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，
理由是：设BP=x，
∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠B=∠D=90°，
∴当=或=时，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，
∴①=或②=，
解方程①得：x=，经检验x=是方程①的解，且符合题意．
方程②得：x（10-x）=36，
x2-10x+36=0，
△=（-10）2-4×1×36＜0，此方程无解，
∴当BP=时，以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，
∴存在P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，此时BP的值为．
24.解：①若△POQ∽△AOB时，=，即=，
整理得：12-2t=t，
解得：t=4．
②若△POQ∽△BOA时，=，即=，
整理得：6-t=2t，
解得：t=2．
∵0≤t≤6，
∴t=4和t=2均符合题意，
∴当t=4或t=2时，△POQ与△AOB相似．
25.（1）证明：如图所示，
∵OA⊥OB，
∴∠1+∠2=90°，
又∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，
∴∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，
∵OA⊥OB，OE⊥OA，
∴∠BOA=∠DEA=90°，
∴△OAB∽△EDA．
（2）解：在Rt△OAB中，AB==5，
由（1）可知∠1=∠3，∠BOA=∠DEA=90°，
∴当a=AD=AB=5时，△AOB与△EDA全等．
当a=AD=AB=5时，可知矩形ABCD为正方形，
∴BC=AB，如图，过点C作CH⊥OE交OE于点H，
则CH就是点C到OE的距离，过点B作BF⊥CH交CH于点F， 则∠4与∠5互余，∠1与∠5互余，
∴∠1=∠4，
又∵∠BFC=∠BOA，BC=AB，
∴△OAB≌△FCB（AAS），
∴CF=OA=4，BO=BF．
∴四边形OHFB为正方形，
∴HF=OB=3，
∴点C到OE的距离CH=CF+HF=4+3=7．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品资料·第 1 页 （共 1 页） 版权所有@21世纪教育网(共81张PPT)
北师大版九年级上册
第四节：探索三角形相似的条件
第四章：图形的相似
第一课时
利用两角判定三角形相似
1.你还记得三角形全等的条件吗？
SSS ASA
AAS SAS
2.若给定两个三角形,你有什么办法来判定它们是否相似 能不能根据三角形全等的条件来判断三角形的相似呢？如果可以，我们可以从哪些条件开始找呢？
回顾与思考
如图,在4×6方格内先任意画一个△ABC,然后画△ABC经某一相似变换(如放大或缩小若干倍)后得到△A′B′C′(点A′,B′,C′分别对应点A,B,C,顶点在格点上).
问题讨论1: △A′B′C′与△ABC对应角之间有什么关系
问题讨论2: △A′B′C′与△ABC对应边之间有什么关系
探究新知
A
B
C
A'
B'
C'
对应角相等
对应边的比例相等
△ABC∽△A'B'C'
C
A
B
B′
A′
C′
相似三角形的定义：我们把对应角相等、对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。
用几何语言表示：
∵ ∠A=∠A' 、∠B=∠B' 、∠C=∠C'
∴ △ABC∽△ A'B'C'
我们将相似三角形对应边的比称为相似比。
两个 三角形 定义 性 质 判定
方法
全等
相似
三角对应相等，
三边对应相等
对应角相等，
对应边相等
三角对应相等，
三边对应成比例
对应角相等，
对应边成比例
SSS,SAS,
ASA,AAS
猜一猜：判断三角形相似需要几个条件？
类比猜想
画一个三角形ABC，使△ABC满足下面给定的条件之一，
与同伴交流，你们所画的三角形相似吗？
探究1
1、问题（1）（分四小组分别探索）
（1）使∠BAC=60°
（2）使∠BAC=120°
（3）使∠BAC=90°
60°
B'
90°
C'
120°
结论：只有一个角对应相等，不能判断两个三角形相似.
与同伴合作，一人画△ABC, 另一人画△A′B′C′, 使得∠A和∠A′都有等于给定的∠α(如30°), ∠B和∠B′都等于给定的∠β (如450),比较你们画的两个三角形, ∠C与∠C′相等吗
改变∠α(如60°)和 ∠β(如75°)的大小,再试一试.
通过上面的活动,你猜出了什么结论
C
A
B
C'
A'
B'
C
A
B
这样的两个三角形相似吗
探究2
对应边的比
相等吗
A
B
C
A'
C'
B'
在△ABC 和△A'B'C'中, ∠A=∠A'，∠B= ∠B'，
且通过测量，它们对应边的比也相等，那么△ABC与△A'B'C'是否相似
判定定理：两角分别相等的两个三角形相似．
△ABC∽△A'B'C'
用数学符号表示：
判定定理：两角分别相等的两个三角形相似．
∵ ∠A=∠A'， ∠B=∠B'
∴ ΔABC ∽ ΔA'B'C'
A
B
C
A'
C'
B'
注意：记两个多边形相似时，要把对应顶
点的字母写在对应的位置.
1、判断题：
⑴所有的等腰三角形都相似。 ( )
⑵所有的等腰直角三角形都相似 。 （ ）
⑶所有的等边三角形都相似。 （ ）
⑷所有的直角三角形都相似。 （ ）
⑸有一个角是120°的两个等腰三角形相似。 （ ）
⑹有一个角是60 °的两个等腰三角形相似。
( )
×
√
√
×
√
×
例题讲解
2.ΔABC和ΔDEF中， ∠A=40°，∠B=80°，∠E=80°， ∠F=60°。ΔABC与ΔDEF （填“相似”或“不相似”）。
？
A
C
B
40°
80°
F
E
D
80°
60°
相似
解析：在△ABC中，∠C=180°-∠A-∠B=60°
∴∠B=∠E，∠C=∠F
∴△ABC∽△DEF
A
D
E
C
B
3.如图，点D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，DE∥BC，AB=7，AD=5，DE=10，求BC的长.
分析：
（1）图中有哪些相等的角？
（2）找出图中的相似三角形，
并说明理由；
（3）写出三组成比例的线段．
A
D
E
C
B
解：∵DE//BC,
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C.
∴△ADE∽△ABC
1、下列图形中两个三角形是否相似？
A
B
C
D
E
A
B
C
A’
C’
B’
A
B
C
A’
B’
C’
A
B
C
D
E
相似
相似
相似
不相似
巩固练习
2.如图，△ABC中，DE∥BC,EF∥AB，
求证：△ADE∽△EFC.
A
E
F
B
C
D
解: ∵ DE∥BC，EF∥AB.
∴∠AED＝∠C，
∠A＝∠FEC.
∴ △ADE∽△EFC.
（两角分别相等的两个三角形相似）
3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°.正方形EFCD的三个顶点E，F，D分别在边AB，BC，AC上.已知AC=7.5，BC=5，求正方形的边长.
解：∵四边形EFCD是正方形，
∴ED∥BC,ED=DC=FC=EF.
∵∠ADE=∠ACB=90°，∴△ADE∽△ABC.
∴DE=3,即正方形的边长为3.
A
B
C
D
E
A
D
E
B
C
E
D
C
B
A
“A”型
“A”型
“x”型
A
B
C
D
E
A
B
C
D
D
A
E
B
C
“共角”型
“共角共边”型
“蝴蝶”型
两角对应相等判定三角形相似的型式
拓展提高
如图，已知点D，E分别在AB，AC或它们的延长线上，且∠1=∠2，分别指出图中的相似三角形.
△ADE∽ △ACB
△ADE∽ △ABC
△ADC∽ △ACB
△ADE∽ △ACB
1
2
D
E
A
B
C
2
1
A
C
D
B
1
2
C
B
D
E
A
1
2
B
D
E
C
A
相似三角形的定义
相似三角形的判定定理1
课堂总结
课后作业
习题4.5：知识技能第1，3两题
第二课时
利用两边及夹角
判定两三角形相似
1、什么是相似三角形？
三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形相似。
2.相似三角形的判定1：
两角对应相等的两个三角形相似
复习回顾
画一画
①画△ABC,使∠A=60°，AB=3cm,AC=2cm.
②再画△A′B′C′，使∠A′=∠A, 且
③量出B′C′及BC的长，计算 的值，并比较是否三边都对应成比例？
探究1
B
A
C
B’
A’
D
E
C’
60°
60°
3cm
2cm
4.5cm
3cm
通过测量得出BC=2.6cm,B'C'=3.9cm,且
④量出∠B与∠B′的度数，∠B′=∠B吗？由此可推出∠C′=∠C 吗？为什么？
⑤由上面的画图，你能发现△A′B′C′与△ABC有何关系？与你周围的同学交流.
我发现这两个三角形是相似的.
思考：我们能否用推理的方法得出这个结论？
B
A
C
B’
A’
C’
∠B′=∠B，∠C′=∠C
改变k值的大小，再试一试．
我们来证明一下前面得出的结论：
△A′B′C′∽△ABC.
如图，在△ABC与△A′B′C′中，已知∠A= ∠A′
求证：△A′B′C′∽△ABC.
证明：在△A′B′C′的边A′B′上截取点D,使A′D=AB．过点D作DE∥B′C′,交A′C′于点E.
∵DE∥B′C′,
∴△A′DE∽△A′B′C′.
B
A
C
B’
A’
D
E
C’
∵A′D=AB，
∴A′E=AC.
又∠A′=∠A.
∴△A′DE∽△ABC，
∴△A′B′C′∽△ABC.
B
A
C
B’
A’
D
E
C’
由此得到三角形的判定定理2：
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．
B
A
C
B’
A’
C’
几何语言：
∵∠A=∠A'
观察上面图形，
如果两个三角形两边对应成比例，有任意一角对应相等，那么，这两个三角形一定相似吗？
注意：两边对应成比例并且必须是夹角对应相等两三角形才一定相似哦．
探究2
两边对应成比例且其中一边所对的角对应相等的两个三角形不一定相似．
1.如图，每组中的两个三角形是否相似？为什么？
巩固应用
解：(1)∵∠A=∠A,
∴△AEF∽△ABC
(2)∵∠B=∠E，
∴△ABC与△DEF不相似
2. 如图，D是△ABC一边BC上一点，连接AD,使 △ABC ∽ △DBA的条件是 （ ）
A. AC:BC=AD:BD
B. AC:BC=AB:AD
C. AB2=CD·BC
D. AB2=BD·BC
D
A
B
C
D
解析：∵∠B=∠B,需添加条件
∴△ABC ∽ △DBA
故选D.
3：如图，D、E分别是△ABC的边AC、AB上的点．AE=1.5，AC=2，BC=3，且 ，求DE的长．
A
E
D
C
B
分析：要求DE的长，需先证明△ADE∽△ABC，由相似三角形的判定2，两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得证，再根据相似三角形的对应边的比例相等，求出DE的长。
A
E
D
C
B
解：
∵AE=1.5，AC=2，
１.如下图所示,在△ABC中,D﹑E分别在AC﹑AB上,
且AD：AB=AE：AC=1：2，BC=5，则DE=________．
A
E
D
B
C
课堂练习
解：∵∠A=∠A,
∴△ADE∽△ABC
2.如图，在 △ABC 中，CD是边AB上的高，且 求证：∠ACB=90°．
A
B
C
D
解： ∵ CD是边AB上的高,
∴ ∠ADC= ∠CDB=90°.
∴△ABC∽△DEF.
∴ ∠ACD= ∠B.
∴ ∠ACB= ∠ACD+ ∠BCD= ∠B+ ∠BCD= 90°.
３.如图，AB AE=AD AC，且∠1=∠2，求证：△ABC∽△ADE．
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
Ｅ
１
２
证明：∵AB AC=AD AE，
∴
又∵∠1=∠2，
∴∠2+∠BAE=∠1+∠BAE，即∠BAC=∠DAE，
∴△ABC∽△AED．
1.如图，现用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等，OC=OD）测量内孔直径AB．若OC：OA=1：2，如果测量得CD=10 ,那么AB=2×10=20．你知道这是为什么吗？
解：∵AC=BD,OC=OD
∴OA=OB
拓展应用
又∵∠COD=∠AOB,
∴△COD∽△AOB，
A
B
D
E
C
2.有一池塘, 周围都是空地. 如果要测量池塘两端A、B间的距离, 你能利用本节所学的知识解决这个问题吗
解：1)先在陆地取一点可以直接到A点和B点的点C；
(2)连结AC并延长到点D，使CD：CA=1：2；
(3)连结BC并延长到点E，使CE：CB=1：2；
(4)连结DE，并测出它的长度．
由以上操作可得：
△ABC∽△DEC，
∴ 如图，2DE的长度就是A、B间距离．
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．
相似三角形的判定定理2
课堂总结
两边对应成比例且其中一边所对的角对应相等的两个三角形不一定相似．
课后作业
习题4.6：知识技能第1，3两题
第三课时
利用三边
判定两三角形相似
(判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似)
(判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似)
A
C
B
D
E
如图，D，E分别是△ABC的边AC，AB上的点，请你添加一个条件，使△ADE∽△ABC.
∠ADE=∠B
那么还有其他方法判定三角形相似吗？
复习回顾
画一画
①画△ABC,使AB=3cm,AC=2cm,BC=4cm,
②再画△A′B′C′，使
探究新知
B
A
C
B’
A’
D
E
C’
3cm
2cm
4.5cm
3cm
4cm
6cm
③量出∠A与∠A′,∠A=∠A′吗,量出∠B与∠B′的度数，∠B′=∠B吗？由此可推出∠C′=∠C 吗？为什么？
④由上面的画图，你能发现△A′B′C′与△ABC有何关系？与你周围的同学交流.
我发现这两个三角形是相似的.
思考：我们能否用推理的方法得出这个结论？
B
A
C
B’
A’
C’
∠A=∠A′,∠B′=∠B，∠C′=∠C
改变k值的大小，再试一试．
我们来证明一下前面得出的结论：
△A′B′C′∽△ABC.
如图，在△ABC与△A′B′C′中，已知
求证：△A′B′C′∽△ABC.
证明：在△A′B′C′的边A′B′上截取点D,使A′D=AB．过点D作DE∥B′C′,交A′C′于点E.
∵DE∥B′C′,
∴△A′DE∽△A′B′C′.
B
A
C
B’
A’
D
E
C’
∵
∴△A′DE ≌△ABC，
∵△A′DE∽△A′B′C′
∴△A′B′C′∽△ABC.
B
A
C
B’
A’
D
E
C’
由此得到三角形的判定定理3：
三边成比例的两个三角形相似．
B
A
C
B’
A’
C’
几何语言：
∵
1.已知△ABC和 △DEF,根据下列条件判断它们是否相似.
(3) AB=12， BC=15， AC＝24.
DE＝16， EF＝20， DF＝30.
(2)AB=4， BC=8， AC＝10.
DE＝20， EF＝16， DF＝8.
(1)AB=3， BC=4， AC＝6.
DE＝6， EF＝8， DF＝9.
是
否
否
巩固应用
注意：大对大，小对小，中对中
例2.在正方形方格中，△ABC的顶点A、B、C在单位
正方形的顶点上，请在图中画一个格点 使
（相似比不为1），且点都在单位正方形的顶点上．
解：已知的△ABC的三边分别是
如图所示：将△ABC各边
都扩大
得出
，即为所求．
倍，
例3:如图所示，在△ABC和△ADE中， ∠BAD=20°,求∠CAE的度数.
解：∵
∴△ABC∽△ADE
∴∠BAC=∠DAE.
∴∠BAC - ∠DAC =∠DAE-∠DAC.
即 ∠BAD=∠CAE.
∵∠BAD=20°.
∴∠CAE=20°.
A
B
C
D
E
课堂练习
解：（1）
（2）∵AE=1，EB=1，AF=3，FC=3
∴AB=2,AC=6
∵∠A=∠A
∴△ABC∽△AEF
2.如图，小正方形的边长均为1，则下图中的三角形(阴影部分)与△ABC相似的为（ ）
B
A
C
B
A
C
D
解析：已知给出的三角形的各边AB、CB、AC分别为
B
；只有选项B的各边为
与它的各边对应成比例．故选B．
3.在△ABC和△A′B′C′中，已知：AB＝6cm，BC＝8cm，AC＝10cm，A′B′＝18cm，B′C′＝24cm，A′C′=30cm．求证：△ABC与△A′B′C′相似．
证明：∵
∴
∴ △ABC ∽△A′B′C′
（三边成比例的两个三角形相似)．
A
C
B
C′
A′
B′
1.如图, △ ABC与△ A′B′C′相似吗 你用什么方法来支持你的判断
C
B
A
A′
B′
C′
解：这两个三角形相似．
设1个小方格的边长为1，则
拓展应用
2.如图在△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm，点Q从B出发，沿BC方向以2cm/s的速度移动，点P从C出发，沿CA方向以1cm/s的速度移动．若Q、P分别同时从B、C出发，试探究经过多少秒后，以点C、P、Q为顶点的三角形与△CBA相似？
分析：此题要根据相似三角形的性质设出未知数，即经过x秒后，两三角形相似，然后根据速度公式求出他们移动的长度，再根据相似三角形的性质列出分式方程求解．
解：设经过x秒后，两三角形相似，
则CQ=（8-2x）cm，CP=xcm，
∵∠C=∠C=90°，
∴当 时，两三角形相似．
（1）当 时， ， ；
（2）当 时， ，
所以，经过 后，
两三角形相似．
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．
相似三角形的判定定理2
课堂总结
相似三角形的判定定理1
相似三角形的判定定理3
三边成比例的两个三角形相似．
两角对应相等的两个三角形相似．
课后作业
习题4.7：知识技能第1，2两题
第四课时
黄金分割
请你欣赏
迷人的芭蕾舞舞蹈
请你欣赏
正五角星形,有庄严雄健之美.
请你欣赏
世界名画《蒙娜丽莎》
无论是画面整体还是局部都给人以美的感觉.
芭蕾舞者，庄严的五角星，名画《梦娜丽莎》都给人美的感觉，归功于我们所要学的黄金分割.
1、在图中，分别量出线段 AC 、BC 、AB 的长度.
2、分别计算 与 的值(精确到0. 1cm).
3、 与 相等吗？
小组合作:量一量，算一算
探索新知
通过测量得到：AC=6.2cm,BC=3.8cm，AB=10cm;
由于测量和计算比值都会产生误差，理想值应是
黄金分割的定义：
在线段AB上，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果 ,那么称线段AB被点C黄金分割,点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比.
探索新知
黄金分割就是三条能构成比例线段的特殊线段AB,AC和BC.其中线段AC是线段AB和线段BC的比例中项,也可写成 .
线段AB上就一个黄金分割点吗？
一条线段有两个黄金分割点.
AC与AB的比叫做黄金比，那么这个黄金比等于多少呢？
已知如图，
解：设AB=1,设AC=x,则BC=1-x.
∴黄金比
，求AC:AB的值.
提出问题：如何找到一条线段的黄金分割点？
2.连接AD,在AD上截 取DE=DB.
3.在AB上截取AC=AE.
A
B
D
E
C
1.经过点B作BD⊥AB,
使
故点C即为所求.
应用新知
根据上述作图，回答下列问题：
1、如果设AB=2a, 那么BD,AD,AC,BC 分别等于多少
2、点C是线段AB的黄金分割点吗
解：根据作图过程可知：
∴在Rt△ABD，
∴点C是线段AB的黄金分割点.
古希腊时期的巴台农神庙
右图是古希腊时期的巴台农神庙,如把图中虚线表示的矩形画成图中的ABCD,以矩形ABCD的宽为边在其内部作正方形AEFD,那么我们可以惊奇的发现
A
B
C
D
E
F
点E是AB的黄金分割点吗 矩形ABCD的宽与长的比是黄金比吗
A
B
C
D
E
F
点E是AB的黄金分割点吗 矩形ABCD的宽与长的比是黄金比吗
解：∵AEFD是正方形
∴AE=BC，
∴点E是AB的黄金分割点，矩形ABCD的宽与长的比是黄金比
1.判断正误：
①如果点C是线段AB的黄金分割点，那么
（ ）
特别提示：一条线段有2个黄金分割点，
点C靠近A端AC就是较短边。
②如果
，那么点C是线段AB 的黄金分割点。（ ）
×
×
特别提示：黄金比并不为黄金分割所专有，只要任两条线段的比值满足这一常数，就称这两条线段的比为黄金比，黄金比没有单位。
巩固练习
（ ）
√
特别提示：必须满足位置和数量两个条件,才能判断一个点是否是一条线段的黄金分割点。
③如果点C在线段AB上，且 ,那么点C是线段AB的黄金分割点.
2.在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长的比为黄金比。已知这本书的长为20cm,则它的宽约为 （ ）
A.12.36cm B.13.60cm C.32.36cm D.7.64cm
解：根据题意有：
∴宽=20×0.618≈12.36cm，故选A.
A
3.人体下半身（即脚底到肚脐的长度）与身高的比越接近0.618越给人以美感，遗憾的是即使是身材修长的芭蕾舞演员也达不到如此完美.某女士身高1.68m，下半身1.02m，她应选择多高的高跟鞋看起来更美丽？（精确到1cm）
解：设她应选择高跟鞋的高度是xcm，则 ，
解得：x≈4.8cm．
经检验知x≈4.8是原方程的解，
∴她应选择4.8cm的高跟鞋看起来更美丽
确定黄金分割点的另一个方法
采用如下的方法也可以得到黄金分割点:如图
任意作一条线段,用上述方法作出这条线段的黄金分割点.
你能说说这种作法的道理吗
设AB是已知线段.
在AB上作正方形ABCD.
取AD的中点E,连接EB.
延长长DA至F,使EF=EB.
以线段AF为边作正方形AFGH.
点H就是AB的黄金分割点.
A
B
C
D
E
F
G
H
拓展提高
解:设AB=1,那么在Rt△BAE中,
A
B
C
D
E
F
G
H
∴点H是AB的黄金分割点.
课堂总结
黄金分割和黄金比的定义
在线段AB上，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果 ,那么称线段AB被点C黄金分割,点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比.
如何确定黄金分割点
感受黄金分割的美
课后作业
习题4.8：知识技能第1，3两题
谢谢！
