(共16张PPT)
第3课时
直角三角形斜边上的中线
知识点：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
1．如图，△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝62°，分别以点A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧(所在圆的半径相等)相交于E，F两点，EF与AC交于点O，则∠ABO的度数为（ ）
A．28° B.30°
C．31° D．36°
A
2．如图，一架梯子AB斜靠在竖直墙上，M为梯子AB的中点，当梯子底端向左水平滑动到CD位置时，滑动过程中OM的变化规律是（ ）
A．变小
B．不变
C．变大
D．先变小再变大
B
3．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD，AE分别是边BC上的中线和高，若AE＝2，S△ABD＝，则AD的长为（ ）
A.
B.
C．1
D.
A
4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D在BC上，E是AB的中点，AD，CE相交于点F，且AD＝DB，若∠B＝20°，则∠DFE的度数为（ ）
A．30°
B．40°
C．50°
D．60°
D
5．如图，一技术人员用刻度尺(单位：cm)测量某三角形部件的尺寸．已知∠ACB＝90°，D为边AB的中点，点A，B对应的刻度分别为1，7，则CD
＝ cm.
6．如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，E为AB的中点，AD＝6，DE＝5，则BD＝ .
3
8
7．如图，在△ABC和△ADC中， ∠ABC＝∠ADC＝90°，E是AC的中点．求证：∠EBD＝∠EDB.
证明：∵在△ABC中，
∠ABC＝90°，E是AC的中点，
∴BE＝AC，
同理，DE＝AC，
∴BE＝DE，∴∠EBD＝∠EDB.
8．如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，E是BC的中点，连结OE，OD.
(1)求证：OE⊥BC；
(2)若OE＝2，AD＝6，求OD的长．
证明：∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点，E是BC的中点，∴OE∥AB，AB＝2OE，∠ABC＝90°，
∴∠OEC＝∠ABC＝90°，∴OE⊥BC.
解：∵OE＝2，∴AB＝CD＝4，
∴AC＝＝＝2，
又∵O是AC的中点，∴OD＝AC＝.
9．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝90°，BC＝DC，O为对角线BD的中点，连结AO，CO，若AO＝，OC＝1，则CD的长为( )
A.
B.
C.
D.
B
10．如图，在△ABC 中，D是BC上一点，AB＝AD，E，F分别是AC，BD 的中点，EF＝2，则AC 的长是( )
A．3
B．4
C．5
D．6
【解析】连结AF，则AF⊥BD，可得EF＝AC.
B
11．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，CD是△ABC的中线，E是CD的中点，连结AE，BE.若AE⊥BE，则∠ACE的度数为 .
30°
12．如图，在Rt△ABC中，CD为斜边AB的中线，在线段AD及CD的延长线上依次取点E，F，连结EF，且∠EFD＝∠B，若∠A＝70°，求∠AEF的度数．
解：∵∠A＝70°，∴∠B＝90°－∠A＝20°，
∴∠EFD＝20°，
∵CD为斜边AB的中线，
∴CD＝AB＝BD，∴∠BCD＝∠B＝20°，
∴∠EFD＝∠BCD.∴BC∥EF，
∴∠DEF＝∠B＝20°，
∴∠AEF＝180°－∠DEF＝160°.
13．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，M为边AB的中点，点E在线段AM上，连结CM，CE.已知∠A＝50°，∠ACE＝30°.
求证：CE＝CM.
证明：∵∠ACB＝90°，
M为边AB的中点，∴CM＝MA＝MB.
∴∠MCA＝∠A，∠MCB＝∠B.
∵∠A＝50°，∴∠MCA＝50°，∴∠EMC＝80°，
∵∠ACE＝30°，
∴∠MEC＝∠A＋∠ACE＝80°，
∴∠MEC＝∠EMC.
∴CE＝CM.
14．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC
(1)若BD＝ED，求证：∠A＝30°；
证明：在△ABC中，∠ACB＝90°，CE是斜边AB上的中线，则CE＝AB＝EB＝AE，
∵BD＝ED，CD⊥EB，∴CE＝CB，
∴CE＝BE＝CB，∴△CBE为等边三角形，∴∠B＝60°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A＝90°－60°＝30°.
(2)若AD＝4BD＝8，求CD的长．
解：∵4BD＝8，∴BD＝2，
∴AB＝AD＋BD＝10，
∴CE＝BE＝AB＝5，
∴DE＝BE－BD＝3，
由勾股定理得CD＝＝4.(共14张PPT)
第1课时
菱形的定义及其性质
知识点一：菱形的概念及对称性
1．菱形OACB在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C的坐标是(6，0)，点A的纵坐标是1，则点B的坐标是（ ）
A．(3，1) B．(3，－1)
C．(1，－3) D．(1，3)
B
2．如图，在 ABCD中，∵∠1＝∠2，∴BC＝AB，∴ ABCD是菱形( )．(请在括号内添上理由)
3．在菱形ABCD中，∠ABC＝40°，则∠ABD的度数是 .
一组邻边相等的平行四边形是菱形
20°
4．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，对角线BD＝6，则菱形的边AB的长为（ ）
A．4
B．6
C．3
D．8
B
5．如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AC, AB的中点，如果EF＝3，那么菱形ABCD的周长为（ ）
A．24
B．18
C．12
D．9
A
6．(永吉县期末)如图，已知四边形ABCD是菱形，过点A作AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F.求证：BE＝DF.
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，∠B＝∠D，
∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEB＝∠AFD＝90°，
∴△ABE≌△ADF，
∴BE＝DF.
知识点三：菱形的对角线互相垂直
7．(甘肃中考)在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AB＝2 cm，AC＝4 cm，则BD的长为 cm.
8．菱形的周长为30 cm，一边上的高为 4 cm，则菱形的面积为 .
8
30 cm2
9．在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E.
(1)求证：四边形ACDE是平行四边形；
(2)若BE＝10，BD＝6，求菱形ABCD的面积．
证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AC⊥BD，
又∵DE⊥BD，∴DE∥AC，
∴四边形ACDE是平行四边形．
解：∵四边形ACDE是平行四边形，四边形ABCD是菱形，∴BE＝10，BD＝6，
∴AC＝DE＝＝8，
∴菱形ABCD面积＝DB·AC＝×6×8＝24.
10．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BC，垂足为E，连结OE.若BD＝6，OE＝，则菱形ABCD的面积是 .
11．如图，菱形ABCD的两条对角线长AC＝6，BD＝8，E是BC边上的动点，则AE长的最小值为 .
6
12．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ABC＝80°， E是线段AO上一点，且BC＝CE，则∠OBE的度数是 .
25°
13．【逆向思维】如图，在菱形ABCD中，F是BC上任意一点，连结AF交对角线BD于点E，连结EC.
(1)求证：AE＝EC；
(2)当∠ABC＝60°，∠CEF＝60°时，点F在线段BC上的什么位置？说明理由．
证明：连结AC，
∵BD，AC是菱形ABCD的对角线，∴BD垂直平分AC.
∵点E在BD上，∴AE＝EC.
解：点F在线段BC的中点．理由：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝CD.又∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形∴∠BAC＝60°.
∵AE＝EC，∴∠EAC＝∠ACE.∵∠CEF＝60°，∴∠EAC＝30°，
∴∠EAC＝∠EAB＝30°，∴AF为△ABC的角平分线和中线，
∴BF＝CF，即点F是线段BC的中点．
14．【推理能力】如图①，在菱形ABCD中，E，F分别为AB，AD的中点，连结CE，CF.
(1)求证：CE＝CF；
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠D.
∵E，F分别为AB，AD的中点，
∴DF＝AD，BE＝AB，∴BE＝DF，
在△BCE和△DCF中，
∴△BCE≌△DCF.∴CE＝CF
①)
(2)如图②，若H为AB上一点，连结CH，HF，使HC2－HF2＝CE2，求证：∠CHB＝2∠BCE.
延长HF交CD的延长线于点G，
∴HC2－HF2＝CE2，CE＝CF，
∴HC2＝HF2＋CF2，∴∠CFH＝90°.∴CF⊥HF.
∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，
∴∠G＝∠AHF，∠FDG＝∠A，∠CHB＝∠HCG，
∵F为AD的中点，∴AF＝DF，在△DFG和△AFH中，
∴△DFG≌△AFH.∴FG＝FH.
∵CF⊥GH，∴∠FCG＝∠HCG，
由(1)得△BCE≌△DCF，∴∠BCE＝∠FCG，
∴∠BCE＝∠HCG.∴∠BCE＝∠CHB，即∠CHB＝2∠BCE.(共15张PPT)
第2课时
利用矩形的性质进行计算
知识点一：利用矩形的性质求角度
1．如图，已知矩形ABCD，将△BCD沿对角线BD折叠，记点C的对应点为C′，若∠ADC′＝20°，则∠BDC的度数为（ ）
A．55°
B．50°
C．60°
D．65°
A
2．如图，在矩形ABCD中，连结AC，延长BC至点E，使BE＝AC，连结DE.若∠E＝70°，则∠BAC的度数为 .
3．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，DF⊥AC于点F.若∠ADF＝3∠DAC，则∠DOC的度数是 .
50°
45°
知识点二：利用矩形的性质求长度
4．如图，在矩形ABCD中，AC＝4，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，若BE＝EO，则AE的长是( )
A.
B.
C．2
D.
B
5．如图，在矩形ABCD中，∠BDC的平分线交AB的延长线于点E，若AD＝3，AE＝9，则AB的长为 .
4
6．如图，矩形ABCD的两条对角线AC，BD交于点O，已知△AOB，△AOD，△COD，△BOC的周长的和是86 cm，AC的长是13 cm，求矩形的周长．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD＝13 cm，
∵△AOB，△BOC，△COD和△AOD四个三角形的周长和为86 cm，
∴AB＋BC＋CD＋DA＝86－2(AC＋BD)＝34(cm)．
∴矩形ABCD的周长为34 cm.
知识点三：利用矩形的性质求面积
7．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线EF分别交AD，BC于点E，F.若AB＝4，BC＝6，则图中阴影部分的面积为 .
12
8．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，DE∥AC交BA的延长线于点E.
(1)求证：DE＝BD；
(2)若∠ABD＝60°，BD＝2，求矩形ABCD的面积．
证明∵矩形ABCD，
∴AB∥CD，AC＝BD，又∵DE∥AC，
∴四边形ACDE为平行四边形，∴DE＝AC，∴DE＝BD.
解：∵∠ABD＝60°，∠BAD＝90°，AO＝BO，
∴△AOB为等边三角形，∴AB＝BO＝BD＝1，
AD＝＝＝.
∴S矩形ABCD＝AB·AD＝1×＝.
9．如图，将两块完全相同的矩形纸片ABCD和矩形纸片AEFG按如图所示方式放置(点A，D，E在同一直线上)，连结AC，AF，CF，已知AD＝3，DC＝4，则CF的长是( )
A．5
B．7
C．5
D．10
C
10．如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别交BC，AD于点E，F，若BE＝3，AF＝5，则AC的长为( )
A．4
B．4
C．10
D．8
A
11．如图，矩形ABCD中，F是DA延长线上一点，G是CF上一点，并且∠ACG＝∠AGC，∠GAF＝∠F.若∠BCE＝20°，则∠ACB的度数为 .
12．如图，在矩形ABCD中，点E在BC边上，连结AE，DE，若AE平分∠BED，且BE∶EC＝18∶7，CD＝4，则CE的长为 .
60°
13．如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，点O为对角线AC，BD的交点，且∠CAE＝15°.
(1)求证：△AOB是等边三角形；
(2)求∠BOE的度数．
证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠ABC＝90°，
AO＝BO＝AC＝BD，∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠BAE＝45°，∴∠BAC＝60°，∴△AOB是等边三角形．
解：∵在Rt△ABE中，∠BAE＝45°，∴AB＝BE，∵△ABO是等边三角形，∴AB＝BO，∴OB＝BE，
∵△AOB是等边三角形，∴∠ABO＝60°，∴∠OBE＝30°，
∴∠BOE＝(180°－30°)＝75°.
14．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，E是CD的中点，连结AE交BD于点F，延长AE到点P，使FP＝AF，连结CF，CP，DP.
(1)求证：四边形CFDP是平行四边形；
证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AO＝CO，∵FP＝AF，∴OF是△ACP的中位线，
∴OF∥CP，
∴∠FDE＝∠PCE，
∵点E是CD的中点，
∴DE＝CE，∴△DEF≌△CEP，∴EF＝EP，
又∵DE＝CE，∴四边形CFDP是平行四边形．
(2)若四边形CFDP是矩形，且AD＝，求AB的长．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB，∠ADE＝90°，
∴根据勾股定理，得AD2＋DE2＝AE2，
若四边形CFDP是矩形，则EF＝DE＝PE＝CE＝CD，FP＝CD，
∵AF＝FP，∴AE＝AF＋EF＝CD，
∴AD2＋(CD)2＝(CD)2，∴AD2＝2CD2，
∴AD＝CD或AD＝－CD(不符合题意，舍去)，
∵AD＝，∴CD＝AB＝1，
∴AB的长为1.(共14张PPT)
第1章 整式的乘法
1．1 整式的乘法
1．1.1 同底数幂的乘法
知识点一：有一组邻边相等的平行四边形是菱形
1．如图，要使 ABCD变为菱形，需要添加的条件是（ ）
A．AC＝BD
B．AD＝BC
C．AB＝CD
D．AB＝BC
D
2．如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连结AD，添加一个条件： ，使四边形ACED为菱形．
AC＝BC(答案不唯一)
3．如图，在 ABCD中，点E，F分别是CB，CD上的点，∠AEB＝∠AFD，且BE＝DF.求证：四边形ABCD是菱形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D，
又∵BE＝DF，
∠AEB＝∠AFD，
∴△ABE≌△ADF，∴AB＝AD，
∴四边形ABCD是菱形．
知识点二：四条边都相等的四边形是菱形
4．如图，小聪在作线段AB的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点C，D，则直线CD即为所求．根据他的作图方法，可知四边形ADBC一定是( )
A．矩形
B．菱形
C．正方形
D．等腰梯形
B
5．如图，△ABC为等腰三角形，AB＝AC，把它沿底边BC翻折后得到△DBC，则四边形ABDC是菱形，其判断依据是 ．
6．旗花面是西北地区传统面食，因形状近似菱形，又称菱形面片．如图，四边形ABCD是由四个全等的小菱形面片组合而成，则四边形ABCD的形状
是 ．
四条边都相等的四边形是菱形
菱形
7．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BD平分∠ABC，∠A＝∠C.求证：四边形ABCD为菱形．
证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
△ABD≌△CBD，
∴AB＝BC，AD＝DC，
∵AB＝AD，∴AB＝BC＝DC＝AD，
∴四边形ABCD是菱形．
8．如图， ABCD中，∠A＝110°，AD＝DC.E，F分别是边AB和BC的中点，EP⊥CD于点P，则∠PEF的度数为 ( )
A．35°
B．45°
C．50°
D.55°
A
9．两张全等的矩形纸片ABCD，AECF按如图方式交叉叠放在一起，AB＝AF，AE＝BC.若AB＝2，BC＝6，则图中重叠(阴影)部分的面积为( )
A.
B．2
C.
D.
C
10．如图，在△ABC中，AD，CD分别平分∠BAC和∠ACB，AE∥CD，CE∥AD，若从三个条件：①AB＝AC；②AB＝BC；③AC＝BC中，选择一个作为已知条件，则能使四边形ADCE为菱形的是 (选填序号)．
②
11．如图，在菱形ABCD中，将对角线AC分别向两端延长到点E和F，使得AE＝CF.连结DE，DF，BE，BF.求证：四边形BEDF是菱形．
证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，
∠DAC＝∠DCA＝∠BCA＝∠BAC，
∴∠EAD＝∠EAB＝∠FCD＝∠FCB，
又∵AE＝CF，
∴△EAD≌△EAB≌△FCD≌△FCB，
∴DE＝BE＝DF＝BF，
∴四边形BEDF为菱形．
12．如图，在 ABCD中，边AB的垂直平分线交AD于点E，交CB的延长线于点F，连结AF，BE.
(1)求证：△AGE≌△BGF；
(2)试判断四边形AFBE的形状，并说明理由．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∴∠AEG＝∠BFG，
∵EF垂直平分AB，∴AG＝BG，∴△AGE≌△BGF.
解：四边形AFBE是菱形，
理由：∵△AGE≌△BGF，∴AE＝BF，
∵AD∥BC，∴四边形AFBE是平行四边形，
又∵EF垂直平分AB ，∴AE＝BE.∴四边形AFBE是菱形．
13．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BF平分∠ABC，CD⊥AB于点D，与BF交于点G，GE∥AC.求证：CE与FG互相垂直平分．
证明：∵BF平分∠ABC，∴∠CBF＝∠EBF，
∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠CFB＝∠BGD，
∵∠BGD＝∠CGF，∴∠CFB＝∠CGF，∴CF＝CG.
∵GE∥AC，∴∠FGE＝∠CFB＝∠CGF，
∴∠CGB＝∠EGB，∴△BGC≌△BGE.
∴CG＝EG，∴CF＝GE.
∵GE∥CF，∴四边形CGEF是平行四边形．
∵CF＝CG，∴四边形CGEF是菱形，
∴CE与FG互相垂直平分．(共15张PPT)
第1课时
矩形的判定(一)
知识点一：有一个角是直角的平行四边形是矩形
1．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC边上，DF∥AB，DE∥AC，则当∠A＝ °时，四边形AEDF是矩形．
90
知识点二：有三个角是直角的四边形是矩形
2．在平面直角坐标系中，点A的坐标为(2，0)，点B的坐标为(0，1)，要使四边形BOAC为矩形，则点C的坐标为 ．
3．如图，∠AOB＝90°，∠AOB内的任意一点P到这个角的两边的距离之和为6 cm，则图中四边形的周长为 .
(2，1)
12 cm
4．如图，在 ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，点E，F分别为垂足．
求证：四边形AECF是矩形．
证明：∵AD∥BC，
AE⊥BC，CF⊥AD，
∴∠EAF＝∠AEC＝∠AFC＝90°，
∴四边形AECF是矩形．
知识点三：对角线相等的平行四边形是矩形
5．在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的4位同学拟定的方案，其中正确的是( )
A．测量对角线，看是否互相平分
B．测量两组对边，看是否分别相等
C．测量对角线，看是否相等
D．测量对角线的交点到四个顶点的距离，看是否都相等
D
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，将△ABC绕点C旋转180°得到△FEC，连结AE，BF.当∠ACB＝ °时，四边形ABFE为矩形．
60
7．如图，在 ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，BE＝DF，AC＝EF.求证：四边形AECF是矩形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC.
∵BE＝DF，
∴AD－DF＝BC－BE，即AF＝EC.
∵AF∥EC，∴四边形AECF是平行四边形，
又∵AC＝EF，∴四边形AECF是矩形．
易错点：对矩形的判定方法理解不透彻
8． ABCD的对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件仍不能判断四边形ABCD是矩形的是( )
A．AB2＋BC2＝AC2
B．AB＝AD
C．OA＝OD
D．∠ABC＋∠ADC＝180°
B
9．如图，顺次连结四边形ABCD各边中点得四边形EFGH，要使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是( )
A．AB∥DC
B．AC＝BD
C．AC⊥BD
D．AB＝DC
C
10．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，动点E以每秒1个单位长度的速度从点A出发沿AC方向运动，点F同时以每秒1个单位长度的速度从点C出发沿CA方向运动，若AC＝12，BD＝8，则经
过 s后，四边形BEDF是矩形．
11．(平定县期末)如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝4，点P为AB上一动点，PD⊥BC于点D，PE⊥AC于点E，则DE的最小值为 .
2或10
2
12．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，四边形ABDE是平行四边形，AC，DE相交于点O.
(1)求证：四边形ADCE是矩形；
证明：∵四边形ABDE是平行四边形，
∴BD∥AE，BD＝AE.
∵AB＝AC，点D为BC中点，∴∠ADC＝90°，
又∵点D为BC中点，∴CD＝BD＝AE.
∵CD∥AE，CD＝AE.
∴四边形AECD是平行四边形，
又∵∠ADC＝90°，∴四边形ADCE是矩形．
(2)若∠AOE＝60°，AE＝4，求矩形ADCE对角线的长．
解：∵四边形ADCE是矩形，∴AO＝EO，
又∵∠AOE＝60°，∴△AOE为等边三角形，
∴AO＝4，∴AC＝8.
即矩形ADCE对角线的长为8.
13．【核心素养·推理能力】如图，在 ABCD中，AC，BD相交于点O，E，F分别是OA，OC的中点．
(1)求证：BE＝DF；
证明：连结DE，BF，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO＝OD，AO＝OC，
∵E，F分别为AO，OC的中点，
∴EO＝OA，OF＝OC，∴EO＝FO，
∵BO＝OD，EO＝FO，∴四边形BFDE是平行四边形，
∴BE＝DF.
(2)设＝k，当k为何值时，四边形DEBF是矩形？请说明理由．
解：当k＝2时，四边形DEBF是矩形．
理由：当BD＝EF时，四边形DEBF是矩形，
∴当OD＝OE时，四边形DEBF是矩形，
∵AE＝OE，
∴AC＝2BD，
∴当k＝2时，四边形DEBF是矩形．(共14张PPT)
第2课时
菱形的判定定理2
知识点：对角线互相垂直的平行四边形是菱形
1．在 ABCD中，添加一个条件能判断其为菱形，这个条件可以是（ ）
A．AB⊥BC
B．BC⊥CD
C．CD⊥AC
D．AC⊥BD
D
2．能够判定一个四边形是菱形的条件是( )
A．对角线相等且互相垂直
B．对角线互相平分且相等
C．对角线互相垂直且互相平分
D．对角线互相垂直
C
3．在平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点坐标分别是A(－3，0)，B(0，2)，C(3，0)，D(0，－2)，则四边形ABCD是( )
A．矩形
B．菱形
C．梯形
D．平行四边形
B
4．如图是一张矩形纸片ABCD(AD>AB)，将纸片折叠一次，使点A与点C重合，再展开，折痕EF交边AD于点E，交边BC于点F，连结AF和CE，则可以判定四边形AFCE的形状是 ．
5．如图，在△ABC中，D是BC的中点，点E，F分别在线段AD及其延长线上，且DE＝DF.给出下列条件：①BE⊥EC；②BF∥CE；③AB＝AC.从中选择条件 可使四边形BECF是菱形．(选填序号)
菱形
③
6．如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AD＝，AC＝6，BD＝4，四边形ABCD是菱形吗？请说明理由．
解：四边形ABCD是菱形．
理由：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD＝BD＝2，
OA＝OC＝AC＝3，
∵OA2＋OD2＝32＋22＝13，AD2＝()2＝13，
∴OA2＋OD2＝AD2，
∴∠AOD＝90°，
∴AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形．
7．如图，在 ABCD中，点E为边CD的中点，连结AE并延长，交边BC的延长线于点F.若∠BAF＝90°，求证：四边形ACFD是菱形．
证明：在 ABCD中，AD∥BF.∴∠ADC＝∠FCD.
∵点E为CD的中点，∴DE＝CE.
在△ADE和△FCE中，∠AED＝∠FEC，DE＝CE，
∠ADE＝∠FCE，∴△ADE≌△FCE，
∴AE＝FE.又∵DE＝CE，
∴四边形ACFD是平行四边形．
∵在 ABCD中，AB∥CD∴∠CEF＝∠BAF＝90°，
∴四边形ACFD是菱形．
8．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是OA，OC的中点，下列条件中，不能判断四边形BEDF是菱形的是( )
A．AC⊥BD
B．AC＝2BD
C．AC平分∠BAD
D．AB＝BC
B
9．如图，将一个长为10 cm，宽为8 cm的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线(虚线)剪下，再将剪下的部分打开，得到的四边形的面积为 .
10．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，AB＝AD，连结BD，作∠BAD的平分线AE交BD，BC于点F，E.若EC＝3，CD＝4，那么AE的长为 .
10 cm2
2
11．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD的垂直平分线与边AD，BC分别相交于点M，N.
(1)求证：四边形BNDM是菱形；
(2)若BD＝24，MN＝10，则菱形BNDM的周长为 .
证明：∵AD∥BC，∴∠DMO＝∠BNO，
∵MN是对角线BD的垂直平分线，∴OB＝OD，MN⊥BD，
∴△MOD≌△NOB，∴OM＝ON，
∵OB＝OD，∴四边形BNDM是平行四边形，
∵MN⊥BD，∴四边形BNDM是菱形．
52
2．如图，已知△ABC，按如下步骤作图：
①分别以点A，C为圆心，以大于AC的长为半径在AC两边作弧，交于两点M，N；
②连结MN.分别交AB，AC于点D，O；
③过点C作CE∥AB交MN于点E.连结AE，CD.
(1)求证：四边形 ADCE是菱形；
证明：由作法可知：直线DE是线段AC的垂直平分线，∴AC⊥DE，
即∠AOD＝∠COE＝90°，且AD＝CD，AO＝CO.
又∵CE∥AB，∴∠ADO＝∠CEO.
∴△AOD≌△COE，
∴OD＝OE.∴四边形ADCE是平行四边形．
∵AC⊥DE，∴四边形ADCE是菱形．
(2)当∠ACB＝90°，BC＝6，△ADC的周长为18时，求四边形ADCE的面积．
解：当∠ACB＝90°时，由(1)知AC⊥DE，AD＝CD，∴∠DAC＝∠DCA.
∵∠DAC＋∠B＝90°，∠DCB＋∠DCA ＝ 90°，
∴∠DCB＝∠B，∴DB＝DC＝DA.∵OA＝CO，
∴DO＝BC＝3.又∵△ADC的周长为18，
∴AD＋AO＝9，即 AD＝9－AO，
∴OD＝＝＝3，
解得AO＝4，∴S四边形ADCE＝4S△ADO＝4×·OD·OA
＝4××3×4＝24.(共11张PPT)
第2课时
矩形的判定(二)
知识点一：与角平分线相关的矩形判定
1．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D点是AB的中点，DE，DF分别是∠BDC，∠ADC的角平分线．求证：四边形FDEC是矩形．
证明：∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，∴AD＝CD，
∵DF是∠ADC的角平分线，∴DF⊥AC.∴∠CFD＝90°，
∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，∴BD＝CD，
∵DE是∠BDC的角平分线，
∴DE⊥BC.∴∠DEC＝90°，
∵∠CFD＝90°，∠ACB＝90°，
∴四边形DECF是矩形．
2．如图，在 ABCD中，点E在AD边上，BE和CE分别是∠ABC和∠BCD的角平分线，以BC为对角线向外作四边形BECF，使∠BCF＝∠AEB，∠CBF＝∠DEC.求证：四边形BECF是矩形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥DC，
∴∠AEB＝∠CBE，∠DEC＝∠BCE，∠ABC＋∠BCD＝180°.
∵∠BCF＝∠AEB，∠CBF＝∠DEC，
∴∠BCF＝∠CBE，∠CBF＝∠BCE.∴CF∥BE，BF∥CE.
∴四边形BECF是平行四边形．
∵BE和CE分别是∠ABC和∠BCD的角平分线，
∴∠CBE＝∠ABC，∠BCE＝∠BCD.
∴∠CBE＋∠BCE＝(∠ABC＋∠BCD)＝90°.
∴∠BEC＝180°－(∠CBE＋∠BCE)＝90°.
∴四边形BECF是矩形．
知识点二：与全等相关的矩形判定
3．如图，四边形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，O是边AD的中点，∠AOB＝∠DOC.求证：四边形ABCD是矩形．
证明：∵∠A＝∠D＝90°，
∴∠A＋∠D＝180°，
∴AB∥CD，
∵O是边AD的中点，
∴AO＝DO，∴△ABO≌△DCO，
∴AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠A＝90°，∴四边形ABCD是矩形．
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E分别是线段BC，AD的中点，过点A作AF∥BC，交BE的延长线于点F，连结CF.试判断四边形ADCF的形状，并给予证明．
解：四边形ADCF是矩形，
证明：∵E是AD的中点，∴AE＝DE，∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE，∴△BDE≌△FAE，∴AF＝BD，
∵AB＝AC，D是线段BC的中点，∴BD＝CD，AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，AF＝CD，
∵AF∥BC，∴四边形ADCF是平行四边形，
∵∠ADC＝90°，∴四边形ADCF是矩形．
5．如图，EF∥MN，PQ交EF，MN于A，C两点，AB，CB，CD，AD分别是∠EAC，∠MCA，∠ACN，∠CAF的平分线，则四边形ABCD是 ．
6．如图，将矩形纸片ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH.若EH＝3，EF＝4，则矩形ABCD的面积是 .
矩形
24
7．如图，在 ABCD中，DE平分∠ADB，交AB于点E，BF平分∠CBD，交CD于点F.
(1)求证：DF＝BE；
(2)若AD＝BD，求证：四边形DEBF是矩形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠ADB＝∠CBD，
∵DE平分∠ADB，BF平分∠CBD，
∴∠EDB＝∠ADB，∠DBF＝∠CBD，
∴∠EDB＝∠DBF，∴DE∥BF，又∵AB∥CD，
∴四边形DEBF是平行四边形，∴DF＝BE.
∵AD＝BD，DE平分∠ADB，∴DE⊥AB，
又∵四边形DEBF是平行四边形，∴四边形DEBF是矩形．
8．如图， ABCD的两条对角线相交于点O，E是BO的中点，过B点作AC的平行线，交CE的延长线于点F，连结BF.
(1)求证：FB＝AO；
(2)当AC与BD满足什么条件时，四边形AFBO是矩形？说明理由．
证明：∵E是BO的中点，∴OE＝BE，
∵BF∥AC，∴∠BFE＝∠OCE，∴△BEF≌△OEC，
∴BF＝OC，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，∴FB＝AO.
解：AC⊥BD时，四边形AFBO是矩形．理由：由(1)可知，FB＝AO，
∵FB∥AC，∴四边形AFBO是平行四边形，
∵AC⊥BD，∴∠AOB＝90°，∴四边形AFBO是矩形．
9．如图，在△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过O作直线MN∥BC，交∠ACB的平分线于点E，交外角∠ACG的平分线于点F.
(1)判断OE与OF的大小关系？并说明理由；
解：OE＝OF，
理由：∵MN∥BC，∴∠OEC＝∠ECB，
∵CE平分∠ACB，∴∠ACE＝∠ECB，
∴∠OEC＝∠ACE，∴OE＝OC，
同理可得OC＝OF，∴OE＝OF.
(2)当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并说明理由．
解：当O为AC的中点时，四边形AECF是矩形，
理由：∵OA＝OC，OE＝OF(已证)，∴四边形AECF是平行四边形，
∵EC平分∠ACB，CF平分∠ACG，
∴∠ACE＝∠ACB，∠ACF＝∠ACG，
∴∠ACE＋∠ACF＝(∠ACB＋∠ACG)
＝×180°＝90°，
即∠ECF＝90°，
∴四边形AECF是矩形．(共15张PPT)
第2课时
利用菱形的性质进行计算与证明
知识点：菱形性质的应用
1．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝140°，AE⊥CD于点E，AE与对角线BD交于点F，则∠DFE的度数为（ ）
A．70°
B.40°
C.75°
D.30°
A
2．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，连结DF，则∠CFD的度数为 .
3．如图，在菱形ABCD中，分别以点A，D为圆心，大于AD的长为半径画弧，两弧(所在圆的半径都相等)相交于M，N两点，直线MN与边AB相交于点E，连结CE，DE.若AB＝2，DE⊥DC，则线段CE的长为 .
80°
4．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC＝4，BD＝16，将△ABO沿点A到点C的方向平移，得到△A′B′O′.当点A′与点C重合时，点A与点B′之间的距离为 .
5．若菱形较大角是较小角的3倍，并且高为4 cm，则菱形的面积为 .
10
16 cm2
6．如图，在菱形ABCD中，过点B作BE⊥AD于点E，作BF⊥CD于点F.
(1)求证：BE＝BF.
(2)若∠ABC＝100°，求∠EBF的度数．
证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝CD，
∵S菱形ABCD＝AD·BE＝CD·BF，∴BE＝BF.
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，
∴∠C＝180°－∠ABC＝80°，∵BF⊥CD，
∴∠CBF＝180°－∠C－∠BFC＝10°，
同理可得∠ABE＝10°，
∴∠EBF＝∠ABC－∠ABE－∠CBF＝80°.
7．如图，已知菱形ABCD，∠DAB＝120°，延长AC至点F，连结DF，∠FDA＝90°，延长BC交DF于点E.
(1)求证：BD＝DF；
证明：在菱形ABCD中，∠DAB＝120°，BD平分∠CDA，AD＝CD，∴∠CDA＝60°，
∠DCB＝∠DAB＝120°，
∵∠FDA＝90°，∴∠CDB＝∠ADB＝∠FDC＝30°，
∵∠CDA＝60°，AD＝CD，∴△DCA为等边三角形．
∴∠DCA＝60°，∴∠DCF＝120°，
∴△DCF≌△DCB，
∴DF＝BD，即BD＝DF；
(2)若AD＝1，求△BDE的面积．
解：由(1)得，∠BDE＝∠CDB＋∠FDC＝60°，∠DBE＝30°.∴∠DEB＝90°，
∵四边形ABCD是菱形，△DCA为等边三角形，
∴AC⊥BD，AC＝AD＝1，∴BD＝.
∴ED＝，BE＝，
∴S△BDE＝BE·ED＝××＝.
8．如图，将边长为a的菱形ABCD分别沿着EF和GH折叠(E，F，G，H分别在边CD，BC，AD，AB上)，使点A和点C在折叠后均落在BC边上的点M处．若∠C＝45°，DE＝CE，EF⊥BC于点F，则△BHM的周长为( )_
A.a B.a
C.(2-)a D.(1)a
C
9．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝100°，AB的垂直平分线交AC于点F，点E为垂足，连结DF，则∠DFE的度数为( )
A．130°
B.120°
C.110°
D.105°
B
10．在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC＝8 cm，BD＝6 cm，点P为AC上一动点，点P以1 cm/s的速度从点A出发沿AC向点C运动，设运动时间为t s．当t＝ 时，PA＝PB.
11．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F在对角线BD上，且BF＝DE，连结AE，AF.
(1)求证：AE＝AF；
(2)若BE＝AE，BD＝2AC＝16，求线段EF的长．
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴OB＝OD，AC⊥BD，∵BF＝DE，
∴BF－OB＝DE－OD.∴OF＝OE，∴AE＝AF.
解：∵四边形ABCD是菱形，∴OB＝OD，AC⊥BD，OA＝OC，
∵BD＝2AC＝16，∴OA＝4，OB＝8，
设BE＝AE＝x，则OE＝OB－BE＝8－x，
在Rt△AOE中，AE2＝OA2＋OE2，∴x2＝(8－x)2＋42，解得x＝5，∴OE＝3，由(1)知OF＝OE，∴EF＝2OE＝6.
12．【模型观念】已知四边形ABCD是菱形，AB＝4，∠ABC＝60°，∠EAF的两边分别与射线CB，DC相交于点E，F，且∠EAF＝60°.
(1)如图①，当E是线段CB的中点时，直接写出线段AE，EF，AF之间的数量关系；
解：AE＝EF＝AF.
(2)如图②，当E是线段CB上任意一点时(点E不与点B，C重合)，求证：BE＝CF；
证明：连结AC，如图②.
∵AB＝BC，∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝∠EAF＝60°，∴∠BAE＝∠CAF.
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，∴∠ACF＝∠BAC＝60°，
∴∠B＝∠ACF.∴△BAE≌△CAF，∴BE＝CF.
(3)如图③，当点E在线段CB的延长线上，且∠EAB＝15°时，求CF的长．
解：如图③，过点A作AG⊥BC于点G.
∵∠EAB＝15°，∠ABC＝60°，∴∠AEB＝45°.
在Rt△AGB中，∵∠ABC＝60°，AB＝4，
∴BG＝2，AG＝＝2.
在Rt△AEG中，∵∠AEG＝∠EAG＝45°，
∴EG＝AG＝2，∴BE＝EG－BG＝2－2.
同(2)可得△BAE≌△CAF，∴CF＝BE＝2－2.(共15张PPT)
18．3
正方形
知识点 一：正方形的性质
1．正方形具备而菱形不具备的性质是（ ）
A．四条边都相等
B．四个角都是直角
C．对角线互相垂直平分
D．每条对角线平分一组对角
B
2．如图，四边形ABCD是正方形，AD平行于x轴，A，C两点的坐标分别为(－2，2)，(1，－1)，则点B的坐标是（ ）
A．(－1，2)
B．(－1，3)
C．(－2，－1)
D．(－3，－1)
C
3．若正方形的对角线长为2，则这个正方形的面积为（ ）
A．2
B．4
C.
D．2
A
4．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ABE，则∠BED的度数为 .
5．如图，P是正方形ABCD的对角线AC上的一点，PE⊥AD于点E，PE＝3，则点P到直线AB的距离为 .
45°
3
6．如图，在正方形ABCD中，点E在BC边的延长线上，点F在CD边的延长线上，CE＝DF，连结AE和BF相交于点M.求证：AE＝BF.
证明：在正方形ABCD中，
AB＝BC＝CD，
∠ABE＝∠BCF＝90°，
又∵CE＝DF，
∴BE＝CF.
∴△AEB≌△BFC，
∴AE＝BF.
知识点二：正方形的判定
7．下列说法中不正确的是( )
A．一组邻边相等的矩形是正方形
B．对角线互相垂直的矩形是正方形
C．对角线相等的菱形是正方形
D．有一组邻边相等、一个角是直角的四边形是正方形
D
8．【开放性问题】在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，请添加一个条件，使得菱形ABCD成为正方形，这个条件可以是 ．(写出一种情况即可)
AC＝BD或∠ABC＝90°(答案不唯一)
9．如图，等边三角形AEF的顶点E，F在矩形ABCD 的边BC，CD上，且∠CEF＝45°.求证：矩形ABCD是正方形．
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠D＝∠C＝90°，
∵△AEF是等边三角形，
∴AE＝AF，∠AEF＝∠AFE＝60°，
∵∠CEF＝45°，
∴∠CFE＝∠CEF＝45°，
∴∠AFD＝∠AEB＝180°－45°－60°＝75°，
∴△AEB≌△AFD，∴AB＝AD，
∴矩形ABCD是正方形．
10．(内蒙古中考)如图，边长为2的正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E是BC边上一点，F是BD上一点，连结DE, EF.若△DEF与△DEC关于直线DE对称，则△BEF的周长是( )
A．2
B．2＋
C．4－2
D.
A
11．如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F分别为AO，DO上一点，且EF∥AD，连结AF，DE.若∠FAC＝15°，则∠AED的度数为 .
12．如图，已知正方形ABCD的边长为2，点E，F分别是BC，CD边上的动点，满足BE＝CF.则AE＋AF的最小值为 .
105°
2
13．(邵阳中考)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在对角线BD上，且BE＝DF，OE＝OA.求证：四边形AECF是正方形．
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD，
∵BE＝DF，
∴OE＝OF，∴四边形AECF是菱形．
又∵OE＝OA，∴OE＝OF＝OA＝OC，
即EF＝AC，∴四边形AECF是正方形．
14．如图①，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点(点G与点C，D不重合)，以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG.连结BG，DE.
(1)猜想图①中线段BG，线段DE的长度关系及所在直线的位置关系，并说明理由；
解：BG＝DE，BG⊥DE.理由：延长BG交DE于点H.
∵四边形ABCD和CEFG都是正方形，
∴BC＝DC，∠BCG＝∠DCE＝90°， CG＝CE.
∴△BCG≌△DCE.∴BG＝DE，∠1＝∠2.
又∵∠1＋∠CGB＝90°，∠CGB＝∠DGH，
∴∠2＋∠DGH＝90°.∴∠DHG＝90°.
∴BH⊥DE，即BG⊥DE.
①)
(2)将图①中的正方形CEFG绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度，得到如图②，③的情形．请通过观察、测量等方法判断(1)中得到的结论是否仍然成立，并选取图②证明你的判断．
BG＝DE，BG⊥DE仍然成立．
证明：设BG与DE相交于点O，DC与BG相交于点H.
∵四边形ABCD和CEFG都是正方形，
∴BC＝CD，CG＝CE，∠BCD＝∠ECG＝90°.
∴∠BCG＝∠DCE.∴△BCG≌△DCE.
∴BG＝DE，∠CBG＝∠CDE.
∵∠BHC＝∠DHO，∠CBG＋∠BHC＝90°，
∴∠CDE＋∠DHO＝90°.
∴∠DOH＝90°.∴BG⊥DE.
②)
③)(共17张PPT)
第1课时
矩形的定义及其性质
知识点一：矩形的定义
1．下列说法中正确的是（ ）
A．平行四边形是矩形
B．矩形不一定是平行四边形
C．有一个角是直角的四边形是矩形
D．有一个角是直角的平行四边形是矩形
D
2．(永州期末)如图是一个平行四边形的活动框架，对角线是两根橡皮筋，若改变框架的形状，则∠α也随之变化，两条对角线长度也在发生改变，当∠α＝ 时，活动框架是矩形．
90°
知识点二：矩形的边、角的性质
3．在矩形ABCD中，已知AB＝5，AD＝12，则AC长为（ ）
A．9
B．13
C．17
D．20
B
4．如图所示为一农村民居侧面截图，屋坡AF，AG分别架在墙体的点B，C处，且AB＝AC，侧面四边形BDEC为矩形．若测得∠FBD＝55°，则∠A＝ °.
110
知识点三：矩形对角线的性质
5．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，已知∠ACB＝25°，则∠AOB的度数是（ ）
A．130°
B．65°
C．50°
D．25°
C
6．如图，在矩形ABCD中，下列结论不一定成立的是（ ）
A．AO＝BO
B．AC＝BD
C．S△ABO＝S△BDC
D．BD＝2AB
D
7．(吉林中考)如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是边AD的中点，点F在对角线AC上，且AF＝AC，连结EF.若AC＝10，则EF＝ .
8．如图，在矩形ABCD中，AC与BD交于点O，BE⊥AC，CF⊥BD，垂足分别为点E，F.
求证：BE＝CF.
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，OC＝AC，
OB＝BD，∴OB＝OC，
∵BE⊥AC，CF⊥BD，∴∠BEO＝∠CFO＝90°，
又∵∠BOE＝∠COF，
∴△BEO≌△CFO，∴BE＝CF.
9．下列关于矩形叙述正确的是（ ）
A．对角线相等且互相垂直
B．对角线互相垂直的平行四边形
C．对角线相等且互相平分的四边形
D．矩形的对角线平分一组对角
C
10．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点E在对角线AC上，已知BA＝BE，∠ABE＝50°，则∠AOB的度数为（ ）
A．45°
B．50°
C.55°
D.65°
B
11．如图，在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，将AD绕点A顺时针旋转，当点D落在BC上的点E时，则BE＝ .
12．如图，在矩形ABCD中，点E，F在边BC上，连结AE，DF，∠BAE＝∠CDF.
(1)求证：△ABE≌△DCF；
(2)当AB＝12，DF＝13时，求BE的长．
证明：在矩形ABCD中，
AB＝CD，∠B＝∠C＝90°，在△ABE和△DCF中，∴△ABE≌△DCF(ASA)．
解：由(1)知△ABE≌△DCF，∴AE＝DF＝13，
∵AB＝12，∴BE＝＝5.
13．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若∠BOC＝120°，AB＝3，求BC的长．
解：∵∠BOC＝120°，∴∠AOB＝60°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，AO＝CO，BO＝DO，
∴AO＝BO，∴△AOB是等边三角形，
∴AO＝BO＝AB＝3，∴AC＝2AO＝6，
∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，
由勾股定理得
BC＝＝＝3.
14．如图，在矩形ABCD中，E是AD上的一点，F是AB上的一点，EF⊥EC，且EF＝EC.
(1)求证：△AEF≌△DCE；
证明：∵四边形ABCD是矩形，EF⊥EC，
∴∠A＝∠D＝∠FEC＝90°，
∵∠AEF＋∠AFE＝∠AEF＋∠CED＝90°，
∴∠AFE＝∠CED，
又∵EF＝EC，
∴△AEF≌△DCE.
(2)连结BE，若BE＝BC，求∠BEF的度数．
解：由(1)，得AE＝CD，
∴AE＝AB，
∵∠A＝90°，
∴∠AEB＝∠ABE＝45°，
∵∠ABC＝90°，∴∠EBC＝45°，
∵EB＝BC，
∴∠BCE＝∠BEC＝67.5°，
∴∠BEF＝∠CEF－∠BEC＝90°－67.5°＝22.5°.
