2026年八年级数学下册21.3 特殊平行四边形自主导学 学案（含答案）

2026年八年级数学下册21.3 特殊平行四边形自主导学
一、知识清单
特殊平行四边形主要包括矩形、菱形和正方形。它们都是在平行四边形的基础上，通过增加特定条件（如角、边、对角线）演变而来的。
（一）、矩形
1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
2.性质：
边：对边平行且相等。(AB=CD,AD=BC)
角：四个角都是直角（90°）。
对角线：互相平分且相等。(OA=OC,OB=OD且AC=BD)
对称性：是轴对称图形（2条对称轴）
3.判定：
定义法：有一个角是直角的平行四边形是矩形。
定理1：对角线相等的平行四边形是矩形。
定理2：有三个角是直角的四边形是矩形。
（二）、菱形
1.定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
2.性质：
边：四条边都相等。(AD=DC=BC=AB)
角：对角相等，邻角互补。(∠ADC=∠ABC,∠DAB=∠DCB)
对角线：互相垂直平分(AC⊥DB且OA=OC,OB=OD)，且每一条对角线平分一组对角。(∠DAO=∠BAO=∠DCO=∠BCO,∠ADO=∠ABO=∠CDO=∠CBO)
对称性：是轴对称图形（2条对称轴）
面积：S=底×高= ×对角线乘积=×AC×DB。
3.判定：
定义法：有一组邻边相等的平行四边形是菱形(AB=AD)。
定理1：对角线互相垂直的平行四边形是菱形(AC⊥DB)。
定理2：四条边都相等的四边形是菱形。
（三）、正方形
1.定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
2.性质：具备平行四边形、矩形、菱形的所有性质。
边：对边平行，四条边都相等。
角：四个角都是直角。
对角线：相等、互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角。
对称性：是轴对称图形（4条对称轴）。
3.判定：
1（先证矩形）：有一组邻边相等的矩形是正方形；对角线互相垂直的矩形是正方形。
2（先证菱形）：有一个角是直角的菱形是正方形；对角线相等的菱形是正方形。
二、例题分析
例题：如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，△AOB是等边三角形，且AB=2。求 ABCD的面积。
分析：要求面积，需知长和宽。已知AB=2，需利用△AOB是等边三角形这一条件推导出矩形的性质。
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD。
∵△AOB是等边三角形，
∴OA=OB=AB=2。
∴AC=2OA=4，BD=2OB=4。即AC=BD。
∴ ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）。
在Rt△ABC中，AC=4，AB=2，由勾股定理得 。
面积 。
例题2：如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB=5，AO=4，BO=3。求证： ABCD是菱形。
分析：已知是平行四边形，要证是菱形，只需证一组邻边相等或对角线互相垂直。观察数据5, 4, 3，联想到勾股定理逆定理。
证明：
在△AOB中， 。
。
∴ 。
∴△AOB是直角三角形，且∠AOB=90°，即AC⊥BD。
∵四边形ABCD是平行四边形，且AC⊥BD。
∴ ABCD是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）。
例题3：如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且∠BAE=22.5°，求DE的长。
分析：利用正方形对角线平分对角的性质，结合三角形外角或等腰三角形性质求解。
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABD=∠ADB=45°。
∵∠BAE=22.5°，
∴∠DAE=∠DAB-∠BAE=90°-22.5°=67.5°。
在△ADE中，∠AED =180°-∠DAE-∠ADE = 180°-67.5°-45°=67.5°。
∴∠DAE=∠AED，
∴AD=DE。
∵AD=4，
∴DE=4。
例题4：一个菱形的两条对角线长分别为6cm和8cm，求这个菱形的周长和面积。
分析：菱形对角线互相垂直平分，可将菱形分为四个全等的直角三角形。利用勾股定理求边长，利用对角线公式求面积。
解：设对角线AC=6，BD=8，交于点O。则AO=3，BO=4，AC⊥BD。
在Rt△ABO中， 。
周长 C=4×AB =4×5=20cm。
面积 S= 。
例题5如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点D与点B重合，已知AB=6，AD=8，求折痕EF的长。
分析：折叠问题本质是轴对称。连接BD，则EF垂直平分BD。利用三角形或勾股定理求解。
解：连接EG⊥BC。由折叠可知，BE=DE，
在Rt△ECD中，ED=8-EC 。∴EC=。
易证△A FD ≌△BCD（ASA）。
∴ AF=BG=CE
在Rt△FGE中,GE=8--=∴ 。
例题6：如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E在△ABC内，AE平分∠BAC，CE⊥AE，点F在AB上，EF∥BC。若AB=10，AC=4，求BF的长。
分析：延长CE交AB于点G。利用“三线合一”构造等腰三角形，再利用中位线定理。
解：延长CE交AB于点G。
∵AE平分∠BAC，且AE⊥CG，
∴△ACG是等腰三角形，AC=AG=4，CE=EG。
∵D是BC中点，E是CG中点，
∴DE是△CBG的中位线。
∴DE∥BG，即DE∥AB。
又∵EF∥BC，
∴四边形BDEF是平行四边形。
∴BF=DE= 。
∵BG=AB-AG=10-4=6。
∴BF=3。
例题7：如图，正方形ABCD中，E为BC边上一点，连接AE，过点D作DF⊥AE于点F，连接CF。若BE=1，AB=3，求CF的长。
分析：通过证明三角形全等。这里采用勾股定理和等面积法。
解：过点D作DF延长线交AB于点H。过点F分别作FG⊥AB,FI⊥AD，FJ⊥DC于点G,I,J
易证△ABE≌△DAH(AAS)，
∴AH=BE=1，DH=AE。
又易证△ADF≌△DCH(AAS)，
∴DF=CH，AF=DH。
在Rt△ABE中， 。
∴DH=。DH×AF=AH×AD,AF=,同理得FG= ，FI=
FJ=3-=, JC=3-=，
在Rt△FJC中，
例题8：在 ABCD中，∠ABC的平分线BE交AD于点E，若BE分AD为3和4两部分，求 ABCD的周长。
分析：题目未说明AE和DE谁长谁短，需分类讨论。利用角平分线和平行线性质得等腰三角形。
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB=CD，AD=BC。
∴∠AEB = ∠BCE。
∵BE平分∠CBE，
∴∠ABE = ∠CBE。
∴∠AEB = ∠ABE，
∴AB = AE。
1：若AE=3，DE=4。则AB=AE=3，AD=AE+DE=7。
周长 C= 2×(3+7) = 20。
2：若AE=4，DE=3。则AB=AE=4，AD=AE+DE=7。
周长 C= 2×(4+7) = 22。
方法总结
1.判定：
判定特殊平行四边形时，通常遵循“先平行四边形，再特殊”的原则。即先证明它是平行四边形，再证明它满足矩形、菱形或正方形的特定条件。
对于正方形，可以从矩形出发（证邻边相等或对角线垂直），也可以从菱形出发（证一个角是直角或对角线相等）。
2.性质运用灵活化：
矩形：多利用“直角”和“对角线相等”构造直角三角形，运用勾股定理。
菱形：多利用“四边相等”和“对角线垂直”构造等腰三角形或直角三角形，面积计算优先考虑对角线乘积的一半。
正方形：兼具两者性质，常利用其高度对称性（轴对称）来简化问题。
3.辅助线技巧：
遇到中点，考虑中位线。
遇到角平分线+平行线，考虑构造等腰三角形。
遇到对角线，考虑利用其互相平分、垂直或相等的性质。
折叠问题，连接对应点，利用垂直平分线性质。
易错总结
1.判定条件混淆：
错误：认为“对角线互相垂直的四边形是菱形”或“对角线相等的四边形是矩形”。
纠正：必须强调前提是“平行四边形”。对角线互相垂直的四边形可能是筝形，对角线相等的四边形可能是等腰梯形。
2.概念理解不清：
错误：认为“有一组邻边相等的四边形是菱形”。
纠正：必须是“平行四边形”且“一组邻边相等”。
3.计算漏解：
错误：在涉及线段分割、动点位置等问题时，只考虑一种情况。
纠正：仔细审题，判断是否存在多种可能性，如例题8所示，需分类讨论。
4.性质应用不当：
错误：在计算菱形面积时，误用“对角线乘积”而忘记乘以 。
纠正：牢记公式 。
5.逻辑推理跳跃：
错误：在证明正方形时，只证明了它是矩形，就直接下结论是正方形，缺少“邻边相等”或“对角线垂直”的证明。
纠正：严格按照判定定理，步步为营，确保条件充分。
三、巩固提升
(一)、选择题
1.下列关于矩形的性质，说法错误的是（ ）
A. 对边平行且相等
B. 四个角都是直角
C. 对角线互相垂直
D. 对角线相等
2.菱形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）
A. 对角线互相平分
B. 对角线相等
C. 对角线互相垂直
D. 四个角都相等
3.正方形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）
A. 四条边都相等
B. 对角线平分一组对角
C. 对角线相等
D. 对角线互相垂直
4.能判定一个四边形是菱形的条件是（ ）
A. 对角线相等且互相平分
B. 对角线互相垂直
C. 对角线互相垂直且平分
D. 一组邻边相等
5.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若∠AOB=60°，AB=4，则AC的长为（ ）
A. 4
B. 6
C. 8
D.
6.已知菱形的两条对角线长分别为6cm和8cm，则这个菱形的周长为（ ）
A. 14cm
B. 20cm
C. 24cm
D. 48cm
7.下列命题中，真命题是（ ）
A. 对角线相等的四边形是矩形
B. 对角线互相垂直的四边形是菱形
C. 对角线互相平分且相等的四边形是矩形
D. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
8.如图，在 ABCD中，添加下列条件后，不能判定它是矩形的是（ ）
A. ∠ABC=90°
B. AC=BD
C. AB +BC =AC
D. AC⊥BD
9.E、F、G、H分别是四边形ABCD各边的中点，若四边形EFGH是矩形，则原四边形ABCD必须满足的条件是（ ）
A. 是矩形
B. 是菱形
C. 对角线互相垂直
D. 对角线相等
10.如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=4，点E是AB的中点，连接CE，则CE的长为（ ）
A.
B. 4
C.
D.
11.如图，正方形ABCD的边长为2，点P是对角线BD上的一个动点（不与B、D重合），过点P作PE⊥BC于E，PF⊥CD于F，连接EF，则EF的最小值为（ ）
1
B.
C. 2
D.
12.如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E是BC的中点，点F是CD上的一个动点，连接AE、EF、AF，当△AEF的周长最小时，DF的长为（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
(二)、填空题
13.矩形的两条对角线的夹角为60°，较短的边长为3cm，则对角线的长为 cm。
14.菱形的周长为20cm，一条对角线长为8cm，则另一条对角线长为 cm。
15.正方形的对角线长为 ，则它的面积为 。
16.如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点P在AD上，且AP=2，连接BP、CP，则△BPC的面积为 。
17.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若AC=6，BD=8，则点O到边AB的距离为 。
18.如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且BE=CF，连接AE、BF，若AE=5，则BF= 。
19.如图，在 ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，连接AF、CE，当CA=CB时，四边形AECF是 。
20.如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点D与点B重合，已知AB=6，AD=18，则AE的长为 。
21.如图，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，点E、F分别是AB、AD的中点，连接EF，若EF=3，则菱形ABCD的周长为 。
22.如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边BC上，且BE=1，连接AE，过点D作DF⊥AE于点F，连接CF，则EF+CF的长最小值为 。
(三)、解答题
23.（6分）如图，在 ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，△AOB是等边三角形，且AB=2。求证： ABCD是矩形，并求其面积。
24.（6分）如图，在 ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB=5，AO=4，BO=3。求证： ABCD是菱形。
25.（6分）一个菱形的两条对角线长分别为6cm和8cm，求这个菱形的周长和面积。
26.（7分）如图，在矩形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，连接AF、CE。
求证：△BEC≌△DFA；
（2）连接AC，当CA=CB时，判断四边形AECF是什么特殊四边形，并说明理由。
27.（8分）如图，四边形ABCD是正方形，点G是BC边上任意一点，DE⊥AG于点E，BF∥DE，交AG于点F。
求证：AF-BF=EF；
将△ABF绕点A逆时针旋转，使得AB与AD重合，记此时点F的对应点为点F′，若正方形ABCD的边长为3，求点F′与旋转前的图形中点E之间的距离。
28.（8分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的中线，E是CD的中点，过点C作CF∥AB，交AE的延长线于点F，连接BF。
（1）求证：四边形BDCF是菱形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形BDCF是正方形？请说明理由。
29.如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E是BC的中点，点F是CD上的一个动点，连接AE、EF、AF。
（1）求△AEF周长的最小值；
（2）当△AEF周长最小时，求点E到AF之间距离的长。
（12分）如图，在菱形ABCD中，边长为4，∠ABC=60°，点P是对角线AC上的一个动点，点E是AB的中点。当PE+PB最小时，求∠BPE的度数。
答案与解析
一、选择题
C
解析：矩形的对角线相等且互相平分，但不一定互相垂直。互相垂直是菱形的性质。
C
解析：菱形和矩形的对角线都互相平分。矩形的对角线相等，菱形的对角线互相垂直。菱形的对角相等，矩形的四个角都相等。
C
解析：正方形和菱形的四条边都相等，对角线都平分一组对角且互相垂直。但正方形的对角线相等，菱形的对角线不一定相等。
C
解析：A是矩形的判定；B缺少"平分"条件；D缺少"平行四边形"前提。C选项"对角线互相垂直且平分"可以判定是菱形。
C
解析：矩形对角线相等且平分，所以OA=OB。又∠AOB=60°，所以△AOB是等边三角形，OA=AB=4。AC=2OA=8。
B
解析：菱形对角线互相垂直平分，可得边长为 cm，周长为20cm。
C
解析：A、B、D都缺少"平行四边形"前提。C选项"对角线互相平分且相等"可先判定为平行四边形，再由对角线相等判定为矩形。
D
解析：A、B、C都能判定矩形。D选项AC⊥BD是菱形的判定条件。
C
解析：中点四边形EFGH的形状取决于原四边形ABCD的对角线。若EFGH是矩形，则其邻边垂直，即原四边形对角线互相垂直。
A
解析：连接AC，△ABC是等边三角形，CE是中线也是高。在Rt△BCE中，BC=4，BE=2，CE= 。
B
解析：四边形PECF是矩形，EF=PC。当PC⊥BD时，PC最短，此时P为BD中点，PC= 。
12.答案：B
解析：作点A关于BC的对称点A'，作点A关于CD的对称点A''，连接A'A''，交BC于E，交CD于F，此时△AEF的周长最小，∵AB=4，BC=6，E是BC中点，∴BE=3，A'B=AB=4，∴A'E=5，同理A''F=5，A''D=AD=6，∴DF=2。
二、填空题
13.6
解析：较短边对的角是60°，构成等边三角形，对角线是较短边的2倍。
14.6
解析：边长为5，半条对角线为4，另一条半对角线为 ，全长为6。
15.16
解析：设边长为a，则 ，a=4，面积为16。
16. 24
解析：S△BPC=S矩形ABCD-S△ABP-S△CDP=48- - =48-6-18=24。
17. 2.4
解析：菱形面积= ，边长=5，设距离为h，则5h=24，h=4.8。点O到AB距离是h的一半，为2.4。
18. 5
解析：易证△ABE≌△BCF(SAS)，所以BF=AE=5。
19. 矩形
解析：先证AECF是平行四边形，当CA=CB时，CE⊥AB，∠AEC=90°，所以是矩形。
20. 8
解析：利用勾股定理三角形可求得AE= 解得AE=8 。
21. 24
解析：EF是△ABD的中位线，BD=2EF=6。∠BAD=60°，△ABD是等边三角形，AB=6，周长24。
22.
解析：点C和点A关于BD对称。AE即为最小值 AE==
三、解答题
23.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD。
∵△AOB是等边三角形，
∴OA=OB=AB=2。
∴AC=2OA=4，BD=2OB=4。
∴AC=BD。
∴ ABCD是矩形。
在Rt△ABC中，BC=，面积=AB×BC=2× =
24.证明：在△AOB中，AO +BO =4 +3 =25，AB =5 =25。
∴AO +BO =AB 。∴∠AOB=90°，即AC⊥BD。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ ABCD是菱形。
25.解：解：根据菱形对角线垂直且平分的性质和勾股定理,6÷2=3cm,8÷2=4cm
菱形的边长==5
所以菱形的周长C=4X5=20cm
菱形的面积S=×6×8=24cm
26.（1）证明：∵ ABCD，
∴AB=CD，∠B=∠D，BC=AD。E、F是中点，
∴BE=DF。
∴△BEC≌△DFA(SAS)。
（2）解：矩形。∵AE=CF，AE∥CF，
∴AECF是平行四边形。
当CA=CB时，CE⊥AB，∠AEC=90°，
∴是矩形。
27.（1）证明：∵正方形ABCD，
∴AB=AD，∠BAD=90°。DE⊥AG，BF∥DE，
∴∠AFB=∠AED=90°。∠BAF+∠DAE=90°，∠ADE+∠DAE=90°，
∴∠BAF=∠ADE。
∴△ABF≌△DAE(AAS)。
∴BF=AE。AF-BF=AF-AE=EF。
（2）解：旋转后，AF′=AF=DE，∠F′AE=90°。AF′∥DE
∴四边形AEDF′是平行四边形。
又∠AED=90°，
∴四边形AEDF′是矩形。
∴EF′=AD=3。
28.（1）证明：∵CF∥AB，
∴∠FCE=∠ADE，∠CFE=∠DAE。E是CD中点，CE=DE。
∴△CEF≌△DEA(AAS)。∴CF=AD。又AD=BD（直角三角形斜边中线），
∴CF=BD。CF∥BD，
∴四边形BDCF是平行四边形。
又CD是中线，在Rt△ABC中，CD=AD=BD，所以CD=BD。
∴BDCF是菱形。
（2）当AC=BC时，△ABC是等腰直角三角形，∠A=∠B=45°。CD是中线也是高，CD⊥AB。又BDCF是菱形，对角线CD⊥BF，且CD=BF，所以是正方形。
29.作点F关于DC对称点点G，BE=EC=CG=8÷2=4,BG=8+4=12,△AEF周长的最小值为AE+EF+AF的最小值，EF+AF=AG,AG===6，AE===2, 周长C=AE+EF+AF=6+2
(2) 过点E作EH垂直AF交于点H，由等面积法，EG×AB=AG×EF,EF===
30. 由菱形的性质得，点B和点D关于AC对称，连接DB,DE，,即为 PE+PB最小的值，
∠ABC=60°，∠PAE=∠PAD=60°÷2=30°
△ADB为等边三角形，点E是AB的中点，由等腰三角形三线合一得，∠DEA=90°,
在Rt△APE和Rt△BPE中
∵PE=PE,AE=BE
∴Rt△APERt△BPE(HL)
∴∠PBE=∠PAE=30°
∴∠BPE=90°-30°=60°