10.3 解二元一次方程组 同步练习(2课时,含答案)2025-2026学年数学苏科版七年级下册

10.3　解二元一次方程组
第1课时　代入消元法
熟练运用代入消元法解二元一次方程组，会用整体代入的思想解决计算问题．
建议用时：15分钟
1 (2025扬州期中)用代入消元法解关于x，y的二元一次方程组则下列结论中正确的是(　　)
A. 3x＋4x－3＝8 B. 3x＋4x＋3＝8
C. 3x＋4x－6＝8 D. 3x＋4x＋6＝8
2 (2025盐城阜宁期末)用代入法解方程组时，使得代入后化简比较容易的变形是(　　)
A. 由①，得x＝ B. 由①，得y＝
C. 由②，得x＝ D. 由②，得y＝2x－5
3 (2025徐州期末)若＝，且2a＋b＝22，则a的值为________．
4 (2025宿迁宿豫期末)已知关于x，y的二元一次方程组若用只含x的代数式表示y，则y＝________．
5 已知x与y互为相反数，且2x－y＝3，则xy的值为________．
6 用代入法解方程组：
(1) (2)
(3) (4)
建议用时：15＋5分钟
7 (2025苏州常熟月考)若(x＋y－5)2与|3y－2x＋10|互为相反数，则x，y的值为(　　)
A. B. C. D.
8 已知关于x，y的二元一次方程组若x－2y＝－3，则k的值为(　　)
A. －2 B. －1 C. 1 D. 2
9 (2025淮安涟水月考)为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文(加密)，接收方由密文→明文(解密).已知加密规则为明文a，b，c，d对应密文3a＋b，2b＋c，2c＋d，2d.例如：明文1，2，3，4对应密文5，7，10，8.当接收方收到密文13，9，24，20时，解密得到的四个明文数字之和为________．
10 (2025南通如皋期末)如图，已知数轴上标出若干个点，每相邻两点相距一个单位长度，点A，B，C，D对应的数分别是a，b，c，d，且2a－3b＝－2，则该数轴的原点是点________．
11 已知方程组与有相同的解，求m，n的值．
12 阅读下列材料：
解方程组：
解：由①，得x－y＝1③，将③代入②，得4×1－y＝5，
解这个一元一次方程，得y＝－1，从而求得
这种思想被称为“整体思想”，请用“整体思想”解决下列问题：
(1) 解方程组：
(2) 在(1)的条件下，若x，y是△ABC两条边的长，第三边的长z是奇数，求z的值．
第2课时　加减消元法
熟练运用加减消元法解二元一次方程组，会用整体加减消元的思想简化计算．
建议用时：15分钟
1 (2025苏州工业园区月考)用加减消元法解关于x，y的二元一次方程组下列解法中正确的是(　　)
A. ①＋② B. ①－② C. ①＋②×5 D. ①×5－②
2 (2025无锡惠山期中)已知关于x，y的二元一次方程组则x－y的值为(　　)
A. 1 B. －1 C. 2 D. －2
3 用加减消元法解方程组下列解法中正确的是(　　)
A. ①×3＋②×2消去x B. ①×3－②×2消去y
C. ①×2＋②×3消去y D. ①×2＋②×3消去x
4 已知5ay+5b3x与－4a2xb2-4y是同类项，则x＝________，y＝________．
5 (2025泰州靖江月考)已知|x－y＋2|＋(2x＋y＋1)2＝0，则(x－y)x＋y的值为________．
6 用加减法解方程组：
(1) (2)
(3) (4)
建议用时：20＋5分钟
7 (2025南通通州月考)已知小成心里想了两个数字a，b，且满足下列三个方程，则不满足的那个方程是(　　)
A. a－b＝3 B. 2a＋3b＝1 C. 3a－b＝7 D. 2a＋b＝5
8 (2025苏州工业园区期中)规定：形如x＋ky＝b与kx＋y＝b的两个关于x，y的方程互为“共轭二元一次方程”，其中k≠1.由这两个方程组成的方程组叫作“共轭方程组”，k，b称为“共轭系数”．若关于x，y的二元一次方程组为“共轭方程组”，则此“共轭方程组”的解为(　　)
A. B. C. D.
9 若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程2x＋3y＝6＋2k的解，则k的值为________．
10 已知关于x，y的二元一次方程组若该方程组的解是则关于a，b的二元一次方程组的解为________．
11 用加减法解方程组：
(1) (2)
12 已知关于x，y的方程组n是常数．
(1) 当n＝1时，方程组可化为
①请直接写出方程x＋2y＝3的所有非负整数解；
②若该方程组的解也满足方程x＋y＝2，求m的值；
(2) 当n＝3时，如果方程组有整数解，求整数m的值．
微专题3　解方程组的常用技巧
类型一：整体代入法
1 【阅读材料】在解二元一次方程组时，我们常常也会采用一种“整体代入消元”的方法将二元一次方程组转化为一元一次方程求解，例如解二元一次方程组首先将方程②变形，得4x＋10y＋y＝5，即2(2x＋5y)＋y＝5③，其次将方程①代入③，得2×3＋y＝5，即y＝－1，最后将y＝－1代入方程①，得x＝4，所以该方程组的解为
【解决问题】(1) 请用“整体代入消元”的方法解二元一次方程组
(2) 若方程组的解是求方程组的解；
(3) 已知x，y满足方程组求xy的值．
类型二：整体加减法
2 “整体思想”是数学解题中的一种重要的思想方法．数学课上，李老师给出了一个问题：已知有理数x，y满足求x－4y和7x＋5y的值．
小明：利用消元法解方程组，得出x，y的值后，再分别代入x－4y和7x＋5y求值．
小逸：发现两个方程中相同未知数的系数之间的关系，可通过适当变形，整体求得代数式的值．设3x－y＝5①，2x＋3y＝7②，由①－②，得x－4y＝－2.由①＋②×2，得7x＋5y＝19.
李老师对两位同学的方法进行点评，指出小逸同学的思路体现了数学中“整体思想”的运用．请你参考小逸同学的做法，解决下列问题．
(1) 已知关于x，y的二元一次方程组则x－y＝________，5x＋4y＝________；
(2) 已知关于x，y的二元一次方程组若该方程组的解满足x－y＝－1，求k的值．
3 解二元一次方程组，其本质是消元，如解方程组时，直接用代入法或加减法计算都很麻烦，观察发现，这两个方程中相同未知数的系数及常数项的和(绝对值)相等，可将两个方程相加，得到一个较简单的关系式，然后再用代入法求解．
解：由①＋②，得399x－399y＝399，即x＝y＋1③，
将③代入①，得200(y＋1)－201y＝199，解得y＝1，
将y＝1代入③，得x＝2，所以原方程组的解是
借鉴上述方法，解下列方程组：(1)
(2)
类型三：换元法
4 小明同学在解方程组：时，他发现如果直接用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，也容易出错．如果将方程组中的2x＋3y看作一个数，将2x－3y看作一个数，通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程：
令m＝2x＋3y，n＝2x－3y，则原方程组可化为解得
将代入得解得
所以原方程组的解为
请你参考小明同学的做法，解决下列问题．
(1) 解方程组：
(2) 若方程组的解是求方程组的解．
微专题4　二元一次方程(组)的含参问题
类型一：根据“解相同”求参数的值
1 (2025南京玄武月考)与方程组有完全相同解的方程是(　　)
A. x＋2y＝3 B. 2x＋y＝0
C. (x＋2y－3)(2x＋y)＝0 D. |x＋2y－3|＋(2x＋y)2＝0
2 (2025南通崇川期中)已知关于x，y的方程组和的解相同，求(3m＋n)2 025的值．
类型二：根据“解出错”求参数的值
3 (2025宿迁期末)解方程组时，一名学生将c看错而得到而正确的解是则a，b，c的值为(　　)
A. 不能确定 B. a＝4，b＝5，c＝－2
C. a，b不能确定，c＝－2 D. a＝4，b＝7，c＝2
4 在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，得到的解为乙看错了方程组中的b，得到的解为
(1) 甲将a看成了什么，乙将b看成了什么；
(2) 求出原方程组的正确解．
类型三：根据“满足条件”求参数的值
5 (2025盐城东台月考)若关于x，y的方程组的解满足x＋y＝2 024，则k的值为(　　)
A. 2 022 B. 2 023 C. 2 024 D. 2 025
6 (2025宿迁期中)对于未知数为x，y的二元一次方程组，如果方程组的解x，y满足|x－y|＝1，那么我们就说方程组的解x与y具有“邻好关系”．
(1) 方程组的解x与y是否具有“邻好关系”？说明你的理由；
(2) 若方程组的解x与y具有“邻好关系”，求m的值．
类型四：根据“解的个数”求参数的值或取值范围
7 (2025南通崇川月考)若关于x，y的方程组有唯一的一组解，则a，b，c的值应满足的条件是(　　)
A. a≠b B. b≠c C. a≠c D. a≠c，且c≠1
8 (2025无锡江阴月考)若关于x，y的方程组有无数组解，则a＋b＝________．
9 (2025南通期中)若无论m取何值，关于x，y的二元一次方程组都有解，则n的值为________．
类型五：根据“整数解”求参数的值
10 (2025泰州海陵期中)若方程组的解是整数，则a的值可能为(　　)
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
11 (2025扬州江都期中)已知m是整数，若关于x，y的二元一次方程组的解是整数，则满足条件的所有m的值的和为________．
12 已知方程组有正整数解，求非负整数m的值．
10．3　解二元一次方程组
第1课时　代入消元法
1. C　2. D　3. 6　4. 1－2x　5. 1
6. 解：(1)
将②代入①，得3x－(5－x)＝7，即3x－5＋x＝7，所以4x＝12，
解得x＝3，
将x＝3代入②，得y＝5－3＝2，
所以原方程组的解为
(2)
将①代入②，得3y＋2＋3y＝8，所以6y＝6，
解得y＝1，
将y＝1代入①，得x＝3＋2＝5，
所以原方程组的解为
(3)
由②，得x＝3－2y③.
将③代入①，得3(3－2y)－2y＝9，解得y＝0，
将y＝0代入③，得x＝3，
所以原方程组的解为
(4)
由②，得y＝－5－3x③.
将③代入①，得6x－7(－5－3x)＝8，解得x＝－1，
将x＝－1代入③，得y＝－5－3×(－1)＝－2，
所以原方程组的解为
7. D　8. D　9. 22　10. D
11. 解：因为方程组与有相同的解，
所以与原两方程组同解．
由5y－x＝3，得x＝5y－3，
将x＝5y－3代入3x－2y＝4，解得y＝1.
再将y＝1代入x＝5y－3，得x＝2.
将代入
得
由①，得n＝7－2m③，
将③代入②，得4m－3(7－2m)＝19，解得m＝4，
将m＝4代入③，得n＝－1，
所以m＝4，n＝－1.
12. 解：(1)
由①，得x－2y＝2③，
将③代入②，得1＋2y＝5，解得y＝2，
将y＝2代入③，得x＝6，
所以方程组的解为
(2) 因为△ABC两条边的长是6和2，
所以第三边的长小于8并且大于4.
因为第三边的长z是奇数，
所以z的值是5或7.
第2课时　加减消元法
1. A　2. D　3. C　4. 2　－1　5. 1
6. 解：(1)
由①－②，得7y＝7，解得y＝1，
将y＝1代入①，得3x＋2＝11，解得x＝3，
所以原方程组的解为
(2)
由①＋②，得5x＝15，解得x＝3，
将x＝3代入②，得6＋2y＝7，解得y＝，
所以原方程组的解为
(3)
由①×5－②，得－7n＝21，解得n＝－3，
将n＝－3代入①，得m＋6＝4，解得m＝－2，
所以原方程组的解为
(4)
由①×3－②×2，得y＝2，
将y＝2代入①，得2x＋3×2＝12，解得x＝3，
所以原方程组的解为
7. D　8. B　9. 1　10.
11. 解： (1) 原方程组变形为
由①×2－②，得y＝1，
将y＝1代入②，得2x＋3＝7，解得x＝2，
所以原方程组的解为
(2) 原方程组变形为
由①＋②，得－y＝－6，解得y＝6，
将y＝6代入①，得2x－18＝－2，解得x＝8，
所以原方程组的解是
12. 解： (1) ①因为x，y为非负整数，
所以方程x＋2y＝3的所有非负整数解为
②根据题意，得
两式相减，得y＝1，
将y＝1代入x＋y＝2，得x＝1，
所以方程组的解是
将代入x－2y＋mx＝－5，得m＝－4.
(2) 当n＝3时，原方程组可化为
由①＋②×2，得5x＋2mx＝－5，
整理，得x＝.
因为方程组有整数解，且m为整数，
所以5＋2m＝±1或5＋2m＝±5.
当5＋2m＝1时，m＝－2，
此时方程组的解为
当5＋2m＝－1时，m＝－3，
此时方程组的解为(舍去)；
当5＋2m＝5时，m＝0，
此时方程组的解为
当5＋2m＝－5时，m＝－5，
此时方程组的解为(舍去).
综上，m的值为－2或0.
微专题3　解方程组的常用技巧
1. 解：(1)
由②，得6x＋8y＋2y＝25，即2(3x＋4y)＋2y＝25③，
将①代入③，得2×16＋2y＝25，解得y＝－3.5，
将y＝－3.5代入①，得3x＋4×(－3.5)＝16，
解得x＝10，
所以原方程组的解为
(2) 因为方程组的解是
所以解得
(3)
由①，得x＋3y＝10－xy③，
由②，得3x＋9y－xy＝10，即3(x＋3y)－xy＝10④，
将③代入④，得3(10－xy)－xy＝10，
所以 30－4xy＝10，解得xy＝5.
2. 解：(1) 2　16
(2)
由①－②，得2x－2y＝k＋2，所以x－y＝.
因为x－y＝－1，所以＝－1，解得k＝－4.
3. 解：(1)
由①＋②，得40x＋40y＝120，即x＋y＝3，
所以x＝3－y③，
将③代入①，得23(3－y)＋17y＝63，解得y＝1，
将y＝1代入③，得x＝3－1＝2，
所以原方程组的解为
(2)
由①－②，得2x－2y＝2，即x－y＝1③，
将③×2 026，得2 026x－2 026y＝2 026④，
由①－④，得y＝－2，
将y＝－2代入③，得x＝－1，
所以原方程组的解为
4. 解：(1) 令m＝x＋y，n＝x－y，
则原方程组可化为解得
所以解得
所以原方程组的解为
(2) 令m＝x，n＝y，
则原方程组可化为
根据题意，得所以解得
微专题4　二元一次方程(组)的含参问题
1. D
2. 解：根据题意，得
由①×2＋②×3，得13x＝39，解得x＝3，
将x＝3代入①，得y＝1，所以
将代入得
解得
所以(3m＋n)2 025＝[3×(－2)＋5]2 025＝(－1)2 025＝－1.
3. B
4. 解：(1) 将代入原方程组，得
解得
将代入原方程组，得
解得
所以甲将a看成了－，乙将b看成了.
(2) 由(1)可知原方程组中a＝－1，b＝10，
所以原方程组为解得
5. B
6. 解：(1) 具有“邻好关系”．理由如下：
因为x－y＝1，即满足|x－y|＝1.
所以方程组的解x，y具有“邻好关系”．
(2) 方程组
由②＋①，得6x＝6＋6m，所以x＝1＋m，
将x＝1＋m代入①，得y＝2m－4，
所以x－y＝1＋m－2m＋4＝5－m.
因为方程组的解x，y具有“邻好关系”，
所以|x－y|＝1，即5－m＝±1，
解得m＝6或m＝4.
7. A　8. －1　9. 3　10. C　11. －12
12. 解：解方程组，得
因为方程组有正整数解，
所以x＝＝＝2＋是正整数，
所以m＋1＝1或m＋1＝2或m＋1＝4或m＋1＝－4，解得m＝0或m＝1或m＝3或m＝－5.
因为m≥0，y为正整数，
所以m＝0或m＝1.