12．4　定理 同步练习 （共3课时，含答案）2025-2026学年数学苏科版七年级下册

12.4　定　　理
第1课时　三角形内角和定理及其推论
理解定理的概念，会用逻辑推理的方法证明三角形内角和定理及其推论．
建议用时：15分钟
1 在△ABC中，∠A＝∠B－∠C，则△ABC为(　　)
A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 以上都有可能
2 (2025盐城亭湖模拟)如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，若∠B＝70°，∠C＝30°，则∠BAE的度数是(　　)
A. 10° B. 20° C. 30° D. 40°
(第2题) (第3题) (第5题)
3 (2025长沙)如图，已知AB∥CD，直线EF与直线AB，CD分别交于点E，F，直线EG与直线CD交于点G. 若∠1＝70°，∠2＝50°，则∠GEF的度数为(　　)
A. 50° B. 60° C. 65° D. 70°
4 在△ABC中，∠A＋∠B＝150°，∠C＝2∠A，则∠A＝________．
5 (2025南京玄武期末)如图，在△ABC中，∠A＝28°，∠ACB＝100°，点D在边AB上，将△ABC沿CD折叠，使点B落在边AC上的点B′处，则∠ADB′的度数为________．
6 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D.求证：∠ACD＝∠B.
7 (2025南通期末)如图，已知AB∥EF，∠A＝∠DEF.
(1) 求证：AC∥DE；
(2) 利用此图形，试证明“一个三角形的内角和为180°”，即求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°.
建议用时：25＋5分钟
8 如图，将分别含有30°，45°角的一副三角尺重叠，使直角顶点重合，若两直角重叠形成的角为55°，则图中∠α的大小为(　　)
A. 130° B. 125° C. 120° D. 115°
(第8题) (第9题) (第10题)
9 如图，在△ABC中，∠A＝50°，D是BC延长线上的一点，∠ABC和∠ACD的平分线交于点E，则∠E的大小为________．
10 如图是一个零件的形状，按规定当∠A＝90°，∠B＝21°，∠C＝32°时，才符合加工要求，若检验人员测量∠BDC＝148°，则可以判定这个零件________．(填“合格”或“不合格”)
11 (2025泰州姜堰期末)在△ABC中，∠A＝∠ABC＝36°，E，F分别为直线AC和直线CB上的点，直线EF交边AB于点D，∠EFC＝(x＋2y)°，∠FEC＝(2x＋y)°，则x＋y＝________．
12 (2025苏州高新期末)如图，在△ABC中，∠A＝∠ABC，直线EF分别交边AB，AC和CB的延长线于点D，E，F，求证：∠F＋∠FEC＝2∠A.
13 (2025常州溧阳期末)在△ABC中，AE是角平分线，D是AB上的点，AE，CD相交于点F.
(1) 如图1，若∠ACB＝∠CDB＝90°，求证：∠CFE＝∠CEF；
(2) 如图2，若∠ACB＝∠CDB＝m(0°＜m＜180°)，求∠CEF－∠CFE的值(用含m的代数式表示).
图1 图2
第2课时　多边形内角与外角和定理
理解并会运用多边形内角与外角和定理．
建议用时：15分钟
1 (2025云南)一个六边形的内角和等于(　　)
A. 360° B. 540° C. 720° D. 900°
2 (2025扬州高邮期末)如图，在四边形ABCD中，∠A＋∠C＝180°，∠ADE是四边形ABCD的一个外角．若∠B＝75°，则∠ADE的度数为(　　)
A. 125° B. 105° C. 90° D. 75°
(第2题) (第6题)
3 (2025遂宁)已知一个凸多边形的内角和是外角和的4倍，则该多边形的边数为(　　)
A. 10 B. 11 C. 12 D. 13
4 若一个n边形的内角和是900°，则n＝________.
5 (2025扬州)若一个多边形的每个内角都是140°，则这个多边形的边数为________．
6 (2025长沙)如图，在五边形ABCDE中，∠B＝120°，∠C＝110°，∠D＝105°，则∠A＋∠E＝________．
7 多边形的每一个内角都等于它相邻外角的5倍，则该多边形的边数是________．
8 已知正x边形的内角和为1 080°，边长为2.
(1) 求正x边形的周长；
(2) 若正n边形的每个外角比正x边形的每个内角小63°，求n的值．
9 如图，六边形ABCDEF的内角都相等，∠DAB＝60°.
(1) 求∠ADC的度数；
(2) 探索AD与EF有怎样的位置关系，并说明理由．
建议用时：25＋5分钟
10 如图，将五边形ABCDE沿虚线裁去一个角，得到六边形ABCDGF，则下列说法中正确的是(　　)
A. 外角和减少180° B. 外角和增加180°
C. 内角和减少180° D. 内角和增加180°
(第10题) (第11题) (第12题) (第13题)
11 如图是正n边形纸片的一部分，其中l，m是正n边形两条边的一部分，若l，m所在的直线相交形成的锐角为60°，则n的值是(　　)
A. 5 B. 6 C. 8 D. 10
12 如图，小亮从点A出发前进10 m，向右转18°，再前进10 m，又向右转18°，…，这样一直走下去，则当他第一次回到出发点A时，一共走了________m.
13 (2025南京模拟)如图，已知直线l与正六边形ABCDEF的边AB，EF分别相交于点M，N，则α＋β的大小为________．
14 (1) 一个多边形的纸片，小明将这个多边形纸片剪去一个角后，得到的新多边形的内角和为2 160°，求原多边形的边数；
(2) 小明在算另一个多边形纸片的内角和时不小心少算了一个内角，得到的结果为2 024°，求该多边形的边数及少算的内角的度数．
15 (2025泰州兴化月考)如图，已知四边形ABCD的内角∠BCD的平分线与外角∠ABE的平分线相交于点F.
(1) 若BF∥CD，∠ABC＝80°，求∠BCD的度数；
(2) 在四边形ABCD中，∠A＝110°，∠D＝120°，求∠F的度数；
(3) 猜想∠F，∠A，∠D之间的数量关系，并说明理由．
第3课时　反　证　法
理解反证法的定义，了解反证法的步骤， 会举反例说明一个命题是假命题．
建议用时：15分钟
1 (2025无锡锡山期中)用反证法证明“若|a|＜5，则a2＜25”时，应假设(　　)
A. |a|≥5 B. |a|＞5 C. a2≥25 D. a2＞25
2 (2025常州期末)若要说明命题“如果|a|＝|b|，那么a＝b”是假命题，则可以举反例为(　　)
A. a＝0，b＝0 B. a＝1，b＝－1 C. a＝2，b＝2 D. a＝2，b＝－1
3 如图，AB∥CD，CD∥EF，EF∥GH，则下列结论中错误的是(　　)
A. AB∥EF B. AB∥GH C. GH∥CD D. AG∥BH
4 (2025南京秦淮期末)用反证法证明“在△ABC中，如果∠A＜∠B，那么BC＜AC”时，第一步应假设________．
5 我们可以用反证法来证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°”．下面写出了证明该问题过程中的四个步骤：①这与“三角形的内角和等于180°”这个定理矛盾；②所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°；③假设三角形没有一个内角小于或等于60°，即三个内角都大于60°；④则三角形的三个内角的和大于180°.这四个步骤正确的顺序是________．(填序号)
6 (教材P163 练习T2变式)举反例说明下列命题是假命题：
(1) 如果ab<0，那么a＋b<0; (2) 任何一个角的补角都不小于这个角；
(3) 任何有理数都有倒数； (4) 若a>b，则ac>bc.
7 用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是钝角．
已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角．
求证：∠A，∠B，∠C中不能有两个角是钝角．
建议用时：20＋5分钟
8 (2025苏州太仓期末)如图，已知AB∥CD，则∠α，∠β和∠γ之间的关系为(　　)
A. α＋β－γ＝180° B. α＋γ＝β
C. α＋β＋γ＝360° D. α＋β－2γ＝180°
(第8题) (第10题)
9 用反证法证明命题“一个三角形中至少有一个内角是锐角”时，应先假设：________________．
10 (2025扬州广陵期末)近几年中学生近视的现象越来越严重，为保护视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图(台灯底座高度忽略不计)如图所示，其中BC⊥AB，DE∥AB，经使用发现，当∠EDC＝126°时，台灯光线最佳，则此时∠DCB的度数为________．
11 (2025南京鼓楼月考)已知m是正整数，且m2是偶数，求证：m是偶数．(用反证法证明)
12 用反证法证明平行线的性质定理一：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．
13 如图，已知点E，F分别在直线AB，CD上，若AB∥CD，过点E，F任意作一个∠EGF，使∠EGF＝90°(直角顶点G在直线AB与CD之间，且在EF的右侧)，在EG上取一点Q，当满足2∠BEG＋∠DFQ＝180°时，请判断∠DFG与∠QFG的大小关系，并说明理由．
微专题8　三角形角度计算中的几何模型
类型一：8字模型
1 (2025宿迁宿城期末)(1) 如图1所示的图形我们将它称为“8字形”，求证：∠A＋∠B＝∠C＋∠D；
(2) 如图2，已知AP，CP分别平分∠BAD和∠BCD，当∠D和∠B为任意角，其他条件不变时，试写出∠P与∠D，∠B之间的数量关系；
(3) 如图3，若设∠C＝x，∠B＝y，∠CAP＝∠CAB，∠CDP＝∠CDB，则∠P与∠C，∠B之间的数量关系为________(用x，y的代数式表示)；
(4) 如图4，已知直线BP平分∠ABC，DP平分∠ADC的外角∠ADE，猜想∠P与∠A，∠C的关系，直接写出结论．
图1 图2 图3 图4　
类型二：飞镖模型
2 如图，已知∠BOF＝120°，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝________．
(第2题) (第3题)
3 在社会实践手工课上，小茗同学设计了如图所示的一个零件，若∠A＝52°，∠B＝25°，∠C＝30°，∠D＝35°，∠E＝72°，则∠F＝________．
类型三：A字模型
4 将一个三角形纸片ABC沿DE折叠，使点A落在点A′处．(点A′在△ABC的内部)
(1) 如图1，若∠A＝45°，则∠1＋∠2＝________；
(2) 利用图1，探索∠1，∠2与∠A之间的数量关系，并说明理由；
(3) 如图2，将△ABC折叠后，BA′平分∠ABC，CA′平分∠ACB，若∠1＋∠2＝108°，利用(2)中得出的结论求∠BA′C的度数．
图1 图2
类型四：双内角平分线模型
5 (1) 如图1，已知∠FDC与∠ECD分别为△ADC的两个外角，试探究∠A与∠FDC＋∠ECD的数量关系；
(2) 如图2，在△ADC中，DP，CP分别平分∠ADC和∠ACD，试探究∠P与∠A的数量关系；
(3) 如图3，在四边形ABCD中，DP，CP分别平分∠ADC和∠BCD，试利用上述结论探究∠P与∠A＋∠B的数量关系．
图1 图2 图3
类型五：双外角平分线模型
6 如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，外角∠MBC，∠NCB的平分线交于点Q，延长线段BP，QC交于点E.
(1) 若∠A＝64°，则∠BPC的度数为________；
(2) 探索∠Q与∠A的数量关系；
(3) 若在△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，则锐角A的度数为________．
类型六：内外角平分线模型
7 如图，在△ABC中，∠B＝90°，分别作其内角∠ACB与外角∠DAC的平分线，且两条角平分线所在的直线交于点E.
(1) ∠E＝________；
(2) 分别作∠EAB与∠ECB的平分线，且两条角平分线交于点F.
①根据题意在图中补全图形；
②求∠AFC的度数．
备用图
12．4　定　　理
第1课时　三角形内角和定理及其推论
1. C　2. D　3. B　4. 15°　5. 24°
6. 证明：因为∠ACB＝∠ACD＋∠DCB＝90°(已知)，
所以∠ACD ＝90°－∠DCB(等式性质).
因为CD⊥AB(已知)，
所以∠CDB＝90°(垂直的定义).
因为∠B＝180°－∠CDB －∠DCB(三角形内角和定理)，
所以∠B＝90°－∠DCB(等量代换)，
所以∠ACD＝∠B(等量代换).
7. 证明：(1) 因为AB∥EF，所以∠A＝∠CFE.
因为∠A＝∠DEF，所以∠CFE＝∠DEF，
所以AC∥DE.
(2) 因为AB∥EF，AC∥DE，所以∠B＝∠CEF，∠BED＝∠C.
因为∠DEF＋∠CEF＋∠BED＝180°，∠A＝∠DEF，所以∠A＋∠B＋∠C＝180°，
即一个三角形的内角和为180°.
8. A　9. 25°　10. 不合格　11. 24或36
12. 证明：因为∠FEC＝∠A＋∠ADE，
所以∠F＋∠FEC＝∠F＋∠A＋∠ADE.
因为∠F＋∠BDF＝∠ABC，∠ADE＝∠BDF，
所以∠F＋∠FEC＝∠A＋∠ABC.
因为∠A＝∠ABC，所以∠F＋∠FEC＝∠A＋∠ABC＝2∠A.
13. (1) 证明：因为∠ACB＝∠CDB＝90°，
所以∠B＝90°－∠DCB，∠ACD＝90°－∠DCB，所以∠B＝∠ACD.
因为AE平分∠CAB，所以∠CFE＝∠ACD＋∠CAB，∠CEF＝∠B＋∠CAB，
所以∠CFE＝∠CEF.
(2) 解：因为∠CEF＝∠B＋∠EAB，∠CFE＝∠ACD＋∠CAE，
所以∠CEF－∠CFE＝∠B－∠ACD.
因为∠B＝180°－m－∠DCB，∠ACD＝m－∠DCB，
所以∠CEF－∠CFE＝(180°－m－∠DCB)－(m－∠DCB)＝180°－2m.
第2课时　多边形内角与外角和定理
1. C　2. D　3. A　4. 7　5. 9　6. 205°　7. 12
8. 解：(1) 根据题意，得180×(x－2)＝1 080，
解得x＝8.
所以正x边形的周长为8×2＝16.
(2) 由(1)，得正x边形每个内角的度数为1 080°÷8＝135°，
所以正n边形的每个外角的度数为135°－63°＝72°.
因为360°÷72°＝5，
所以n的值为5.
9. 解：(1) 由题意，得∠B＝∠C＝＝120°.
因为∠DAB＝60°，
所以∠ADC＝360°－∠DAB－∠B－∠C＝60°.
(2) AD∥EF.理由如下：
同(1)，得∠F＝∠BAF＝120°，
所以∠FAD＝∠BAF－∠BAD＝60°，
所以∠F＋∠FAD＝180°，
所以AD∥EF.
10. D　11. B　12. 200　13. 120°
14. 解：(1) 设新的多边形的边数为n.
由题意，得180°×(n－2)＝2 160°，
解得n＝14.
因为切去一角有如图所示的三种切法，所以切完后新多边形的边数比原多边形多一条边或相等或少一条边，
所以原多边形的边数为13或14或15.
(2) 设该多边形的边数为m.
因为2 024÷180≈11.2，
所以m－2＝12，
解得m＝14，
所以少算的内角的度数为180°×12－2 024°＝136°.
故该多边形的边数为14，少算的内角的度数为136°.
15. 解：(1) 因为∠ABC＝80°，
所以∠ABE＝180°－80°＝100°.
因为BF平分∠ABE，所以∠ABF＝∠EBF＝50°.
因为BF∥CD，所以∠BCD＝∠EBF＝50°.
(2) 因为CF平分∠BCD，BF平分∠ABE，
所以∠BCF＝∠DCF＝∠BCD，∠EBF＝∠ABF.
因为∠A＋∠D＋∠ABC＋∠BCD＝360°，∠A＝110°，∠D＝120°，
所以∠ABC＋∠BCD＝360°－110°－120°＝130°，
所以180°－∠ABE＋2∠BCF＝130°.
因为∠ABE＝2∠EBF，∠EBF＝∠F＋∠BCF，
所以180°－2(∠F＋∠BCF)＋2∠BCF＝130°，
所以 2∠F＝50°，解得∠F＝25°.
(3) ∠F＝(∠A＋∠D－180°).理由如下：
因为∠A＋∠D＋∠ABC＋∠BCD＝360°，∠ABC＝180°－∠ABE，∠ABE＝2∠EBF，∠BCD＝2∠BCF，∠EBF＝∠F＋∠BCF，
所以∠A＋∠D＋180°－∠ABE＋2∠BCF＝360°，
所以∠A＋∠D－2∠EBF＋2∠BCF＝180°，
所以∠A＋∠D－2(∠F＋∠BCF)＋2∠BCF＝180°，
即2∠F＝∠A＋∠D－180°，
所以∠F＝(∠A＋∠D－180°).
第3课时　反　证　法
1. C　2. B　3. D　4. BC≥AC　5. ③④①②
6. 解：(1) 当a＝－1，b＝2时，满足ab<0，但a＋b＝1>0.
(2) 当α＝120°时，α的补角β＝60°，β<α，即补角小于这个角．
(3) 0是有理数，0没有倒数．
(4) 当a>b，c＝0时，ac＝bc.
7. 证明：假设∠A，∠B，∠C中有两个角是钝角，不妨设∠A>90°，∠B>90°，
则∠A＋∠B＞180°，
则∠A＋∠B＋∠C＞180°，
这与三角形内角和等于180°相矛盾，
所以假设不成立，
所以∠A，∠B，∠C中不能有两个角是钝角．
8. A　9. 三个内角都不是锐角　10. 144°
11. 证明：假设m不是偶数，则m为奇数．
设m＝2n＋1(n为整数)，
则m2＝(2n＋1)2＝4n2＋4n＋1＝4(n2＋n)＋1.
因为4(n2＋n)为偶数，
所以4(n2＋n)＋1为奇数，与m2为偶数矛盾，
所以假设不成立，所以m为偶数．
12. 解：已知：AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点G，H.
求证：∠BGF＝∠DHF.
证明：假设∠BGF≠∠DHF.
过点G作直线PQ，使得∠PGF＝∠DHF，
则PQ∥CD(同位角相等，两直线平行).
由题意，得AB∥CD，且AB也过点G，
这与经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行矛盾，
所以假设错误，即∠BGF＝∠DHF，
所以两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．
13. 解：∠DFG＝∠QFG.理由如下：
过点 G 作HG∥AB.
因为AB∥CD，所以AB∥CD∥GH，
所以∠BEG＝∠EGH，∠HGF＝∠GFD.
因为∠EGH＋∠HGF＝90°，
所以∠BEG＋∠GFD＝90°.
因为2∠BEG＋∠DFQ＝180°，
所以∠GFD＝∠DFQ.
因为∠DFQ＝∠QFG＋∠GFD，
所以∠DFG＝∠QFG.
微专题8　三角形角度计算中的几何模型
1. 解：(1) 因为∠A＋∠B＋∠AOB＝180°，∠C＋∠D＋∠COD＝180°，∠AOB＝∠COD，
所以∠A＋∠B＝∠C＋∠D.
(2) 设∠BAP＝∠PAD＝x，∠BCP＝∠PCD＝y，
则
所以∠B－∠P＝∠P－∠D，
所以2∠P＝∠B＋∠D.
(3) ∠P＝(3x＋y)
(4) ∠P＝90°－∠C－∠A
提示：如图，延长AB交PD于点J.
设∠PBJ＝x，∠ADP＝∠PDE＝y，
则∠A＋2x＝∠C＋180°－2y，
所以x＋y＝90°＋(∠C－∠A).
因为∠P＋x＋∠A＋y＝180°，
所以∠P＝90°－∠C－∠A.
2. 240°　3. 70°
4. 解：(1) 90°
(2) ∠1＋∠2＝2∠A.理由如下：
因为∠BDE，∠CED是△ADE的两个外角，
所以∠BDE＝∠A＋∠AED，∠CED＝∠A＋∠ADE，
所以∠BDE＋∠CED＝∠A＋∠AED＋∠A＋∠ADE，
所以∠1＋∠A′DE＋∠2＋∠A′ED＝2∠A＋∠AED＋∠ADE，
所以∠1＋∠2＝2∠A.
(3) 由(2)，得2∠A＝108°，所以∠A＝54°.
因为BA′平分∠ABC，CA′平分∠ACB，
所以∠A′BC＋∠A′CB＝(∠ABC＋∠ACB)＝(180°－∠A)＝90°－∠A，
所以∠BA′C＝180°－(∠A′BC＋∠A′CB)＝180°－(90°－∠A)＝90°＋∠A＝90°＋×54°＝117°.
5. 解：(1) 因为∠FDC＝∠A＋∠ACD，∠ECD＝∠A＋∠ADC，
所以∠FDC＋∠ECD＝∠A＋∠ACD＋∠A＋∠ADC＝180°＋∠A.
(2) 因为DP，CP分别平分∠ADC和∠ACD，
所以∠PDC＝∠ADC，∠PCD＝∠ACD，
所以∠P＝180°－∠PDC－∠PCD＝180°－∠ADC－∠ACD＝180°－(∠ADC＋∠ACD)＝180°－(180°－∠A)＝90°＋∠A.
(3) 因为DP，CP分别平分∠ADC和∠BCD，
所以∠PDC＝∠ADC，∠PCD＝∠BCD，
所以∠P＝180°－∠PDC－∠PCD＝180°－∠ADC－∠BCD＝180°－(∠ADC＋∠BCD)＝180°－(360°－∠A－∠B)＝(∠A＋∠B).
6. 解：(1) 122°
(2) ∠Q＝90°－∠A.理由如下：
因为BQ，CQ分别是∠MBC，∠NCB的平分线，
所以∠MBQ＝∠CBQ＝∠MBC，∠NCQ＝∠BCQ＝∠NCB，
所以∠Q＝180°－∠CBQ－∠BCQ＝180°－∠MBC－∠NCB＝180°－(∠MBC＋∠NCB)＝180°－(∠ACB＋∠A＋∠ABC＋∠A)＝180°－(180°＋∠A)＝90°－∠A.
(3) 45°或60°
7. 解：(1) 45°
(2) ①如图即为所求．
②设∠ECB＝α.
因为CF平分∠ECB，所以∠ECF＝α.
因为∠E＋∠EAF＝∠F＋∠ECF，
所以45°＋∠EAF＝∠F＋α①.
同理可得∠E＋∠EAB＝∠B＋∠ECB，
所以45°＋2∠EAF＝90°＋α，
所以∠EAF＝②，
将②代入①，得45°＋＝∠F＋α，
所以∠F＝67.5°，即∠AFC＝67.5°.