广东多校2025-2026学年下学期高三数学3月阶段检测（含答案）
文档属性
| 名称 | 广东多校2025-2026学年下学期高三数学3月阶段检测（含答案） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 259.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-31 00:00:00 | ||
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文档简介
高三年级 3 月二轮复习阶段检测 数 学
满分 150 分。考试用时 120 分钟。
注意事项:
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3. 考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后, 请将答题卡交回。
一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的.
1. 已知集合 ，则 中的元素个数为
A. 6 B. 8 C. 9 D. 10
2. AI 工具正加速渗透职场，但数据安全问题已成为职场人士对 AI 工具产生担忧的重要原因之一. 某传媒数据中心随机调查 100 位职场人，经统计，毫不担忧、轻微担忧、一般担忧、比较担忧、极度担忧的人数分别为6,46,29,15,4,则这 5 个数据的 20% 分位数是
A. 26 B. 6 C. 5 D. 4
3. 若 ,且 ,则
A. 3 B. 5 C. 8 D. -11
4. 若向量 满足 ,则
A. 0 B. -4 C. 8 D. 2
5. 已知等比数列 的前 项和为 ,若 ,则
A. 8 B. -8 C. 4 D. -4
6. 若 ，则 的取值范围是
A. B. C. D.
7. 已知高为 4 的正四棱锥 的所有顶点都在球 的表面上，若球 被平面 所截得的截面面积为 ,则四棱锥 的体积为
A. B. C. D.
8. 已知函数 ,若 恒成立,则 的取值范围是
A. B. C. D.
二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全 部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知函数 ,则
A. 的最小正周期为 B. 的图象关于点 对称
C. 的图象关于直线 对称 D. 在区间 上单调递增
10. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ,过 的直线与 交于 两点,若 ,则
A. B.
C. 的离心率 D. 当 的长轴长为 4 时, 的短轴长为
11. Leistra 序列主要用于训练逻辑思维能力, 被称为 “玩具模型”, 满足下列 3 个条件的序列称为 Leistra 序列: ① 各项全为正偶数; ②从第 2 项起序列中的每一项都由前一项除以区间 内的整数得到; ③不存在区间 内的整数 ,使得最后一项为 与一个偶数的积. 则下列结论正确的是
A. 1 000,200,4 是 Leistra 序列
B. 等差数列一定不是 Leistra 序列
C. 当 是 Leistra 序列时, 可能的值有 2 个
D. 当 Leistra 序列的首项是 4 位数时, 末项的最大值不可能是 48 , 也不可能是 18
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 若双曲线 的一条渐近线的方程为 ，则该双曲线的焦距为_____.
13. 若随机变量 ，且 ，则 的值为_____.
14. 已知函数 的定义域 ,对 图象上任意两点 , 点 恒在 的图象上，若 ，则 的值为_____.
四、解答题:本题共 5 小题,共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13 分) 记 的内角 的对边分别为 ，已知 .
(1)若 ，求 的面积；
(2)若 ，求 .
16. (15分)如图，四棱柱 中，底面 是梯形， ，侧面 是边长为 2 的菱形, .
(1)在 上找一点 ，使得平面 平面 ，并给出证明；
(2)若平面 平面 ，求平面 与平面 夹角的余弦值.
17. (15分)甲、乙两位围棋爱好者进行一场比赛，比赛规则如下:比赛最多进行 5 局，先连续胜 2 局者获胜,比赛结束;若 5 局结束仍未有人连胜 2 局,则胜局多者获胜. 每局比赛结果相互独立,且没有平局,甲每局获胜的概率为 .
(1)求最多比赛 4 局且甲获胜的概率；
(2)记比赛决出胜负时的局数为 ，求 的分布列与期望.
18. (17 分) 已知点 ,抛物线 的焦点为 ,线段 的中点在 上.
(1)求 的方程；微信搜 《高三标答公众号》获取全科
(2)过点 的直线与 交于 两点.
(i) 已知 的准线为 ,作 于点 ,证明: 直线 过定点;
(ii) 过点 与 平行的直线与 交于点 . 判断 是否为定值,若为定值,求出该定值; 若不为定值, 请说明理由.
19. (17分)已知 是定义在区间 上的可导函数，其导函数为 . ， 在 上的值域分别为 ,若 ,则称 为“一阶跳跃函数”,若 ,且 ,则称 为 “二阶跳跃函数”.
(1)若 ，判断 是否是“一阶跳跃函数”？
(2)若 是 上的“一阶跳跃函数”,求整数 的最小值；
(3)若 是 上的 “二阶跳跃函数”,求 的取值范围.
高三年级 3 月二轮复习阶段检测 数学参考答案及评分细则
1.【答案】A
时 ,当 时 ,当 时 ,所以 ,即 中有 6 个元素. 故选 A.
2.【答案】C
把透个数据从小到大排列为 ,所以 分位数是 4 与 6 的平均数5. 故选 C.
3.【答案】B
得 ,所以 . 故选 B.
4.【答案】A
由 ,得 所以 . 故选 A.
5.【答案】D
设 的公比为q,则 ,所以 就是 ,所以 是公比故选 D.
6.【答案】B
, flags 及 . 由对数式有意义,可得 ,且 ,又 ，因此可得
7.【答案】B
由球O截平面 所得的截面面积为 ,可得截面圆半径为 ,正方形 的边长为 4. 设球O的半径为 ,则 到平面 的距离 ,所以 . 解得 ,所以四棱锥 的体积为 故选 B.
8.【答案】C
设 ,则 0, 单调递减,所以 ,问题转化为 时 恒成立. 设 ,则 ,所以 在区间 上单调递增,在区间 上单调递减, 在区间 上单调递增,因为 时 ,结合 在区间 上单调递增,所以 ,此时存在 ,使得 ,且 时 时 . 又 时 ，所以 ，即 ，所以 . 故选 C.
9.【答案】A C D(每选得 2 分)
的最小正周期为 ,故 A 正确 . 的图象关于点 对称，故B 错误 是 的最大值,故 正确; 时, 在区间 上单调递增,故 正确. 故选 ACD.
10.【答案】A B D(每选对 1 个得 2 分)
设 ,则 所以 ，故 A 正确； ，故 B 正确；由余弦定理得 ,整理得 ,解得 ,所以 . 故 C 错误; 当 的长轴长为 4 时, ,故 D 正确. 故选 ABD.
11.【答案】 (每选对 1 个得 3 分)
,故 错误; 不妨设 为等差数列的连续3 项,若该等差数列为 Leistra序列,则存在正整数 ,使得 , ,所以 ,由 得 分解所以 ，由 可得 ，所以 不成立，故B正确；存在整数 ,使得 it, ,所以 and ,所以 ,的值可能是 或 ，即 可能的值有 2 个，故 正确；因为 不满足条件③，所以48不可能是末项，若末项 为不小于 20 的偶数,则 , 不可能是末项 可能是末项,且9000,180,18是符合条件的一 D 错误. 故选 B C .
12.【答 (答案写成3/3也正确)
由该双曲线的一条渐近线的方程为 ,得 . 所以该双曲线的焦距为 .
13.【答
所以 .
14.【答】 (答案写成 或-4.875都正确)
由已知可得 ,即 . 设 . 取 ,得 ,取 ,得 . 取 , ,得 ,得 ,取 ,得 ,所以
15. 解:(1) 因为
由余弦定理得 ,(2 分)
因为 ,所以 (3 分)
所以 的面积为 . (5 分)
(2)解法 -: 因为 ，所以 ，(6 分)
由 ,得 ,
所以 ,(8 分)
由正弦定理及余弦定理得 ,(9 分)
即 ,解得 或 分)
经检验， 不满足题意，故 . (13 分)
解法二: 因为 ,所以 ,(6 分)
由 ,得 所以 . (7 分)
由正弦定理得 ，即 ，解得 ，_____ )。
又 ，
则由正弦定理得
16. 解:(1)当点 为棱 的中点时,平面 平面 . (1 分)
证明如下:
在直角梯形 中,由
可得 ，如图，连接 ，则 ，
所以 ,所以 . (3 分)
因为 ,所以 . (4 分)
因为 ,连接 ,则 是正三角形,
所以 ,所以 (5分)
因为 平面 平面 ,所以 平面 ,(6分)
因为 平面 ,所以平面 平面 . (7 分)
(2)由(1)知 ,因为平面 平面 ,且平面 平面 ,
所以 平面 . 微信搜《高三标答公众号》获取全科
因为 平面 1 ,所以 ,从而 两两垂直.
以点 为原点， ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 . (8 分)
所以 . (9 分)
设平面 的法向量为 ,
则 又
取 ，得 . (11 分)
设平面 的法向量为 ,
则 即
取 ，得 . (13分)
设平面 与平面 的夹角为 ,
则 (15 分)
17. 解:(1)记“甲第i(i = 1,2,3,4)局获胜”为事件A，“最多比赛 4 局且甲获胜”为事件A，(1分) 则 ,且 相互独立, ,(3 分) 所以
(2) 由题意, 的可能取值为
(9 分)
(10 分)
. (11 分)
所以 的分布列为微信搜《高三标答公众号》获取全科
2 3 4 5
5 2 9
(13 分)
18.(1)解:由 ， . 得线段 的中点坐标为 ，(1分)
代入 的方程得 ,解得 (负值舍去),(3分)
所以 的方程为 . (4 分)
(2)(i)证明:设 ，
与 联立得 的 ，(5 分)
则 ，(6 分)
C 的准线方程为 ，所以 ，(7 分)
设 为原点，则 .
,(9 分)
所以P, O, R共线,即直线PR过定点
(ii) 解: 由 (i) 知,
设 ,直线 的方程为 .
与 联立得 ,
所以 ,且 ,(14 分)
所以
,(16 分)
所以 ,为定值. (17 分)
19. 解:(1) 因为 ，所以 (1 分)
设 ,
当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递减，(2 分)
所以 ,分
所以 是 上的 “一阶跳跃函数”. (4 分)
(2)因为 ，
所以 . (5 分)
因为 是 上的 “一阶跳跃函数”,
所以当 时, ,即 (6 分)
设 ,则 ,
设 ,则 在区间 上单调递增,且 ,
所以存在 使得 即 ,(8 分)
当 时， ， ， 单调递增，当 时， ， ，前调递减，(9 分) 所以 变量 ,
所以 的最小值为
(3) 因为 ,
所以 (11 分)
因为 ,所所以 不恒成立,
所以 恒成立,即 恒成立. (12 分)
设 ,
设 ,则当 时, ,
当 时, ,
所以 在区间 上单调递减, (13 分)
若 ,则 ,则存在 ,使得 时, (单调递减,
当 时, ,即 ,不满足题意; [4 分]
若 ，则 ，则存在 ，，使得 时， ， 单调递增，
当 时， ，即 ，不满足题意；
若 ,则 ,即 ,
综上得,
当 时， 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，
且 ,
,
所以 . (16 分)
当 时, ,
因为 ,所以 在区间 上单调递减,且 所以 或 ,解得 或 , 所以 的取值范围是 以
满分 150 分。考试用时 120 分钟。
注意事项:
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3. 考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后, 请将答题卡交回。
一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的.
1. 已知集合 ，则 中的元素个数为
A. 6 B. 8 C. 9 D. 10
2. AI 工具正加速渗透职场，但数据安全问题已成为职场人士对 AI 工具产生担忧的重要原因之一. 某传媒数据中心随机调查 100 位职场人，经统计，毫不担忧、轻微担忧、一般担忧、比较担忧、极度担忧的人数分别为6,46,29,15,4,则这 5 个数据的 20% 分位数是
A. 26 B. 6 C. 5 D. 4
3. 若 ,且 ,则
A. 3 B. 5 C. 8 D. -11
4. 若向量 满足 ,则
A. 0 B. -4 C. 8 D. 2
5. 已知等比数列 的前 项和为 ,若 ,则
A. 8 B. -8 C. 4 D. -4
6. 若 ，则 的取值范围是
A. B. C. D.
7. 已知高为 4 的正四棱锥 的所有顶点都在球 的表面上，若球 被平面 所截得的截面面积为 ,则四棱锥 的体积为
A. B. C. D.
8. 已知函数 ,若 恒成立,则 的取值范围是
A. B. C. D.
二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全 部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知函数 ,则
A. 的最小正周期为 B. 的图象关于点 对称
C. 的图象关于直线 对称 D. 在区间 上单调递增
10. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ,过 的直线与 交于 两点,若 ,则
A. B.
C. 的离心率 D. 当 的长轴长为 4 时, 的短轴长为
11. Leistra 序列主要用于训练逻辑思维能力, 被称为 “玩具模型”, 满足下列 3 个条件的序列称为 Leistra 序列: ① 各项全为正偶数; ②从第 2 项起序列中的每一项都由前一项除以区间 内的整数得到; ③不存在区间 内的整数 ,使得最后一项为 与一个偶数的积. 则下列结论正确的是
A. 1 000,200,4 是 Leistra 序列
B. 等差数列一定不是 Leistra 序列
C. 当 是 Leistra 序列时, 可能的值有 2 个
D. 当 Leistra 序列的首项是 4 位数时, 末项的最大值不可能是 48 , 也不可能是 18
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 若双曲线 的一条渐近线的方程为 ，则该双曲线的焦距为_____.
13. 若随机变量 ，且 ，则 的值为_____.
14. 已知函数 的定义域 ,对 图象上任意两点 , 点 恒在 的图象上，若 ，则 的值为_____.
四、解答题:本题共 5 小题,共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13 分) 记 的内角 的对边分别为 ，已知 .
(1)若 ，求 的面积；
(2)若 ，求 .
16. (15分)如图，四棱柱 中，底面 是梯形， ，侧面 是边长为 2 的菱形, .
(1)在 上找一点 ，使得平面 平面 ，并给出证明；
(2)若平面 平面 ，求平面 与平面 夹角的余弦值.
17. (15分)甲、乙两位围棋爱好者进行一场比赛，比赛规则如下:比赛最多进行 5 局，先连续胜 2 局者获胜,比赛结束;若 5 局结束仍未有人连胜 2 局,则胜局多者获胜. 每局比赛结果相互独立,且没有平局,甲每局获胜的概率为 .
(1)求最多比赛 4 局且甲获胜的概率；
(2)记比赛决出胜负时的局数为 ，求 的分布列与期望.
18. (17 分) 已知点 ,抛物线 的焦点为 ,线段 的中点在 上.
(1)求 的方程；微信搜 《高三标答公众号》获取全科
(2)过点 的直线与 交于 两点.
(i) 已知 的准线为 ,作 于点 ,证明: 直线 过定点;
(ii) 过点 与 平行的直线与 交于点 . 判断 是否为定值,若为定值,求出该定值; 若不为定值, 请说明理由.
19. (17分)已知 是定义在区间 上的可导函数，其导函数为 . ， 在 上的值域分别为 ,若 ,则称 为“一阶跳跃函数”,若 ,且 ,则称 为 “二阶跳跃函数”.
(1)若 ，判断 是否是“一阶跳跃函数”？
(2)若 是 上的“一阶跳跃函数”,求整数 的最小值；
(3)若 是 上的 “二阶跳跃函数”,求 的取值范围.
高三年级 3 月二轮复习阶段检测 数学参考答案及评分细则
1.【答案】A
时 ,当 时 ,当 时 ,所以 ,即 中有 6 个元素. 故选 A.
2.【答案】C
把透个数据从小到大排列为 ,所以 分位数是 4 与 6 的平均数5. 故选 C.
3.【答案】B
得 ,所以 . 故选 B.
4.【答案】A
由 ,得 所以 . 故选 A.
5.【答案】D
设 的公比为q,则 ,所以 就是 ,所以 是公比故选 D.
6.【答案】B
, flags 及 . 由对数式有意义,可得 ,且 ,又 ，因此可得
7.【答案】B
由球O截平面 所得的截面面积为 ,可得截面圆半径为 ,正方形 的边长为 4. 设球O的半径为 ,则 到平面 的距离 ,所以 . 解得 ,所以四棱锥 的体积为 故选 B.
8.【答案】C
设 ,则 0, 单调递减,所以 ,问题转化为 时 恒成立. 设 ,则 ,所以 在区间 上单调递增,在区间 上单调递减, 在区间 上单调递增,因为 时 ,结合 在区间 上单调递增,所以 ,此时存在 ,使得 ,且 时 时 . 又 时 ，所以 ，即 ，所以 . 故选 C.
9.【答案】A C D(每选得 2 分)
的最小正周期为 ,故 A 正确 . 的图象关于点 对称，故B 错误 是 的最大值,故 正确; 时, 在区间 上单调递增,故 正确. 故选 ACD.
10.【答案】A B D(每选对 1 个得 2 分)
设 ,则 所以 ，故 A 正确； ，故 B 正确；由余弦定理得 ,整理得 ,解得 ,所以 . 故 C 错误; 当 的长轴长为 4 时, ,故 D 正确. 故选 ABD.
11.【答案】 (每选对 1 个得 3 分)
,故 错误; 不妨设 为等差数列的连续3 项,若该等差数列为 Leistra序列,则存在正整数 ,使得 , ,所以 ,由 得 分解所以 ，由 可得 ，所以 不成立，故B正确；存在整数 ,使得 it, ,所以 and ,所以 ,的值可能是 或 ，即 可能的值有 2 个，故 正确；因为 不满足条件③，所以48不可能是末项，若末项 为不小于 20 的偶数,则 , 不可能是末项 可能是末项,且9000,180,18是符合条件的一 D 错误. 故选 B C .
12.【答 (答案写成3/3也正确)
由该双曲线的一条渐近线的方程为 ,得 . 所以该双曲线的焦距为 .
13.【答
所以 .
14.【答】 (答案写成 或-4.875都正确)
由已知可得 ,即 . 设 . 取 ,得 ,取 ,得 . 取 , ,得 ,得 ,取 ,得 ,所以
15. 解:(1) 因为
由余弦定理得 ,(2 分)
因为 ,所以 (3 分)
所以 的面积为 . (5 分)
(2)解法 -: 因为 ，所以 ，(6 分)
由 ,得 ,
所以 ,(8 分)
由正弦定理及余弦定理得 ,(9 分)
即 ,解得 或 分)
经检验， 不满足题意，故 . (13 分)
解法二: 因为 ,所以 ,(6 分)
由 ,得 所以 . (7 分)
由正弦定理得 ，即 ，解得 ，_____ )。
又 ，
则由正弦定理得
16. 解:(1)当点 为棱 的中点时,平面 平面 . (1 分)
证明如下:
在直角梯形 中,由
可得 ，如图，连接 ，则 ，
所以 ,所以 . (3 分)
因为 ,所以 . (4 分)
因为 ,连接 ,则 是正三角形,
所以 ,所以 (5分)
因为 平面 平面 ,所以 平面 ,(6分)
因为 平面 ,所以平面 平面 . (7 分)
(2)由(1)知 ,因为平面 平面 ,且平面 平面 ,
所以 平面 . 微信搜《高三标答公众号》获取全科
因为 平面 1 ,所以 ,从而 两两垂直.
以点 为原点， ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 . (8 分)
所以 . (9 分)
设平面 的法向量为 ,
则 又
取 ，得 . (11 分)
设平面 的法向量为 ,
则 即
取 ，得 . (13分)
设平面 与平面 的夹角为 ,
则 (15 分)
17. 解:(1)记“甲第i(i = 1,2,3,4)局获胜”为事件A，“最多比赛 4 局且甲获胜”为事件A，(1分) 则 ,且 相互独立, ,(3 分) 所以
(2) 由题意, 的可能取值为
(9 分)
(10 分)
. (11 分)
所以 的分布列为微信搜《高三标答公众号》获取全科
2 3 4 5
5 2 9
(13 分)
18.(1)解:由 ， . 得线段 的中点坐标为 ，(1分)
代入 的方程得 ,解得 (负值舍去),(3分)
所以 的方程为 . (4 分)
(2)(i)证明:设 ，
与 联立得 的 ，(5 分)
则 ，(6 分)
C 的准线方程为 ，所以 ，(7 分)
设 为原点，则 .
,(9 分)
所以P, O, R共线,即直线PR过定点
(ii) 解: 由 (i) 知,
设 ,直线 的方程为 .
与 联立得 ,
所以 ,且 ,(14 分)
所以
,(16 分)
所以 ,为定值. (17 分)
19. 解:(1) 因为 ，所以 (1 分)
设 ,
当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递减，(2 分)
所以 ,分
所以 是 上的 “一阶跳跃函数”. (4 分)
(2)因为 ，
所以 . (5 分)
因为 是 上的 “一阶跳跃函数”,
所以当 时, ,即 (6 分)
设 ,则 ,
设 ,则 在区间 上单调递增,且 ,
所以存在 使得 即 ,(8 分)
当 时， ， ， 单调递增，当 时， ， ，前调递减，(9 分) 所以 变量 ,
所以 的最小值为
(3) 因为 ,
所以 (11 分)
因为 ,所所以 不恒成立,
所以 恒成立,即 恒成立. (12 分)
设 ,
设 ,则当 时, ,
当 时, ,
所以 在区间 上单调递减, (13 分)
若 ,则 ,则存在 ,使得 时, (单调递减,
当 时, ,即 ,不满足题意; [4 分]
若 ，则 ，则存在 ，，使得 时， ， 单调递增，
当 时， ，即 ，不满足题意；
若 ,则 ,即 ,
综上得,
当 时， 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，
且 ,
,
所以 . (16 分)
当 时, ,
因为 ,所以 在区间 上单调递减,且 所以 或 ,解得 或 , 所以 的取值范围是 以
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