江西吉安2025-2026学年下学期高三数学3月模拟考试（含答案）
文档属性
| 名称 | 江西吉安2025-2026学年下学期高三数学3月模拟考试（含答案） |
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|
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 315.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-31 00:00:00 | ||
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文档简介
2026年全市高三模拟考试 2026.3 数 学 试 题
满分 150 分，考试时间 120 分钟。
注意事项:
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动, 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3. 考生必须保持答题卡的整洁, 考试结束后, 请将答题卡交回。
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。每小题给出的四个选项中, 只有一项是 符合题目要求的。
1. 设集合 ，则
A. B. C. D.
2. 已知复数 满足 ( 为虚数单位),则 的虚部为
A. 2 B. 2i C. -2 D. -2i
3. 某市连续 8 天的 AQI (空气质量指数) 分别为66,32,50,48,34,26,45,36,则这组数据的上四分位数为
A. 32 B. 33 C. 48 D. 49
4. 已知圆台的上下底面半径分别为1和2,母线与底面夹角的余弦值为 ,则该圆台的体积为
A. B. C. D.
5. 已知过原点的直线 与圆 相交于 两点,则 的最小值为
A. 3 B. 6 C. 8 D. 10
6. 已知函数 在定义域 上是增函数,则实数 的取值范围为
A. B.
C. D.
7. 已知数列 的各项均不为 0,其前 项积为 ,且 ,记数列 的前 项和为 ,则
A. B. C. D.
8. 已知椭圆 的左焦点为 为坐标原点， 为椭圆 上任意一点，以 为直径作圆 ,若圆 上有一动点 (不在 轴上),则 面积的最大值为
A. 1 B. C. 2 D. 4
(第 9 题图)
二、选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
9. 已知函数 ,函数 和它的导函数 的部分图象如图所示,则下列说法正确的是
A.
B.
C. 是函数 的一条对称轴
D. 若 ，则
(第 10 题图)
10. 如图，在菱形网格图(最小的菱形边长为1，且有一个内角为 ) 中有两个格点 ,若图中有且只有 2 个不同的格点 不与 重合) 使得 成立,则 的可能取值为
A. 0 B. 1
C. 4 D. 9
11. 已知函数 的定义域为 ,且对 均有 成立,当 时, ,则
A. B. 为偶函数
C. 当 时, D. 在 上单调递增
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分。
12. 若 ,则 _____.
13. 设等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 的最大值为_____.
14. 春节期间，家家户户都会挂起寓意吉祥的装饰挂件. 现有“福字挂饰”、“中国结挂饰”、 “红灯笼挂饰”三种类型的挂件各2个(其中福字挂饰分别为刺绣款、剪纸款；中国结挂饰分别为桃木款、红绳款；红灯笼挂饰分别为宫灯款、纱灯加，将这 6 个挂件随机挂成一排，则仅有一种类型的挂件相邻的概率为_____.
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (13 分)
在 中,角 所对的边分别为 ,且 .
(1)求 ；
(2)若 的面积为 ，求 的值.
16. (15 分)
如图,平行六面体 中,底面 是边长为 的正方形, .
(1)证明:平面 平面 ；
(2)若 ，求直线 与平面 所成角的正弦值.
(第 16 题图)
17. (15 分)
某校社团举行 “网络安全” 知识竞赛, 规则如下: 每位选手需要独立完成 3 道题目, 答对一题得 2 分, 答错一题得-1 分, 3 道题目累加得分多者获胜. 甲、乙两位同学报名参加比赛, 两人分别独立答题,互不影响,若甲、乙正确回答每道题的概率分别为 .
(1)求比赛结束后甲得 3 分的概率；
(2)已知在甲获胜的前提下，乙恰好得 3 分的概率为 ，求 的值.
18. (17 分)
已知双曲线 的离心率为 ，其焦点到渐近线的距离为1，点 为圆 上一动点.
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)若过点 可以作双曲线 的两条切线 ，且切点分别为 .
(i) 设直线 的斜率分别为 ,求 的值;
(ii) 设 分别交圆 于点 ,试探究 是否为定值 若是,请求出这个定值; 若不是, 请说明理由.
19. (17 分)
已知函数 .
(1)若 ，求函数 在 处的切线方程；
(2)若 ，讨论 的单调性；
(3)若对任意的 ， 恒成立，求 的取值范围.
2026 届高三模拟考试 2026.3 数学参考答案及评分标准
一、单项选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C A D B B C A A
二、多项选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
题号 9 10 11
答案 BCD ABC ACD
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12. 2 13. 65
14.
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. 解: (1) 由 , 2 分
因为 ,所以 , 3 分
又因为 ,所以 ,即 , 4 分
所以 . 5 分
(2)由题意得 , 7 分
由正弦定理 , 9 分
而 , 10 分
故有 ，解得 . 13 分
16. 解: (1) 如图 1,设 与 的交点为 ,连接 ,
由题意知 ,又因为 ,所以 , 2 分
所以 平面 ,而 平面 , 4 分故平面 平面 . 5 分
(图 1)
(图 2)
(2)由(1)可知 平面 ，所以平面 平面 ，
过点 作 的垂线 交 于点 ,则 平面 , 7 分
在 Rt 中, ,在 中,由余弦定理得
,即 , 9 分
所以 ，建立如图 2 所示的空间直角坐标系，则 ， ， ,故 , 11 分
设平面 的法向量为 ,
则由 得 ,令 得 , 13 分
设直线 与平面 所成角为 ,
则 ,
即直线 与平面 所成角的正弦值为 . 15 分
17. 解:(1)设“比赛结束后甲得 3 分”为事件 ，
则 . 4 分
(2)记“比赛结束后甲获胜”为事件 ，记“比赛结束时乙恰好得 3 分”为事件 ， 设甲的得分为 ,则 ,
7 分
设乙的得分为 的可能取值为-3,0,3,6,则
9 分
11 分
又 , 12 分
所以 , 13 分
解得 . 15 分
18. 解: (1) 由题意知 ,又因为 ,所以 , 故双曲线 的标准方程为 . 4 分
(2)(i)设 ，由题意知切线的斜率一定存在，
设过点 与双曲线相切的切线方程为 ,代入双曲线 中消去 得: 6 分
则由 得: ,
化简得: , 8 分
则 为上述方程的两个根,故 , 9 分
而 ,所以 . 10 分
(ii) 为定值 1 .
证明: 当 斜率为 0 或者斜率不存在时,根据对称性可知 ,
此时 ,即 ; 11 分
当 都存在时,设 的中点为 ,
由 ,即 , 12 分
由于切点弦 所在的直线方程为 ,所以 , 13 分
因此 ,即 三点共线, 14 分
又由 (i) 可知 与 均为直角三角形,故 ,
则 ,而 ,所以 ,
故 ， 16 分
所以 ,即 . 17 分
注: 其他解法酌情给分.
19. 解: (1) 由题意知 定义域为 , 2 分当 时， ，而 ，所以切线方程为 . 4 分
(2)当 ， 时， ， 6 分
因为 ,所以 ,
若 ,即 时, ,此时 在 上单调递增, 7 分若 ,即 时,令 ,得 或 ,令 , 得 ,所以 在 和 上单调递增,
在 上单调递减, 9 分
综上,当 时, 在 上单调递增; 当 时，增区间为 和 ，减区间为 . 10 分
(3)因为 ,对 恒成立，且 ，
故 ,即 , 11 分
所以 ,对 恒成立,当 时满足条件;
当 时， ，即 ；
当 时， ，即 ，所以 ， 12 分
,令 得 ,所以
① 当 时， ， ，则 在 上单调递增，当 时， ,不满足题意; 13 分
② 当 时， ，令 ，则 ，所以 在 上单调递增,当 时, ,不满足题意;
③ 当 时， ，令 得 ，所以所以 在 上单调递减，当 时， ，不满足题意； 14 分
④ 当 时， ，令 得 ，所以所以 在 上单调递增,在 上单调递减,在 上单调递增,因为 ,所以
,令 ,则 ,
因此 ,不满足题意； 16 分
⑤当 时， ，所以 在 上单调递减，在 上单调递增， 故 ,满足题意.
综上可知, 的取值范围为 . 17 分
注: 其他解法酌情给分.
多维命题细目表
具体知识点 关键能力 预 设 难 度
题号 题型 分值 逻辑思维 运算求解 直观想象 数学建模 创新能力
1 单选题 5 集合的运算 易
2 5 复数的运算 易
3 5 百分位数的概念 易
4 5 圆台的体积计算 易
5 5 直线与圆的位置关系 易
6 5 分段函数单调性 中
7 5 递推数列, 裂项相消法求和 中
8 5 圆锥曲线 难
9 多选题 6 三角函数的图像与性质 易
10 6 向量数量积的运算 中
11 6 导数及其应用 难
12 填空题 5 对数的运算 易
13 5 等差数列及其前 项和 易
14 5 古典概型, 计数原理 难
15 解答题 13 解三角形 易
16 15 面面垂直的证明, 直线与平面所成角的计算 中
17 15 离散型随机变量的分布列及均值, 条件概率 中
18 17 双曲线蒙日圆的性质 难
19 17 导数及其应用, 不等式恒成立问题 难
满分 150 分，考试时间 120 分钟。
注意事项:
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动, 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3. 考生必须保持答题卡的整洁, 考试结束后, 请将答题卡交回。
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。每小题给出的四个选项中, 只有一项是 符合题目要求的。
1. 设集合 ，则
A. B. C. D.
2. 已知复数 满足 ( 为虚数单位),则 的虚部为
A. 2 B. 2i C. -2 D. -2i
3. 某市连续 8 天的 AQI (空气质量指数) 分别为66,32,50,48,34,26,45,36,则这组数据的上四分位数为
A. 32 B. 33 C. 48 D. 49
4. 已知圆台的上下底面半径分别为1和2,母线与底面夹角的余弦值为 ,则该圆台的体积为
A. B. C. D.
5. 已知过原点的直线 与圆 相交于 两点,则 的最小值为
A. 3 B. 6 C. 8 D. 10
6. 已知函数 在定义域 上是增函数,则实数 的取值范围为
A. B.
C. D.
7. 已知数列 的各项均不为 0,其前 项积为 ,且 ,记数列 的前 项和为 ,则
A. B. C. D.
8. 已知椭圆 的左焦点为 为坐标原点， 为椭圆 上任意一点，以 为直径作圆 ,若圆 上有一动点 (不在 轴上),则 面积的最大值为
A. 1 B. C. 2 D. 4
(第 9 题图)
二、选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
9. 已知函数 ,函数 和它的导函数 的部分图象如图所示,则下列说法正确的是
A.
B.
C. 是函数 的一条对称轴
D. 若 ，则
(第 10 题图)
10. 如图，在菱形网格图(最小的菱形边长为1，且有一个内角为 ) 中有两个格点 ,若图中有且只有 2 个不同的格点 不与 重合) 使得 成立,则 的可能取值为
A. 0 B. 1
C. 4 D. 9
11. 已知函数 的定义域为 ,且对 均有 成立,当 时, ,则
A. B. 为偶函数
C. 当 时, D. 在 上单调递增
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分。
12. 若 ,则 _____.
13. 设等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 的最大值为_____.
14. 春节期间，家家户户都会挂起寓意吉祥的装饰挂件. 现有“福字挂饰”、“中国结挂饰”、 “红灯笼挂饰”三种类型的挂件各2个(其中福字挂饰分别为刺绣款、剪纸款；中国结挂饰分别为桃木款、红绳款；红灯笼挂饰分别为宫灯款、纱灯加，将这 6 个挂件随机挂成一排，则仅有一种类型的挂件相邻的概率为_____.
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (13 分)
在 中,角 所对的边分别为 ,且 .
(1)求 ；
(2)若 的面积为 ，求 的值.
16. (15 分)
如图,平行六面体 中,底面 是边长为 的正方形, .
(1)证明:平面 平面 ；
(2)若 ，求直线 与平面 所成角的正弦值.
(第 16 题图)
17. (15 分)
某校社团举行 “网络安全” 知识竞赛, 规则如下: 每位选手需要独立完成 3 道题目, 答对一题得 2 分, 答错一题得-1 分, 3 道题目累加得分多者获胜. 甲、乙两位同学报名参加比赛, 两人分别独立答题,互不影响,若甲、乙正确回答每道题的概率分别为 .
(1)求比赛结束后甲得 3 分的概率；
(2)已知在甲获胜的前提下，乙恰好得 3 分的概率为 ，求 的值.
18. (17 分)
已知双曲线 的离心率为 ，其焦点到渐近线的距离为1，点 为圆 上一动点.
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)若过点 可以作双曲线 的两条切线 ，且切点分别为 .
(i) 设直线 的斜率分别为 ,求 的值;
(ii) 设 分别交圆 于点 ,试探究 是否为定值 若是,请求出这个定值; 若不是, 请说明理由.
19. (17 分)
已知函数 .
(1)若 ，求函数 在 处的切线方程；
(2)若 ，讨论 的单调性；
(3)若对任意的 ， 恒成立，求 的取值范围.
2026 届高三模拟考试 2026.3 数学参考答案及评分标准
一、单项选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C A D B B C A A
二、多项选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
题号 9 10 11
答案 BCD ABC ACD
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12. 2 13. 65
14.
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. 解: (1) 由 , 2 分
因为 ,所以 , 3 分
又因为 ,所以 ,即 , 4 分
所以 . 5 分
(2)由题意得 , 7 分
由正弦定理 , 9 分
而 , 10 分
故有 ，解得 . 13 分
16. 解: (1) 如图 1,设 与 的交点为 ,连接 ,
由题意知 ,又因为 ,所以 , 2 分
所以 平面 ,而 平面 , 4 分故平面 平面 . 5 分
(图 1)
(图 2)
(2)由(1)可知 平面 ，所以平面 平面 ，
过点 作 的垂线 交 于点 ,则 平面 , 7 分
在 Rt 中, ,在 中,由余弦定理得
,即 , 9 分
所以 ，建立如图 2 所示的空间直角坐标系，则 ， ， ,故 , 11 分
设平面 的法向量为 ,
则由 得 ,令 得 , 13 分
设直线 与平面 所成角为 ,
则 ,
即直线 与平面 所成角的正弦值为 . 15 分
17. 解:(1)设“比赛结束后甲得 3 分”为事件 ，
则 . 4 分
(2)记“比赛结束后甲获胜”为事件 ，记“比赛结束时乙恰好得 3 分”为事件 ， 设甲的得分为 ,则 ,
7 分
设乙的得分为 的可能取值为-3,0,3,6,则
9 分
11 分
又 , 12 分
所以 , 13 分
解得 . 15 分
18. 解: (1) 由题意知 ,又因为 ,所以 , 故双曲线 的标准方程为 . 4 分
(2)(i)设 ，由题意知切线的斜率一定存在，
设过点 与双曲线相切的切线方程为 ,代入双曲线 中消去 得: 6 分
则由 得: ,
化简得: , 8 分
则 为上述方程的两个根,故 , 9 分
而 ,所以 . 10 分
(ii) 为定值 1 .
证明: 当 斜率为 0 或者斜率不存在时,根据对称性可知 ,
此时 ,即 ; 11 分
当 都存在时,设 的中点为 ,
由 ,即 , 12 分
由于切点弦 所在的直线方程为 ,所以 , 13 分
因此 ,即 三点共线, 14 分
又由 (i) 可知 与 均为直角三角形,故 ,
则 ,而 ,所以 ,
故 ， 16 分
所以 ,即 . 17 分
注: 其他解法酌情给分.
19. 解: (1) 由题意知 定义域为 , 2 分当 时， ，而 ，所以切线方程为 . 4 分
(2)当 ， 时， ， 6 分
因为 ,所以 ,
若 ,即 时, ,此时 在 上单调递增, 7 分若 ,即 时,令 ,得 或 ,令 , 得 ,所以 在 和 上单调递增,
在 上单调递减, 9 分
综上,当 时, 在 上单调递增; 当 时，增区间为 和 ，减区间为 . 10 分
(3)因为 ,对 恒成立，且 ，
故 ,即 , 11 分
所以 ,对 恒成立,当 时满足条件;
当 时， ，即 ；
当 时， ，即 ，所以 ， 12 分
,令 得 ,所以
① 当 时， ， ，则 在 上单调递增，当 时， ,不满足题意; 13 分
② 当 时， ，令 ，则 ，所以 在 上单调递增,当 时, ,不满足题意;
③ 当 时， ，令 得 ，所以所以 在 上单调递减，当 时， ，不满足题意； 14 分
④ 当 时， ，令 得 ，所以所以 在 上单调递增,在 上单调递减,在 上单调递增,因为 ,所以
,令 ,则 ,
因此 ,不满足题意； 16 分
⑤当 时， ，所以 在 上单调递减，在 上单调递增， 故 ,满足题意.
综上可知, 的取值范围为 . 17 分
注: 其他解法酌情给分.
多维命题细目表
具体知识点 关键能力 预 设 难 度
题号 题型 分值 逻辑思维 运算求解 直观想象 数学建模 创新能力
1 单选题 5 集合的运算 易
2 5 复数的运算 易
3 5 百分位数的概念 易
4 5 圆台的体积计算 易
5 5 直线与圆的位置关系 易
6 5 分段函数单调性 中
7 5 递推数列, 裂项相消法求和 中
8 5 圆锥曲线 难
9 多选题 6 三角函数的图像与性质 易
10 6 向量数量积的运算 中
11 6 导数及其应用 难
12 填空题 5 对数的运算 易
13 5 等差数列及其前 项和 易
14 5 古典概型, 计数原理 难
15 解答题 13 解三角形 易
16 15 面面垂直的证明, 直线与平面所成角的计算 中
17 15 离散型随机变量的分布列及均值, 条件概率 中
18 17 双曲线蒙日圆的性质 难
19 17 导数及其应用, 不等式恒成立问题 难
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