湖北襄阳2025-2026学年下学期高二数学3月月考（含答案）

高二下学期 3 月月考 数学试卷
一、单选题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项符合 题目要求
1. 已知直线 与 平行，则 ()
A、 0 B. -1 C. 1 D. ±1
2. 已知数列 中， 则 ( )
A. 1 B. C. -1 D. -2
3. 函数 的图象与直线 恰有两个公共点，则 ( )
A、 -1 或 0 B. -1或1 C. -2或0 D. -2或2
4. 记 为等差数列 的前 项和,若 ,则数列 的前 2024 项和为( )
A B. C. D.
5. 学校要求学生从物理、化学、生物、历史、地理、政治这 6 科中选 3 科组合学习, 要求物理历 史两科中必须选且只能选择其中一科，则选科方式共有 ( ) 种.
A. 24 B. 20 C. 12 D. 6
6. 已知椭圆 的左，右焦点分别为 ，点 在该椭圆上，若满足 为直角三角形的点 共有 8 个，则该椭圆离心率的取值范围是( )
A. . 8. C. D:
7. 若函数 恰有两个零点，则实数 的取值范围为( )
A. B. C. D.
8. 已知 是椭圆 的左焦点,经过坐标原点的直线与 交于 两点,若 , 则
A. B. C. D.
二、多选题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的四个选项中, 有多项符合题 目要求.
9. 已知 ，则下列不等式正确的有 )
A. B. C. D.
10. 已知抛物线 ，直线 与抛物线交于 两点， 为坐标原点，则( )
A. 若 ，则 B. 若 ，则
C. 若 则 D. 若 ，则 面积最小值为
11. 已知函数 ,则下列结论正确的是 ( )
A.
B. 若方程 有两个不相等的实数根,则
C. 存在 ,使
D. 若不等式 恒成立,则
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分)
12. 甲、乙、丙三人去看电影，每人可在《疯狂动物城 2》、《狂野时代》、《得闲谨制》及《开心岭》 四部电影中任选一部, 则不同的选法有_____种.
13. 若 在 上不单调，则实数 的取值范围是_____.
14. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ,点 在 上, ，直线 是 的内角平分线， ， . 则双曲线 的离心率 _____.
四、解答题:(本大题共 5 大题，共 77 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15. (本题 13 分) 已知函数 ，在 处的切线与直线 垂直. (1)求 的值；(2)求函数 的最大值.
16. (本题 15 分)如图所示，在长方体 中， ， ， ，点 在棱 点 在棱 ，且 。
(1)证明: ；
(2)在棱 上是否存在点 ，使得 到平面 的距离与 到平面 的距离相等？若存在， 求出 的长; 若不存在,说明理由.
17. (本题 15 分) 已知数列 的前 项和为 ,且 .
(1)求 的通项公式.
(2)设: ，记数列 的前 项和为 .
(i) 求 ; (ii) 若 对任意 恒成立,求 的取值范围.
18.(本题 17 分)在平面直角坐标系中，已知椭圆 的左、右顶点分别为 为椭圆 的右焦点， 为椭圆 上不同于 、 的动点，若 ，直线 与椭圆 的另一个交点为 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)求 面积的最大值:
(3)若 在 轴的上方，设直线 、 的斜率分别为 、 ，是否存在常数 ，使得 成立 若存在,请求出 的值; 若不存在,请说明理由.
19.(本题 17 分)函数 ，e为自然对数的底数.
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)当 时，证明函数 存在唯一的极值点:
(3)若存在 ，使得 对任意 成立，求实数 的取值范围.
2024-2027 届高二下学期 3 月月考 (数学)参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 B D D A C A C C ACD ACD ABD
12.
15.(1) ，依题意 ，所以 ； .5 分
(2) 定义域为 . 由 . 得到: 当 变化时, 和 的变化情况如下表:
2
+ 0 -
单调递增 ln 2 – 1 单调递减
所以 在 时取得最大值,即最大值为 . .13 分
16.(1)证明:连接 交 于点 ， ， ，故 为菱形，故 ，由长方体得 平面 ，由 平面 ，知 ； 由 平面 平面 ,知 平面 ,由 平面 , 知 . .6 分
(2)假设存在点 满足条件，记 到平面 的距离 到平面 的距离 ， 则 ，知 ， ，故 ; 则 ,另一方面 ,故 ,综上所述,存在符合题意的 点, . .15 分
17. ( 1 )由 可得， ,所以数列 是常数列,又因为 ,所以 ,即 的通项公式为 .4 分
(2)(i)由 ，则 ，可得: ， 所以 , 即 ; 10 分
(ii) 由 可得: , 由 对任意 恒成立,则 ,令 ,则函数 在 上单调递减，即当 时， ，所以 ，即 的取值范围是 . 15 分
18.(1)设 ，则 ，化简可得 ， ，则椭圆的标准方程为 ； 1. .5 分
(2)由(1)可知椭圆的右焦点坐标为 ，设直线 方程为 ， ， ， 将直线和椭圆方程联立 ，代入可得 ，可知 ,则 , 而 ,代入可得
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，点 到直线 距离 ,所以 , 令 则 ,所以 ,函数 在 上单调递增,所以 即 时, ,
此时 的面积最大，最大值为 ； 11 分
(3)假设存在 使得 ，因为 ， 在直线 上, ,故
,化简可得 ,
由(2)知 ，则 ，所以可得
,整理化简可得 ,
要对任意的 都成立,需系数满足 ,解得 ,
故存在 ,使得 . 17 分
19. ( 1 )当 时， ，则 ，所以 ，又 ,所以曲线 在点 处的切线方程为 ，
20. 即 ; .4 分
(2) ，当 时，令 ，则 ， 令 ，所以 ，
当 时, 单调递减;
当 时， ， 单调递增；
当 时, ,当 时, ,
画出 大致图象如下:
所以当 时, 与 仅有一个交点,令 ,则 ,
且 ,
当 时, ,则 单调递增;
当 时, ,则 单调递减;
为 的极大值点,故 存在唯一的极值点; .10 分
(3)由(2)知 ，此时 ，所以
,令 ,
若存在 ,使得 对任意 成立,等价于存在 ,
使得 ,即 ,
当 时, 单调递减,当 时, 单调递增,所以 ,故 ,
所以实数 的取值范围 .17 分