河南信阳2025-2026学年下学期高二数学3月阶段检测试卷（含答案）

秘密★启用前
高二内部练 数学
注意事项:
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。
1. 函数 在区间 上的平均变化率为
A. B. C. D.
2. 经过点 且与直线 平行的直线方程为
A. B.
C. D.
3. 已知向量 ,则向量 在向量 上的投影向量的坐标为
A. B.
C. D.
4. 已知圆 与 轴相切,则圆 被 轴截得的弦长为
A. 1 B. C. 2 D.
5. 在数列 中, ,则
A. B. C. D.
6. 已知函数 ,则
A. 0 B. 1 C. 2 D. 4
7. 如图，在斜三棱柱 中， ，则直线 与直线 所成角的余弦值为
A. B. C. D.
8. 定义两点 的倒影距离 . 若 , 1), ,则 的最小值为
A. B. 2 C. 3 D.
二、选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
9. 记 为等差数列 的前 项和,已知 ,则
A. B. C. D.
10. 已知函数 ,则
A. 有两个极值点
B. 当 时,
C. 有三个零点
D. 不等式 的解集为 ,且
11. 已知点 在双曲线 的渐近线上, 分别是 的左、右焦点, 是 的左支上的一动点,则
A. 的离心率为
B. 存在点 ,使得 为等腰直角三角形
C. 点 到 的两条渐近线的距离之积为定值
D.
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12. 在等比数列 中, ,则 _____.
13. 已知抛物线 的焦点为 ,点 在 的准线上且位于第二象限内, 线段 与 交于点 ,且 ,则 _____.
14. 在直四棱柱 中, ,若线段 上分别存在点 ,使得四边形 为菱形,则直四棱柱 的体积为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (13 分)
已知函数 ，且 .
(1)求 的值；
(2)求 的单调区间.
16.(15分)
如图，四棱锥 的底面为平行四边形，平面 平面 .
(1)证明: ；
(2)求平面 与平面 的夹角的余弦值.
17. (15 分)
已知椭圆 经过 两点.
(1)求 的标准方程.
(2)设直线 ( 为实数)与 相交于不同于 ， 的两点 ， .
(i) 若 ，求 的面积;
(ii) 若直线 与 轴交于点 ，直线 与 轴交于点 ，证明: .
18. (17分)
设 是数列 的前 项和,已知 .
(1)证明: 是等比数列；
(2)若 ，求数列 的前 项和 ；
(3)记 ，若不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
19.(17分)
已知函数 .
(1)求 的最小值.
(2)设曲线 在点 处的切线为 .
(i) 证明: 曲线 不在直线 的下方;
(ii) 若 ,且 ,证明: .
高二内部练
数学(人教版) 参考答案
1. C 在区间 上的平均变化率为 .
故选 C.
2. A 设与直线 平行的直线方程为 ,则 , 解得 ,所以所求的直线方程为 ,即 .
故选 A.
3. B 向量 在向量 上的投影向量的坐标为 .
故选 B.
4. D 圆 化为标准方程为 ,由题意可知, ,所以 ,所以 4,显然圆心 到 轴的距离为 ,圆 的半径 ,所以圆 被 轴截得的弦长为 .
故选 D.
5. C 由 ,得
所以 .
故选 C.
6. ,则 , 所以
故选 D.
7. A 设 ,且 ,所以 , ,则
又 ,则
所以
则直线 与直线 所成角的余弦值为 .
故选 A.
8. C 由倒影距离可知, ,
设 ,
则 ,当 时, 0,当 时, ,
所以 在 上单调递减,在 上单调递增,则 (因为 ).
则 ,
令 ,当 时, ,则 ,
当 时, ,当 时, ,
所以 在 上单调递减,在 上单
调递增,则 .
当 时, ,显然 在 上单调递减,所以 ,所以 的最小值为 3 .
故选 C.
9.BC 设等差数列 的公差为 ,由条件可知, 解得 错误;
所以 正确;
正确;
,当 时, ,所以 , D 错误.
故选 BC.
10. ABD ,由 ,解得 ,由 ,解得 或 ,所以 在 , -1)和 上单调递减，在 上单调递增,所以 分别为 的极小值点和极大值点,则 有两个极值点, A 正确;
因为 ,所以 ,根据 在 上单调递增,所以 正确;
极小值 极大值
令 ,
得 ,整理得 ,解得 ,
结合 的单调性,作出 的大致图象,
由上图可知, 有两个零点, 错误;
结合图象可知,不等式 的解集为 ,且 , D 正确.
故选 ABD.
11. ACD 因为点 在双曲线 的渐近线上,所以 ,所以
所以 的离心率为 正确;
若 为等腰直角三角形,则 , ,所以
根据双曲线的定义可知, , 所以 ,解得 ,与 项矛盾,所以不存在点 ,使得 为等腰直角三角形, B 错误;
设 ,则 ,则点 到 的渐近线 的距离为 ,
点 到 的渐近线 的距离为
所以 正确；
又 ,所以 ,
则 , D 正确.
故选 ACD.
12.20 由等比数列的性质可知, ,所以 ,所以 .
13. 如图所示,设 的准线 与 轴交于点 ,过 作 的垂线,垂足为 ,
由抛物线的定义可知, ,在 中, ,所以 ,
在 Rt 中, ,
则 ,所以 .
14. 如图,以 为原点,以 , 所在直线分别为 轴建立如图所示的空间直角坐标系,
则 , 设 ,则 , ,
设 ,其中 ,
所以 ,
因为 为菱形,所以 ,则
则 ,
由 ,得 ,解得 .
故直四棱柱 的体积为 .
15. 解: (1) , (2 分)
由题意可知, , (4 分)
解得 . (6 分)
(2)易知 的定义域为 . (7 分)
由 (1) 可知, (8 分)
令 ,解得 ; (10 分)
令 ,解得 , (12 分)
所以 的单调递减区间为 ,单调递增区间为 . (2 处取开区间或闭区间均可)
(13 分)
16. 解: (1) 证明: 取 的中点 ,连接 ,因为 ,所以 ,
因为平面 平面 ,平面 平面 平面 ,所以 平面 , (2 分)
以 为原点,以 所在直线分别为 轴,以在平面 内垂直于 的直线为 轴,建立如图所示的空间直角坐标系 .
因为 ,所以 2,
则 , ,所以 , , (4 分)
因为 , (6 分)
所以 ,故 . (7 分)
(2)由(1)可知， ， (8 分) 设平面 的一个法向量为 .
由 得 取 ,则 . (10 分)
由(1)知， 平面 ,则 是平面 PCD 的一个法向量. (12 分)
设平面 与平面 的夹角为 ,
故平面 与平面 的夹角的余弦值为 (15 分)
17. 解: (1) 依题意,得 (1 分) 解得 , (3 分)
故 的标准方程为 . (4 分)
(2) 由 得 ,
所以 ,解得 .
设 ,则 , (5 分)
(i) 所以 由题意可知 ,
解得 , (7 分)
当 时,直线 经过点 ,不合题意，所以 . (8 分)
则点 到直线 的距离为 , (9 分)
故 . (10 分)
(ii) 证明: (11 分)
(12 分)
, (13 分)
显然直线 关于直线 对称,又 与 轴垂直,则 垂直平分线段 ,
(14 分)
故 . (15 分)
18. 解: (1) 证明: 由 ,得当 时,
两式相减得 ,即 , (1 分)
所以 , (2 分)
由 ,得 ,所以 , (3 分)
所以 , (4 分)
故 是等比数列. (5 分)
(2)由(1)可知， ，所以 ,
则 , (6 分)
(7 分)
设 ,
则 ,
两式相减得
所以 , (9 分)
故 . (10 分)
(3) 由 (2) 可知,
, (11 分)
由题意可知, , (12 分)
令 ,则 (13 分)
令 ,解得 ,所以数列 在 上单调递减; (14 分)
令 ,解得 ,所以数列 在 上单调递增; (15 分)
又 ,故 ,所以
的最大项为 , (16 分)
故实数 的取值范围为 . (17 分)
19. 解: (1) , (1 分)
当 时, ,当 时, ,
所以 在 上单调递减,在 上单调递增. (3 分)
故 . (4 分)
(2)证明: ，所以曲线 在点 处的切线 的方程为 ,
(5 分)
( i ) 设 ,则 ,
令 ,则 ,
当 时, ,当 时, ,
所以 在 上单调递减,在 上单调递增, (6 分)
又 ,且 时, ,
所以当 时, ,即 ,当 时, ,即 ,
所以 在 上单调递增,在 , 上单调递减, (8 分)
则 ,即 ,当 时取得等号,
故曲线 不在直线 的下方.
(ii) 因为 ,且 在 上单调递减,故当 时, ; 且易知 , 时, ,又 ,故 ,
不失一般性,取 ,
设点 在切线 上,则
1),所以 , (11 分)
由 (i) 可知, , (12 分)
要证 ,证出 即可,
即证 ,
令 ,则
令 ,则 1) ,
由上可知, 在 上单调递减,在 上单调递增,且 ,即
所以 在 上单调递增,则 , (16 分)
因此 成立,
故原不等式得证. (17 分)