青海西宁2025-2026学年下学期高三数学3月第一次阶段检测（含答案）
文档属性
| 名称 | 青海西宁2025-2026学年下学期高三数学3月第一次阶段检测（含答案） |
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|
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 314.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-31 00:00:00 | ||
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文档简介
2025~2026 学年度第二学期第一次阶段检测 高三数学
考生注意:
1．本试卷分选择题和非选择题两部分。满分 150 分，考试时间 120 分钟。
2. 答题前，考生务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3. 考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4．本卷命题范围:三角函数与平面向量，立体几何，统计与概率。
一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。
1. 已知 角的顶点与直角坐标系的原点重合,始边与 轴的非负半轴重合,则 是
A. 第一象限角 B. 第二象限角
C. 第三象限角 D. 第四象限角
2. 甲、乙、丙、丁各自研究两个随机变量的数据,若甲、乙、丙、丁计算得到各自研究的两个随机变量的样本相关系数分别为 ,则这四人中,研究的两个随机变量的线性相关程度最高的是
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
3. 数据10,11,11,12,13,14,16,18的 75% 分位数为
A. 16 B. 15 C. 14 D. 13
4. 若圆锥的轴截面是正三角形, 则它的侧面积是底面积的
A. 倍 B. 3 倍
C. 2 倍 D. 5 倍
5. 已知向量 ，若 ，则
A. B.
C. D.
6. 一农庄的某种水果成熟后, 质地较好的水果的重量在 间,现随机抽查 100 个这种水果, 将其质量 (单位: ) 分组为 , ,并绘制出频率分布直方图如图, 则这 100 个水果质量在区间 (单位:g)内的个数为
A. 66 B. 68
C. 70 D. 72
7. 已知 ,且 ,则
A. B. C. D.
8. 在 的展开式中,仅有第 5 项的二项式系数最大,则 的展开式中有理项的项数是
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要 求。全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
9. 下列运算结果一定为零向量的是
A. B.
C. D.
10. 在正三棱柱 中, 为 的中点,则
A. B. 平面
C. 平面 D.
11. 甲、乙、丙等五名学生和一位老师六人站成一排照相, 则
A. 老师不排在两端的概率为
B. 学生甲、乙、丙两两互不相邻的概率为
C. 学生甲、乙、丙连排在一起的概率为
D. 老师不排在两端,学生甲、乙、丙三人中有且仅有两人相邻的概率为
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12. 样本数据2,8,14,16,20的平均数为_____.
13. 袋装食盐标准质量为 ，规定误差的绝对值不超过 就认为合格. 随机抽取 100 袋食盐,假设误差 服从正态分布 ,则估计这批袋装食盐的合格率是_____.
参考数据: 若 服从正态分布 ,则 .
14. 如图,平行四边形 中, 是边 的中点，将 沿直线 折起，构成如图所示的四棱锥 ，则四棱锥 体积的最大值为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (本小题满分 13 分)
为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了 1000 人， 得到如下列联表:
超声波检查结果组别 正常 不正常 合计
患该疾病 20 180 200
未患该疾病 780 20 800
合计 800 200 1000
(1)记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为 ，求 的估计值；
(2)根据小概率值 的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关. 附: .
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
16. (本小题满分 15 分)
已知向量 ,设函数 .
(1)求 的最小正周期；
(2)若 ，求 的最值和单调区间.
17. (本小题满分 15 分)
在 中,角 的对边分别为 ,且 .
(1)求 的值；
(2)若 ，求 的长.
18. (本小题满分 17 分)
已知甲盒中有 2 个红球, 3 个蓝球, 乙盒中有 4 个红球, 2 个蓝球, 这些球除了颜色外完全相同.
(1)现从甲盒中任取 2 个球放入乙盒中，再从乙盒中任取 2 个球，求从乙盒中取出的是 2 个红球的概率;
(2)从甲、乙两盒中各任取 2 个球，记取出的 4 个球中红球的个数为 ，求 的分布列和数学期望.
19. (本小题满分 17 分)
如图，在四棱锥 中， 平面 ，平面 平面 ， ， .
(1)证明: 平面 ；
(2)点 为线段 上一点( 与 ， 不重合).
( i ) 若二面角 的余弦值为 ，求 的值；
(ii)若 四点都在球 的球面上，求球 表面积的最小值.
2025~2026 学年度第二学期第一次阶段检测·高三数学 参考答案、提示及评分细则
1. A ,因为 ,所以 是第一象限角. 故选 A.
2.B 因为 ,所以这四人中,乙研究的两个随机变量的线性相关程度最高. 故选 B.
3. B 因为 ,所以这组数据的 分位数为 . 故选 B.
4.C 设圆锥的底面半径为 ,母线长为 ,由题意知 ,所以 ,即 . 故选 C.
5. A 由 得 ，所以 . 故选 A.
6. C 由长方形的面积之和为 1,得 ，所以 0.020,所以水果质量在区间 (单位: )内的个数为 个. 故选 C.
7. 由 得 ,又 ,所以 ,所以 . 故选 D.
8. A 因为在 的展开式中,仅有第 5 项的二项式系数最大,所以仅有 最大, 的通项公式 ,其中 ,当 时, 是有理项,所以 ,即 的展开式中有理项的项数是 5 . 故选 A.
9. AD ,故 A 正确; ，不一定为 0，故 B 错误； ，不一定为 0，故 C 错误； ，故 D 正确. 故选 AD.
10. BC 解法一:如图 1，对于 ，在正三棱柱 中， 平面 ，又 平面 ，则 ,则 ,因为 是正三角形, 为 中点,则 ,则 ,又 ,所以 ,则 不成立，故 错误；对于 ，因为在正三棱柱 中， 平面 ，又 平面 ，则 ，因为 是正三角形， 为 中点，则 ，又 ， ， 平面 ，所以 平面 ，故 正确；对于 ，因为在正三棱柱 中， ，又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，故 正确；对于 ，因为在正三棱柱 中， ，假设 ，则 ，这与 矛盾，所以 不成立，故 D 错误. 故选 BC.
图 2
图 1 解法二: 如图 2,建立空间直角坐标系,设该正三棱柱的底面边长为 2,高为 ,则 , ,对于 A, ,则 ,则 不成立,故 A 错误; 对于 BC, ,设平面 的法向量为 ,则 得 ,令 ,则 ,所以 - 平面 ,则 平面 平面 ,故 BC 正确; 对于 , ,则 ,显然 不成立,故 D 错误. 故选 BC.
11. 老师不排在两端的概率为 正确；先排甲、乙、丙之外的 3 人，有 种，形成了 4 个空， 在这 4 个空中排甲、乙、丙,方法有 种,所以甲、乙、丙互不相邻的排法有 144 种,概率为 , B 错误; 甲、乙、丙连排在一起有 种,把甲、乙、丙看作一个整体,再和其他三人一起排,有 种,所以学生甲、乙、丙连排在一起的概率为 ，C正确；从学生甲、乙、丙中任选出 2 人看作一个“整体”， 方法有 种,先排教师和余下的两人,有 种,形成了 4 个空,将整体和另一个人插在 4 个空之间, 有 种,所以满足条件的排法有 种,若老师排在两端,有 种,形成了 3 个空, 将整体和另一个人插在 3 个空中,有 种,满足此条件的排法有 种,所以满足条件的排法有 种,概率为 正确. 故选 ACD.
12.12 样本数据的平均数 .
13.95.45%(0.9545) 由题意可知 ,故合格率约为 95.45%.
14. 当平面 平面 时,四棱锥 的体积最大，因为 ，所以 为等边三角形,所以四棱锥 的高最长为 ,体积的最大值 .
15. 解:(1)根据表格可知，检查结果不正常的 200 人中有 180 人患病，所以 的估计值为 ；... 5 分 (2)零假设为 ；超声波检查结果与患病无关，
根据表中数据可得 , 10 分根据小概率值 的独立性检验,我们推断 不成立,即认为超声波检查结果与患该病有关,该推断犯错误的概率不超过 0.001 . 13 分
16. 解: (1) 2 分 5 分
所以 的最小正周期为 . 7 分
(2)因为 ，所以 ，
所以当 ,即 时, 取得最小值,最小值为 ;
当 ,即 时, 取得最大值,最大值为 . 11 分
当 ,即 时, 递增;
当 ,即 时, 递减. 13 分
综上, 的最小值为 ,最大值为 的单调递增区间为 ,单调递减区间为 . 15 分
17. 解: (1) 因为 ,所以 ,即 . 2 分
因为 ,所以 , 4 分
所以 ,即 , 5 分
由正弦定理,得 . 7 分
(2)因为 ，所以 ， 9 分
所以 ,即 ,故 . 11 分
由(1)可知 ，又 ，则 .
所以 , 13 分
所以 ,则 ,故 ,即 . 15 分
18. 解:(1)记事件 为“从甲盒中取出 2 个红球”,事件 为“从甲盒中取出 1 个红球 1 个蓝球”,事件 为 “从甲盒中取出 2 个蓝球”,事件 为“从乙盒中取出的是 2 个红球”,
所以 4 分
所以
,
即从乙盒中取出的是 2 个红球的概率为 . 8 分
(2) 的所有可能取值为0,1,2,3,4， 9 分
所以
所以 的分布列为:
0 1 2 3 4
67 22
14 分
所以 . 17 分
19.(1)证明:因为 平面 平面 ，所以 . 1 分在平面 中, ,所以 ,又 ,所以四边形 为梯形.
取 的中点 ,连接 ,易知 为矩形, , 所以 ,则 ,
又 ,所以 ,则 , 2 分
因为平面 平面 ,平面 平面 平面 ,所以 平面 : 又 平面 ,所以 ,因为 平面 ,所以 平面 ,
(2)解:(i)由(1)可知 平面 平面 ，所以 ，又 ，所以 ， 两两垂直，以 为坐标原点，以 所在直线分别为 轴， 轴， 轴建立如图所示的空间直
角坐标系,则 , 6 分设 ，则 ，
设平面 的一个法向量为 ,
由 得
取 ,则 , 8 分
由 (1) 得 平面 ,所以 为平面 的一个法向量,记 ,
由题意得 , 10 分
整理得 ,解得 或 (舍). 故 . 11 分
(ii) 由 (i) 知 ,即 . 12 分
设球 的球心坐标为 ,半径为 ,则 ,
即 ,所以 . 15 分
因为 ,
所以当 时, 取得最小值 ,所以球 表面积的最小值为 . 17 分
考生注意:
1．本试卷分选择题和非选择题两部分。满分 150 分，考试时间 120 分钟。
2. 答题前，考生务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3. 考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4．本卷命题范围:三角函数与平面向量，立体几何，统计与概率。
一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。
1. 已知 角的顶点与直角坐标系的原点重合,始边与 轴的非负半轴重合,则 是
A. 第一象限角 B. 第二象限角
C. 第三象限角 D. 第四象限角
2. 甲、乙、丙、丁各自研究两个随机变量的数据,若甲、乙、丙、丁计算得到各自研究的两个随机变量的样本相关系数分别为 ,则这四人中,研究的两个随机变量的线性相关程度最高的是
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
3. 数据10,11,11,12,13,14,16,18的 75% 分位数为
A. 16 B. 15 C. 14 D. 13
4. 若圆锥的轴截面是正三角形, 则它的侧面积是底面积的
A. 倍 B. 3 倍
C. 2 倍 D. 5 倍
5. 已知向量 ，若 ，则
A. B.
C. D.
6. 一农庄的某种水果成熟后, 质地较好的水果的重量在 间,现随机抽查 100 个这种水果, 将其质量 (单位: ) 分组为 , ,并绘制出频率分布直方图如图, 则这 100 个水果质量在区间 (单位:g)内的个数为
A. 66 B. 68
C. 70 D. 72
7. 已知 ,且 ,则
A. B. C. D.
8. 在 的展开式中,仅有第 5 项的二项式系数最大,则 的展开式中有理项的项数是
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要 求。全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
9. 下列运算结果一定为零向量的是
A. B.
C. D.
10. 在正三棱柱 中, 为 的中点,则
A. B. 平面
C. 平面 D.
11. 甲、乙、丙等五名学生和一位老师六人站成一排照相, 则
A. 老师不排在两端的概率为
B. 学生甲、乙、丙两两互不相邻的概率为
C. 学生甲、乙、丙连排在一起的概率为
D. 老师不排在两端,学生甲、乙、丙三人中有且仅有两人相邻的概率为
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12. 样本数据2,8,14,16,20的平均数为_____.
13. 袋装食盐标准质量为 ，规定误差的绝对值不超过 就认为合格. 随机抽取 100 袋食盐,假设误差 服从正态分布 ,则估计这批袋装食盐的合格率是_____.
参考数据: 若 服从正态分布 ,则 .
14. 如图,平行四边形 中, 是边 的中点，将 沿直线 折起，构成如图所示的四棱锥 ，则四棱锥 体积的最大值为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (本小题满分 13 分)
为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了 1000 人， 得到如下列联表:
超声波检查结果组别 正常 不正常 合计
患该疾病 20 180 200
未患该疾病 780 20 800
合计 800 200 1000
(1)记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为 ，求 的估计值；
(2)根据小概率值 的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关. 附: .
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
16. (本小题满分 15 分)
已知向量 ,设函数 .
(1)求 的最小正周期；
(2)若 ，求 的最值和单调区间.
17. (本小题满分 15 分)
在 中,角 的对边分别为 ,且 .
(1)求 的值；
(2)若 ，求 的长.
18. (本小题满分 17 分)
已知甲盒中有 2 个红球, 3 个蓝球, 乙盒中有 4 个红球, 2 个蓝球, 这些球除了颜色外完全相同.
(1)现从甲盒中任取 2 个球放入乙盒中，再从乙盒中任取 2 个球，求从乙盒中取出的是 2 个红球的概率;
(2)从甲、乙两盒中各任取 2 个球，记取出的 4 个球中红球的个数为 ，求 的分布列和数学期望.
19. (本小题满分 17 分)
如图，在四棱锥 中， 平面 ，平面 平面 ， ， .
(1)证明: 平面 ；
(2)点 为线段 上一点( 与 ， 不重合).
( i ) 若二面角 的余弦值为 ，求 的值；
(ii)若 四点都在球 的球面上，求球 表面积的最小值.
2025~2026 学年度第二学期第一次阶段检测·高三数学 参考答案、提示及评分细则
1. A ,因为 ,所以 是第一象限角. 故选 A.
2.B 因为 ,所以这四人中,乙研究的两个随机变量的线性相关程度最高. 故选 B.
3. B 因为 ,所以这组数据的 分位数为 . 故选 B.
4.C 设圆锥的底面半径为 ,母线长为 ,由题意知 ,所以 ,即 . 故选 C.
5. A 由 得 ，所以 . 故选 A.
6. C 由长方形的面积之和为 1,得 ，所以 0.020,所以水果质量在区间 (单位: )内的个数为 个. 故选 C.
7. 由 得 ,又 ,所以 ,所以 . 故选 D.
8. A 因为在 的展开式中,仅有第 5 项的二项式系数最大,所以仅有 最大, 的通项公式 ,其中 ,当 时, 是有理项,所以 ,即 的展开式中有理项的项数是 5 . 故选 A.
9. AD ,故 A 正确; ，不一定为 0，故 B 错误； ，不一定为 0，故 C 错误； ，故 D 正确. 故选 AD.
10. BC 解法一:如图 1，对于 ，在正三棱柱 中， 平面 ，又 平面 ，则 ,则 ,因为 是正三角形, 为 中点,则 ,则 ,又 ,所以 ,则 不成立，故 错误；对于 ，因为在正三棱柱 中， 平面 ，又 平面 ，则 ，因为 是正三角形， 为 中点，则 ，又 ， ， 平面 ，所以 平面 ，故 正确；对于 ，因为在正三棱柱 中， ，又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，故 正确；对于 ，因为在正三棱柱 中， ，假设 ，则 ，这与 矛盾，所以 不成立，故 D 错误. 故选 BC.
图 2
图 1 解法二: 如图 2,建立空间直角坐标系,设该正三棱柱的底面边长为 2,高为 ,则 , ,对于 A, ,则 ,则 不成立,故 A 错误; 对于 BC, ,设平面 的法向量为 ,则 得 ,令 ,则 ,所以 - 平面 ,则 平面 平面 ,故 BC 正确; 对于 , ,则 ,显然 不成立,故 D 错误. 故选 BC.
11. 老师不排在两端的概率为 正确；先排甲、乙、丙之外的 3 人，有 种，形成了 4 个空， 在这 4 个空中排甲、乙、丙,方法有 种,所以甲、乙、丙互不相邻的排法有 144 种,概率为 , B 错误; 甲、乙、丙连排在一起有 种,把甲、乙、丙看作一个整体,再和其他三人一起排,有 种,所以学生甲、乙、丙连排在一起的概率为 ，C正确；从学生甲、乙、丙中任选出 2 人看作一个“整体”， 方法有 种,先排教师和余下的两人,有 种,形成了 4 个空,将整体和另一个人插在 4 个空之间, 有 种,所以满足条件的排法有 种,若老师排在两端,有 种,形成了 3 个空, 将整体和另一个人插在 3 个空中,有 种,满足此条件的排法有 种,所以满足条件的排法有 种,概率为 正确. 故选 ACD.
12.12 样本数据的平均数 .
13.95.45%(0.9545) 由题意可知 ,故合格率约为 95.45%.
14. 当平面 平面 时,四棱锥 的体积最大，因为 ，所以 为等边三角形,所以四棱锥 的高最长为 ,体积的最大值 .
15. 解:(1)根据表格可知，检查结果不正常的 200 人中有 180 人患病，所以 的估计值为 ；... 5 分 (2)零假设为 ；超声波检查结果与患病无关，
根据表中数据可得 , 10 分根据小概率值 的独立性检验,我们推断 不成立,即认为超声波检查结果与患该病有关,该推断犯错误的概率不超过 0.001 . 13 分
16. 解: (1) 2 分 5 分
所以 的最小正周期为 . 7 分
(2)因为 ，所以 ，
所以当 ,即 时, 取得最小值,最小值为 ;
当 ,即 时, 取得最大值,最大值为 . 11 分
当 ,即 时, 递增;
当 ,即 时, 递减. 13 分
综上, 的最小值为 ,最大值为 的单调递增区间为 ,单调递减区间为 . 15 分
17. 解: (1) 因为 ,所以 ,即 . 2 分
因为 ,所以 , 4 分
所以 ,即 , 5 分
由正弦定理,得 . 7 分
(2)因为 ，所以 ， 9 分
所以 ,即 ,故 . 11 分
由(1)可知 ，又 ，则 .
所以 , 13 分
所以 ,则 ,故 ,即 . 15 分
18. 解:(1)记事件 为“从甲盒中取出 2 个红球”,事件 为“从甲盒中取出 1 个红球 1 个蓝球”,事件 为 “从甲盒中取出 2 个蓝球”,事件 为“从乙盒中取出的是 2 个红球”,
所以 4 分
所以
,
即从乙盒中取出的是 2 个红球的概率为 . 8 分
(2) 的所有可能取值为0,1,2,3,4， 9 分
所以
所以 的分布列为:
0 1 2 3 4
67 22
14 分
所以 . 17 分
19.(1)证明:因为 平面 平面 ，所以 . 1 分在平面 中, ,所以 ,又 ,所以四边形 为梯形.
取 的中点 ,连接 ,易知 为矩形, , 所以 ,则 ,
又 ,所以 ,则 , 2 分
因为平面 平面 ,平面 平面 平面 ,所以 平面 : 又 平面 ,所以 ,因为 平面 ,所以 平面 ,
(2)解:(i)由(1)可知 平面 平面 ，所以 ，又 ，所以 ， 两两垂直，以 为坐标原点，以 所在直线分别为 轴， 轴， 轴建立如图所示的空间直
角坐标系,则 , 6 分设 ，则 ，
设平面 的一个法向量为 ,
由 得
取 ,则 , 8 分
由 (1) 得 平面 ,所以 为平面 的一个法向量,记 ,
由题意得 , 10 分
整理得 ,解得 或 (舍). 故 . 11 分
(ii) 由 (i) 知 ,即 . 12 分
设球 的球心坐标为 ,半径为 ,则 ,
即 ,所以 . 15 分
因为 ,
所以当 时, 取得最小值 ,所以球 表面积的最小值为 . 17 分
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