山东日照2025-2026学年下学期高三数学3月质量检测（含答案）

高三下学期 3 月份单元质量检测 数学试题
2026.03
一、单选题
1. 已知全集 ，集合 ，则集合 元素的个数是 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 2. 的展开式中 的系数为
A. 88 B. 89 C. 90 D. 91
3. 已知函数 与 的图象在 处的切线重合,则
A. e-1 B. e+1
C. D.
4. 有 5 名同学 参加唱歌比赛,抽签决出出场顺序. 若 和 都不是第 1 个出场,且 不是最后一个出场,则这 5 人不同的出场顺序种数为
A. 42 B. 50 C. 54 D. 60
5. 已知直线 (其中 )，当 时， 直线 与直线 的位置关系为
A. 垂直 B. 平行 C. 相交 D. 以上位置关系都有可能
6. 已知双曲线 ,圆 与 轴交于 两点, 是圆 与双曲线在 轴上方的两个交点,点 在 轴的同侧,且 交 于点 ,且 为线段 的中点,则双曲线的离心率为
A. B. C. D.
7. 直线 与圆 交于 两点，且 的面积为 2，已知 是圆 上的动点,则 的最大值为
A. B. C. D.
8. 若方程 的三个根 成等比数列,则公比为
A. B. C. D. 3
二、多选题
9. 下列说法中正确的是
A. 一组数据1,1,2,3,5,8,13,21的第 60 百分位数为 4
B. 两个随机变量的线性相关程度越强,则样本相关系数 的绝对值越接近于 1
C. 根据分类变量 与 的成对样本数据,计算得到 ,根据小概率值 的 独立性检验: ,可判断 与 有关联,此推断犯错误的概率不超过 0.5%
D. 若随机变量 服从正态分布 ，且 ，则
10. 设复数 满足 ,则
A.
B. 存在复数 ,使得 为纯虚数
C. 存在 ,关于 的方程 有解
D. 若复数 满足 ，则 的最小值为
11. 已知四面体 满足 ，点 均在球 的表面上，球 与四面体的 4 个面均相切，过直线 的平面截四面体 所得的截面的面积为 ,则
A. 球 的表面积为 B. 当四面体 体积最大时,
C. 当 时，S 的最大值为 D. 当 时，S 的最小值为
三、填空题
12. 已知向量 ，若 ，则 _____.
13. 已知函数 ,若关于 的方程 恰有两个不同的实数根,则实数 的取值范围为_____.
14. 已知数列 中， . 其余项由如下规则生成:若 为奇数， 有 的概率为 ,有 的概率为 ; 若 为偶数, 有 的概率为 ,有 的概率为 . 则 的概率为_____.
四、解答题
15. 在 中,角 所对的边分别为 .
(1)求 的值；
(2)若 是边 上一点， ， ，求 的周长.
16. 如图，在菱形 中， ， ， 为 的中点，将 沿 翻折至 ，得到四棱锥 .
(1)证明:平面 平面 ；
(2)当二面角 为 时，求 和平面 所成角的正弦值.
17. 甲乙两人进行若干局乒乓球训练赛, 每局比赛必须决出胜负, 且每局比赛结果相互独立. 已知甲每局比赛获胜的概率为 ，规定先达到净胜 3 局者获得训练赛胜利并结束训练赛(某人的净胜局数＝某人胜的局数一某人负的局数).
(1)记经过 局比赛，甲获得训练赛胜利的概率为 ，求 .
(2)经过若干局后，甲胜的局数与乙胜的局数的差为 ，记事件“ 时，甲最终获得训练赛胜利”发生的概率为 ,求证: 是等比数列;
(3)求甲获得训练赛胜利的概率.
18. 已知双曲线 的离心率为 ，点 在双曲线 上;
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)设点 是双曲线 上的动点， 是圆 上的动点，且直线 与圆 相切,求 的最小值;
(3)如图， 是双曲线 上两点，直线 与 轴分别交于点 ，点 在直线 上; 若 关于原点对称,且 ,是否存在点 ,使得 为定值; 若存在, 求出该定点 的坐标; 若不存在,请说明理由;
19. 已知函数 .
(1)当 时，求 在点 处的切线方程；
(2)当 时,证明: 对任意 ,都有 ;
(3)证明: .
高三下学期 3 月份单元质量检测数学参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 C D D D C D D A BD ABC ACD
12. -4 13. .
8. 由 ,得 ,所以 . 设
方程 的根等价于直线 与 图象的交点的横坐标.
因为函数 的导数为 ,
当 时, 单调递增;
当 时, 单调递减,
又 时, 时, ,作出 的大致图象,如下图:
则 ,因为 成等比数列,设公比为 , 所以 ,代入 (*) 式得 ,
由 ,得 ,即 ,所以 ,解得 代入 ,可得 ,
整理得 ,解得 或 (舍去),则公比为 .
15.(1)由题意知， ，即 ，即 .
因为 ,所以 ,
即 ,
所以 ,又 ,
所以 或 ,所以 (舍) 或 ,
因为 ,所以 ,则 .
(2)方法一:设 ，则 ， ，
在 中,由余弦定理可得 ,
在 中，由余弦定理可得 ，
由 ,可得 ,
在 中，由余弦定理可得 ， 即 ,
联立解得 ,所以 的周长为 .
方法二: 设 ,则 ,即 ,
故 ,故 ,
所以 ,可得 ,
在 中，由余弦定理可得 ，
即 ,
联立解得 ,所以 的周长为 .
16.(1)由题意得， 为等边三角形，
又 为 中点，所以 ，故 .
又因为 ,所以 平面 .
又因为 平面 ,所以平面 平面 .
(2)如图，以 为原点， ， 以及垂直于平面 的直线为 ， ， 轴，建立空间直角坐标系，
由 (1) 知, ,
又 ,所以 即为二面角 的平面角,即 .
则 .
设平面 的法向量 ,则 ,即 ,取
设直线 与平面 所成的角为 ,
则 ,
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .
17. (1)由题意可知经过 3 局比赛，甲获得训练赛胜利，需 3 局连胜，则 ；
(2)由题意， 为事件“ 时，甲最终获得训练赛胜利”发生的概率，
由乙胜的局数即为甲负的局数，甲胜的局数与乙胜的局数的差为 ,
故 即为甲的净胜局数,所以 . 经过若干局后,假定当前 ,
① 当 时，即甲的净胜局数 ，
则此时甲获得训练赛胜利并结束训练赛,所以 ;
② 当 时，即甲的净胜局数 ，乙的净胜局数 ，
则此时乙获得训练赛胜利并结束训练赛,则 ;
③ 当 时,
由甲的净胜局数 ,则乙的净胜局数为 ,且 ,
故根据比赛规则比赛并未结束,要继续下一局.
记事件 “ 时,甲最终获得训练赛胜利” ,
事件 “下一局比赛甲获胜”,
下一局若甲赢 (即事件 发生),则 ; 若乙赢 (即事件 发生),则 ;
因为 ,
且 ,
所以由全概率公式得, ,
即 ,因此 ,整理得 , 两边都减去 ,则可得 ,
又当 时, ,
故数列: 是公比为 2 的等比数列.
即数列 是公比为 2 的等比数列.
(3)由题意，甲最终获得训练赛胜利的概率即为 .
记 ,则 ,
由(2)知，数列 是公比为 2 的等比数列，
则 ,解得 ,
所以 ,
又 ,所以 ,
故甲最终获得训练赛胜利的概率为 .
18.(1)因为双曲线 的离心率为 ，点 在双曲线上，
所以 ,解得 . 所以双曲线的方程为 .
(2)圆 的圆心 ，半径为 .
因为 是圆 上的动点,直线 与圆 相切,所以 .
所以 .
设 ,因为点 是双曲线 上的动点,所以 .
所以
当 时, 取得最小值,此时 ,
所以 .
(3)由题意知，直线 的斜率存在，设直线 的方程为 .
联立 ,整理得 ,
且 ,
设 ,则 ,
直线 的方程为 ,令 ,则 ,
即 . 同理可得, .
因为 关于原点对称,所以 ,
即 ,
整理得 ,
即 ,
整理得 ,即 ,所以 或 .
若 ,则 ,则直线方程为 ,即 ,
此时直线 过点 ,不符合题意.
若 ,则直线方程为 ,恒过定点 ,
所以 为定值，又 ，在 中， 为斜边， 所以当 为 中点 时, . 因此存在点 ,使得 为定值.
19. (1) 当 时, ,
则 ,
所以 ,故当 时, 在点 处的切线方程为 .
(2)对任意的 ，当 时， ， 故只需证 对任意的 恒成立,整理得 ,
构造函数 ,其中 ,
则
所以函数 在 上为减函数,故当 时, ,即 ,
故对任意的 ,
故当 时,对任意 ,都有 .
(3)由(2)知，当 时， ，即 ，
令 ,则 ,
因为 ,所以 ,
构造函数 ,其中 ,则 ,
当 时， ，即函数 在 上单调递减，
当 时, ,即函数 在 上单调递增,
所以 ,即 ,当且仅当 时,等号成立,
令 ,得 ,即 ,
整理得 ,
则 ,即 ,
所以 ,
累加得
,故 .