2026年中考数学专题强化训练：一元二次方程（含解析）-（江苏篇）

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2026年中考数学专题强化训练：一元二次方程-（江苏篇）
一、单选题
1．如果关于x一元二次方程有两个不相等的实数根，那么实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．已知关于的一元二次方程，下列说法正确的是（　　）
A．方程有两个相等的实数根 B．方程有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
3．等腰三角形两边长是方程的解，则这个等腰三角形的周长是（ ）
A．10 B．8 C．8或10 D．16或6
4．若方程的两根分别为，，则（　　）
A． B． C． D．
5．《算学宝鉴》中记载了这样一个问题：“门厅一座，高广难知、长竿横进，门狭四尺．竖进过去，竿长二尺，两隅斜进，恰好方齐．”大意为：现有一个门，不知道它的宽度和高度，如果拿支长竹竿横着过，门的宽度比竹竿的长度少四尺，拿竹竿竖着过，竹竿的长度比门的高度多二尺，沿对角线斜着进，恰好通过，则门的高度是（ ）
A．7尺 B．8尺 C．9尺 D．10尺
6．根据下列表格中的对应值，判断关于的方程（）的一个解的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
7．公安部交管局部署“一盔一带”安全守护行动，某头盔经销商经统计发现某品牌头盔5月份销售量144个，7月份销售量225个，从5月份到7月份销售量的月增长率相同，设月增长率为x，根据题意可列方程（　　）
A．
B．
C．
D．
8．我们定义：．若，，则（ ）
A．或 B．或 C．或 D．
9．对于二次三项式（且为常数），，下列说法：
①当时，若，则；
②无论取任何实数，若等式恒成立，则；
③当时，若，，则．
其中说法正确的个数是（ ）
A． B． C． D．
10．为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方，如图1，点P是一个固定观测点，运动点Q从A处出发，沿笔直公路向目的地B处运动，设为x（单位：），为y（单位：），如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点C，最低点，且经过和两点，下列选项正确的是（ ）
A． B．
C．点C的纵坐标为240 D．点在该函数图象上
二、填空题
11．一元二次方程的二次项系数是_____，一次项系数是_____，常数项是_____．
12．若，则的最小值为______．
13．若是方程的根，则代数式的值为______．
14．如图，矩形中，，点E、F分别是和上的点，，将矩形沿折叠，使得点D恰好落在延长线上的点处，点C的对应点为，连接，则点A到的距离为 ______ ．
15．若，为正实数，设，是关于的方程的一个正实数根．
（1）若，则的值是____________；
（2）用含的代数式表示：____________．
16．定义：一组邻边相等且对角互补的四边形叫作邻等对补四边形；如图四边形为邻等对补四边形，已知，，连接对角线，若，则的值为______．

三、解答题
17．解下列方程：
(1)；
(2)．
18．已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：方程必有两个不相等的实数根；
(2)已知实数m，n满足，，且，求的值．
19．某农业园区采用“智慧水稻”系统，在可控制环境的温室中进行多批次、高密度、连续栽培试验．十二月初水稻采收产量为吨，二月初水稻采收产量增至吨．假设技术稳定，每月产量的增长率相同．
(1)求在该栽培模式下，每月产量的平均增长率．
(2)按此增长率，预计三月初水稻采收的产量将达到多少吨？
20．在平面直角坐标系中，矩形过原点，且、，的平分线交于点．
(1)如图1，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿射线方向移动；同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿轴正方向移动．设移动时间为秒．
①当为何值时，的面积等于1；
②当为何值时，为直角三角形；
(2)如图2，点，连接、，将绕点逆时针旋转，两边、与轴、轴分别交于点、，若为等腰三角形，请直接写出的坐标______．
21．阅读下面材料：已知，是一元二次方程的两实数根，若满足，则此类方程称为“差根方程”．在学习了求根公式法解方程后，小聪同学发现：，最后得到“差根方程”中a，b，c之间的关系是．
(1)请通过计算判断方程是否是“差根方程”．
(2)若方程是“差根方程”，请求出k的值以及方程的两个根．
(3)若关于x的“差根方程”的一个根是（a，m，b均为常数，），则方程是“差根方程”吗？若是，请求出它的根；若不是，请说明理由．
22．综合与实践
【项目主题】
探究新款迷你无人机校园营销方案
【项目背景】
某校科技实践小组计划引入一批符合国家微型无人机标准、具备简易编程模块的新款迷你无人机，作为教育实践器材，并希望通过校园营销活动筹集社团活动经费．为制定科学的销售方案，小组对某线上旗舰店的销售数据展开了调研，旨在通过数学建模方法优化无人机定价策略．
【项目准备】
数据调研：收集该线上旗舰店2025年11月至2026年1月的月销售数据，梳理该款迷你无人机进价、售价与销量之间的动态关系，记录不同定价下的日销售情况．
知识复习：复习一元二次方程及其应用，熟练掌握增长率计算模型与利润计算公式．
工具准备：数据记录表、图表绘制工具、决策分析表格．
【项目实施】
阶段一：销售增长趋势分析
任务1：从线上旗舰店调研数据可知，2025年11月该款迷你无人机的销量为1125架，2026年1月份该款迷你无人机的销量为1620架，若2025年12月与2026年1月这两个月该款迷你无人机的月平均增长率相同，求该款迷你无人机的月平均增长率．
阶段二：校园促销方案设计
任务2：调查发现该旗舰店迷你无人机的进价为每架60元且售价定为每架100元时，每天能销售20架，且售价每降低1元，每天可多销售2架．若需要尽量减少库存，且使每天销售获利1200元，则每架迷你无人机的售价应降低多少元？
【项目成果】
科技实践小组以线上旗舰店的数据为参考设计出最佳校园营销方案．
(1)解决任务1．
(2)解决任务2．
《2026年中考数学专题强化训练：一元二次方程-（江苏篇）》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C A C B C A C C D
1．D
【分析】，据此求解即可．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
整理得，
解得．
2．C
【分析】利用一元二次方程根的判别式判断根的情况，计算判别式的值即可得出结论．
【详解】解：∵对于一元二次方程，系数，，，
∴根的判别式，
∴原方程没有实数根．
3．A
【分析】先解一元二次方程得到可能的边长，再结合等腰三角形性质与三角形三边关系，筛选出符合条件的边长组合，进而计算周长确定答案．
【详解】解：解方程得，或，
①若腰长为2，底边长为4，
∵，不满足三角形两边之和大于第三边，
∴此情况舍去；
②若腰长为4，底边长为2，
∵，，满足三角形三边关系，
∴该三角形的周长为，
综上，只有周长为10．
【点睛】注意分类讨论的思想．
4．C
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，掌握韦达定理是解题的关键．
根据一元二次方程根与系数的关系，可得出、的值，代入求值即可．
【详解】解：∵对于一元二次方程，
若方程两根为，，
则 ，，
本题方程为 ，可得 ，，，
∴ ，，
∴ .
5．B
【分析】本题考查了勾股定理和一元二次方程，设门的高度为，门的宽度为，根据勾股定理列方程求解．
【详解】解：设门的高度为，则竹竿高为，
门的宽度比竹竿的长度少四尺，
门的宽度为：，
沿对角线斜着进，恰好通过，据此列方程：
，
即，
解得：或（舍）．
故选：B．
6．C
【分析】本题考查估算一元二次方程的近似解．观察表，根据x的取值变化范围进行分析．
【详解】解：∵ 当 时，；
当时，，
∴ 方程的一个解在之间．
故选：C．
7．A
【分析】本题考查一元二次方程的应用之增长率问题，核心是根据每月销量的增长关系列出方程．
【详解】解：∵月增长率为x，5月份销售量为144个，
∴6月份销售量为个，
∴7月份销售量为个，
又∵7月份实际销售量为225个，
∴可列方程为.
8．C
【分析】本题考查了新定义运算，一元二次方程解法，代数式求值，由题意得，，从而有，然后求出，的值，再代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：由题意得，则，
由题意得，则，
∴
，
∴，，，
代入得：，，，
∴或，
故选：．
9．C
【分析】本题考查了整式的加减，因式分解的应用，完全平方公式，解一元二次方程，掌握以上运算法则以及完全平方公式是解题的关键．将代入，因式分解后结合可得；由恒成立得，进而；当时，计算得，解方程得。
【详解】解：当时，，
且，
，
即，
故正确；
恒成立，
，
即，
，
，
，
故错误。
当时，
，，
，
设，则，
即，
，
即，
故正确。
综上，正确的个数是个.
故选：C．
10．D
【分析】本题考查动点的函数图像，勾股定理，垂线段最短，三线合一等知识点，熟练掌握相关知识点，从函数图像中有效的获取信息，确定点的位置，是解题的关键．
作，当时，动点运动到点的位置，得到，当点运动到点的时候，最小为，，勾股定理求出的值，判断A；当时，点运动到点，根据三线合一，得到，进而求出的值，判断B；连接，勾股定理求出的长，确定的纵坐标，判断C，求出时，点的位置，再利用勾股定理求出，判断D，即可．
【详解】解：如图，作，当时，动点运动到点的位置，则由题意和图像可知，当点运动到点的时候，最小，即：，，
在中，由勾股定理，得：，
解得：（负值舍去），故选项A错误；
∴，，
当时，点运动到点，则，
∴，
∵，
∴，
∴，故选项B错误；
∴当，即点在点时，
∴；
∴点的纵坐标为；故选项C错误；
当时，点运动到点，则：，
∴，
∴，
∴点在该函数图像上，故选项D正确；
故选：D．
11．
3
【分析】先将原一元二次方程化为一般形式（），再根据一元二次方程一般形式的定义确定各项系数．
【详解】解：，
∴二次项的系数为3，一次项的系数为，常数项为．
12．
【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式、配方法的应用、非负数的性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键．先根据已知等式用含的代数式表示，然后通过配方及非负数性质求解即可．
【详解】解：，
．
则．
的最小值为
故答案为：
13．
【分析】根据一元二次方程解的定义得到的值，再利用整体代入法计算所求代数式的值即可．
【详解】解：∵是方程的根，
∴，
∴．
14．
【分析】过点E作于点H，过点A作于点T，设与相交于点K，设，则，可得四边形是矩形，则，证明，则，
在中，由勾股定理，解得，则，，设，则，由，得到，解得，在中，由勾股定理得，最后由面积法得到，即可求解．
【详解】解：过点E作于点H，过点A作于点T，设与相交于点K，如图所示：
∴，
∵，
∴设，则，
∴，
∵四边形是矩形，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
由折叠性质得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴，
整理得：，
解得：或（不合题意，舍去），
∴，
∴，
设，则，
∴
又∵，
∴，
∴
∵，
∴，
解得：，
∴，
在中，由勾股定理得：，
由三角形面积公式得：
∴，
∴，
∴点A到的距离为．
15．
【分析】（1）根据t是关于x的方程的一个正实数根得到，配方即可得，根据，，得到，即可得到，化简后两边同时除以，将方程转化为，解方程即可；
（2）根据，得到，即得到，再进行计算即可．
【详解】解：（1）∵是关于的方程的一个正实数根，
∴，
∴，
即．
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
∵n、t均为正实数，
∴．
（2）∵，
∴，
∵
∴，
∵是关于的方程的一个正实数根，
∴，
∴，
∴，
∵n、t均为正实数，
∴．
16．或
【分析】先根据邻等对补四边形定义得两个直角三角形、，根据两三角形面积的数量关系得式子①，在两个直角三角形中根据勾股定理以及公共边列出式子②，结合式子①和式子②，令，解方程求出的值．
【详解】解：在邻等对补四边形中，，，
，
设，，，
，
，即，
在中，，
在中，，
将①式代入②式得，，
两边同时除以得，，
令，
则，即，
解得，，，
或．
17．(1)，
(2)，
【分析】本题考查一元二次方程的知识，解题的关键是掌握解一元二次方程-因式分解法，进行计算，即可．
（1）根据解一元二次方程-因式分解法，即可；
（2）根据解一元二次方程-因式分解法，即可．
【详解】（1）解：，
原方程因式分解为：，
∴，，
∴，．
（2）解：，
移项得：，
整理得，，
提公因式得，，
∴，，
∴，．
18．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）求出，根据判别式说明根的情况；
（2）得出m和是方程的两个根，且，根据根与系数关系得出结论．
【详解】（1）证明：由题意可得：，
，
，即．
∴方程必有两个不相等的实数根．
（2）解：由得，
由得，．
m和是方程的两个根，且．
由根与系数的关系得．
．
19．(1)在该栽培模式下，每月产量的平均增长率为
(2)预计三月初水稻采收的产量将达到吨
【分析】（1）设每月产量的平均增长率为，根据等量关系，则二月初水稻采收产量增至，列出方程求解即可；
（2）根据每月产量的增长率相同，列式计算即可．
【详解】（1）解：设在该栽培模式下，每月产量的平均增长率为．
由题意，得，
解得（不合题意，舍去）．
答：在该栽培模式下，每月产量的平均增长率为．
（2）解：（吨），
答：预计三月初水稻采收的产量将达到吨．
20．(1)①秒；②或或
(2)，，或
【分析】（1）利用矩形的顶点坐标和的角平分线，确定，为直线；再结合、的运动速度与方向，得到动点坐标、．
①以为底、点横坐标为高，，列方程求解．
②先通过勾股定理表示出、、，再对直角顶点分类讨论(排除为直角的情况，仅讨论和，分别代入勾股定理方程，求解并舍去不符合题意的解．
（2）先通过证明，得出为等腰直角三角形；再由旋转性质得，进而证明，得到．随后对为等腰三角形分三类讨论：
①当时，在中用勾股定理列方程求，结合算出，得到坐标；
②当时，先由勾股定理算出，得，再分在上和延长线两种情况求；
③当时，利用得，算出，结合在轴负半轴得，最终汇总所有符合条件的坐标．
【详解】（1）解：∵四边形为矩形，，，
∴点坐标为．
∵平分，
∴，
又∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，即，易得直线方程为．
①∵点从出发以每秒个单位长度的速度沿射线移动，设，，
∴，
∴，点的坐标为．
∵点从出发以每秒2个单位长度的速度沿轴正方向移动，
∴，
∴，解得，
即当为1秒时，的面积等于1，
②已知，，，
由勾股定理得：，，．
要使为直角三角形，显然只有或，
当时，有，
即，
整理得：，解得(舍去)，，
∴；
当时，有，
即，
整理得：，解得：．
综上，当或或时，为直角三角形．
（2）解：∵点的坐标为，
∴，，
又，，，
∴，，
在和中，，
∴，
∴，，，
∵，
∴，
∴，即为等腰直角三角形．
∵将绕点逆时针旋转，两边、与轴、轴分别交于点、，
∴，
∴，
∴，
又，，
可证，
∴，
①如图1，当时，
设，则，，
在中，，
∴，解得，
∴，，
∴点的坐标为；
②如图2，图3，当时，
在中，，，
由勾股定理得，
∴，
如图2，当在上时，，点坐标为；
如图3，当在的延长线上时，，点坐标为；
③如图4，当时，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵在轴负半轴，
∴，
∴点的坐标为．
综上所述，满足条件的点坐标为，，或．
21．(1)方程是“差根方程”，见解析
(2)，，
(3)方程是“差根方程”，它的根是，或，
【分析】（1）利用因式分解法求出方程的解，再结合“差根方程”的定义判断即可得解；
（2）由题意可得，从而可得，由一元二次方程根与系数的关系可得，，再利用完全平方公式的变形计算可得，最后解方程即可得解；
（3）由“差根方程”的定义计算可得，从而可得，，，求解并判断即可得解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴或，
∴，，
∴，
∴方程是“差根方程”．
（2）解：∵方程是“差根方程”，
∴，
∴，
∵，，
∴，
解得：，
∴方程为，
解得，．
（3）解：∵，
∴
∵方程关于x的“差根方程”，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵关于x的“差根方程”的一个根是（a，m，b均为常数，），
∴，
∴，．
将代入方程可得：，
解得：，，
∴，
∴方程是“差根方程”，它的根为，．
即，或，．
∴方程是“差根方程”．它的根是，或，．
22．(1)该款迷你无人机的月平均增长率为；
(2)每架迷你无人机的售价应降低20元．
【分析】（1）设月平均增长率为，根据2025年11月的销售量2026年1月份的销售量建立方程，解方程即可得；
（2）设每架迷你无人机降价y元，根据利润每架的利润销售量建立方程，解方程可得y的值，再根据商家要求尽量减少库存即可得．
【详解】（1）解：设该款迷你无人机的月平均增长率为x，
由题意得，
解得，（不合题意，舍去）．
答：该款迷你无人机的月平均增长率为；
（2）解：设每架迷你无人机降价y元，则每天能销售架，
由题意得，
整理得，
解得，．
需要尽量减少库存，
．
答：每架迷你无人机的售价应降低20元．
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