2026年中考数学专题强化训练：二次函数（含解析）-（江苏篇）

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2026年中考数学专题强化训练：二次函数-（江苏篇）
一、单选题
1．抛物线的顶点坐标在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知点，，在抛物线上，则，，的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
3．已知二次函数，那么它的图像大致为（ ）
A．B．C． D．
4．如图，在平面直角坐标系中有一个透明胶片，透明胶片上有一条抛物线及抛物线上一点，且抛物线的解析式为，点的坐标是．若将此透明胶片平移后，点的坐标为，则此时抛物线的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
5．在平面直角坐标系中，将二次函数的图象沿轴翻折．若原函数图象的顶点、与轴的两交点和翻折后图象的顶点，组成的四边形为正方形，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为，记，则其面积．这个公式也被称为海伦-秦九韶公式．若，则此三角形面积的最大值为（ ）
A． B．12 C． D．10
7．在平面直角坐标中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点在抛物线上，则的长为（ ）
A．3 B．6 C．5 D．4
8．如图，点是抛物线上位于第二象限的一动点，交抛物线于点．当点在抛物线上运动的过程中，有以下结论：①；②；③直线与轴的交点坐标是．其中正确的结论有（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
二、填空题
9．二次函数的最小值是___________．
10．已知抛物线关于直线对称，其部分图象如图所示，则________．
11．飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）与滑行的时间t（单位：s）的函数关系式是，则飞机着陆后到停下来滑行的时间是________s．
12．若是关于的二次函数，且为整数，不等式在实数范围内恒成立，则二次函数的解析式为_______．
13．如图，二次函数的图像与y轴交于点，对称轴为直线，当时，则x的取值范围是__________．
14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴正半轴于点，点是轴负半轴上一点，点关于点的对称点恰好落在抛物线上，过点作轴的平行线交抛物线于点，连接、．若点的横坐标为，则四边形的面积为____．
15．“幂势既同，则积不容异”是我国古代数学家祖暅提出的计算原理，称作祖暅原理．利用祖暅原理可以得到一种求面积的方法：“夹在两条平行直线之间的两个平面图形，被平行于这两条平行线的任意直线所截，如果被截得的两条线段长总相等，那么这两个平面图形的面积相等”．记函数，，的图象在第一象限围成的曲边形（阴影部分）为，则的面积为______．
三、解答题
16．如图，经过原点O的抛物线与x轴交于另一点，在第一象限内与直线交于点B，点B的横坐标为2．
(1)求这条抛物线的函数表达式；
(2)在第四象限内的抛物线上有点C，连接，求面积的最大值．
17．某主拱桥截面示意图如图所示，其截面可视为抛物线型，若该主拱桥的跨度为，其最高点（顶点）到桥面的距离为．以（与重合）为原点，桥面为轴，垂直于桥面且经过点的直线为轴，建立平面直角坐标系．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)在主拱与桥面之间共设置15根等距的吊杆（垂直于桥面），如图所示，求从左到右第4根吊杆的长度．
18．如图，抛物线与 x 轴交于点，与y轴交于点 C，顶点为点 D，直线与x轴交于点 M，点O为坐标原点，不妨约定：若M为线段中点，则称该抛物线为“型”抛物线；若M 为线段中点，则称该抛物线为“型”抛物线．根据该约定，完成下列各题．
(1)下列抛物线中是“型”抛物线的有： （填序号）；①；②；③；
(2)若抛物线为“型”抛物线，且直线的解析式为，求的值；
(3)抛物线G：为“型”抛物线，若将抛物线G向下平移2个单位长度后得到的新抛物线是“型”抛物线，试求出抛物线G的解析式．
19．已知关于x的二次函数．
(1)若函数图象经过点，，，直接写出该二次函数的解析式；
(2)在（1）的条件下，直线与抛物线交于点，，当最小时，求点M和点N的坐标；
(3)若，且抛物线与x轴交于点D，E（点D在点E左侧），与y轴交于点F，当实数b，c变化时，的外接圆一定经过一定点，求出该定点的坐标．
20．如图，已知抛物线与x轴交于点、，与轴交于点．
(1)抛物线的解析式为___________；
(2)点的坐标为，点为第一象限内抛物线上的一点，其横坐标为，设四边形的面积为，若与之间的函数关系式为，求的值；
(3)在（2）条件下，函数的图象记为，函数的图象记为，图象合起来得到的图象记为．
①当时，求图象所表示的函数的最大值；
②已知线段的两个端点坐标分别为．若．当图象能够与线段有两个公共点时，直接写出的取值范围．
《2026年中考数学专题强化训练：二次函数-（江苏篇）》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B A B D D B D A
1．B
【分析】本题考查二次函数顶点式的性质及平面直角坐标系象限的判断，先根据顶点式求出顶点坐标，再判断所在象限即可．
【详解】∵二次函数顶点式（）的顶点坐标为，
∴对于抛物线，其顶点坐标为，
∵横坐标，纵坐标，符合第二象限点的坐标特征，
∴顶点坐标在第二象限，
故选：B.
2．A
【分析】先确定抛物线的开口方向与对称轴，根据开口向上的抛物线的性质，点到对称轴的距离越大，对应的函数值越大，计算各点到对称轴的距离即可比较y的大小．
【详解】解：∵，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线，
∵开口向上的抛物线上，点到对称轴的距离越大，对应的函数值越大，，，，，
∴．
3．B
【分析】根据顶点式的顶点坐标为求解即可．
【详解】解：∵抛物线
∴，抛物线开口向上，顶点坐标是．
4．D
【分析】先根据平移前后点P的坐标判断出平移方式，再根据二次函数“上加下减，左加右减”的平移规律可得答案．
【详解】解：∵在抛物线经过平移后，抛物线上一点P的坐标由变为，
∴抛物线的平移方式为向右平移2个单位长度，向下平移1个单位长度，
∴抛物线向右平移2个单位长度，向下平移1个单位长度后的解析式为．
5．D
【分析】先对二次函数变形，求出原函数与x轴交点和顶点坐标，再得到沿x轴翻折后的顶点坐标，根据四个点组成正方形的性质，利用对角线相等列方程求解a．
【详解】解：∵，
令，解得或，
∴原函数与轴两交点为和，两交点间距离为，即四边形的一条对角线长为．
对原二次函数配方，得，
∴原函数顶点坐标为，
∵图象沿轴翻折，翻折后顶点横坐标不变，纵坐标变号，
∴翻折后顶点坐标为，
∴两顶点之间的距离为，即四边形的另一条对角线长为．
∵四个点组成的四边形对角线互相垂直平分，若为正方形则对角线相等，
∴，
解得．
6．B
【分析】先根据已知条件求出，再利用三角形的三边关系求出的取值范围，然后将面积表达式转化为关于的二次函数，利用二次函数的性质求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
，
由二次函数的性质可知，当时，的值最大，最大值为144，
∴三角形面积的最大值为．
7．D
【分析】本题考查了求抛物线解析式和抛物线图象的性质，因为点和点在抛物线上，所以将这两个点的坐标代入抛物线解析式，得到关于a、b的方程组，可求出a、b的值，确定抛物线的具体解析式，然后令抛物线解析式中的，解一元二次方程得到x的两个解，得出点A的横坐标．因为A、B都在x轴上，即可计算的长．
【详解】解：把已知点、代入，
得方程组： ，解得，
因此抛物线解析式为．
令，解方程，
因式分解得，得根和，
因此．
∵A、B都在x轴上，
∴．
故选： D．
8．A
【分析】由点的坐标，根据勾股定理可得①正确，进而可以判断②，由，在抛物线上，得到，结合直线解析式可得，进而判断③．
【详解】解：
，
，
，
，
即，
，
即，故①正确；
，，
，
，故②正确；
，在抛物线上,
设直线的解析式为
将，，代入得，
，
，
把代入得：，
直线与轴的交点坐标是，故③正确；
综上，正确结论有3个．
9．
【分析】根据二次函数解析式的特点可知，当时取得最小值，即可解答．
【详解】解：∵二次函数，，
∴该抛物线的开口向上，顶点坐标为，
则当时，二次函数的最小值是．
10．
【分析】首先由抛物线的对称轴为得到，将要求的代数式恒等变形为，结合抛物线图象与性质确定关于直线的对称点是，且抛物线过点，从而得到当时，，即可得到答案．
【详解】解：抛物线关于直线对称，
，即，
则，
抛物线过点，且关于直线对称，
关于直线的对称点是，且抛物线过点，
则当时，，
即．
【点睛】对于抛物线中求系数构成代数式的值，通常需要根据代数式的特征来取值，对于缺少某项系数的时候，通常利用对称轴得到恒等式去变形还原出含有的式子后再取值求解．
11．20
【分析】本题考查了二次函数的应用；利用配方法求出时，飞机着陆后滑行的距离最大，飞机滑行距离达到最大时，即为飞机停下来的时刻，由此得出答案．
【详解】解：∵，
∴当时，飞机着陆后滑行的距离最大，
∴飞机着陆至停下来滑行的时间是，
故答案为：20．
12．或
【分析】本题主要考查的是二次函数和不等式的关系，将不等式问题转化为二次函数与轴有无交点问题是解题的关键．
将连续不等式进行拆分，得两个不等式，结合函数的性质将不等式问题转化为与轴交点问题，通过变形后的函数表达式，，针对和进行分类讨论，当时，可得出的取值和的取值范围，再结合可求出c的取值；当时，可得如下不等式组，，先确定出的取值，再根据，所满足的不等式求出，的取值，最后即可得出答案．
【详解】解：∵，
化简得∴，
要使该式对所有实数恒成立，
当时，上述为一次函数，若要满足题干条件，则，，即
此时函数为（），
则对所有实数恒成立，
即，
故函数与轴最多只有一个交点，
即，解得，
结合，可得，
∴该二次函数关系式可为；
当时，要满足，
可得，可得；
又∵，
得，
要使该式对所有实数恒成立，结合，
得，可得；
∴可得，
∵为整数，
∴，代入和，
即，且，
上述两不等式相加闭关化简得，
化简得，
故，
∴，
将代入，
得，
解得，结合，
可得，
综上，，，，
故二次函数的解析式为或．
13．
【分析】本题考查抛物线的对称性，二次函数与不等式的关系．熟练掌握抛物线的对称性，是解题的关键．
先求出点关于对称轴对称的点为，再由函数图象即可求解．
【详解】解：∵二次函数的图像与y轴交于点，对称轴为直线，
∴点关于对称轴对称的点为，
∴当时，则x的取值范围是，
故答案为：．
14．
【分析】本题考查了抛物线与轴的交点问题及二次函数的性质，正确求出二次函数解析式是解题关键．利用中心对称的性质得到，代入得出，抛物线解析式为，进而求出，，得出，利用梯形面积公式即可得出答案．
【详解】解：∵点在轴正半轴上，点关于点的对称点恰好落在抛物线上，点的横坐标为，
∴，
∵抛物线交轴正半轴于点，
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为，
当时，，即，
当时，，
解得：，，
∴，
∴，
∴四边形的面积．
故答案为：
15．3
【分析】过点作轴的平行线交轴于点，过点作轴的平行线交轴于点，取点，连接、，构造，根据祖暅原理，得出的面积，根据坐标与图形，计算得出答案即可．
【详解】解：如图，过点作轴的平行线交轴于点，过点作轴的平行线交轴于点，取点，连接、，
当平行于轴的直线在点和点之间时，，
时，，
解得：，即点的横坐标，则此时，
时，则，即点的横坐标，
∴，
∴线段是时，的图象，
∴当时，在点和点之间被平行于轴的直线所截，，也等于线段上点的纵坐标；
当平行于轴的直线在点和点之间时， ，
时，则，即点的横坐标，
∴，
∴线段是时，的图象，
∴当时，在点和点之间被平行于轴的直线所截，，也等于线段上点的纵坐标．
∴和符合祖暅原理，
∴的面积，
故答案为：．
【点睛】本题考查了新知识和新定义理解、二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、坐标与图形、矩形的面积和三角形的面积计算，理解题意、熟练掌握二次函数的图象与性质、构造图形是解题的关键．
16．(1)
(2)最大值为2
【分析】（1）设，将代入，求出B，将A与B代入抛物线即可求函数解析式；
（2）过C作轴，交x轴于点E，交于点D，过B作于点，设，则，可求，再由，求二次函数的最大值即可求出面积的最大值．
【详解】（1）解：设，
代入，得，
∴点B的坐标为，
∴，
解这个方程组，得，
∴抛物线的函数表达式为．
（2）解：如图1，过点C作轴于点E，交直线OB于点D，过B作于点F．
设点C的坐标为，则点D的坐标为，
∴，
∴，
当时，最大，最大值为2．
17．(1)
(2)从左到右第4根吊杆的长度是
【分析】（1）由题意可得，点，顶点坐标是，设抛物线解析式为，再进一步求解即可；
（2）先算出从左到右第4根吊杆对应的值，再代入函数值计算即可．
【详解】（1）解：由题意可得，点，顶点坐标是，
故可设抛物线的函数表达式为．
将点的坐标代入表达式，得，解得，
∴抛物线的函数表达式为；
（2）解：∵共设置15根吊杆，被分成16等份，
∴每一份的距离为，
∴从左到右第4根吊杆对应的值为，
把代入表达式，得，
故从左到右第4根吊杆的长度是．
18．(1)③
(2)
(3)
【分析】（1）利用判别式可得抛物线①与x轴没有交点，据此可判断①；求出抛物线②与x轴的两个交点的横坐标，结合可判断②；求出抛物线与x轴的两个交点的坐标，与y轴的交点的坐标，以及顶点的坐标，进而求出直线的解析式，则可求出点M的坐标，再根据定义可判断③；
（2）可求出，，则根据定义可得，根据对称轴公式和待定系数法可推出，据此求出和的值，解方程得到即可得到答案；
（3）可求出平移前，，，求出直线的解析式为，则，可推出，利用待定系数法可推出；可求出平移后的顶点坐标为，平移后的抛物线与y轴交于点，则根据定义点和点组成的线段的中点在x轴上，据此可得，则，据此求出的值即可得到答案．
【详解】（1）解：①在中，当时，则，
∵，
∴方程无实数根，
∴抛物线与x轴无交点，
∴抛物线不为“型”抛物线；
②在中，当时，则，解得，
此时不满足，
∴抛物线不为“型”抛物线；
③在中，当时，则，解得，
当时，，
∴，
∵，
∴，
设直线的解析式为，则，
∴，
∴直线的解析式为，
在中，当时，，解得，
∴，
∵的中点坐标为，
∴点M是的中点，
∴该抛物线为“型”抛物线；
（2）解：在中，当时，，当时，则，解得，
∴，；
∵抛物线为“型”抛物线，
∴M 为线段中点，
∴，
∴，且对称轴为直线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，当时，则，
∴，
∴，
∴
；
（3）解：平移前，在中，当时，，
∴，
∵抛物线G：为“型”抛物线，
∴M为线段中点，
∴，
∵，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
在中，当时，，解得，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
将抛物线G向下平移2个单位长度后得到的新抛物线的解析式为，平移后的顶点坐标为，
在中，当时，，
∴平移后的抛物线与y轴交于点，
∵平移后的抛物线为“型”抛物线，
∴点和点组成的线段的中点在x轴上，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴抛物线G的解析式为．
19．(1)
(2)，
(3)
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）联立抛物线和直线，转化为关于x的一元二次方程，进而根据根与系数的关系得出，，再由最小时求出，进而求解即可；
（3）如图所示，设的外接圆圆心为M，连接，，设的外接圆一定经过一定点，设，，表示出，利用根与系数的关系得到，，设圆心，利用得到，，当时，表示出圆心，然后利用得到，代入得到，然后根据题意得到，求出；当时，验证出此时不符合题意即可求解．
【详解】（1）解：∵函数图象经过点，，，
∴
解得
∴该二次函数的解析式为；
（2）解：∵直线与抛物线交于点，，
∴联立得，，
∴，
∴，，
∴，
要使最小，则最小，
∴最小，即时，取得最小值
∴，
解得，
∴将代入；将代入；
∴，；
（3）解：如图所示，设的外接圆圆心为M，连接，，设的外接圆一定经过一定点
∵，
∴抛物线解析为
∵抛物线与x轴交于点D，E（点D在点E左侧），与y轴交于点F，设，，
∴当时，，即，
∴当时，
∴，
∴圆心M的横坐标为，
设圆心
∵
∴
∴
∴
∴
∴
∴
整理得，
①当时，
∴
∴圆心
∵
∴
∴
整理得，
∴
∵的外接圆一定经过一定点，
∴
∴
将代入成立，
∴的外接圆一定经过一定点；
②当时，，二次函数表达式为
∴二次函数经过原点，即点F和点D重合，围不成三角形，不符合题意；
综上所述，的外接圆一定经过一定点坐标为．
20．(1)
(2)
(3)①最大值为；②或
【分析】（1）用待定系数法求解即可；
（2）连接，设的坐标，根据四边形的面积，写出关于t的函数关系式，最后与比较系数即可得出答案；
（3）①由（2）条件下的a、b、c的值，写出的函数关系式，根据二次函数的性质分别得出相应的最大值和最小值，则可得图象所表示的函数的最大值；②求得两个特殊点时，n的值即可判断．
【详解】（1）解：抛物线与x轴交于点、，
解得
该抛物线的解析式为．
故答案为：．
（2）解：如图，连接，
抛物线与轴交于点，
点的坐标为．
点的坐标为，，
，，
点为第一象限内抛物线上的一点，设其横坐标为，
．
四边形的面积
，
；
（3）解：①由（2）知，
的解析式为，
的解析式为；
的对称轴为的对称轴为．
当时，取最小值为，当时，取最大值为；
当时，取最大值为，当时，取最小值为：
图象合起来得到的图象记为，
当时，图象所表示的函数的最大值为24：
②的取值范围是或
理由线段的两个端点坐标分别为，
且轴，
的对称轴为，
由抛物线的对称性可知时，与恰好有两个交点，此时，
当时，与恰好有两个交点：
的对称轴为，
由抛物线的对称性可知时，与恰好有两个交点，
此时，
当时，与恰好有两个交点：
综上所述，当图象能够与线段有两个公共点时，的取值范围是或．
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