2026年中考数学专题强化训练：图形的相似（含解析）-（江苏篇）

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2026年中考数学专题强化训练：图形的相似-（江苏篇）
一、单选题
1．如图，点D，E分别在的边，上，且，则下列说法一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，若雕像的上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全身的高度比，可增强视觉美感．按照这一比例，若雕像的总高度为2米，则雕像下部的高度为（　　）
A． B． C． D．
3．如图，正方形边长为3，点E是上一点，连接交于点F．若，则的长为（ ）
A． B． C．2 D．3
4．如图，在中，，D为边的中点，E点在上，，连接交于点F，，则下列结论错误的是（ ）
A． B．平分
C． D．
5．如图，点，是的边上的两点，连接，交于点，的面积为，，则的面积为（ ）
A．45 B．48 C．50 D．52
6．如图，四边形中，，对角线，交于点E，若，，且，则的长为（ ）
A． B．2 C． D．
7．如图1，正方形中，点E为边上一动点，连接，过点D作于P，连接，设长度为x，长度为y，y关于x的函数图象如图2所示，其中点P是函数图象的最低点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，正方形和正方形是位似形，点的坐标为，点的坐标为，则这两个正方形位似中心的坐标是（ ）．
A． B．
C．或 D．或
9．《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的办法，如图所示，在井口处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端观测井水水面，视线与井口的直径交于点，若测得米，米，米，则水面以上深度为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
10．如图，在正方形中，点在对角线上，连接，过点作交的延长线于点交边于点．若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．点C是线段的黄金分割点，若，则较长线段的长是___________（结果保留根号）
12．在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，以原点为位似中心，在轴的同侧将缩小为原来的得到，点的对应点为，点的对应点为，则的长为______．
13．如图所示，正方形的边长是2，，线段的端点M，N分别在上滑动，当________________时，与以D，M，N为顶点的三角形相似．
14．如图，在中，四边形为内接正方形，那么为______．
15．如图，矩形是以点为位似中心的位似图形，已知，则的长是___________．
16．如图，以的顶点为圆心，长为半径作弧交于点，经过三点的交于点，连接交于点．若，则的值是___________．
三、解答题
17．如图，的顶点在的边上，，，现以点为圆心，为半径画弧，交于点．
(1)求证：；
(2)已知，求边的长．
18．如图，菱形中，为对角线，是边延长线上一点，连接．
(1)在线段上求作点，使得（要求：尺规作图，保留痕迹，不写作法）；
(2)在（1）的作图条件下，当时，求线段的长度．
19．在中，是射线上一点，，关于直线对称．
(1)如图1，若点在的延长线上．
①求的长；
②连接，求点到的距离．
(2)如图2，分别以直线，为轴和轴建立如图所示的平面直角坐标系，当是以为腰的等腰三角形时，求点的坐标．
20．如图，在中，，点从点A出发，沿折线运动，在边上以每秒3个单位的速度运动，在边上以每秒4个单位的速度向终点运动，当点与顶点不重合时，过点作其所在直角边的垂线，交边于点，以为底边作等腰三角形，使，设点的运动时间为．
(1)AB的长是__________；
(2)用含的代数式表示点到边的距离；
(3)用的一条直角边平分的腰时，求的值；
(4)当点在上运动时，若点落在的平分线上时，直接写出的值．
21．在中，，．将射线绕点C逆时针旋转交的延长线于点F．
(1)如图1，若，求的值；
(2)如图2，将线段绕点B逆时针旋转得到线段，连接并延长交于点E．求证：；
(3)如图3，在（1）的条件下，将线段绕点B旋转得，连接并延长至点L，连接，使得．当取得最小值时，在直线上取一点M，连接，将沿所在直线翻折到所在平面内，得，连接，，当取得最大值时，求的面积．
《2026年中考数学专题强化训练：图形的相似-（江苏篇）》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D B D B A D D D B
1．B
【分析】由及，可证明，即可得到；另三个结论均无法证明．
【详解】解：，，
，
，
B选项正确；
和不是同位角，
无法证明，
A选项错误；
，
，
C选项错误；
，且与不一定会相等，
与不一定会相等，
D选项错误．
2．D
【分析】设雕像的下部的高度为，由黄金分割的定义得，即可求解．
【详解】解：设雕像的下部的高度为，
∵雕像的上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全身的高度比，
∴，
解得：，
即雕像的下部的高度为．
3．B
【分析】过作于，由正方形的性质推出，，由， 求出，由，得， ，由， 得，进而得 ，由，即可求得的结果．
【详解】解：过作于，
∵四边形是边长为3的正方形，
∴，，
∵ ，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴ ，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵ ，
∴．
4．D
【分析】证明，则可证明得到，，进而得到，则可证明得到，据此可判断A；过点C作交的延长线于点G，证明，得到，则可证明．进而可证明，据此可判断B；证明，推出，则可证明，过C点作，，垂足分别为，证明，得到，则可证明，进而可证明，则，，据此可判断C、D．
【详解】解：∵，，
∴，
又∵
∴，
∴，，
∵D为边的中点，
∴，
∴，
又∵
∴，
∴，故A结论正确，不符合题意；
如图所示，过点C作交的延长线于点G，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴．
又∵，
∴，
∴
∴平分，故B结论正确，不符合题意；
∵，
∴，
∴，
∴，
∵D为边的中点，
∴，
又∵，
∴，
如图所示，过C点作，，垂足分别为，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，即，故C结论正确，不符合题意；
∴，
∵，
∴，
又∵，且，
∴，故D结论错误，符合题意；
5．B
【分析】连接、，利用平行四边形对边平行的性质，证明，结合相似三角形的面积比等于相似比的平方，以及三角形面积与平行四边形面积的关系，逐步推导平行四边形的面积．
【详解】解：如图，连接、、，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴
∵，
∴，且相似比为
∴
∵，
∴
∵，
∴与同底等高，
∵，
∴，
∴
∵，且与同高，
∴
∵平行四边形的面积，
∴
6．A
【分析】本题主要考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握以上性质．
设，则，，根据勾股定理求出，证明，利用对应边成比例，进行求解即可．
【详解】解：设，则，，
∵，
∴由勾股定理得，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
7．D
【分析】由图2可知，当时，，根据正方形的性质及三线合一求出，根据勾股定理得到，取中点O，可知，连接，可知点P在以为圆心，为半径的圆上运动，当A、P、O三点共线时，有最小值，可知此时，，根据勾股定理得到，可知，过点P作交于H，可知，证明，求出，根据勾股定理得到，证明，求出，得到，即可求出的值．
【详解】解：如图3，由图2可知，当时，，
∵正方形中，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴（负值舍去），
如图4，取中点O，可知，连接，
∵于P，
∴点P在以为圆心，为半径的圆上运动，
∴，
∴当A、P、O三点共线时，有最小值，可知此时，，
∵，，
∴，
∴，
过点P作交于H，可知，
∴，
∴，
即，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
∴．
8．D
【分析】位似图形的对应边互相平行，对应点的连线所在的直线交于位似中心．
根据点的对应点分类讨论，利用待定系数法求出直线的函数解析式，联立求出交点坐标，即位似中心的坐标．
【详解】解： ①当点的对应点为点时，如图，
∵四边形是正方形，
又∵点C的坐标为，
∴，
∴点的坐标为，
设直线的解析式为，
将，代入，得，
，
解得，
∴直线的解析式为，
同理直线的解析式为，
联立直线与直线，得，
，
解得，
∴位似中心的坐标为；
②当点的对应点为点时，如图，
对应点的连线所在的直线未交于同一个点，不满足位似形的性质，故舍去；
③当点的对应点为点时，如图，
设直线的解析式为，
将，代入，得，
，
解得，
∴直线的解析式为，
将代入，得，
，
解得，
∴位似中心的坐标为；
④当点的对应点为点时，如图，
对应点的连线所在的直线未交于同一个点，不满足位似形的性质，故舍去；
综上所述，位似中心的坐标为或
9．D
【分析】利用相似三角形的性质即可求解，注意，正确找出对应边．
【详解】解：由题意可知，，
∴，
∴，即，
解得：．
10．B
【分析】该题考查了正方形的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理，解题的关键是证明三角形相似．
根据正方形的性质求出，证明，得出，即可求解．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
11．
【详解】解：∵点是线段的黄金分割点，为较长线段，
∴，
∵，
∴．
【点睛】黄金分割中较短线段与较长线段的长度之比等于较长线段的长度与整条线段的比等于．
12．
【分析】根据如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或，由在轴的同侧将缩小为原来的得到，可得位似图形对应点的坐标的比等于，分别得到，的坐标，进而利用勾股定理进行解答．
【详解】解：点的坐标为，点的坐标为，以原点为位似中心，在轴的同侧将缩小为原来的得到，点的对应点为，点的对应点为，
位似比是，
，，
的长为：．
13．或
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、正方形的性质．解决本题特别要考虑到（1）与是对应边时，（2）当与是对应边时这两种情况．根据中，，所以在中，分与和是对应边两种情况，利用相似三角形对应边成比例求出与的关系，然后利用勾股定理列式计算即可．
【详解】解：∵正方形边长是，
，
，
（1）与是对应边时，，
，
，
．
（2）与是对应边时，，
，
，
，
综上所述，或．
14．
【分析】本题考查相似三角形的应用，勾股定理的运用，正方形的性质，解题的关键是相似三角形的判定和性质，即可．
过点作于点，交于点，根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式，求出，根据相似三角形的判定，则，设正方形的边长为，求出正方形的边长，根据相似三角形的判定，则，，再分别求出，，即可求解．
【详解】解：过点作于点，交于点，
∵在中，，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形为内接正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
设正方形的边长为，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴ ，
解得：；
同理，，
∴，
∴，
解得：，
∴．
15．4
【分析】根据位似图形的性质可得，可得到，从而得到，即可求解．
【详解】解：∵矩形是以点为位似中心的位似图形，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴．
16．
【分析】连接并延长交于点M，根据垂径定理可得，，再由，可得，从而得到，设，则，根据勾股定理可得，从而得到，即可求解．
【详解】解：连接并延长交于点M，
，
，，
，
，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∴．
17．(1)见解析
(2)
【分析】（1）由作图可知，即，进而得到，根据平行线的性质得到，即可证明；
（2）由题意可知，根据相似三角形的性质得到，即可求出边的长．
【详解】（1）证明：由作图可知，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
18．(1)图见解析
(2)
【分析】（1）作，根据即可得到；
（2）过点作于点．先证明是等边三角形，得到，，再根据勾股定理求出，即可求出与的长，接着证明，得到，代入计算即可．
【详解】（1）解：如图所示：
（2）解：过点作于点．
∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
19．(1)①4；②
(2)或
【分析】（1）①根据轴对称的性质得，即可求解；②作于点．在中，根据勾股定理可得．
设，则．由，可得．在中，根据，即可求解；
（2）分两种情况，结合菱形的性质以及全等三角形的判定和性质解答即可．
【详解】（1）解：①
．
关于直线对称，
，
，
②作于点．
在中，．
设，则．
，
，即，
．
在中，，即，
点到的距离．
（2）解：当时，此时，
∴四边形是菱形，
∴轴，，
∴点的坐标是；
如图3，当时，则，连接，延长交于点E，
设，则，
在Rt中，，
∴，
解得：，
即，
∵，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
过点C作轴于点F，则，
∵，
，
∴，即，
，
∴，
此时点的坐标是．
综上所述点的坐标是或．
20．(1)25
(2)当时，点到边的距离；当时，点到边的距离；
(3)或
(4)或
【分析】（1）直接利用勾股定理求解即可；
（2）分点P在上和上两种情况，分别作辅助线构造相似三角形和等腰三角形，再利用相似三角形、等腰三角形的性质以及矩形的判定与性质求解即可；
（3）分平分和平分两种情况，分别利用相似三角形的判定与性质求解即可；
（4）分点落在的平分线上、点落在的平分线上，点落在的平分线上三种情况，分别利用正方形的判定与性质、矩形的判定与性质以及利用勾股定理列方程求解即可．
【详解】（1）解：∵在中，，
∴．
（2）解：如图，当点P在上运动，即时，
，，
∴，
，
∴，
∴；
如图，过点D作于E，
∵是以为底边的等腰三角形，
∴，
∵，
，
又，
，
∴，
∴；
如图，当P在上运动，即时，
同理可证，
∴，
∴；
如图，过点D作于E，
同理可得，
同理可证，
∴，
∴．
综上，当时，点到边的距离；当时，点到边的距离；
（3）解：如图，当平分时，
∴，
∵，
，
∴，
∴，
∴，
∴，解得：．
如图，当平分时，即，过点D作，交于E，交于G，
∴
，，
∴，
，
∴，
∵，
，
又，
，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理可证四边形是矩形，
∴，
又∵，
∴，解得，
综上所述，当或时，的一条直角边平分的腰．
（4）解：①如图，当点落在的平分线上时，过点D作于M，于N，延长交于H，则
∵点D落在的平分线上，
，
，，，，
四边形是正方形， ，
∵，，
，
∴四边形是矩形，四边形是矩形，
∴由（2）得 ，，
∴
∴，解得；
②如图，当点落在的平分线上时，过点D作于J，于I，延长交于H， 过点D作于K，连接，
由（2）可得：，，
∵，，，，
∴四边形是矩形，四边形是矩形，
∴，，
∴，，
∵点落在的平分线上时， ，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴在中，；
在中，；
∴，解得：；
③如图，当点落在的平分线上时，过点D作于J，于I，延长交于H， 过点D作于K，连接，
由（2）可得：，，
∵，，，，
∴四边形是矩形，四边形是矩形，
∴，，
∴，，
∵点落在的平分线上时， 于J， ，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴在中，；
在中，；
∴，解得：（不合题意，舍弃）；
综上，点在上运动时，若点落在的平分线上时，t的值为或．
【点睛】灵活利用分类讨论思想是解题的关键．
21．(1)
(2)证明见详解
(3)
【分析】（1）过点B作于点D，根据已知条件得出的值，，，进而得到的值，再证得是等腰直角三角形，求得的值以及的值，最后利用正切的定义即可求得结果；
（2）将绕点B顺时针旋转至，连接、，先证得是等腰直角三角形，得到，利用直角三角形两锐角互余和角度和差得出，证得，再证得得到，设，通过角度关系证得，继而得出，证明，利用全等三角形的性质及线段和差关系即可得出结果；
（3）先证明，利用相似三角形对应边成比例关系得出线段的定积，由可得定角，通过线段定积定角，利用反演模型中的圆生线得到点L的轨迹是直线，根据题意进一步确定出点K的运动轨迹是以B为圆心，为半径的圆，通过构造辅助线证明，得出点L的轨迹是直线，由垂线段最短可得出的最小值，通过翻折的性质可得到点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆，从而得到的最大值，利用正切的定义和勾股定理求出的值，再利用相似三角形的判定与性质证得，最终利用三角形面积公式求得结果．
【详解】（1）解：如图，过点B作于点D，
∴，
由题意得，，，，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，即是等腰直角三角形，
∴，，
在中，，
即．
（2）证明：如图，将绕点B顺时针旋转至，连接、，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即是等腰直角三角形，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
即．
（3）解：∵，，
∴，
∴，即，
∵，
∴由定积定角可知，点L的轨迹是直线，
∵，
∴点K的运动轨迹是以B为圆心，为半径的圆，
如图，设交于，则，，在上取，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴点L的轨迹是直线，
作，则，连接交于点，当点K在点处时，最小，此时点L在点处，
∵点M是直线上一点，沿所在直线翻折得，
∴，
∴点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆上，
连接并延长交于点，当点在点处时，最大，
即，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，即，
解得，
在中，，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
即当取得最大值时，的面积为．
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