2026年中考数学专题强化训练：圆（含解析）-（江苏篇）

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2026年中考数学专题强化训练：圆-（江苏篇）
一、单选题
1．下列关于边长为的正六边形的说法中，错误的是（ ）
A．该正六边形是中心对称图形 B．该正六边形有6条对称轴
C．该正六边形的中心角为 D．该正六边形的面积为
2．如图，是⊙的切线，为切点，连接并延长交⊙于点，连接．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，与相切于点，，的半径3，则的长是（ ）
A．3 B． C． D．
4．如图，在中，，D是上的一点，以为直径的与相切于点E，连接、，若，，则的直径为（ ）
A．4 B． C．5 D．
5．如图，在中，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．把半径为的球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，以点为圆心的圆弧与轴交于A、B两点，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，，分别与相切于点，，与相切于点，交于点，交于点，若，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，正方形的对角线交于点O，为正方形的外接圆，为直径．若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
10．已知为的外心，若，则_____；若，则_____．
11．已知的半径为，弦的长为，则圆周角等于_____．
12．已知：⊙的半径为，弦的长为，弦的长为，则_____
13．如图，，，则_____．
14．如图，是的直径，C，D是圆上两点，连接，，，，若，则的度数为________．
15．如图，在中，，，，现将绕点逆时针旋转得到，则阴影部分的面积为______．
16．《梦溪笔谈》是我国古代科技著作．其中记录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，、是的半径，点是的中点，连接，于点，“会圆术”给出劣弧的弧长的近似值计算公式：，当时，则的值为______．
三、解答题
17．如图，在中，，平分交于点，为上一点，经过点的圆分别交于点，连接．求证：是圆的切线．
18．如图，为的直径，的边，分别与交于D，E，若．
(1)求证：；
(2)若，，求的半径．
19．在平面直角坐标系中，网格中每个小正方形的边长为单位1，的位置如图所示．
(1)与关于原点对称，画出；
(2)以为旋转中心将顺时针旋转得，画出，并写出各顶点的坐标；
(3)求点旋转到点经过的路线长．
20．如图1，、为中的两条弦，于，连接并延长交于B，连接，．
(1)求证：；
(2)如图2，在（1）的条件下，连接，若，，，求的长．
21．在平面直角坐标系中，对于与，给出如下定义：若与有且只有两个公共点，其中一个公共点为点，另一个公共点在边上（不与点重合），则称为的“点关联三角形”．
(1)如图，的半径为1，点．为的“点关联三角形”．
①在这两个点中，点可以与点_____重合；
②点的横坐标的最小值为_____；
(2)的半径为1，点，点是轴负半轴上的一个动点，点在轴下方，是等边三角形，且为的“点关联三角形”．设点的横坐标为，求的取值范围；
(3)的半径为，直线与在第一象限的交点为，点．若平面直角坐标系中存在点，使得是等腰直角三角形，且为的“点关联三角形”，直接写出的取值范围．
《2026年中考数学专题强化训练：圆-（江苏篇）》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
答案 C B C A C D B D D
1．C
【分析】首先，根据中心对称图形的定义判断正六边形是否为中心对称图形；其次，根据对称轴的定义确定正六边形的对称轴数量；然后，利用正边形中心角公式计算正六边形的中心角；最后，通过将正六边形分割为6个全等的等边三角形，计算其总面积．
【详解】解：对于A选项，∵正六边形绕其中心旋转后能与自身重合，
∴该正六边形是中心对称图形，A选项正确；
对于B选项，正六边形有6条对称轴，分别是3条对边的垂直平分线和3条过相对顶点的直线，B选项正确；
对于C选项，正六边形的中心角为，而非，C选项错误；
对于D选项，如图，正六边形的中心为，取边，作于，则．
∵正六边形的边长为，，
∴为的中点，为等边三角形，，
在中，，，
∴，
∴．
∴，
∴，D选项正确．
2．B
【分析】连接，与⊙相切于点，得到，根据三角形内角和求出，再根据三角形外角的性质，求出答案．
【详解】解：连接，如图所示：
与⊙相切于点，
，
，
，
，
，
．
3．C
【分析】连接，通过切线的性质得到，然后利用勾股定理解题即可．
【详解】解：连接，如图所示：
∵与相切于点，
∴，
∵，的半径3，
∴．
4．A
【分析】连接，由30度角所对的直角边等于斜边一半，可得，再结合圆的切线的性质，证明出是等边三角形，进而得出，，最后得出，求出半径，即可得解．
【详解】解：如图，连接，
在中，，，，
，
与相切于点E，
，
，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
的直径为4．
5．C
【分析】直接利用圆周角定理求解即可．
【详解】解：∵，和分别是所对的圆周角和圆心角，
∴．
6．D
【分析】过圆心O作于点，交于点N，连接，根据勾股定理求出，再由垂径定理求解即可．
【详解】解：如图，过圆心O作于点，交于点N，连接，
四边形是矩形，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
∵过圆心O，，
．
7．B
【分析】过点P作于D，则A，B两点一定关于对称．即可求解．
【详解】解：过点P作于D，
则D的坐标是．
点的坐标为，
．
．
，B两点一定关于对称，
．
．
则点A的坐标是．
故选∶B．
8．D
【分析】由、是的切线，得；由、和、分别是的切线，得、；将的周长转化为，再替换为，进一步转化为，结合的长度计算结果．
【详解】解：，分别相切于点，
，
，分别与相切于点，
，
分别与相切于点，
，
．
9．D
【分析】由，再结合扇形面积公式以及三角形面积公式求解即可．
【详解】解：∵与正方形均为中心对称图形，且正方形的对角线交于点O，为正方形的外接圆，为直径，
∴，
∵，
∴，
∵正方形的对角线交于点O，
∴，
∴，
∴图中阴影部分的面积为．
10． 或
【分析】根据同弧所对的圆心角是圆周角的倍，同时要注意外心在三角形内部和外部两种情况，即可得到答案．
【详解】解：，是钝角，外心在三角形外部，如图1，
；
当点在三角形外部时，如图1，，
当点在三角形内部时，如图2，．
故答案为：；或．
11．或
【分析】如图，连接、，由题意得，即可得到为等边三角形，即，在弦所对的优弧上任取一点，劣弧上任取一点，根据圆周角定理即可得到，再根据圆的内接四边形性质：圆内接四边形的对角互补，即可求出的度数，再分点在优弧或劣弧上进行讨论，即可得出答案．
【详解】解：连接、，如图所示：
，
是等边三角形，
，
①在优弧上任取一点，连接，，
则，
②在劣弧上任取一点，连接，，
四边形是的内接四边形，
，
，
当点在优弧上，则，当点在劣弧上时，．
12．或
【分析】本题需分弦与弦在圆心的同侧、异侧两种情况讨论，利用勾股定理的逆定理和垂径定理、锐角三角函数求出相关角的度数，再计算．
【详解】解：连接，，
的半径为，
，
在中：
，，
，
是直角三角形，
又，
，
在中，过作于，根据垂径定理得：
,
在中：，
,
分两种情况讨论：
①当，在圆心的异侧时：，
②当，在圆心的同侧时：，
综上所述，的度数为或．
13．
【分析】本题考查了圆周角定理，根据，得分别在以A为圆心的圆上，运用同弧所对的圆周角是圆心角的一半，进行分析，即可作答．
【详解】解：∵，
∴分别在以A为圆心的圆上，如图所示：
∵，
∴
14．
【详解】解：∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴．
15．
【分析】先根据旋转的性质可得，，，则，点共线，据此可得阴影部分的面积等于扇形的面积，利用扇形的面积公式计算即可．
【详解】解：∵将绕点逆时针旋转得到，，
∴，，，
∴，
又∵，，
∴点共线，
∴阴影部分的面积为．
16．
【分析】连接，根据垂径定理的推论，知，从而证明M，N，O共线，根据勾股定理求出，再求出，计算求出答案即可．
【详解】解：连接，如图所示：
∵点是的中点，
∴，
∵，
∴、N、M三点在同一直线上，
∵，
∴，
∵，
∴在中，根据勾股定理得：，
∵，
∴，
．
17．见解析
【分析】连接，由平分，可得，由，可得，则，，进而可得，进而结论得证．
【详解】证明：如图1，连接，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
又∵是半径，
∴是圆O的切线．
18．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接、，由E为的中点可得，，，再由直径所对的圆周角为直角可知，故可证，即可得出结论；
（2）设半径为r，则可得，则，在中运用勾股定理求解，在中运用勾股定理即可求解．
【详解】（1）证明：连接、，
∵E为的中点
∴，
∴，，
∵是直径所对的圆周角，
∴，
即，
∴
在和中
，
∴
∴，
∴；
（2）解：在中，
设半径为r，则，
∵
∴，
∵，
∴
在中
∴
解得：．
19．(1)作图见解析；
(2)作图见解析，，，；
(3)
【分析】（1）先确定各顶点坐标，根据“关于原点对称的点的横、纵坐标均互为相反数”求出的坐标，再顺次连接三点完成作图；
（2）利用平面直角坐标系中“点绕原点顺时针旋转后对应点为”的规律，求出的坐标，顺次连接三点得到旋转后的图形，同时写出各顶点坐标；
（3）解题思路：点到的路线是圆心角为的圆弧，先计算的长度，再代入弧长公式计算路线长．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：如图，即为所求．
各顶点坐标为，，．
（3）解：∵，
∴，
点绕原点顺时针旋转到，旋转角，
∴点旋转到点经过的路线长为．
20．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，，易证，根据圆周角定理，，，可证，再根据，即可求证；
（2）连接、，根据题意可得，，从而求出，即和为等腰直角三角形，根据勾股定理计算即可．
【详解】（1）证明：如图1，连接，，
由题可知，是的直径，
，即，
，，
，
，
，
；
（2）解：如图2，连接、，
，，
，
，
，
，
，，
，
和为等腰直角三角形，
，，
在中，，
则，解得，
，
，
在中，，
则，
．
21．(1)①点与重合；②
(2)
(3)或
【分析】（1）根据“点A的关联三角形”的定义，进行判断，过C作的切线，交于M，连接，设，求出的取值范围即可；
（2）先求出，过点作轴于G，构造直角三角形，表示出，，进而用勾股定理求出，即可求出答案；
（3）符合等腰直角三角形的B点有6个，当r较小时，没有符合题意的B点，随着r增大，根据临界点进行判断求解．
【详解】（1）解：①当点A与点重合时，连接与圆相交，而也与圆相交，这样就与圆有三个交点，所以不符合“点A关联三角形”的定义；
过C作的切线，交于M，连接，如图，
，
∴，
设，则，
解得或，
当时，线段与有唯一交点，
∵，
∴当点与重合时，为的“点关联三角形”；
②由①得，
∴点的横坐标的最小值为；
（2）解：如图，
∵为的“点A关联三角形”，
∴线段和除过点A外，不能与有交点，
当与相切时，
∴轴，此时，点A的横坐标为1，
∴点C的横坐标为1，即，
∴时，线段除点A外不与有交点，
当线段除点A外不与有交点，
即点B在处，记作点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵为等边三角形，
∴，
在中，，
∴，
过点作轴于G，
∴，，
∴，在上取一点M，连接，使，
∴，
在中，则，，
∴，
在中，根据勾股定理得，，，
∴，
∴，
∴时，线段除点A外不与有交点，
综上分析得，m的取值范围为；
（3）解：如图，符合等腰直角三角形的B点有6个，当r较小时，没有符合题意的B点，随着r增大，如下图1所示，
当与圆O有交点，直到落在圆O上，如图2所示，
设则，
过A作x轴平行线，交y轴于D，过C作于E，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
即点恒在y轴上，
当点在圆O上时，即时，可得：，
故，
解得：，
∴，此时仍不满足题意；
当时，符合，直至下图的临界位置：与圆O相切，与O重合，如图3所示，
易得：，
①当时，由图可知，将与圆O存在两个交点，不符题意，
∴；
②当时，与圆O有两个交点，不符题意；
③当时，如图4所示，
设，
∵，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
此时，
即在圆O外部，C在圆O内部，与圆O必有一个交点，符合题意，
∴符合题意；
综上所述，r的取值范围是：或．
【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了直线与圆的位置关系，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，综合运用这些知识点是解题的关键．
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