2026年中考数学专题强化训练：锐角三角函数（含解析）-（江苏篇）

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2026年中考数学专题强化训练：锐角三角函数-（江苏篇）
一、单选题
1．如图，在中，，则的长为（ ）
A．1 B． C．2 D．
2．在中，，则下列三角函数表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图是人行天桥的示意图，高米，斜坡米，则斜坡的坡度为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，点均在正方形网格的格点上，且交于点，则的值为（ ）
A．2 B．3 C． D．
5．如图，，以O为圆心，2为半径画弧，分别交，于A，B两点，再分别以A，B为圆心，为半径画弧，两弧在内部相交于点C，作射线，连接，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在边长为12的正方形中，点是上的一点，且，于点，，且交于点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在等腰中，，过点C作于点D，以为边作正方形，点E在上，与边交于点G．若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，已知的半径为，点为直径延长线上一点，．过点任作一直线，若直线上总存在点，使过点所作的的两切线的夹角为，当最大时，的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
9．如图所示，图①是一款木雕作品，其主视图如图②所示，点为优弧的圆心，，，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在正方形纸片中，E是边的中点，将正方形纸片沿折叠，点B落在点P处，延长交于点Q，连接并延长交于点F．以下结论：①为等腰三角形；②F为的中点；③；④．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11．已知中，，则_____（用、、填空）．
12．如图，矩形中，，．若P为矩形内一点，且，则所有符合条件的点P形成的区域的面积是________．
13．在中，，，，为边上一动点，交于点，交于点，连接，求的最小值 ______ ．
14．当四边形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此四边形为“特征四边形”．已知一个菱形是“特征四边形”， ，点E是直线上一点，且，连接，则的值为______．
15．如图，，在的平分线上依次取点，，，过点作，分别交，于点，，以为对角线作菱形．已知，，设，图中阴影部分面积为y，则y与x之间的函数关系式是__________．
16．如图，在正方形中，点在边上（不与点B、C重合），点E在的延长线上，且，连接、、，过点作于点，分别交、、于点、、．则下列结论：①；②；③；④若，则；⑤图中共有5个等腰三角形．其中正确的结论是___________．

三、解答题
17．计算：．
18．某初中数学兴趣小组想测量某大桥的收费站的最高点距离地面的高度，如图，他们在地面上选取了一个测量点，在点处用测角仪测得点的仰角为，然后他们沿方向移动10米到达测量点（即米），在点处用测角仪测得点的仰角为，已知测角仪的高度为1.2米，求该收费站的高度．（结果保留整数，参考数据：，，，）
19．如图，已知中，以为直径的交于点，．
(1)求证：为的切线；
(2)若为中点，，，求的长．
20．如图1是一个高脚杯的截面图，杯体呈抛物线形（杯体厚度不计），点P是抛物线的顶点，为杯底，点O是的中点，且，，杯子的高度（即，之间的距离）为．以O为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系．
(1)求杯体所在抛物线的解析式；
(2)将放在水平桌面上的装有饮料的高脚杯绕点B顺时针旋转，液面恰好到达点D处．如图2．
（ⅰ）请你以的中点O为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，并求出与y轴的交点坐标；
（ⅱ）求此时杯子内液体的最大深度．
21．（1）【证明推断】如图1，在正方形中，点是对角线上的动点（与点、不重合），连接，过点作，，分别交直线于点、．
①求证：；②直接写出的值；
（2）【类比探究】如图2，将（1）中的“正方形”改为“矩形”，其他条件均不变．
①若，求的值；
②若，直接写出的值（用含的代数式表示）；
（3）【拓展运用】如图3，在矩形中，点是对角线上一点（与点、不重合），连接，过点作，分别交直线于点、，连接，当，，时，求的长．
《2026年中考数学专题强化训练：锐角三角函数-（江苏篇）》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A C A D A C B A C
1．B
【分析】本题考查了解直角三角形，熟练掌握特殊角的三角函数值是关键．由题意得到，据此即可求出答案．
【详解】解：在中，，
∴ ，即
∴
故选：B．
2．A
【分析】本题考查了解直角三角形．本题先利用勾股定理求出斜边的长度，再根据锐角三角函数的定义，分别判断每个选项的三角函数值是否正确．
【详解】解：在中，，，
由勾股定理得，
根据锐角三角函数定义：
，故A选项正确．
，故B选项错误．
，故C选项错误．
，故D选项错误．
故选：A．
3．C
【分析】本题考查了解直角三角形的应用－坡度坡角问题．根据坡度的定义直接求解即可．
【详解】解：∵坡高，斜坡，
∴水平距离，，
∴斜坡的坡度为，，
故选：C．
4．A
【分析】本题考查了勾股定理与网格，求一个角的正切值，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，得，，再证明然后把数值代入计算，即可作答．
【详解】解：依题意，正方形网格的小正方形的边长为，
依题意，，
取格点，连接，
依题意，，
结合网格特征得，
则，
∵，
∴
∴，
∵，
∴，
结合网格特征，，
则，
∴，
故选：A．
5．D
【分析】本题考查了求角的正切值、垂直平分线的判定、等边三角形的性质与判定、勾股定理，添加适当的辅助线构造直角三角形是解题的关键．
连接交于点，由作图可得，，，则是的垂直平分线，通过证明是等边三角形，得到，进而得到，再利用勾股定理求出的长，在中利用正切的定义即可求解．
【详解】解：如图，连接交于点，
由作图可得，，，
∴是的垂直平分线，
∴，，
∴，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴在中，，
即．
故选：D．
6．A
【分析】本题主要考查正方形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正切的定义等知识，灵活运用相似三角形的判定与性质求出线段的长是解答本题的关键．由正方形性质可求出的长，进而求出的长，证，利用相似三角形对应边成比例可求得、的长，证，得，根据线段的和差求得的长即可．
【详解】解：四边形是正方形，，
，，，
，
，
，
在中，，
则由勾股定理可得，
，
，
，
，
即，
，，
又，
，
又，，
，
，
，
，
故选：A．
7．C
【分析】先在中，利用设出和的长度，再结合及勾股定理求出、、的具体值，接着根据正方形性质得到、的长度和的关系，从而推出，最后利用相似三角形的性质求出的长度．
【详解】解：∵在中，，
∴设，则，
∵，，
∴，，
∴，
解得，
∴，，，
∵四边形是正方形，，
∴，，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、正方形的性质、锐角三角函数、勾股定理以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握这些性质和定理，并能灵活运用是解题的关键．
8．B
【分析】是的切线，切点为，连接，如图所示，由四边形内角和为求出，再由得到，解直角三角形得到，从而确定点在以为圆心、为半径的圆上运动，进而得到当是以为圆心、为半径的圆的切线时，最大，在中，求出，由的正弦值定义列式计算即可得到答案．
【详解】解：是的切线，切点为，连接，如图所示：
，
在四边形中，，，则，
，
，
，
在中，，，则，
解得，
则点在以为圆心、为半径的圆上运动，如图所示：
当是以为圆心、为半径的圆的切线时，最大，此时的最大角为，如图所示：
在中，，，，
则，
故选：B．
【点睛】本题考查求角度正弦值，涉及切线性质、四边形内角和、全等三角形的判定与性质、余弦函数值等知识，读懂题意，确定点在以为圆心、为半径的圆上运动是解决问题的关键．
9．A
【分析】本题考查扇形面积公式、等腰三角形的性质、解直角三角形，熟练掌握相关性质是解题的关键．
易证得是等腰三角形，则，过点O作于点D，
则，在中，根据求出的长，进而得到，再分别计算扇形和三角形面积，最后求阴影部分面积即可．
【详解】解：，
，
，
是等腰三角形，
，
过点O作于点D，
，
在中，，
即，
，
，
，
，
阴影部分的面积为：，
故选：A．
10．C
【分析】利用翻折的性质，证明，即可判断①；利用证明，即可判断②；过点P作于点M，过点E作于点N，设，然后求出，，再计算即可判断③；证明出，再在中，利用勾股定理求出，，根据三角函数定义即可判断④．
【详解】解：∵E是边的中点，
∴，
∵将正方形纸片沿折叠，点B落在点P处，
∴，
∴，
即为等腰三角形，
故①正确；
∵，
∴，
∵将正方形纸片沿折叠，点B落在点P处，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
即F为的中点，
故②正确；
过点P作于点M，过点E作于点N，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
故③正确；
∵，，
∴，
∴，
∵正方形的边长为，
∴，，，
在中，由勾股定理，得，
即，
解得，
∴，
∴，
∴．
故④不正确．
综上所述：①②③正确，一共有3个．
故选：C．
【点睛】本题考查翻折变换，轴对称的性质，正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，三角函数，能够熟练运用相关图形的判定和性质是解题的关键．
11．
【分析】根据锐角三角函数的定义表示出与，结合直角三角形斜边大于直角边的性质比较大小即可．
【详解】解：在中，，
设的对边为，邻边为，斜边为，则，
∵，，，，
∴，
∴，
即．
故答案为：．
12．
【分析】本题考查了同弧所对圆周角相等，矩形的性质，正方形的判定和性质，扇形面积的计算等知识．在上分别截取，使，连接，则四边形是矩形，以与的交点为圆心，以长为半径作圆，则圆为矩形的外接圆．根据在中，所对圆周角均等于，得出在与矩形的重叠部分的边界以及边界以外的点P满足，然后求出对应区域面积即可得解．
【详解】解：如图，在上分别截取，使，连接，则四边形是矩形，以与的交点为圆心，以长为半径作圆，则圆为矩形的外接圆．
∵，，
∴，
∴，
在中，所对圆周角均等于，，
∴在与矩形的重叠部分的边界以及边界以外的点P满足，
∵，
∴，，
∴所有符合条件的点P形成区域的面积是：
．
故答案为：．
13．
【分析】由可得四点共圆，且该圆的直径为，可知当时，最小，此时最小，过点作于点，过点作，交的延长线于点，利用锐角三角函数和勾股定理可得，，进而可得是等腰直角三角形，得到，又由是等腰直角三角形，可得，，，即得，再利用的面积可得，设，则，可证是等腰直角三角形，得到，利用勾股定理可得，得到，即得到，即可求解．
【详解】解：∵交于点，交于点，
∴，
∴，
∴四点共圆，且该圆的直径为，如图，
由垂线段最短可知，当时，最小，此时最小，如图，过点作于点，过点作，交的延长线于点，
在中，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴和都是直角三角形，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
在中，，
∴，
整理得，，
解得或（不合题意，舍去），
∴，
∴，
∴的最小值是．
故答案为：．
【点睛】此题考查了点和圆的位置关系，圆周角定理，垂线段最短，锐角三角函数，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等，正确作出辅助线是解题的关键．
14．或
【分析】本题考查菱形的性质，解直角三角形，先利用菱形邻角互补的性质结合“特征四边形”定义确定菱形内角，再根据判断对角线长短，最后分点在线段上、延长线上两种情况，依托菱形对角线垂直平分的性质，在直角三角形中利用正切定义计算．
【详解】解：设菱形的对角线交于点，菱形边长为，
∵四边形为菱形，
∴，
因为菱形邻角互补，且为“特征四边形”，
可设较小内角为，则，
解得，
即，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
①当点在线段上时，
∴，
在中，；
②当点在线段的延长线上时：
∴，
在中，；
故答案为：或．
15．
【分析】由的平分线上依次取点，，，过点作，可得与是等腰直角三角形，即可得垂直平分，求得，再由，可求得与，的长，继而求得的面积，再由菱形中，，得到是等边三角形，即可求得其面积，继而求得答案．
【详解】解：是的平分线，
，
，
∴，
，
∴与都是等腰直角三角形，
，
，，
，
，
，
，
，
四边形是菱形，
，
∵，
，
，
是等边三角形，
∴，
连接，交于点K，如图所示：
∵四边形为菱形，
∴，，，
∴，
∴，
，
．
16．①②③④
【详解】解：如图1，过点作，交于点，
，
∵在正方形中，
∴，
∴、是等腰三角形，
又∵，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，
∵，
∴，故结论②正确；
∴，即是等腰三角形，
∵在和中，
，
∴，
∴
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，故结论①正确，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，故结论③正确，
过点作，如图2；
设，由可得，
∴，
∵，
∴，
∴，故结论④正确，
∵
∴不一定等于，
∴ 不一定是等腰三角形，
故等腰三角形有、、、，共四个，故结论⑤错误，
综上所述：正确结论有①②③④．
故答案为：①②③④．
17．6
【分析】先化简零次幂、绝对值、算术平方根、正切值，再运算乘法，最后运算加减，即可作答．
【详解】解：原式
．
18．14米
【分析】设米，由题意可知四边形和四边形为矩形，则米，分别解，，确定，根据列出方程，解方程，进而求得，即可求解．
【详解】解：设米，由题意可知四边形和四边形为矩形，则米．
在中，，，
则．
在中，，，
则．
，即，解得，
（米）．
答：该收费站的高度约为14米．
19．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角，得，推出，根据同弧或者等弧所对的圆周角相等，则，等量代换，即可；
（2）连接，直径所对的圆周角是直角，，据同弧或者等弧所对的圆周角相等，则，根据，求出直径，再根据等腰三角形的判定，，即可．
【详解】（1）解：证明如下：
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
∵是半径，
∴为的切线．
（2）解：连接，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵为中点，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴．
20．(1)；
(2)（ⅰ）坐标系见详解，与y轴的交点坐标为；（ⅱ）杯子内液体的最大深度为：；
【分析】（1）根据点O是的中点，且，，杯子的高度（即，之间的距离）为得到，，，再将点代入求解即可得到答案；（2）（ⅰ）过D作交于点E，过E作交于点M，求出点M，点E坐标得到l的解析式，结合平行求出的解析式即可得到答案；（ⅱ）在上任取一点F作交于H，交抛物线于G，设出点F的坐标，表示出点G的坐标，得到的解析式，结合函数性质即可得到答案．
【详解】（1）解：∵点O是的中点，且，，杯子的高度（即，之间的距离）为，
∴，，，
设杯体所在抛物线的解析式为：，
∴，，，
解得：，，，
∴杯体所在抛物线的解析式为：；
（2）解：坐标系如图所示，过D作交于点E，过E作交于点M，
∵点O是的中点，且，，杯子的高度（即，之间的距离）为，
∴，，，
∵饮料的高脚杯绕点B顺时针旋转，
∴，
∴，
∴，，
∴，，，
设的解析式为，将，代入得，
，
解得：，
∵，
∴，
设的解析式为：，
将点D代入得，
，
解得：，
的解析式为：，
当时，
，
∴与y轴的交点坐标为：；
（ⅱ）在上任取一点F作交于H，交抛物线于G，过点G作于点N，如图2所示，
∵轴，轴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴当最小时，最小，
设，则，
∴，
∵，
∴当时，
∴的最小值为，
∴的最小值为
即此时杯子内液体的最大深度为：．
21．（1）①见解析；②；（2）①；②；（3）
【分析】（1）①由“”可证；②由全等三角形的性质可得，即可求解；
（2）①由（1）得，，可证，可得，通过证明，得，即可求解；②思路同①，可证，可得，通过证明，得，则可求解；
（3）过点作于，由勾股定理可求得长，由锐角三角函数可求长度，进而利用勾股定理求得，根据等腰三角形三线合一可知，则、长度可求，由求得长，由求得长，利用即可求解．
【详解】（1）①证明：四边形是正方形，
，，
，，
，
，，
，，
，
在和中，
，
；
②解：；理由如下：
由①知：，
，
；
（2）解：①四边形是矩形，
，，
由（1）得，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
；
②；理由如下：
四边形是矩形，
，，
同①理可证，
，
，，
，
，
；
（3）解：如图3，过点作于，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
由（2）知，
，
，
，
，
，
，
．
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