北师大版（2024）八年级下册 1.1 三角形内角和定理 强化训练
【题型1】已知两角求第三角的大小
【典例】如图，小明书上的三角形被墨迹遮挡了一部分，测得剩余两个角的度数为44°，68°，于是他很快判断这个三角形是( )
A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形
【强化训练1】如图是一块三角形木板的残余部分，量得∠A＝100°，∠B＝40°，则这块三角形木板另外一个角的度数为( )
A.30° B.40° C.50° D.60°
【强化训练2】如图，点E，D分别在AB，AC上．若∠B＝30°，∠C＝50°，则∠1+∠2＝ °．
【强化训练3】在△ABC中，若∠A＝43°，∠B＝47°，则这个三角形是 ．
【题型2】已知两角或三角的数量关系求三角形内角
【典例】在△ABC中，∠A＝∠B＝∠C，则△ABC是( )
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定
【强化训练1】△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝2:3:4，则∠A的度数为( )
A.35° B.40° C.70° D.110°
【强化训练2】已知点D在△ABC内，若∠ABD= ∠ACD=则∠BDC等于( )
A.3∠A B.∠A C.120°+∠A D.60°+∠A
【强化训练3】若三角形三个内角的比为1:2:3，则这个三角形最大的内角等于 ．
【强化训练4】如图，在△ABC中，BD是∠ABC的平分线，且∠ABD＝∠A，∠C＝3∠A．
(1)求△ABC各内角的度数；
(2)求∠ADB的度数．
【题型3】三角形内角和与平行线问题
【典例】如图，AB∥CD，∠D＝42°，∠CBA＝64°，则∠CBD的度数是( )
A.42° B.64° C.74° D.106°
【强化训练1】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝50°，DF∥EB．若∠D＝70°，则∠ACD的度数为( )
A.30° B.35° C.40° D.45°
【强化训练2】如图，在△ABC中，DE∥BC，BD平分∠ABC交AC于点D.若∠BED＝136°，求∠EDB的度数．
【强化训练3】已知：如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F．∠BEF的平分线与∠DFE的平分线交于点G．直线EG，FG有何关系？写出证明过程．
解：EG⊥FG，理由是：
∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠DFE＝180°( )．
∵EG平分∠BEF，FG平分∠DFE，
∴∠GEF＝∠BEF，∠GFE＝∠DFE( )，
∴∠GEF+∠GFE＝(∠BEF+∠DFE)( )，
∴∠GEF+∠GFE＝×180°＝90°．
在△EFG中， ( )，
∴∠G＝180°﹣(∠GEF+∠GFE)＝180°﹣90°＝90°．
∴ ( )．
【题型4】与三角形高线，角平分线相关的问题
【典例】如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且与BC相交于点D，∠B＝40°，∠BAD＝30°，则∠C的度数是( )
A.70° B.80° C.100° D.110°
【强化训练1】如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝50°，CD平分∠ACB，则∠ADC的度数是( )
A.80° B.90° C.100° D.110°
【强化训练2】如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的角平分线BE，CD交于点F，∠EFC＝50°，则∠A的度数为 ．
【强化训练3】如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，过点D作DE∥BC交AC于点E，∠A＝54°，∠B＝48°，求∠CDE的度数．
【强化训练4】如图，在△ABC中，∠A＝50°，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，求∠BOC的度数．
【题型5】三角形内角和的实际应用
【典例】如图，一艘轮船在A处看见巡逻艇C在其北偏东62°的方向上，此时一艘客船在B处看见巡逻艇C在其北偏东13°的方向上．则此时在巡逻艇上看这两艘船的视角∠ACB的度数是( )
A.13° B.49° C.62° D.75°
【强化训练1】如图，两面镜子AB，BC的夹角为∠α，当光线经过镜子后反射，∠1＝∠2，∠3＝∠4．若∠α＝70°，则∠β的度数是( )
A.30° B.35° C.40° D.45°
【强化训练2】如图，某轮船上午8时在A处测得灯塔S在其北偏东60°的方向上，向东行驶至中午12时，在B处测得灯塔S在其北偏西30°的方向上(自己完成图形)，已知轮船行驶的速度为20 km/h，则∠ASB＝________，AB的长为________km.
【强化训练3】一束光线经过三块平面镜反射，光路如图所示，∠α+∠β＝ °．
【强化训练4】如图，B岛在A岛的南偏西40°方向，C岛在A岛的南偏东15°方向，C岛在B岛的北偏东80°方向，求从C岛看A，B两岛的视角∠ACB的度数．
【强化训练5】如图是一种躺椅及其侧面结构示意图，扶手AB与底座CD都平行于地面，靠背DM与前支架OE平行，前支架OE与后支架OF分别与CD交于点G，D，AB与DM交于点N．当OE⊥OF，且∠ODC＝32°时，人躺着最舒服，求此时∠ANM的度数．北师大版（2024）八年级下册 1.1 三角形内角和定理 强化训练（参考答案）
【题型1】已知两角求第三角的大小
【典例】如图，小明书上的三角形被墨迹遮挡了一部分，测得剩余两个角的度数为44°，68°，于是他很快判断这个三角形是( )
A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形
【答案】B
【解析】如图所示，
依题意得∠A＝44°，∠B＝68°，
由三角形的内角和定理得∠C＝180°﹣(∠A+∠C)＝180°﹣(44°+68°)＝68°，
∴∠B＝∠C＝68°．
∴△ABC为等腰三角形．
故选：B．
【强化训练1】如图是一块三角形木板的残余部分，量得∠A＝100°，∠B＝40°，则这块三角形木板另外一个角的度数为( )
A.30° B.40° C.50° D.60°
【答案】B
【解析】另外一个角的度数＝180°－100°－40°＝40°.
故选B.
【强化训练2】如图，点E，D分别在AB，AC上．若∠B＝30°，∠C＝50°，则∠1+∠2＝ °．
【答案】80
【解析】∵∠1+∠2+∠A＝180°，∠B+∠C+∠A＝180°，
∴∠1+∠2＝∠B+∠C，
∵∠B＝30°，∠C＝50°，
∴∠1+∠2＝∠B+∠C＝30°+50°＝80°．
故答案为：80．
【强化训练3】在△ABC中，若∠A＝43°，∠B＝47°，则这个三角形是 ．
【答案】直角三角形
【解析】∵∠A＝43°，∠B＝47°，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝90°，
∴△ABC是直角三角形.
故答案为：直角三角形．
【题型2】已知两角或三角的数量关系求三角形内角
【典例】在△ABC中，∠A＝∠B＝∠C，则△ABC是( )
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定
【答案】B
【解析】设∠A＝x°，则∠B＝2x°，∠C＝3x°．
由∠A+∠B+∠C＝180°，得x+2x+3x＝180，
所以x＝30，故∠C＝30°×3＝90°，
∴△ABC是直角三角形．
故选：B．
【强化训练1】△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝2:3:4，则∠A的度数为( )
A.35° B.40° C.70° D.110°
【答案】B
【解析】∵△ABC中∠A∶∠B∶∠C＝2:3:4，
∴设∠A＝2x，∠B＝3x，∠C＝4x．
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴2x+3x+4x＝180°，解得x＝20°，
∴∠A＝2x＝40°．
故选：B．
【强化训练2】已知点D在△ABC内，若∠ABD= ∠ACD=则∠BDC等于( )
A.3∠A B.∠A C.120°+∠A D.60°+∠A
【答案】C
【解析】∵∠ABD=, ∠ACD=，
∴∠ABD+∠ACD＝(∠ABC+∠ACB)，
∴∠DBC+∠DCB＝(∠ABC+∠ACB)，
∵∠DBC+∠DCB＝180°﹣∠BDC，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
∴180°﹣∠BDC＝(180°﹣∠A)，
∴∠BDC＝120°+∠A．
故选：C．
【强化训练3】若三角形三个内角的比为1:2:3，则这个三角形最大的内角等于 ．
【答案】90°
【解析】这个三角形最大的内角等于180°×＝90°.
故答案为：90°．
【强化训练4】如图，在△ABC中，BD是∠ABC的平分线，且∠ABD＝∠A，∠C＝3∠A．
(1)求△ABC各内角的度数；
(2)求∠ADB的度数．
【答案】解：(1)∵BD是∠ABC的平分线，∠ABD＝∠A，
∴∠CBD＝∠ABD＝∠A，
∴∠ABC＝∠CBD+∠ABD＝2∠A，
∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，
∴∠A+2∠A+3∠A＝180°，
∴∠A＝30°，
∴∠ABC＝2∠A＝60°，∠C＝3∠A＝90°.
(2)由(1)可知∠ABD＝∠A＝30°，
∵∠ADB+∠ABD+∠A＝180°，
∴∠ADB＝180°﹣(∠ABD+∠A)＝120°．
【题型3】三角形内角和与平行线问题
【典例】如图，AB∥CD，∠D＝42°，∠CBA＝64°，则∠CBD的度数是( )
A.42° B.64° C.74° D.106°
【答案】C
【强化训练1】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝50°，DF∥EB．若∠D＝70°，则∠ACD的度数为( )
A.30° B.35° C.40° D.45°
【答案】A
【解析】∵△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝50°，
∴∠A＝40°，
∵DF∥EB，∠D＝70°，
∴∠D＝∠CEB＝70°，
∴∠AEC=180°-∠CEB=110°，
∴∠ACD＝180°-∠AEC﹣∠A＝70°﹣40°＝30°.
故选：A．
【强化训练2】如图，在△ABC中，DE∥BC，BD平分∠ABC交AC于点D.若∠BED＝136°，求∠EDB的度数．
【答案】解：∵DE∥BC，
∴∠EDB＝∠DBC.
又∵BD平分∠ABC交AC于点D，
∴∠EBD＝∠DBC，
∴∠EBD＝∠EDB.
又∵∠BED＋∠EBD＋∠EDB＝180°，
∴∠BED＋2∠EDB＝180°，
∴2∠EDB＝180°－∠BED＝180°－136°＝44°，
∴∠EDB＝22°.
【强化训练3】已知：如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F．∠BEF的平分线与∠DFE的平分线交于点G．直线EG，FG有何关系？写出证明过程．
解：EG⊥FG，理由是：
∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠DFE＝180°( )．
∵EG平分∠BEF，FG平分∠DFE，
∴∠GEF＝∠BEF，∠GFE＝∠DFE( )，
∴∠GEF+∠GFE＝(∠BEF+∠DFE)( )，
∴∠GEF+∠GFE＝×180°＝90°．
在△EFG中， ( )，
∴∠G＝180°﹣(∠GEF+∠GFE)＝180°﹣90°＝90°．
∴ ( )．
【答案】解：EG⊥FG，理由是：
∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠DFE＝180°(两直线平行，同旁内角互补)．
∵EG平分∠BEF，FG平分∠DFE，
∴∠GEF＝∠BEF，∠GFE＝∠DFE(角平分线定义)，
∴∠GEF+∠GFE＝(∠BEF+∠DFE)(等式的性质)，
∴∠GEF+∠GFE＝×180°＝90°．
在△EFG中，∠GEF+∠EFG+∠G＝180°(三角形的内角和为180°)，
∴∠G＝180°﹣(∠GEF+∠GFE)＝180°﹣90°＝90°．
∴EG⊥FG(垂直定义)．
故答案为：两直线平行，同旁内角互补；角平分线定义；等式的性质；∠GEF+∠EFG+∠G＝180°；三角形的内角和为180°；EG⊥FG；垂直定义．
【题型4】与三角形高线，角平分线相关的问题
【典例】如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且与BC相交于点D，∠B＝40°，∠BAD＝30°，则∠C的度数是( )
A.70° B.80° C.100° D.110°
【答案】B
【解析】∵AD平分∠BAC，∠BAD＝30°，
∴∠BAC＝2×30°＝60°，
∵∠B＝40°，
∴∠C＝180°－40°－60°＝80°.
故选：B.
【强化训练1】如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝50°，CD平分∠ACB，则∠ADC的度数是( )
A.80° B.90° C.100° D.110°
【答案】C
【解析】∠ACB＝180°－30°－50°＝100°，
因为CD平分∠ACB，
所以∠ACD＝50°，∠ADC＝180°－30°－50°＝100°.
故选：C .
【强化训练2】如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的角平分线BE，CD交于点F，∠EFC＝50°，则∠A的度数为 ．
【答案】80°
【解析】∵∠EFC＝50°，
∴∠BFC＝180°﹣∠EFC＝130°，
∴∠FBC+∠FCB＝180°﹣∠BFC＝50°，
∵∠ABC，∠ACB的角平分线BE，CD交于点F，
∴∠ABC＝2∠FBC，∠ACB＝2∠FCB，
∴∠ABC+∠ACB＝2(∠FBC+∠FCB)＝100°，
∴∠A＝180°﹣(∠ABC+∠ACB)＝80°．
故答案为：80°．
【强化训练3】如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，过点D作DE∥BC交AC于点E，∠A＝54°，∠B＝48°，求∠CDE的度数．
【答案】解：∵∠A＝54°，∠B＝48°，
∴∠ACB＝180°﹣54°﹣48°＝78°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD＝∠ACB＝39°，
∵DE∥BC，
∴∠CDE＝∠BCD＝39°．
【强化训练4】如图，在△ABC中，∠A＝50°，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，求∠BOC的度数．
【答案】解：∵由三角形内角和定理得，∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A＝130°，
∵BO，CO平分∠ABC，∠ACB，
∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠ACB，
∴∠1＋∠2＝∠ABC＋∠ACB＝(∠ABC＋∠ACB)＝×130°＝65°，
∴∠BOC＝180°－(∠1＋∠2)＝180°－65°＝115°.
【题型5】三角形内角和的实际应用
【典例】如图，一艘轮船在A处看见巡逻艇C在其北偏东62°的方向上，此时一艘客船在B处看见巡逻艇C在其北偏东13°的方向上．则此时在巡逻艇上看这两艘船的视角∠ACB的度数是( )
A.13° B.49° C.62° D.75°
【答案】B
【解析】由题意得，∠CAB＝90°﹣62°＝28°，∠ABC＝90°+13°＝103°，
∴∠ACB＝180° ∠CAB﹣∠ABC＝49°．
故选：B．
【强化训练1】如图，两面镜子AB，BC的夹角为∠α，当光线经过镜子后反射，∠1＝∠2，∠3＝∠4．若∠α＝70°，则∠β的度数是( )
A.30° B.35° C.40° D.45°
【答案】C
【解析】如图，
由题意得∠5＝180°﹣(∠1+∠2)＝180°﹣2∠2，∠6＝180°﹣(∠3+∠4)＝180°﹣2∠3，
∵∠α＝70°，
∴∠2+∠3＝180°﹣∠α＝110°，
∵∠β＝180°﹣(∠5+∠6)
∴∠β＝180°﹣(180°﹣2∠2+180°﹣2∠3)
＝2(∠2+∠3)﹣180°
＝2×110°﹣180°
＝220°﹣180°
＝40°．
故选：C．
【强化训练2】如图，某轮船上午8时在A处测得灯塔S在其北偏东60°的方向上，向东行驶至中午12时，在B处测得灯塔S在其北偏西30°的方向上(自己完成图形)，已知轮船行驶的速度为20 km/h，则∠ASB＝________，AB的长为________km.
【答案】90°；80
【解析】由图可知，
∠SAB＝90°－∠SAD＝90°－60°＝30°，∠SBA＝90°－∠SBC＝90°－30°＝60°，
∴∠ASB＝180°－∠SAB－∠SBA＝180°－30°－60°＝90°，
∴AB＝20×(12－8)＝80(km)．
故答案为：90°；80.
【强化训练3】一束光线经过三块平面镜反射，光路如图所示，∠α+∠β＝ °．
【答案】126
【解析】如图，
根据光线反射定律，可知入射光线与反射光线与平面镜的夹角相等，
在四边形ABCD中，∠ABC＝180°﹣2∠1，∠BCD＝180°﹣2∠2，
∴∠ABC+∠BCD＝180°﹣2∠1+180°﹣2∠2＝360°﹣2(∠1+∠2)，
∵∠1+∠2＝180°﹣117°＝63°，
∴∠ABC+∠BCD＝360°﹣2(∠1+∠2)＝360°﹣2×63°＝234°，
在四边形ABCD中，
∵∠ABC+∠BCD+∠α+∠β＝360°，
∴234°+∠α+∠β＝360°，
∴∠α+∠β＝126°．
故答案为：126°．
【强化训练4】如图，B岛在A岛的南偏西40°方向，C岛在A岛的南偏东15°方向，C岛在B岛的北偏东80°方向，求从C岛看A，B两岛的视角∠ACB的度数．
【答案】解：由题意得，BE∥AD，∠BAD＝40°，
∠CAD＝15°，∠EBC＝80°，
∴∠EBA＝∠BAD＝40°，∠BAC＝40°＋15°＝55°，
∴∠ABC＝∠EBC－∠EBA＝80°－40°＝40°，
∴∠ACB＝180°－∠BAC－∠ABC＝180°－55°－40°＝85°.
【强化训练5】如图是一种躺椅及其侧面结构示意图，扶手AB与底座CD都平行于地面，靠背DM与前支架OE平行，前支架OE与后支架OF分别与CD交于点G，D，AB与DM交于点N．当OE⊥OF，且∠ODC＝32°时，人躺着最舒服，求此时∠ANM的度数．
【答案】解：因为OE⊥OF，
所以∠GOD＝90°，(垂直的定义)
因为∠ODC＝32°，
所以∠OGD＝180°﹣∠GOD﹣∠ODC，(三角形三个内角的和等于180°)
所以∠OGD＝180°﹣90°﹣32°＝58°，
由题意，知AB∥CD，
所以∠AOE＝∠OGD＝58°，(两直线平行，内错角相等)
由题意，知DM∥OE，
所以∠AND＝∠AOE＝58°，(两直线平行，同位角相等)
所以∠ANM＝180°-∠AND =122°．(平角的定义)
