北师大版（2024）八年级下册 1.2 等腰三角形 强化训练
【题型1】等腰三角形与三角形内角和
【典例】已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1∶2，则这个等腰三角形顶角的度数为（ ）
A.36° B.36°或90° C.90° D.60°
【强化训练1】一个等腰三角形有一个角是40°，则它的底角是（ ）
A.40° B.70° C.60° D.40°或70°
【强化训练2】等腰三角形有一个外角是100°，这个等腰三角形的底角是 ．
【强化训练3】如图，已知在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=30°；试求∠B和∠C的度数．
【强化训练4】如图，在△ABC中，AB=AC，AD=DE=EB，BD=BC，试求∠A的度数．
【题型2】等腰三角形与平行线性质
【典例】如图，直线l1∥l2，以直线l1上的点A为圆心、适当长为半径画弧，分别交直线l1，l2于点B，C，连接AC，BC．若∠ABC=67°，则∠1等于（ ）
A.23° B.46° C.67° D.78°
【强化训练1】如图，AB∥CD，AD＝CD，∠1＝55°，则∠2的度数是( )
A.70° B.65° C.60° D.55°
【强化训练2】如图，在△ABC中，AB=AC，若AB∥CD，∠BCD=30°，则∠ACD的度数为（ ）
A.30° B.60° C.75° D.120°
【强化训练3】如图，在△ABC中，AB=AC，AD∥BC，∠BAC=130°，则∠DAC= °．
【强化训练4】如图，AB=AC=AD．
（1）如果AD∥BC，那么∠C和∠D有怎样的数量关系？证明你的结论；
（2）如果∠C=2∠D，那么你能得到什么结论？证明你的结论．
【强化训练5】如图，已知AB=AC=AD，且AD∥BC，求证：∠C=2∠D．
【题型3】等腰三角形的三线合一
【典例】如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，BE⊥AC，则下列结论不正确的是（ ）
A.BD=DC B.CE=AE C.∠BAD=∠CAD D.∠CBE=∠DAC
【强化训练1】如图，△ABC中，AB=AC，点D是BC边上的中点，点E在AD上，那么下列结论不一定正确的是（ ）
A.AD⊥BC B.∠EBC=∠ECB C.∠ABE=∠ACE D.AE=BE
【强化训练2】如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，∠BAD=36°，则∠BAC的度数为____________．
【强化训练3】如图所示，在△ABC中，AD⊥BC，AB＝AC，∠BAD＝20°，AD＝AE，求∠EDC的度数．
【题型4】定义法判定等腰三角形
【典例】如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1．已知A，B是两格点，若△ABC为等腰三角形，且S△ABC=1.5，则满足条件的格点C有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【强化训练1】如果D是△ABC中BC边上一点，并且△ADB≌△ADC，则△ABC是（ ）
A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形
【强化训练2】在△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°．用无刻度的直尺和圆规在BC边上找一点D，使△ACD为等腰三角形．下列作法正确的有 个．
【强化训练3】如图，已知BE=CE，∠B=∠C，求证：△AED是等腰三角形．
【强化训练4】如图，已知AB＝DC，BD＝CA，BD与CA相交于点E.求证：△AED是等腰三角形．
【题型5】等腰三角形的判定与三角形内角和
【典例】若一个三角形的三个外角的度数之比为5∶4∶5，则这个三角形是（ ）
A.等腰三角形，但不是等边三角形，也不是等腰直角三角形
B.直角三角形，但不是等腰三角形
C.等腰直角三角形
D.等边三角形
【强化训练1】在△ABC中，∠ABC=30°，∠BAC=70°．过△ABC的顶点画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（ ）
A.7条 B.8条 C.9条 D.10条
【强化训练2】在△ABC中，其两个内角如下，则能判定△ABC为等腰三角形的是（ ）
A.∠A=50°，∠B=60°
B.∠A=30°，∠B=75°
C.∠A=20°，∠B=100°
D.∠A=40°，∠B=60°
【强化训练3】如果一个三角形有两个角分别为80°，50°，则这个三角形是___________三角形．
【强化训练4】在△ABC中，∠A=100°，当∠B= °时，△ABC是等腰三角形．
【强化训练5】如图，AD=BC，AC=BD，求证：△EAB是等腰三角形．
【强化训练6】如图，∠ACB=90°，AC=AD，DE⊥AB，求证：△CDE是等腰三角形．
【题型6】等腰三角形判定与角平分线、平行线综合
【典例】在△ABC中，∠ABC=∠C=2∠A，BD是∠ABC的平分线，DE∥BC，则图中等腰三角形的个数是（ ）
A.5 B.4 C.3 D.2
【强化训练1】如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=108°，∠ADB=72°，DE平分∠ADB，则图中等腰三角形的个数是（ ）
A.3 B.4 C.5 D.6
【强化训练2】如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，∠BAC的平分线AF交CD于E，则△CEF必为（ ）
A.等边三角形
B.等腰三角形
C.直角三角形
D.等腰直角三角形
【强化训练3】如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于点M，交AC于点N，若BM＋CN＝9，则线段MN的长为________．
【强化训练4】如图，AD∥BC，BD平分∠ABC，则图中的等腰三角形是 ．
【强化训练5】已知在△ABC中，∠ACB的平分线CD交AB于点D，DE∥BC．
（1）如图1，求证：△CDE是等腰三角形；
（2）如图2，若DE平分∠ADC交AC于E，∠ABC=30°，在BC边上取点F使BF=DF，若BC=12，求DF的长．
【强化训练6】已知：如图，E为△ABC的外角平分线上的一点，AE∥BC，BF=AE，求证：
（1）△ABC是等腰三角形；
（2）AF=CE．
【题型7】等腰三角形的性质与判定
【典例】如图，已知钝角三角形ABC，按以下步骤尺规作图，并保留作图痕迹．
步骤1：以C为圆心，CB为半径画弧①；
步骤2：以A为圆心，AB为半径画弧②，交弧①于点D；
步骤3：连接BD，交AC的延长线于点E．
下列叙述正确的是（ ）
A.BC平分∠ABD B.AB=BD C.AE=BD D.BE=DE
【强化训练1】如图，在等腰△ABC中，AB=AC，BD为∠ABC的平分线，∠A=36°，△ABD的周长为a,BC=b,则△ABC的周长为（ ）
A.a+b B.2a-b C.2a-2b D.2a-3b
【强化训练2】如图，已知AB=AE，BC=ED，∠B=∠E，AF⊥CD，F为垂足.
求证：
(1)AC=AD；
(2)CF=DF．
【强化训练3】如图所示，D为△ABC的边AB的延长线上一点，过D作DF⊥AC，垂足为F，交BC于E，且BD=BE，求证：△ABC是等腰三角形．
【题型8】等边三角形的三条边相等
【典例】已知等边△ABC的一边长为10，则它的周长是（ ）
A.10 B.20 C.30 D.40
【强化训练1】如图是一个等边三角形木框，甲虫P在边框AC上爬行（A，C端点除外），设甲虫P到另外两边的距离之和为d，等边三角形ABC的高为h，则d与h的大小关系是（ ）
A.d＞h B.d＜h C.d=h D.无法确定
【强化训练2】如图所示，已知等边三角形ABC的边长为1，按图中所示的规律，用2024个这样的三角形镶嵌而成的四边形的周长是 ．
【强化训练3】等边三角形边长为1cm，则它周长为 cm．
【题型9】等边三角形的三个角都等于60°
【典例】已知如图，等边△ABC中，D是AB上一点，∠EDF=60°，则∠AED等于（ ）
A.∠B B.∠BFD C.∠ADE D.∠BDF
【强化训练1】如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE交AD于点F，则∠DFE的度数为 （ ）
A.45° B.55° C.60° D.75°
【强化训练2】如图，△ABC是等边三角形，则∠1+∠2等于（ ）
A.60° B.90° C.120° D.180°
【强化训练3】点D为等边三角形内部一点，∠DCB=∠ABD，则∠BDC的度数为 ．
【强化训练4】如图，△ABC是等边三角形，则∠ABD= 度．
【强化训练5】如图，等边△ABC，∠1=∠2=∠3，求∠BEC的度数．
【题型10】等边三角形中的三线合一
【典例】在等边△ABC中，已知BC边上的中线AD=16，则∠BAC的平分线长等于（ ）
A.4 B.8 C.16 D.32
【强化训练1】等边三角形ABC的两条角平分线BD和CE相交所夹锐角的度数为（ ）
A.75° B.60° C.45° D.30°
【强化训练2】如图，等边△ABC周长是12，AD是∠BAC的平分线，则BD= ．
【强化训练3】在等边△ABC中，AD⊥BC，BD=3，则AB= ．
【强化训练4】如图：△ABC和△ADE是等边三角形，AD是BC边上的中线．求证：BE=BD．
【强化训练5】如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，延长BC到点E，使得CE＝CD.求证：BD＝DE.
【题型11】等边三角形的性质与平行线的性质
【典例】已知，如图，l∥m，等边△ABC的顶点B在直线m上，边BC与直线m所夹锐角为20°，则∠α的度数为（ ）
A.60° B.45° C.40° D.30°
【强化训练1】如图，在边长为4的等边△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，DE∥BC，则△ADE的周长是( )
A.2 B.4 C.6 D.8
【强化训练2】如图，已知直线l1∥l2，将等边三角形如图放置，若∠α=40°，则∠β= ．
【强化训练3】如图，等边△ABC中，CD平分∠ACB，DE∥BC．求证：DE=DB．
【强化训练4】已知，如图，等边三角形ABC中，D为AC边的中点，过C作CE∥AB，且AE⊥CE，那么∠CAE=∠ABD吗？请说明理由．
【题型12】等边三角形的性质与垂直
【典例】如图，等边△ABC中，BD=CE，AD与BE交于P，AQ⊥BE，垂足为Q，PD=2，PQ=6，则BE的长为（ ）
A.14 B.13 C.12 D.无法求出
【强化训练1】如图，△APB与△CDP是两个全等的等边三角形，且PA⊥PD，有下列四个结论：①∠PBC=15°；②AD∥BC；③直线PC与AB垂直．其中正确的有（ ）
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
【强化训练2】如图，在等边△ABC中，点D为BC边上的点，DE⊥BC交AB于E，DF⊥AC交AC于F，则∠EDF的度数为 ．
【强化训练3】如图，在等边三角形ABC中，点P是AB边上的任意一点（点P不与点A、点B重合），过点P作PD⊥AB，交直线BC于点D，作PE⊥AC，垂足为点F．求∠APE的度数.
【强化训练4】如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC于点D，BD=2，以AD为一边向右作等边三角形ADE．
（1）求△ABC的周长；
（2）判断AC，DE的位置关系，并给出证明．
【题型13】等边三角形的性质综合
【典例】如图，已知等边△AEB和等边△BDC在线段AC同侧，则下面错误的是（ ）
A.△ABD≌△EBC
B.△NBC≌△MBD
C.DM=DC
D.∠ABD=∠EBC
【强化训练1】下面关于“等边三角形”的说法不正确的是（ ）
A.等边三角形的三条边都相等
B.等边三角形的三个内角都相等且都等于60°
C.等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴
D.等边三角形与等腰三角形具有相同的性质
【强化训练2】△ABC为等边三角形，点M是射线BC上任意一点，点N是射线CA上任意一点，且BM=CN，直线AM与BN相交于Q点，∠AQN的度数为 ．
【强化训练3】如图，△ABD，△ACE都是等边三角形，BE和CD交于O点，则∠BOC= 度．
【强化训练4】已知如图所示，在等边△ABC和等边△ADE中，点B，A，D在一条直线上，BE，CD交于F．
（1）求证：△BAE≌△CAD；
（2）求∠BFC的大小；
（3）在图1的基础上，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°，此时BE交CD的延长线于点F，其他条件不变，得到图2所示的图形，请直接写出（1）（2）中结论是否仍然成立．
【强化训练5】如图，等边△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，E为AD上一点，以BE为一边且在BE下方等边△BEF，连接CF．
（1）求证：AE=CF；
（2）求∠ACF的度数．
【题型14】定义判定等边三角形
【典例】用等长的小木棒拼三角形，至少3根可拼成1个等边三角形，至少5根可拼成2个等边三角形，至少7根可拼成3个等边三角形，若拼成13个等边三角形，至少需要小木棒的根数为（ ）
A.39 B.27 C.24 D.25
【强化训练1】若一个三角形的两个角的平分线分别垂直对边，则这个三角形是（ ）
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等边三角形
D.等腰直角三角形
【强化训练2】三角形中任意一角的平分线都是这角对所边上的中线，对这个三角形最准确的判断是（ ）
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等边三角形
D.等腰直角三角形
【强化训练3】在8个点形成的格点图中，每一点与其相邻的点之间的距离都等于1，那么图中以格点为顶点的等边三角形的个数为 ．
【强化训练4】如图，以A，B两点为其中两个顶点作位置不同的等边三角形，最多可以作出______个．
【强化训练5】如图，△ABC是等边三角形，分别延长AB至F，BC至D，CA至E，使AF=3AB，BD=3BC，CE=3CA，求证：△DEF是等边三角形．
【强化训练6】如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BD于点D，E是AD延长线上的一点，且BC=BE，请判断△BCE的形状，并证明你的结论．
【题型15】三个角都相等的三角形是等边三角形
【典例】有一个外角是120°，另外两个外角相等的三角形（ ）
A.可以是顶角不为60°等腰三角形
B.仅有等边三角形
C.一角为60°的非等腰三角形
D.不能确定
【强化训练1】在△ABC中，∠A+∠B=120°，∠C=∠A，则△ABC是（ ）
A.钝角三角形
B.等腰直角三角形
C.直角三角形
D.等边三角形
【强化训练2】△ABC中，AB=3，∠A=∠B=60°，那么BC= ．
【强化训练3】如图，已知△ABC中，∠ACB=120°，CE平分∠ACB，AD∥EC，交BC的延长线于点D.
（1）求∠BCE的度数；
（2）试找出图中的等边三角形，并说明理由．
【题型16】有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
【典例】等腰△ABC的顶角A为120°，过底边上一点D作底边BC的垂线交AC于E，交BA的延长线于F，则△AEF是（ ）
A.等边三角形
B.直角三角形
C.等腰直角三角形
D.等腰但非等边三角形
【强化训练1】若一个三角形成轴对称图形，且有一个内角为60°，则这个三角形一定是（ ）
A.直角三角形
B.等腰直角三角形
C.等边三角形
D.上述三种情形都有可能
【强化训练2】一个等腰三角形的一条边长为7，一个外角为120°，则这个三角形的周长为 ．
【强化训练3】如图，将两个完全相同的含有30°角的三角板拼接在一起，则拼接后的△ABD的形状是 ．
【强化训练4】已知，如图，△ABC中，点D是BC边上的一点，∠ADE=∠ABC=60°，DE交∠ABC的外角平分线于点E．求证：△ADE是等边三角形．
【题型17】等边三角形的性质和判定
【典例】如图，已知，B是线段AD上的一点，△ABC，△BDE均为等边三角形，AE交BC于P，CD交BE于Q．则下列结论成立的有（ ）
（1）AE=CD；（2）BP=BQ；（3）PQ∥AD；（4）CQ=CA；（5）EP=QD．
A.5个 B.2个 C.3个 D.4个
【强化训练1】如图，E是等边△ABC中AC边上的点，∠1=∠2，BE=CD，则△ADE的形状是（ ）
A.等腰三角形
B.等边三角形
C.不等边三角形
D.不能确定形状
【强化训练2】如图所示，已知，AB=BC=AC，CD=DE=EC，求证：AD=BE．
【强化训练3】如图，已知等边△ABC，P在AC延长线上一点，以PA为边作等边△APE，EC延长线交BP于M，连接AM.
求证：（1）BP=CE；
（2）EM﹣PM=AM．
【题型18】等边三角形和等腰三角形的性质
【典例】如图，△ABC中，AB=AC，以AB，AC为边在△ABC的外侧作两个等边三角形△ABE和△ACD，且∠EDC=40°，则∠ABC的度数为（ ）
A.75° B.80° C.70° D.85°
【强化训练1】下列命题：①等腰三角形的角平分线、中线和高重合；②等腰三角形两腰上的高相等；③等腰三角形的最短边是底边；④等边三角形的高、中线、角平分线都相等；⑤等腰三角形都是锐角三角形其中正确的有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【强化训练2】如图，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝__________度．
【强化训练3】如图，△ABC是等边三角形，△ADE是等腰三角形，AD=AE，∠DAE=80°，当DE⊥AC时，求∠BAD和∠EDC的度数．
【题型19】等边三角形的性质和等腰三角形的判定
【典例】如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC到E，使CE=CD，连接DE．下面给出的四个结论，其中正确的个数是（ ）
①BD⊥AC；②BD平分∠ABC；③BD=DE；④∠BDE=120°．
A.1 B.2 C.3 D.4
【强化训练1】如图，△ABC为等边三角形，BD是中线，延长BC到E，使CE=CD，若△ABC的周长为18，BD=a，则△BDE的周长为（ ）
A.9+a B.12+2a C.12+a D.9+2a
【强化训练2】如图，△ABC是等边三角形，∠CBD=90°，BD=BC，则∠1的度数是 ．
【强化训练3】已知，如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC到E，使CE=CD，不添加辅助线，请你写出四个正确结论① ；② ；③ ；④ ．
【强化训练4】如图，等边△ABC绕点A顺时针旋转到△ADE，BC与DE相交于点F，连接AF并延长，交BE于点G，求证：AF⊥BE．
【强化训练5】如图，在等边三角形ABC中，D是BC边的中点，E是AB延长线上的一点，且BE=BD．
（1）求∠BAD和∠BDE的度数；
（2）求证：AD=DE．
【题型20】含30°角的直角三角形的性质
【典例】如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD平分∠CAB交BC于点D，E为AB上一点，连接DE，则下列说法错误的是（ ）
A.∠CAD=30° B.AD=BD C.BD=2CD D.CD=ED
【强化训练1】已知∠ACB的角平分线CE，O是CE上一点，OP∥BC，PO=2，OD⊥CB于D，∠ACE=15°，则OD的长是（ ）
A. B.1 C.2 D.3
【强化训练2】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB，DE恰好是∠ADB的平分线．CD与DB有怎样的数量关系？请说明理由．
【强化训练3】在Rt△ABD中，∠ADB=90°,∠A=60°,作DC∥AB,且∠DBC=∠BDC,DC与BC交于点C，已知CD=4.
（1）求∠CBD的度数；
（2）求AB的长.
【题型21】含30°角的直角三角形与等腰三角形
【典例】如图，∠DAE=∠FAD=15°，DE∥AB，DF⊥AB，若AE=8，则DF等于（ ）
A.5 B.4 C.3 D.2
【强化训练1】将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上．另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，如图，则三角板的最大边的长为（ ）
A.3cm B.6cm C.3cm D.6cm
【强化训练2】等腰三角形一腰上的高等于这腰的一半，则这个等腰三角形的顶角等于（ ）
A.30° B.60° C.30°或150° D.60°或120°
【强化训练3】如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥AB，交BC于点D，且∠CAD=30°，CD=3，则BD= ．
【强化训练4】△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D为BC上一点，DA⊥AB，AD=24，则BC=______．
【强化训练5】某幼儿园有一块等腰三角形菜地，AB＝AC＝10 m，∠C＝75°，现如今要将它划分为两块面积相等的菜地给大一班和大二班进行蔬菜种植，若点D为AB的中点，连接CD．求△ACD的面积．
【题型22】含30°角的直角三角形与等边三角形
【典例】如图，△ABC为等边三角形，BD为∠ABC的平分线，交AC于D，DE⊥BC，垂足为E，若EC=1cm，则AB的长度为（ ）
A.2cm B.3cm C.4cm D.5cm
【强化训练1】如图，△ABC是边长为a的等边三角形，D是BC边的中点，DE⊥AC于E，则CE的长为（ ）
A. a B. a C. a D.a
【强化训练2】如图，△ABC是等边三角形，AE=CD，AD，BE相交于点P，BQ⊥AD于Q，PQ=3，PE=1，则AD的长是（ ）
A.7 B.6 C.5 D.4
【强化训练3】如图，△ABC是边长为6的等边三角形，DE⊥BC于E，EF⊥AC于F，FD⊥AB于D，则AD= ．
【强化训练4】如图，在等边三角形ABC中AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BE=2，则AF= ．
【强化训练5】如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°，BD 是 △ABC 的角平分线，DE⊥AB 于点 E，连接 EC，求证：△EBC 是等边三角形.
【强化训练6】如图，点D是等边△ABC的BC边的中点，DE⊥AC．求证：AB＝4EC．
【题型23】反证法
【典例】用反证法证明“是无理数”时，最恰当的证法是先假设（ ）
A.是分数
B.是整数
C.是有理数
D.是实数
【强化训练1】用反证法证明“若实数a,b满足ab=0，则a,b中至少有一个是0”时，应先假设（ ）
A.a,b中至多有一个是0
B.a,b中至少有两个是0
C.a,b中没有一个是0
D.a,b都等于0
【强化训练2】用反证法证明“如果|a|＞a,那么a＜0”是真命题时，第一步应先假设 ．
【强化训练3】用反证法证明：“等腰三角形的底角必是锐角”的第一步反设是： ．
【强化训练4】用反证法证明下列问题：
如图，在△ABC中，点D，E分别在AC，AB上，BD，CE相交于点O．求证：BD和CE不可能互相平分．
【强化训练5】用反证法求证：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
已知：如图，∠1是△ABC的一个外角．
求证：∠1=∠A+∠B．北师大版（2024）八年级下册 1.2 等腰三角形 强化训练（参考答案）
【题型1】等腰三角形与三角形内角和
【典例】已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1∶2，则这个等腰三角形顶角的度数为（ ）
A.36° B.36°或90° C.90° D.60°
【答案】B
【解析】在△ABC中，设∠A=x，∠B=2x，分情况讨论：
当∠A=∠C为底角时，x+x+2x=180°，解得x=45°，顶角∠B=2x=90°；
当∠B=∠C为底角时，2x+x+2x=180°，解得x=36°，顶角∠A=x=36°．
故这个等腰三角形的顶角度数为90°或36°．故选B．
【强化训练1】一个等腰三角形有一个角是40°，则它的底角是（ ）
A.40° B.70° C.60° D.40°或70°
【答案】D
【解析】当40°的角为等腰三角形的顶角时，底角(180°-40°) ÷2=70°；当40°的角为等腰三角形的底角时，其底角为40°，故它的底角的度数是70°或40°．故选D．
【强化训练2】等腰三角形有一个外角是100°，这个等腰三角形的底角是 ．
【答案】50°或80°
【解析】①若100°的外角是此等腰三角形的顶角的邻角，则此顶角为180°﹣100°=80°，则其底角为（180°﹣80°）÷2=50°；②若100°的外角是此等腰三角形的底角的邻角，则此底角为180°﹣100°=80°；故这个等腰三角形的底角为50°或80°．故答案为50°或80°．
【强化训练3】如图，已知在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=30°；试求∠B和∠C的度数．
【答案】解 在△ABC中，AB=AD=DC，∵AB=AD，∠BAD=30°，
∴∠B=∠ADB=×（180°﹣30°）=75°，
又∵AD=DC，
∴∠C=∠DAC∴∠ADB=∠C+∠DAC=2∠C，
∴∠C=∠ADB=37.5°．∴∠B=75°，∠C=37.5°．
【强化训练4】如图，在△ABC中，AB=AC，AD=DE=EB，BD=BC，试求∠A的度数．
【答案】解 设∠EBD=a，∵AD=DE=BE，BD=BC，AC=AB，
∴∠A=∠AED，∠EBD=∠EDB=a，∠C=∠BDC=∠ABC，
∵∠AED=∠EBD+∠EDB=2∠EBD=2a，
∴∠A=2∠EBD=2a，
∵∠BDC=∠A+∠EBD=3∠EBD=3a，
∴∠C=3∠EBD=3a，∵∠A+∠C+∠ABC=180°，
∴2a+3a+3a=180°，∴a=22.5°．
∴∠A=2a=45°．
【题型2】等腰三角形与平行线性质
【典例】如图，直线l1∥l2，以直线l1上的点A为圆心、适当长为半径画弧，分别交直线l1，l2于点B，C，连接AC，BC．若∠ABC=67°，则∠1等于（ ）
A.23° B.46° C.67° D.78°
【答案】B
【解析】根据题意得AB=AC，∴∠ACB=∠ABC=67°，∵直线l1∥l2，∴∠1+∠ACB+∠ABC =180°，
∴∠1=180°﹣∠ABC﹣∠ACB=180°﹣67°﹣67°=46°．故选B．
【强化训练1】如图，AB∥CD，AD＝CD，∠1＝55°，则∠2的度数是( )
A.70° B.65° C.60° D.55°
【答案】A
【解析】∵AB∥CD，∴∠1＝∠ACD＝55°，
又AD＝CD，
∴∠ACD＝∠CAD＝55°，
∴∠2＝180°－2×55°＝70°.
【强化训练2】如图，在△ABC中，AB=AC，若AB∥CD，∠BCD=30°，则∠ACD的度数为（ ）
A.30° B.60° C.75° D.120°
【答案】B
【解析】∵AB∥CD，∠BCD=30°，
∴∠B=∠BCD=30°．
∵AB=AC，∴∠ACB=∠B=30°，
∴∠ACD=∠ACB+∠BCD=30°+30°=60°．故选B．
【强化训练3】如图，在△ABC中，AB=AC，AD∥BC，∠BAC=130°，则∠DAC= °．
【答案】25
【解析】∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠BAC=130°，∴∠C=（180°-130°）÷2=25°，∵AD∥BC，∴∠DAC=∠C=25°．故答案为25．
【强化训练4】如图，AB=AC=AD．
（1）如果AD∥BC，那么∠C和∠D有怎样的数量关系？证明你的结论；
（2）如果∠C=2∠D，那么你能得到什么结论？证明你的结论．
【答案】解 （1）∠C=2∠D，证明：∵AD∥BC，∴∠D=∠DBC，又∵AB=AD，∴∠D=∠ABD，∴∠ABC=2∠D，∵AB=AC，∴∠C=∠ABC=2∠D．
（2）AD∥BC，证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=2∠D，又∵AB=AD，∴∠ABD=∠D，∴∠DBC=∠D，∴AD∥BC．
【强化训练5】如图，已知AB=AC=AD，且AD∥BC，求证：∠C=2∠D．
【答案】证明 ∵AB=AC=AD，
∴∠C=∠ABC，∠D=∠ABD，
∴∠ABC=∠CBD+∠D，
∵AD∥BC，∴∠CBD=∠D，
∴∠ABC=∠D+∠D=2∠D，
又∵∠C=∠ABC，∴∠C=2∠D．
【题型3】等腰三角形的三线合一
【典例】如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，BE⊥AC，则下列结论不正确的是（ ）
A.BD=DC B.CE=AE C.∠BAD=∠CAD D.∠CBE=∠DAC
【答案】B
【解析】∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD，∠BAD=∠CAD，故A，C正确；∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠ADC=∠BEC=90°，∴∠CBE=90°﹣∠C，∠DAC=90°﹣∠C，∴∠CBE=∠DAC，故D正确；∵AB≠BC，AD⊥BC，∴CE≠AE．故选B．
【强化训练1】如图，△ABC中，AB=AC，点D是BC边上的中点，点E在AD上，那么下列结论不一定正确的是（ ）
A.AD⊥BC B.∠EBC=∠ECB C.∠ABE=∠ACE D.AE=BE
【答案】D
【解析】∵AB=AC，点D是BC边上的中点，∴AD⊥BC，故A选项正确；
∴EB=EC，∴∠EBC=∠ECB，故B选项正确；
又∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠ABC﹣∠EBC=∠ACB﹣∠ECB，即∠ABE=∠ACE，故C选项正确；
根据题目条件无法得到∠ABE=∠BAE，所以，AE=BE不一定正确，故D选项错误．
故选D．
【强化训练2】如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，∠BAD=36°，则∠BAC的度数为____________．
【答案】72°
【解析】∵在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，∴∠BAC=2∠BAD=2×36°=72°．故答案为72°．
【强化训练3】如图所示，在△ABC中，AD⊥BC，AB＝AC，∠BAD＝20°，AD＝AE，求∠EDC的度数．
【答案】解 ∵AD⊥BC，AB＝AC，∠BAD＝20°，
∴∠CAD＝∠BAD＝20°，∠ADC＝90°，
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED＝80°，
∴∠EDC＝∠ADC－∠ADE＝10°.
【题型4】定义法判定等腰三角形
【典例】如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1．已知A，B是两格点，若△ABC为等腰三角形，且S△ABC=1.5，则满足条件的格点C有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】B
【解析】如图，分情况讨论．
①AB为等腰△ABC底边时，符合△ABC为等腰三角形的C点有4个；
②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合△ABC为等腰三角形的C点有4个．
因为S△ABC=1.5，所以满足条件的格点C只有2个．故选B．
【强化训练1】如果D是△ABC中BC边上一点，并且△ADB≌△ADC，则△ABC是（ ）
A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形
【答案】D
【解析】∵△ADB≌△ADC，∴AB=AC，∴△ABC是等腰三角形．故选D．
【强化训练2】在△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°．用无刻度的直尺和圆规在BC边上找一点D，使△ACD为等腰三角形．下列作法正确的有 个．
【答案】3
【解析】第一图，由作图可知CA=CD，△ADC是等腰三角形，故正确．
第二图，由作图可知AD是△ABC的角平分线，推不出△ADC是等腰三角形，故错误．
第三图，由作图可知BA=BD可推出BD=CD=AD，即△ADC是等腰三角形，故正确．
第四图，由作图可知DA=CD，△ADC是等腰三角形，故正确．
故答案为3
【强化训练3】如图，已知BE=CE，∠B=∠C，求证：△AED是等腰三角形．
【答案】证明 ∵∠AEB=∠DEC，BE=CE，∠B=∠C，
∴∠ABE≌∠DCE，∴AE=DE，∴AED为等腰三角形．
【强化训练4】如图，已知AB＝DC，BD＝CA，BD与CA相交于点E.求证：△AED是等腰三角形．
【答案】证明 ∵AB＝DC，BD＝CA，AD＝DA，
∴△ABD≌△DCA(SSS)，
∴∠ADB＝∠DAC(全等三角形的对应角相等)，
∴AE＝DE(等角对等边)，
∴△AED是等腰三角形．
【题型5】等腰三角形的判定与三角形内角和
【典例】若一个三角形的三个外角的度数之比为5∶4∶5，则这个三角形是（ ）
A.等腰三角形，但不是等边三角形，也不是等腰直角三角形
B.直角三角形，但不是等腰三角形
C.等腰直角三角形
D.等边三角形
【答案】A
【解析】根据三角形的外角和为360°，可知三个外角中没有一个为90°，即这个三角形一定不是直角三角形，因为只有两个外角相等，所以有两个内角相等，所以选A．
【强化训练1】在△ABC中，∠ABC=30°，∠BAC=70°．过△ABC的顶点画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（ ）
A.7条 B.8条 C.9条 D.10条
【答案】A
【解析】如图，
∴最多画7条．故选A．
【强化训练2】在△ABC中，其两个内角如下，则能判定△ABC为等腰三角形的是（ ）
A.∠A=50°，∠B=60°
B.∠A=30°，∠B=75°
C.∠A=20°，∠B=100°
D.∠A=40°，∠B=60°
【答案】B
【解析】A．∵∠A=50°，∠B=60°，∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=70°，即∠A≠∠B≠∠C，∴△ABC不是等腰三角形，故本选项错误；
B．∵∠A=30°，∠B=75°，∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=75°，即∠B=∠C，∴△ABC是等腰三角形，故本选项正确；
C．∵∠A=20°，∠B=100°，∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=60°，即∠A≠∠B≠∠C，∴△ABC不是等腰三角形，故本选项错误；
D．∵∠A=40°，∠B=60°，∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=80°，即∠A≠∠B≠∠C，∴△ABC不是等腰三角形，故本选项错误．故选B．
【强化训练3】如果一个三角形有两个角分别为80°，50°，则这个三角形是___________三角形．
【答案】等腰
【解析】三角形有两个角分别为80°，50°，那么第三个角为180°-80°-50°=50°，所以有两个角相等，这个三角形是等腰三角形.
【强化训练4】在△ABC中，∠A=100°，当∠B= °时，△ABC是等腰三角形．
【答案】40
【解析】∵△ABC是等腰三角形，∠A=100°，∴∠B=(180°-100°)÷2=40°．故答案为：40．
【强化训练5】如图，AD=BC，AC=BD，求证：△EAB是等腰三角形．
【答案】证明 在△ADB和△BCA中，AD=BC，AC=BD，AB=BA，
∴△ADB≌△BCA（SSS）．
∴∠DBA=∠CAB．
∴AE=BE．
∴△EAB是等腰三角形．
【强化训练6】如图，∠ACB=90°，AC=AD，DE⊥AB，求证：△CDE是等腰三角形．
【答案】证明 ∵DE⊥AB，
∴∠ADE=90°，
∴∠ADE=∠ACB．∵AC=AD，
∴∠ACD=∠ADC，
∴∠ECD=∠EDC，
∴CE=DE，即△CDE是等腰三角形．
【题型6】等腰三角形判定与角平分线、平行线综合
【典例】在△ABC中，∠ABC=∠C=2∠A，BD是∠ABC的平分线，DE∥BC，则图中等腰三角形的个数是（ ）
A.5 B.4 C.3 D.2
【答案】A
【解析】∵∠ABC=∠C=2∠A，∴AB=AC，∴△ABC为等腰三角形，∵∠ABC+∠C+∠A=180°，∴2∠A+2∠A+∠A=180°，∴∠A=36°，∵DE∥BC，∴∠AED=∠ABC=∠ADE=∠C=72°，∠EDB=∠DBC，∴AE=AD，∴△AED为等腰三角形，∵BD平分∠ABC，∴∠EBD=∠DBC，∴∠EBD=∠DBC=∠EDB=∠A=36°，∴ED=BE，AD=BD，∴△ADB，△EBD为等腰三角形，∴∠BDC=180°﹣∠C﹣∠DBC=72°=∠C，∴△BCD为等腰三角形，∴等腰三角形共有5个．故选A．
【强化训练1】如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=108°，∠ADB=72°，DE平分∠ADB，则图中等腰三角形的个数是（ ）
A.3 B.4 C.5 D.6
【答案】C
【解析】∵AB=BA，∴△ABC是等腰三角形，∠C=∠B=(180°-108°)÷2=36°，∴∠BAD=180°﹣∠B﹣∠ADB=180°﹣36°﹣72°=72°=∠ADB，∴AB=BD，∴△ADB是等腰三角形，∠DAC=∠BAC﹣∠BAD=108°﹣72°=36°=∠C，∴CD=AD，∴△ACD是等腰三角形，∵DE平分∠ADB，∴∠BDE=∠ADE=36°=∠B，∴BE=ED，∴△EBD是等腰三角形，∠AED=180°﹣72°﹣36°=72°=∠EAD，∴ED=AD，∴△AED是等腰三角形，∴共有5个等腰三角形．故选C．
【强化训练2】如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，∠BAC的平分线AF交CD于E，则△CEF必为（ ）
A.等边三角形
B.等腰三角形
C.直角三角形
D.等腰直角三角形
【答案】B
【解析】如图，∵AF是∠BAC的平分线，∴∠1=∠2，∵∠ACB=90°，CD是AB边上的高，∴∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90°，∴∠3=∠4，∵∠5=∠4（对顶角相等），∴∠3=∠5，∴CE=CF，∴△CEF是等腰三角形．故选B．
【强化训练3】如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于点M，交AC于点N，若BM＋CN＝9，则线段MN的长为________．
【答案】9
【强化训练4】如图，AD∥BC，BD平分∠ABC，则图中的等腰三角形是 ．
【答案】△ABD
【解析】∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，∵AD∥BC，∴∠CBD=∠ADB，∴∠ABD=∠ADB，∴AB=AD，故△ABD是等腰三角形．故答案为：△ABD．
【强化训练5】已知在△ABC中，∠ACB的平分线CD交AB于点D，DE∥BC．
（1）如图1，求证：△CDE是等腰三角形；
（2）如图2，若DE平分∠ADC交AC于E，∠ABC=30°，在BC边上取点F使BF=DF，若BC=12，求DF的长．
【答案】（1）证明 ∵CD是∠ACB的平分线，∴∠BCD=∠ACD，
∵DE∥BC，∴∠BCD=∠EDC，∴∠EDC=∠ACD，∴ED=EC，
即△CDE是等腰三角形．
（2）解 ∵DE∥BC，∠ABC=30°，∴∠ADE=∠ABC=30°，
又∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠CDE=30°，
由（1）可知∠ACD=∠BCD=∠CDE=30°，
∵BF=DF，
∴∠B=∠BDF=30°，
∴∠DFC=30°+30°=60°，
在Rt△DFC中，∠FDC=90°，∠FCD=30°，
∴DF＝FC，
又∵DF=BF，BC=12，
∴DF＝BC＝×12＝4．
【强化训练6】已知：如图，E为△ABC的外角平分线上的一点，AE∥BC，BF=AE，求证：
（1）△ABC是等腰三角形；
（2）AF=CE．
【答案】证明 （1）∵AE∥BC，
∴∠DAE=∠B，∠EAC=∠ACB，
∵E为△ABC的外角平分线上的一点，
∴∠DAE=∠EAC，
∴∠B=∠ACB，
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形．
（2）在△ABF和△CAE中，
∴△ABF≌△CAE（SAS），
∴AF=CE．
【题型7】等腰三角形的性质与判定
【典例】如图，已知钝角三角形ABC，按以下步骤尺规作图，并保留作图痕迹．
步骤1：以C为圆心，CB为半径画弧①；
步骤2：以A为圆心，AB为半径画弧②，交弧①于点D；
步骤3：连接BD，交AC的延长线于点E．
下列叙述正确的是（ ）
A.BC平分∠ABD B.AB=BD C.AE=BD D.BE=DE
【答案】D
【解析】连接AD，CD，
由题意得CB=CD，AB=AD，
∴△ABD是等腰三角形，
在△ABC和△ADC中，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠DAC=∠BAC，
∴AE是∠DAB的角平分线，
又∵AB=AD，
∴BE=DE，
故选：D．
【强化训练1】如图，在等腰△ABC中，AB=AC，BD为∠ABC的平分线，∠A=36°，△ABD的周长为a,BC=b,则△ABC的周长为（ ）
A.a+b B.2a-b C.2a-2b D.2a-3b
【答案】D
【解析】∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C==72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC=∠ABC=36°，
∴∠A=∠ABD=36°，
∴AD=BD，
∵∠BDC是△ABD的一个外角，
∴∠BDC=∠A+∠ABD=72°，
∴∠BDC=∠C=72°，
∴BD=BC，
∴AD=BD=BC=b,
∵△ABD的周长为a,
∴AB=a-AD-BD=a-2b,
∴△ABC的周长=AB+AC+BC=2（a-2b）+b=2a-4b+b=2a-3b．
故选：D．
【强化训练2】如图，已知AB=AE，BC=ED，∠B=∠E，AF⊥CD，F为垂足.
求证：
(1)AC=AD；
(2)CF=DF．
【答案】证明 (1)∵AB=AE，BC=ED，∠B=∠E，∴△ABC≌△AED（SAS），
∴AC=AD，
(2)∵AF⊥CD，AC=AD．∴CF=FD（三线合一性质）．
【强化训练3】如图所示，D为△ABC的边AB的延长线上一点，过D作DF⊥AC，垂足为F，交BC于E，且BD=BE，求证：△ABC是等腰三角形．
【答案】证明 ∵BD=BE，∴∠D=∠BED，
∵∠BED=∠CEF，
∴∠D=∠CEF，∵DF⊥AC，
∴∠A+∠D=90°，∠CEF+∠C=90°，
∴∠A=∠C，∴AB=BC，
∴△ABC是等腰三角形．
【题型8】等边三角形的三条边相等
【典例】已知等边△ABC的一边长为10，则它的周长是（ ）
A.10 B.20 C.30 D.40
【答案】C
【解析】∵等边△ABC的边长是10，∴它的周长是10×3=30．故选：C．
【强化训练1】如图是一个等边三角形木框，甲虫P在边框AC上爬行（A，C端点除外），设甲虫P到另外两边的距离之和为d，等边三角形ABC的高为h，则d与h的大小关系是（ ）
A.d＞h B.d＜h C.d=h D.无法确定
【答案】C
【解析】如图，连接BP，过点P作PD⊥BC，PE⊥AB，分别交BC，AB于点D，E，∴S△ABC=S△BPC+S△BPA=BC PD+AB PE=BC PD+BC PE
=BC（PD+PE）=d BC=h BC，∴d=h．故选：C．
【强化训练2】如图所示，已知等边三角形ABC的边长为1，按图中所示的规律，用2024个这样的三角形镶嵌而成的四边形的周长是 ．
【答案】2026
【解析】一个等边三角形的周长是1+1+1=3×1=3；第二个图形的周长是1+1+1+1=4×1=4，第三个图形的周长是1+1+1+1+1+1=5×1=5；第四个图形的周长是1+1+1+1+1+1=6×1=6；…则第2024个图形的周长是（2024+2）×1=2026．故答案为：2026．
【强化训练3】等边三角形边长为1cm，则它周长为 cm．
【答案】3
【解析】因为等边三角形的三边相等，所以周长为1×3=3．故答案为3．
【题型9】等边三角形的三个角都等于60°
【典例】已知如图，等边△ABC中，D是AB上一点，∠EDF=60°，则∠AED等于（ ）
A.∠B B.∠BFD C.∠ADE D.∠BDF
【答案】D
【解析】∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，
∵∠EDF+∠BDF+ADE=180°，∠B+∠BDF+∠BFD=180°，
∴60°+∠BDF+∠ADE=60°+∠BDF+∠BFD，
∴∠ADE=∠BFD，
∵∠A+∠ADE+∠AED=∠B+∠BFD+∠BDF=180°，∵∠A=∠B=60°，
∴∠AED=∠BDF．故选D．
【强化训练1】如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE交AD于点F，则∠DFE的度数为 （ ）
A.45° B.55° C.60° D.75°
【答案】D
【解析】∵△ADE是等边三角形，∴∠DAE=60°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD=90°，∴∠BAE=90°+60°=150°，∵AB=AE，
∴∠AEB=×（180°-150°）=15°，
∴∠DFE=∠AEB+∠EAF=15°+60°=75°．故选D．
【强化训练2】如图，△ABC是等边三角形，则∠1+∠2等于（ ）
A.60° B.90° C.120° D.180°
【答案】C
【解析】∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=60°，∴∠1+∠2=180°﹣∠BAC=180°﹣60°=120°．故选C．
【强化训练3】点D为等边三角形内部一点，∠DCB=∠ABD，则∠BDC的度数为 ．
【答案】120°
【解析】∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°，∵∠DCB=∠ABD，∴∠DBC+∠DCB=60°，∴∠BDC=180°﹣60°=120°．故答案为：120°．
【强化训练4】如图，△ABC是等边三角形，则∠ABD= 度．
【答案】120
【解析】∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=60°，则∠ABD=120°．故答案为：120．
【强化训练5】如图，等边△ABC，∠1=∠2=∠3，求∠BEC的度数．
【答案】解 ∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∵∠2=∠3，
∴∠2+∠BCE=∠3+∠BCE=∠ACB=60°，∴∠BEC=180°﹣（∠2+∠BCE）=180°﹣60°=120°．
【题型10】等边三角形中的三线合一
【典例】在等边△ABC中，已知BC边上的中线AD=16，则∠BAC的平分线长等于（ ）
A.4 B.8 C.16 D.32
【答案】C
【解析】∵在等边△ABC中，AD是BC边上的中线，∴AD是∠BAC的平分线，∴∠BAC的平分线长为16．故选C．
【强化训练1】等边三角形ABC的两条角平分线BD和CE相交所夹锐角的度数为（ ）
A.75° B.60° C.45° D.30°
【答案】B
【解析】如图，∵等边三角形ABC中，AD，BE分别是∠BAC，∠ABC的角的平分线，交于点F，∴∠1=∠2=∠ABC=30°，∴∠3=∠1+∠2=60°．故选B．
【强化训练2】如图，等边△ABC周长是12，AD是∠BAC的平分线，则BD= ．
【答案】2
【解析】∵△ABC是等边三角形，AD是∠BAC的平分线，∴AB=BC=CA，BD=CD，∵等边△ABC周长是12，∴BC=4，∴BD=2．故答案为2．
【强化训练3】在等边△ABC中，AD⊥BC，BD=3，则AB= ．
【答案】6
【解析】∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC，∵AD⊥BC，BD=3，∴BC=2BD=6，∴AB=6．故答案为：6．
【强化训练4】如图：△ABC和△ADE是等边三角形，AD是BC边上的中线．求证：BE=BD．
【答案】证明 ∵△ABC和△ADE是等边三角形，AD为BC边上的中线，
∴AE=AD，AD为∠BAC的角平分线，
即∠CAD=∠BAD=30°，
∴∠BAE=∠BAD=30°，
在△ABE和△ABD中，AE=AD，∠BAE=∠BAD，AB=AB，
∴△ABE≌△ABD（SAS），
∴BE=BD．
【强化训练5】如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，延长BC到点E，使得CE＝CD.求证：BD＝DE.
【答案】证明 ∵△ABC是等边三角形，BD是角平分线，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∠DBC＝30°.
又CE＝CD，
∴∠CDE＝∠CED.
又∠BCD＝∠CDE＋∠CED，
∴∠CDE＝∠CED＝30°.
∴∠DBC＝∠DEC.
∴BD＝DE(等角对等边)．
【题型11】等边三角形的性质与平行线的性质
【典例】已知，如图，l∥m，等边△ABC的顶点B在直线m上，边BC与直线m所夹锐角为20°，则∠α的度数为（ ）
A.60° B.45° C.40° D.30°
【答案】C
【解析】过C作CE∥直线m，∵l∥m，∴l∥m∥CE，∴∠ACE=∠α，∠BCE=20°，∵等边△ABC，∴∠ACB=60°，∴∠α+20°=∠ACB=60°，∴∠α=40°．故选C．
【强化训练1】如图，在边长为4的等边△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，DE∥BC，则△ADE的周长是( )
A.2 B.4 C.6 D.8
【答案】C
【强化训练2】如图，已知直线l1∥l2，将等边三角形如图放置，若∠α=40°，则∠β= ．
【答案】20°
【解析】过点A作AD∥l1，如图，则∠BAD=∠β．∵l1∥l2，∴AD∥l2，∵∠DAC=∠α=40°．∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=60°，∴∠β=∠BAD=∠BAC﹣∠DAC=60°﹣40°=20°．故答案为20°．
【强化训练3】如图，等边△ABC中，CD平分∠ACB，DE∥BC．求证：DE=DB．
【答案】证明 ∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=∠B=60°，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD，∵DE∥BC，∴∠EDC=∠DCB，∴∠EDC=∠ECD，∴DE=CE，
∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠ACB，∴∠AED=∠ADE，∴AE=AD，∵AB=AC，∴BD=CE，∴DE=DB．
【强化训练4】已知，如图，等边三角形ABC中，D为AC边的中点，过C作CE∥AB，且AE⊥CE，那么∠CAE=∠ABD吗？请说明理由．
【答案】解 ∠CAE=∠ABD，理由如下：∵△ABC为等边三角形，D为AC边上的中点，∴AC=BA，∠BAC=∠BCA=60°，BD⊥AC，∴∠BDA=90°，∵AE⊥CE，∴∠AEC=∠BDA=90°，又∵CE∥AB，∴∠ACE=∠BAD，∴90°﹣∠ACE=90°﹣∠BAD，即∠CAE=∠ABD．
【题型12】等边三角形的性质与垂直
【典例】如图，等边△ABC中，BD=CE，AD与BE交于P，AQ⊥BE，垂足为Q，PD=2，PQ=6，则BE的长为（ ）
A.14 B.13 C.12 D.无法求出
【答案】A
【解析】∵AB=BC，∠ABD=∠C=60°，BD=CE，∴△ABD≌△BCE，∴BE=AD，∠APQ=∠ABP+∠PAB=∠ABP+∠CBE=∠ABC=60°，在Rt△APQ中，PQ=6，AP=2PQ=12，∴BE=AD=AP+PD=12+2=14．故选A．
【强化训练1】如图，△APB与△CDP是两个全等的等边三角形，且PA⊥PD，有下列四个结论：①∠PBC=15°；②AD∥BC；③直线PC与AB垂直．其中正确的有（ ）
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
【答案】D
【解析】∵△APB与△CDP是两个全等的等边三角形，∴BP=CP，AP=DP，∠ABP=∠APB=∠CPD=60°，∵PA⊥PD，∴∠BPC=360°﹣90°﹣60°×2=150°，∴∠PBC=∠PCB=15°，故①正确；
∵PA⊥PD，∴△APD是等腰直角三角形，∴∠PAD=45°，∴∠BAD+∠ABC=45°+60°+60°+15°=180°，∴AD∥BC，故②正确；
∵∠ABC+∠PCB=60°+15°+15°=90°，∴直线PC与AB垂直，故③正确；
综上所述，正确的有①②③共3个．故选D．
【强化训练2】如图，在等边△ABC中，点D为BC边上的点，DE⊥BC交AB于E，DF⊥AC交AC于F，则∠EDF的度数为 ．
【答案】60°
【解析】∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=60°．∵DE⊥BC，DF⊥AC，∴∠BDE=∠AFD=90°．∵∠AED是△BDE的外角，
∴∠AED=∠B+∠BDE=60°+90°=150°，∴∠EDF=360°﹣∠A﹣∠AED﹣∠AFD=360°﹣60°﹣150°﹣90°=60°．故答案为：60°．
【强化训练3】如图，在等边三角形ABC中，点P是AB边上的任意一点（点P不与点A、点B重合），过点P作PD⊥AB，交直线BC于点D，作PE⊥AC，垂足为点F．求∠APE的度数.
【答案】解 ∵△ABC为等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，∵PE⊥AC，∴∠AEP=90°，∴∠APE=180°﹣∠A﹣∠AEP=180°﹣60°﹣90°=30°.
【强化训练4】如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC于点D，BD=2，以AD为一边向右作等边三角形ADE．
（1）求△ABC的周长；
（2）判断AC，DE的位置关系，并给出证明．
【答案】解 （1）∵在等边△ABC中，AD⊥BC，BD=2，∴BD=CD=2，∴BC=BD+CD=4，∴等边△ABC的周长为AB+BC+CA=3BC=12．
（2）AC，DE的位置关系为AC⊥DE．∵△ABC和△ADE是等边三角形，∴∠C=60°，∠ADE=60°，∵AD⊥BC，∴∠ADC=90°，在△CDF中，∵∠CDE=90°﹣∠ADE=30°，∴∠CFD=180°﹣∠C﹣∠CDE=180°﹣60°﹣30°=90°．∴AC⊥DE．
【题型13】等边三角形的性质综合
【典例】如图，已知等边△AEB和等边△BDC在线段AC同侧，则下面错误的是（ ）
A.△ABD≌△EBC
B.△NBC≌△MBD
C.DM=DC
D.∠ABD=∠EBC
【答案】C
【解析】A.可以利用SAS验证，正确；
B.可以利用AAS验证，正确；
C.可证∠MBN=60°，若DM=DC=DB，则△DMB为等边三角形，即∠BDM=60°∵∠EAB=∠DBC，∴AE∥BD．∴∠BDM=∠EAD=60°．与已知不符，错误；
D.可由∠ABE，∠DBC同加一个∠DBE得到，正确．所以错误的是第三个．故选C．
【强化训练1】下面关于“等边三角形”的说法不正确的是（ ）
A.等边三角形的三条边都相等
B.等边三角形的三个内角都相等且都等于60°
C.等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴
D.等边三角形与等腰三角形具有相同的性质
【答案】D
【解析】A，B，C都是正确的；D、等边三角形除了和等腰三角形相同的性质，还具有三边相等、三个内角都相等、有三条对称轴的性质，是特殊的等腰三角形，所以等边三角形与等腰三角形具有相同的性质是错误的．故选：D．
【强化训练2】△ABC为等边三角形，点M是射线BC上任意一点，点N是射线CA上任意一点，且BM=CN，直线AM与BN相交于Q点，∠AQN的度数为 ．
【答案】60°或120°
【解析】①如图1，点M在线段BC上，∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC=∠C=∠BAC=60°，AB=BC，在△AMB和△BNC中，AB=BC，∠ABC=∠C，BM=CN，△AMB≌△BNC（SAS），∵∠ANB=∠C+∠NBC=60°+∠NBC，∠MAN=∠BAC﹣∠MAB=60°﹣∠MAB，又∵∠NBC=∠MAB（全等三角形对应角相等），∴∠ANB+∠MAN=120°，又∵∠ANQ+∠MAN+∠AQN=180°，∴∠AQN=180°﹣∠ANB﹣∠MAN=180°﹣120°=60°；
②如图2，点M在BC的延长线上，∵△BCN≌△ABM，∴∠M=∠N，∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB=60°，∴∠M+∠CAM=∠ACB=60°，∵∠M=∠N，∠CAM=∠NAQ，∴∠N+∠NAQ=60°，∴∠BQM=∠N+∠NAQ=60°，∴∠AQN=120°．综上所述，∠AQN的度数为60°或120°．故答案为：60°或120°．
【强化训练3】如图，△ABD，△ACE都是等边三角形，BE和CD交于O点，则∠BOC= 度．
【答案】120
【解析】∵△ABD，△ACE都是等边三角形，∴AD=AB，∠DAB=∠EAC=60°，AC=AE，∴∠DAC=∠EAB∴△DAC≌△BAE（SAS），∴DC=BE，∠ADC=∠ABE，∠AEB=∠ACD，∴∠BOC=∠CDB+∠DBE=∠CDB+∠DBA+∠ABE=∠ADC+∠CDB+∠DBA=120°．故填120．
【强化训练4】已知如图所示，在等边△ABC和等边△ADE中，点B，A，D在一条直线上，BE，CD交于F．
（1）求证：△BAE≌△CAD；
（2）求∠BFC的大小；
（3）在图1的基础上，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°，此时BE交CD的延长线于点F，其他条件不变，得到图2所示的图形，请直接写出（1）（2）中结论是否仍然成立．
【答案】（1）证明 ∵等边△ABC和等边△ADE，∴AB=AC，AD=AE，∠CAB=∠EAD=60°，∴∠CAE=60°，∠BAE=∠CAD=120°，∴△BAE≌△CAD．
（2）解 ∵△BAE≌△CAD，∴∠ADC=∠AEB，∵∠BFC=∠ABE+∠ADC，∴∠BFC=∠ABE+∠AEB=180°﹣∠BAE=60°．
（3）解 成立．∵等边△ABC和等边△ADE，∴AE=AD，AC=AB，∠BAE=∠CAD=60°，∴△BAE≌△CAD，∵∠CDA=∠AEB，∴∠ABE+∠BDF=∠ABE+∠CDA=∠ABE+∠AEB=180°﹣∠BAE=180°﹣60°=120°，∴∠ABE+∠BDF=120°，∠BFC=180°﹣（∠ABE+∠BDF）=60°．
【强化训练5】如图，等边△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，E为AD上一点，以BE为一边且在BE下方等边△BEF，连接CF．
（1）求证：AE=CF；
（2）求∠ACF的度数．
【答案】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠ABE+∠EBC=60°，
∵△BEF是等边三角形，
∴EB=BF，∠CBF+∠EBC=60°，
∴∠ABE=∠CBF，
在△ABE和△CBF，
∵AB=BC，∠ABE=∠CBF，EB= BF，
∴△ABE≌△CBF（SAS），
∴AE=CF．
（2）解：∵等边△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，
∴∠BAE=30°，∠ACB=60°，∵△ABE≌△CBF，
∴∠BCF=∠BAE=30°，
∴∠ACF=∠BCF+∠ACB=30°+60°=90°.
【题型14】定义判定等边三角形
【典例】用等长的小木棒拼三角形，至少3根可拼成1个等边三角形，至少5根可拼成2个等边三角形，至少7根可拼成3个等边三角形，若拼成13个等边三角形，至少需要小木棒的根数为（ ）
A.39 B.27 C.24 D.25
【答案】B
【解析】设增加x个小木棒时拼成13个等边三角形．1+=13，x=24，24+3=27．故选B．
【强化训练1】若一个三角形的两个角的平分线分别垂直对边，则这个三角形是（ ）
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等边三角形
D.等腰直角三角形
【答案】C
【解析】已知一个三角形的两个角的平分线分别垂直对边，则角平分线分成的两个三角形全等（ASA），则这两个角所在的边均相等，即三边相等，所以这是一个等边三角形．故选C．
【强化训练2】三角形中任意一角的平分线都是这角对所边上的中线，对这个三角形最准确的判断是（ ）
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等边三角形
D.等腰直角三角形
【答案】C
【解析】如图，∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，∴DE=DF．∵AD是中线，∴BD=CD．∴Rt△BDE≌Rt△CDF．∴∠B=∠C．∴AB=AC，即△ABC是等腰三角形．等边三角形是一特殊的等腰三角形，所以等边三角形中任意一角的平分线都是这角所对边上的中线．故选：C．
【强化训练3】在8个点形成的格点图中，每一点与其相邻的点之间的距离都等于1，那么图中以格点为顶点的等边三角形的个数为 ．
【答案】8
【解析】连接相邻的点，图中等边三角形有△ABD，△BCE，△BDE，△DFG，△DEG，△EGH， △BFH，△ACG，共8个，故答案为8．
【强化训练4】如图，以A，B两点为其中两个顶点作位置不同的等边三角形，最多可以作出______个．
【答案】2
【解析】最多可作2个位置不同的等边三角形，如图．
【强化训练5】如图，△ABC是等边三角形，分别延长AB至F，BC至D，CA至E，使AF=3AB，BD=3BC，CE=3CA，求证：△DEF是等边三角形．
【答案】证明 ∵△ABC是等边三角形，
∴∠EAF=∠FBD=∠DCE=120°．
∵AB=BC=CA，AF=3AB，BD=3BC，CE=3CA，
∴AF=BD=CE．
又∵AE=BF=CD，∴△AEF≌△BFD≌△DCE．
∴EF=FD=DE．即△DEF是等边三角形．
【强化训练6】如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BD于点D，E是AD延长线上的一点，且BC=BE，请判断△BCE的形状，并证明你的结论．
【答案】解 △BCE是等边三角形，
理由如下：∵AB =AC，AD⊥BC，∴BD=DC，
∵AD⊥BC，∴∠BDE=∠CDE=90°，
又∵ED为公共边，
∴△BDE≌△CDE，∴BE=CE，
∵BC=BE，∴BC=CE=BE，
∴△BCE是等边三角形．
【题型15】三个角都相等的三角形是等边三角形
【典例】有一个外角是120°，另外两个外角相等的三角形（ ）
A.可以是顶角不为60°等腰三角形
B.仅有等边三角形
C.一角为60°的非等腰三角形
D.不能确定
【答案】B
【解析】∵有一个外角是120°，∴该角对应的角为60°，又∵另外两个外角相等，∴另外两个外角对应的内角也相等，∵有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形，∴该三角形一定为等边三角形．故选B．
【强化训练1】在△ABC中，∠A+∠B=120°，∠C=∠A，则△ABC是（ ）
A.钝角三角形
B.等腰直角三角形
C.直角三角形
D.等边三角形
【答案】D
【解析】∵∠A+∠B+∠C=180°，且∠A+∠B=120°，∴∠C=60°；而∠C=∠A，∴∠A=60°，△ABC是等边三角形．故选D．
【强化训练2】△ABC中，AB=3，∠A=∠B=60°，那么BC= ．
【答案】3
【解析】∵△ABC中，∠A=∠B=60°，∴∠A=∠B=∠C=60°，∴△ABC是等边三角形，∴BC=AB=3．故答案为：3．
【强化训练3】如图，已知△ABC中，∠ACB=120°，CE平分∠ACB，AD∥EC，交BC的延长线于点D.
（1）求∠BCE的度数；
（2）试找出图中的等边三角形，并说明理由．
【答案】解 （1）∵∠ACB=120°，CE平分∠ACB，
∴∠BCE=∠ABC=60°．
（2）△ACD是等边三角形，∵∠BCE=60°，AD∥EC，
∴∠BCE=∠D=∠CAD=60°，
∴∠ACD=60°，∴△ACD是等边三角形．
【题型16】有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
【典例】等腰△ABC的顶角A为120°，过底边上一点D作底边BC的垂线交AC于E，交BA的延长线于F，则△AEF是（ ）
A.等边三角形
B.直角三角形
C.等腰直角三角形
D.等腰但非等边三角形
【答案】A
【解析】如图，∵AB=AC，∴∠B=∠C．∵∠AEF=∠DEC=90°﹣∠C，∠F=90°﹣∠B，∴∠AEF=∠F，∴AE=AF，又∠BAC=120°，∴∠FAE=60°．∴△AEF是等边三角形．故选A．
【强化训练1】若一个三角形成轴对称图形，且有一个内角为60°，则这个三角形一定是（ ）
A.直角三角形
B.等腰直角三角形
C.等边三角形
D.上述三种情形都有可能
【答案】C
【解析】因为三角形是轴对称图形，则该三角形是等腰三角形，根据有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形．故选C．
【强化训练2】一个等腰三角形的一条边长为7，一个外角为120°，则这个三角形的周长为 ．
【答案】21
【解析】∵等腰三角形一个外角为120°，则内角为60°，∴该三角形为等边三角形．从而知周长为3×7=21．故答案为21．
【强化训练3】如图，将两个完全相同的含有30°角的三角板拼接在一起，则拼接后的△ABD的形状是 ．
【答案】等边三角形
【解析】∵AB=AD，∴△ABD是等腰三角形；又∵∠BAC=∠CAD=30°，∴∠BAD=60°，∴△ABD是等边三角形．故答案是：等边三角形．
【强化训练4】已知，如图，△ABC中，点D是BC边上的一点，∠ADE=∠ABC=60°，DE交∠ABC的外角平分线于点E．求证：△ADE是等边三角形．
【答案】证明 如图，在线段BA上截取BM，
使BM=BD．∵∠ABC=60°，∴△BDM为等边三角形，∠ABF=120°，
∴DM=DB，∠BDM=∠BMD=60°，∠AMD=120°，
又∵BE平分∠ABF，
∴∠DBE=120°，
∴∠AMD=∠DBE，
∵∠ADE =∠BDM =60°，∴∠1=∠2，
∴△ADM≌△EDB（ASA）．∴AD=ED．∴△ADE为等边三角形．
【题型17】等边三角形的性质和判定
【典例】如图，已知，B是线段AD上的一点，△ABC，△BDE均为等边三角形，AE交BC于P，CD交BE于Q．则下列结论成立的有（ ）
（1）AE=CD；（2）BP=BQ；（3）PQ∥AD；（4）CQ=CA；（5）EP=QD．
A.5个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】D
【解析】∵△ABC，△BDE均为等边三角形，∴AB=AC=BC，BD=BE，∠ABC=∠EBD=60°，∴180°﹣∠EBD=180°﹣∠ABC，即∠ABE=∠CBD，在△ABE与△CBD中，AB=CB，∠ABE=∠CBD，BE=BD，∴△ABE≌△CBD（SAS），∴AE=CD，（1）正确；∴∠BAP=∠BCQ，∵∠ABC=∠EBD=60°，∴∠CBQ=180°﹣60°×2=60°，∴∠ABC=∠CBQ=60°，在△ABP与△CBQ中，∠BAP=∠BCQ，AB=CB，∠ABC=∠CBQ，∴△ABP≌△CBQ（ASA），∴BP=BQ，（2）正确；CQ=AP≠CA，（4）不正确；∵∠CBQ=60°，BP=BQ，∴△PBQ是等边三角形，∴∠BPQ=60°=∠ABC，∴PQ∥AD，（3）正确；∵AE=CD，AP=CQ，∴EP=QD，（5）正确；正确的结论有4个．故选：D．
【强化训练1】如图，E是等边△ABC中AC边上的点，∠1=∠2，BE=CD，则△ADE的形状是（ ）
A.等腰三角形
B.等边三角形
C.不等边三角形
D.不能确定形状
【答案】B
【解析】∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC，∵∠1=∠2，BE=CD，△ABE≌△ACD，∴AE=AD，∠BAE=∠CAD=60°，∴△ADE是等边三角形．
【强化训练2】如图所示，已知，AB=BC=AC，CD=DE=EC，求证：AD=BE．
【答案】证明 ∵AB=BC=AC，CD=DE=EC，
∴△ABC与△CDE是等边三角形，
∴∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB﹣∠BCD=∠DCE﹣∠BCD，
即∠ACD=∠BCE，
在△ACD与△BCE中，AB=BC，∠ACD=∠BCE，CD=∠CE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE．
【强化训练3】如图，已知等边△ABC，P在AC延长线上一点，以PA为边作等边△APE，EC延长线交BP于M，连接AM.
求证：（1）BP=CE；
（2）EM﹣PM=AM．
【答案】证明 （1）∵△ABC，△APE是等边三角形，
∴AE=AP，AC=AB，∠EAC=∠PAB=60°，
在△EAC与△PAB中，∵ AE=AP，∠EAC=∠PAB，AC=AB，
∴△EAC≌△PAB（SAS），∴BP=CE．
（2）∵△EAC≌△PAB，∴∠AEM=∠APB．
在EM上截取EN=PM，连接AN．
在△AEN与△APM中，∵AE=AP，∠AEM=∠APB，EN=PM，
∴△AEN≌△APM（SAS），
∴AN=AM；
∠EAN=∠PAM．
则∠PAM+∠PAN=∠EAN+∠PAN=60°，即△ANM为等边三角形，
∴MN=AM．
∴EM﹣PM=EM﹣EN=MN=AM．
【题型18】等边三角形和等腰三角形的性质
【典例】如图，△ABC中，AB=AC，以AB，AC为边在△ABC的外侧作两个等边三角形△ABE和△ACD，且∠EDC=40°，则∠ABC的度数为（ ）
A.75° B.80° C.70° D.85°
【答案】B
【解析】∵AB=AC，以AB，AC为边在△ABC的外侧作两个等边三角形△ABE和△ACD，∴∠ABC=∠ACB，AE=AD，∠AEB=∠ADC=60°，∠3=∠4=60°，∵∠EDC=40°，∴∠1=∠2=40°，∴∠1+∠2+∠3+∠4+2∠ABC=360°，∴2∠ABC=360°﹣40°﹣40°﹣60°﹣60°=160°，∴∠ABC的度数为80°．故选：B．
【强化训练1】下列命题：①等腰三角形的角平分线、中线和高重合；②等腰三角形两腰上的高相等；③等腰三角形的最短边是底边；④等边三角形的高、中线、角平分线都相等；⑤等腰三角形都是锐角三角形其中正确的有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】B
【解析】①等腰三角形的顶角的角平分线、底边上的中线和高重合，故本选项错误，②等腰三角形两腰上的高相等，正确；③等腰三角形的最小边不一定是底边，故本选项错误；④等边三角形的高、中线、角平分线都相等，正确；⑤等腰三角形不一定是锐角三角形，故本选项错误；其中正确的有2个．故选B．
【强化训练2】如图，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝__________度．
【答案】15
【解析】因为△ABC是等边三角形，所以∠ACB＝60°，因为DF＝DE，所以∠EFD＝∠E,又CG＝CD，所以∠CGD＝∠CDG=2∠E,所以∠ACB＝2∠CDG =4∠E =60°，所以∠E =15°．
【强化训练3】如图，△ABC是等边三角形，△ADE是等腰三角形，AD=AE，∠DAE=80°，当DE⊥AC时，求∠BAD和∠EDC的度数．
【答案】解 ∵DE⊥AC，AD=AE，∠DAE=80°，
∴∠ADE=∠E=50°，∠DAF=∠EAF=40°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，
∴∠BAD=60°﹣40°=20°，
∵∠B+∠BAD=∠ADE+∠EDC，
∴60°+20°=50°+∠EDC，
∴∠EDC=30°．
【题型19】等边三角形的性质和等腰三角形的判定
【典例】如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC到E，使CE=CD，连接DE．下面给出的四个结论，其中正确的个数是（ ）
①BD⊥AC；②BD平分∠ABC；③BD=DE；④∠BDE=120°．
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】D
【解析】∵△ABC是等边三角形，BD是AC上的中线，∴BD平分∠ABC，BD⊥AC；∵∠ACB=∠CDE+∠DEC=60°，又CD=CE，∴∠CDE=∠DEC=30°，∴∠CBD=∠DEC，∴DB=DE．∠BDE=∠CDB+∠CDE=120°，
∴这四项都是正确的．故选：D．
【强化训练1】如图，△ABC为等边三角形，BD是中线，延长BC到E，使CE=CD，若△ABC的周长为18，BD=a，则△BDE的周长为（ ）
A.9+a B.12+2a C.12+a D.9+2a
【答案】D
【解析】∵△ABC的周长为18，∴BC=AC=18÷3=6，∵△ABC为等边三角形，BD是中线，∴CD=AC=×6=3，∠CBD=×60°=30°，∵CE=CD，∴∠E=∠CDE=×60°=30°，∴∠CBD=∠E，∴BD=DE，∴△BDE的周长=6+3+a+a=9+2a．故选D．
【强化训练2】如图，△ABC是等边三角形，∠CBD=90°，BD=BC，则∠1的度数是 ．
【答案】75°
【解析】∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC，∠ABC=60°，∵BD=BC，∴AB=BD，∴∠BAD=∠BDA，∵∠CBD=90°，∴∠ABD=90°+60°=150°，∴∠BDA=15°，∴∠1=90°-15°=75°．故答案为75°．
【强化训练3】已知，如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC到E，使CE=CD，不添加辅助线，请你写出四个正确结论① ；② ；③ ；④ ．
【答案】①DB=DE ②BD⊥AC ③∠DBC=∠DEC=30° ④△ABD≌△CBD ⑤△DCE∽△BDE ⑥∠CDE=30° ⑦BD平分∠ABC（任写其中四个都可以）
【强化训练4】如图，等边△ABC绕点A顺时针旋转到△ADE，BC与DE相交于点F，连接AF并延长，交BE于点G，求证：AF⊥BE．
【答案】证明 ∵等边△ABC旋转到△ADE，
∴∠ABC=∠AED=60°，AB=AE．
∴∠ABE=∠AEB．∴∠FBE=∠FEB．
∴FB=FE．
∴点A，F都是线段垂直平分线上的点．
∴AF⊥BE．
【强化训练5】如图，在等边三角形ABC中，D是BC边的中点，E是AB延长线上的一点，且BE=BD．
（1）求∠BAD和∠BDE的度数；
（2）求证：AD=DE．
【答案】（1）解 ∵等边三角形三线合一，
∴BD为∠ABC的角平分线，
∴∠BAD=30°，∠ABD=60°，
∵BE=BD，∴∠BDE=∠BED，
∵∠BDE+∠BED=∠ABD，
∴∠BED=∠BDE=30°，
∴∠BAD=∠BDE=30°．
（2）证明 ∵∠BAD=∠BDE=30°，
∴AD=DE.
【题型20】含30°角的直角三角形的性质
【典例】如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD平分∠CAB交BC于点D，E为AB上一点，连接DE，则下列说法错误的是（ ）
A.∠CAD=30° B.AD=BD C.BD=2CD D.CD=ED
【答案】D
【解析】在△ABC中，∵∠C=90°，∠B=30°，∴∠CAB=60°，∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD=∠BAD=30°，∴∠CAD=∠BAD=∠B，∴AD=BD，AD=2CD，∴BD=2CD，
根据已知不能推出CD=DE，只有D错误，
选项A，B，C的答案都正确．故选D．
【强化训练1】已知∠ACB的角平分线CE，O是CE上一点，OP∥BC，PO=2，OD⊥CB于D，∠ACE=15°，则OD的长是（ ）
A. B.1 C.2 D.3
【答案】B
【解析】作OF⊥AC于F，如图，
∵CE是∠ACB的角平分线，∠ACE=15°
，∴∠ACB=2∠ACE=30°，∵OP∥BC，∴∠APO=∠ACB=30°，∴OF=PO=1，
∵CE是∠ACB的角平分线，OF⊥AC，OD⊥CB，∴OD=OF=1．故选：B．
【强化训练2】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB，DE恰好是∠ADB的平分线．CD与DB有怎样的数量关系？请说明理由．
【答案】解 CD＝DB.
理由：∵DE⊥AB，
∴∠AED＝∠BED＝90°.
∵DE是∠ADB的平分线，
∴∠ADE＝∠BDE.
又DE＝DE，∴△AED≌△BED(ASA)，
∴AD＝BD，∠DAE＝∠B.
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD＝∠B.
∵∠C=90°，∴∠BAD＋∠CAD＋∠B＝90°，
∴∠B＝∠BAD＝∠CAD＝30°.
在Rt△ACD中，∵∠CAD＝30°，
∴CD＝AD＝BD，即CD＝DB.
【强化训练3】在Rt△ABD中，∠ADB=90°,∠A=60°,作DC∥AB,且∠DBC=∠BDC,DC与BC交于点C，已知CD=4.
（1）求∠CBD的度数；
（2）求AB的长.
【答案】解 （1）在Rt△ADB中，∵∠A=60°,∠ADB=90°,∴∠ABD=30°.又∵AB∥CD,
∴∠CDB=∠ABD=30°.∴∠CBD=∠CDB=30°.
（2）如图，过点C作CM⊥BD于点M，交AB于点E，连接DE,
则DE=EB,∴∠EDB=∠EBD=30°.∵∠CDM=30°,∠CMD=90°,∴CM=CD=2.
又∠EBM=∠CBM=30°,BM=BM,∠EMB=∠CMB=90°,
∴△CBM≌△EBM(ASA),
∴EM=CM=2.∴DE=2EM=4.
∵∠DEA=∠EDB+∠EBD=60°,∠A=60°,∴AD=DE=4.
又∵∠ADB=90°,∠ABD=30°,∴AB=2aD=8.
【题型21】含30°角的直角三角形与等腰三角形
【典例】如图，∠DAE=∠FAD=15°，DE∥AB，DF⊥AB，若AE=8，则DF等于（ ）
A.5 B.4 C.3 D.2
【答案】B
【解析】作DG⊥AC，垂足为G，如图．∵DE∥AB，∴∠BAD=∠ADE，∵∠DAE=∠ADE=15°，∴∠DEG=15°×2=30°，∴ED=AE=8，∴在Rt△DEG中，DG=ED=×8=2，∴DF=DG=4．故选B．
【强化训练1】将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上．另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，如图，则三角板的最大边的长为（ ）
A.3cm B.6cm C.3cm D.6cm
【答案】D
【解析】如图，过点C作CD⊥AD，∴CD=3cm，
在直角三角形ADC中，∵∠CAD=30°，∴AC=2CD=2×3=6 (cm)，
又∵三角板是有45°角的三角板，∴AB=AC=6(cm)，∴BC2=AB2+AC2=62+62=72，∴BC=6cm．故选：D．
【强化训练2】等腰三角形一腰上的高等于这腰的一半，则这个等腰三角形的顶角等于（ ）
A.30° B.60° C.30°或150° D.60°或120°
【答案】C
【解析】①如图，∵BD是△ABC的高，AB=AC，BD=AB，∴∠A=30°，
②如图，∵CD是△ABC边BA 上的高，DC=AC，∴∠DAC=30°，
∴∠BAC=180°﹣30°=150°，
综上所述，这个等腰三角形的顶角等于30°或150°．故选C．
【强化训练3】如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥AB，交BC于点D，且∠CAD=30°，CD=3，则BD= ．
【答案】6
【解析】∠CAD=30°，AD⊥AB，可得∠CAB=120°；由AB=AC可得∠B=∠C=30°，所以∠CAD=∠C=30°．所以CD=AD=3，在Rt△ABD中，根据30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半可得BD=2aD=6．
【强化训练4】△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D为BC上一点，DA⊥AB，AD=24，则BC=______．
【答案】72
【解析】根据题意画出图形，由已知得∠B=30°，所以BD=2aD=48，易知∠DAC=∠C=30°，所以CD=AD=24，所以BC=BD+CD=48+24=72.
【强化训练5】某幼儿园有一块等腰三角形菜地，AB＝AC＝10 m，∠C＝75°，现如今要将它划分为两块面积相等的菜地给大一班和大二班进行蔬菜种植，若点D为AB的中点，连接CD．求△ACD的面积．
【答案】解 过点C作CE⊥AB于点E，如图，
∵AB＝AC＝10 m，∠ACB＝75°，
∴∠ABC＝∠ACB＝75°，
∴∠A＝30°，
∵CE⊥AB，
∴△ACE是直角三角形，
∴EC＝AC＝5(m)，
∵点D为AB的中点，
∴AD＝AB＝5(m)，
∴S△ACD＝×AD×CE＝ (m2)，
即所求的面积为m2.
【题型22】含30°角的直角三角形与等边三角形
【典例】如图，△ABC为等边三角形，BD为∠ABC的平分线，交AC于D，DE⊥BC，垂足为E，若EC=1cm，则AB的长度为（ ）
A.2cm B.3cm C.4cm D.5cm
【答案】C
【解析】∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠C=60°，AB=BC=AC，∵DE⊥BC，∴∠CDE=30°，∵EC=1cm，∴CD=2EC=2(cm)，∵BD平分∠ABC交AC于点D，∴AD=CD=2cm，∴AB=AC=AD+CD=4(cm)．故选：C．
【强化训练1】如图，△ABC是边长为a的等边三角形，D是BC边的中点，DE⊥AC于E，则CE的长为（ ）
A. a B. a C. a D.a
【答案】A
【解析】∵△ABC是边长为a的等边三角形，D是BC边的中点，∴CD=BC=a，∠C=60°．∵DE⊥AC，∴∠DEC=90°，∴∠EDC=30°，∴CE=CD=BC=A．故选A．
【强化训练2】如图，△ABC是等边三角形，AE=CD，AD，BE相交于点P，BQ⊥AD于Q，PQ=3，PE=1，则AD的长是（ ）
A.7 B.6 C.5 D.4
【答案】A
【解析】∵△ABC为等边三角形，∴AB=CA，∠BAE=∠ACD=60°；又∵AE=CD，在△ABE和△CAD中，AB=CA，∠BAE=∠ACD，AE=CD，∴△ABE≌△CAD（SAS）；∴BE=AD，∠CAD=∠ABE；∴∠BPQ=∠ABE+∠BAD=∠BAD+∠CAD=∠BAE=60°；∵BQ⊥AD，∴∠AQB=90°，则∠PBQ=90°﹣60°=30°；∵PQ=3，∴在Rt△BPQ中，BP=2PQ=6；又∵PE=1，∴AD=BE=BP+PE=7．故选A．
【强化训练3】如图，△ABC是边长为6的等边三角形，DE⊥BC于E，EF⊥AC于F，FD⊥AB于D，则AD= ．
【答案】2
【解析】由△ABC是等边三角形得，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，又∵DE⊥BC，EF⊥AC，FD⊥AB，∴∠EDF=∠EFD=∠DEF=60°，∴△DEF为等边三角形，∴△ADF≌△DEB≌△EFC，∴AD=BE=CF，∵FD⊥AB，∠AFD=30°，∴AD=AF÷2=(AC-CF)÷2=(6-AD)÷2，解得AD=2．故答案为：2．
【强化训练4】如图，在等边三角形ABC中AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BE=2，则AF= ．
【答案】6
【解析】∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°，又DE⊥AB，
∴∠BDE=30°，
∴BD=2BE=4，∵AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，∠BAD=30°，
∴AB=2BD=8，∴AE=6，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴AF=AE=6．
故答案为：6．
【强化训练5】如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°，BD 是 △ABC 的角平分线，DE⊥AB 于点 E，连接 EC，求证：△EBC 是等边三角形.
【答案】证明 在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°，∴∠ABC=60°，BC=AB．
∵BD 平分∠ABC，∴∠DBC=∠DBA=∠A=30°．∴DA=DB．
∵DE⊥AB 于点 E，∴AE=BE=AB．∴BC=BE．∵∠ABC=60°，
∴△BCE是等边三角形．
【强化训练6】如图，点D是等边△ABC的BC边的中点，DE⊥AC．求证：AB＝4EC．
【答案】证明 ∵D是等边△ABC的 BC边上的中点，
∴AB=BC=2CD， ∠C=60°,
∵DE⊥AC，∴∠CDE=90°-60°=30°，∴CD=2EC，
∴AB=BC=2CD=4EC，即AB＝4EC.
【题型23】反证法
【典例】用反证法证明“是无理数”时，最恰当的证法是先假设（ ）
A.是分数
B.是整数
C.是有理数
D.是实数
【答案】C
【强化训练1】用反证法证明“若实数a,b满足ab=0，则a,b中至少有一个是0”时，应先假设（ ）
A.a,b中至多有一个是0
B.a,b中至少有两个是0
C.a,b中没有一个是0
D.a,b都等于0
【答案】C
【强化训练2】用反证法证明“如果|a|＞a,那么a＜0”是真命题时，第一步应先假设 ．
【答案】a≥0
【强化训练3】用反证法证明：“等腰三角形的底角必是锐角”的第一步反设是： ．
【答案】等腰三角形的底角都是直角或钝角
【强化训练4】用反证法证明下列问题：
如图，在△ABC中，点D，E分别在AC，AB上，BD，CE相交于点O．求证：BD和CE不可能互相平分．
【答案】证明 连接DE，如图，
假设BD和CE互相平分，
∴四边形EBCD是平行四边形，
∴BE∥CD，
∵在△ABC中，点D，E分别在AC，AB上，
∴AB不可能平行于AC，与已知出现矛盾，
故假设不成立原命题正确，
即BD和CE不可能互相平分．
【强化训练5】用反证法求证：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
已知：如图，∠1是△ABC的一个外角．
求证：∠1=∠A+∠B．
【答案】解 已知：如图，∠1是△ABC的一个外角，
求证：∠1=∠A+∠B，
证明：假设∠1≠∠A+∠B，
在△ABC中，∠A+∠B+∠2=180°，
∴∠A+∠B=180°-∠2，
∵∠1+∠2=180°，
∴∠1=180°-∠2，
∴∠1=∠A+∠B，
与假设相矛盾，
∴假设不成立，
∴原命题成立，即∠1=∠A+∠B．
