北师大版（2024）八年级下册 1.3 直角三角形 强化训练
【题型1】直角三角形的性质
【典例】在△ABC中，∠A=56°，∠B=34°，则△ABC是（ ）
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.锐角或钝角三角形
【强化训练1】如图，已知AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，∠A=56°，则∠DCB的度数是（ ）
A.30° B.45° C.56° D.60°
【强化训练2】如图，将一个直角三角形纸片ABC（∠ACB=90°），沿线段CD折叠，使点B落在B′处，若∠ACB'=74°，则∠ACD的度数为（ ）
A.8° B.9° C.10° D.12°
【强化训练3】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=62°，D，E分别在AB，AC上，将△ADE沿DE折叠得△FDE，且满足EF∥AB，则∠1= .
【强化训练4】如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，a∥b,∠1+∠B＝54°，则∠2= .
【强化训练5】在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线AB，CD和一块含60°角的直角三角尺EFG（∠EFG=90°，∠EGF=60°）”为主题开展数学活动．
（1）如图1，若三角尺的60°角的顶点G放在CD上，若∠2=2∠1，求∠1的度数；
（2）如图2，小颖把三角尺的两个锐角的顶点E，G分别放在AB和CD上，请你探索并说明∠AEF与∠FGC间的数量关系；
（3）如图3，小亮把三角尺的直角顶点F放在CD上，30°角的顶点E落在AB上，请你探索并说明∠AEG与∠CFG间的数量关系．
【强化训练6】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，BE平分∠ABC，分别交CD，AC于点F，E．
（1）若∠CEF=50°，求∠A的度数；
（2）∠CFE与∠CEF相等吗？请说明理由．
【题型2】勾股定理
【典例】下列各图是以直角三角形各边为边在三角形外部画正方形得到的．每个正方形中的数及字母S表示所在正方形的面积，其中S的值恰好等于5的是（ ）
A. B. C. D.
【强化训练1】如图，在平面直角坐标系中，B，C两点的坐标分别为（﹣3，0）和（7，0），AB＝AC＝13，则点A的坐标为（ ）
A.（2，12） B.（3，13） C.（5，12） D.（5，13）
【强化训练2】如图，△ABC的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC于点D，则BD的长为（ ）
A. B. C. D.
【强化训练3】如图，在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，AD⊥BC，垂足为点D，BE是AC边上的中线，AD与BE相交于点G，则GE的长为 ．
【强化训练4】如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝6，AB＝8，DE是边AB的垂直平分线，则△ADC的周长为 ．
【强化训练5】如图，在△ABC中，AC＝8，BC＝6，CE是AB边上的中线，CD是AB边上的高，且AE＝5．
（1）求CD的长；
（2）求DE的长．
【强化训练6】如图：已知AB⊥BC，DC⊥BC，AE⊥DE，且AE＝12，CD＝3，CE＝4，求AD的长．
【题型3】最短路径问题
【典例】如图，长方体的底面邻边长分别是5cm和7cm，高为20cm，如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B（点B为棱的中点），那么所用细线最短为（ ）
A.20cm B.24cm C.26cm D.28cm
【强化训练1】如图所示，有一根高为2.1m的木柱，它的底面周长为40cm，在准备元旦联欢晚会时，为了营造喜庆的气氛，老师要求小明将一根彩带从底柱向柱顶均匀地缠绕7圈，一直缠到起点的正上方为止，小明需要准备的这根彩带的长至少为（ ）
A.70cm B.350cm C.280cm D.300cm
【强化训练2】如图所示，有一个高16cm，底面周长为24cm的圆柱形玻璃容器，在外侧距下底2cm的点S处有一只蚂蚁，与蚂蚁相对的圆柱形容器的上口内侧距开口处2cm的点F处有一滴凝固的蜂蜜，则蚂蚁到凝固蜂蜜所走的最短路径的长度是（ ）cm．
A.12 B.20 C.24 D.28
【强化训练3】如图，圆柱形玻璃杯高为7cm，底面周长为20cm，在杯顶部C处有一滴蜂蜜离杯顶B点的曲线长度为2cm，此时一只蚂蚁正好也在杯外壁，离杯底2cm点A处，则蚂蚁从外壁A处到C处的最短距离为 cm．（杯壁厚度不计）
【强化训练4】如图，长方体的底面是边长为2cm的正方形，高是6cm．
（1）如果用一根细线从点A开始经过4个侧面围绕一圈到达点B．那么所用的细线最短长度是多少厘米？
（2）如果从A点开始经过4个侧面缠绕2圈到达点B，那么所用细线最短长度是多少厘米？
【题型4】勾股定理的逆定理
【典例】在单位长度为1的正方形网格中，下面的三角形是直角三角形的是（ ）
A. B. C. D.
【强化训练1】△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，下列结论中不正确的是（ ）
A.如果∠A﹣∠B＝∠C，那么△ABC是直角三角形，且c是斜边
B.如果a2＝b2﹣c2，那么△ABC是直角三角形，且∠B是直角
C.如果∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，那么△ABC是直角三角形，且∠C是直角
D.a2∶b2∶c2＝9∶16∶25，那么△ABC是直角三角形，且c是斜边
【强化训练2】如图所示的网格是正方形网格，点A，B，P是网格线的交点，则∠PAB+∠PBA等于（ ）
A.30° B.45° C.60° D.75°
【强化训练3】如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D，E是网格线交点，则∠DAE﹣∠BAC的度数为 ．
【强化训练4】一种机器零件的形状如图所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角，工人师傅量得这个零件各边尺寸如图所示，这个零件符合要求吗？请说明理由．
【强化训练5】如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，四边形ABCD的四个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：
（1）线段AC的长为 ，CD的长为 ，AD的长为 ．
（2）通过计算说明△ACD是什么特殊三角形．
【题型5】勾股数
【典例】下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A.0.3，0.4，0.5
B.3，4，5
C.，，
D.5，7，12
【强化训练1】《九章算术》是中国古代重要的数学著作，该著作中给出了勾股数a，b，c的计算公式：a＝（m2﹣n2），b＝mn，c＝（m2+n2），其中m＞n＞0，m，n是互质的奇数．下列四组勾股数中，不能由该勾股数计算公式直接得出的是（ ）
A.3，4，5
B.5，12，13
C.6，8，10
D.7，24，25
【强化训练2】若a，12，13是一组勾股数，则a＝ ．
【强化训练3】材料阅读：给定三个数a，b，c，若它们满足a2+b2＝c2，则称a，b，c这三个数为“勾股数”．例如：
①32＝9，42＝16，52＝25，∵9+16＝25，即32+42＝52，∴3，4，5这三个数为勾股数．
②52＝25，122＝144，132＝196，∵25+144+169，即52+122＝132，∴5，12，13这三个数为勾股数．
若三角形的三条边a，b，c满足勾股数，即a2+b2＝c2，则这个三角形为直角三角形，且a，b分别为直角的两条邻边．（如题图所示）
根据以上信息，解答下列问题：
（1）试判断8，15，17是否为勾股数；
（2）若某三角形的三边长分别为7，24，25，求其面积；
（3）已知某直角三角形的两边长为6和8，求其周长．
【题型6】互逆命题与互逆定理
【典例】下列正确叙述的个数是（ ）
①每个命题都有逆命题
②真命题的逆命题是真命题
③假命题的逆命题是真命题
④每个定理都有逆定理
⑤每个定理一定有逆命题
⑥命题“若a=b,那么a3=b3”的逆命题是假命题．
A.1 B.2 C.3 D.4
【强化训练1】已知命题：如果a=b,那么|a|=|b|．该命题的逆命题是（ ）
A.如果a=b,那么|a|=|b|
B.如果|a|=|b|，那么a=b
C.如果a≠b,那么|a|≠|b|
D.如果|a|≠|b|，那么a≠b
【强化训练2】命题：“两直线平行，则同旁内角互补”的逆命题为 ．
【强化训练3】已知：如图，△ABC中，点D，E是边BC上的两点，点G是边AB上一点，连接EG并延长．交CA的延长线于点F．从以下：①AD平分∠BAC，②EF∥AD，③∠AGF=∠F，三个条件中选两个作为条件，另一个作为结论，构成一个正确的数学命题，并加以证明．
条件： ，结论： ．（填序号）
证明： ．
【题型7】用HL判定三角形全等
【典例】如图，AB∥EF∥DC，∠ABC=90°，AB=DC，那么图中的全等三角形共有( )
A.5对 B.4对 C.3对 D.2对
【强化训练1】如图所示，∠C=∠D=90°添加一个条件，可使用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等．以下给出的条件适合的是（ ）
A.AC=AD B.AB=AB C.∠ABC=∠ABD D.∠BAC=∠BAD
【强化训练2】如图，已知AC⊥BD于点P，AP=CP，请增加一个条件，用HL判定△ABP≌△CDP（不能添加辅助线），你增加的条件是 .
【强化训练3】如图所示，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF．求证：Rt△ABE≌Rt△CBF．
【强化训练4】在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，CF=AE，BC=DA．求证：Rt△ABE≌Rt△CDF．
【题型8】用HL证明边或角相等
【典例】如图，AB⊥BC于B，AD⊥CD于D，若CB=CD，且∠BAC=30°，则∠BAD的度数是（ ）
A.15° B.30° C.60° D.90°
【强化训练1】如图，AB⊥AC于A，BD⊥CD于D，若AC=DB，则下列结论中不正确的是（ ）
A.∠A=∠D B.∠ABC=∠DCB C.OB=OD D.OA=OD
【强化训练2】已知，D为△ABC所在平面内一点，且DB＝DC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，DE＝DF.
(1)当点D在BC边上时(如图)，判断△ABC的形状(直接写出答案)；
(2)当点D在△ABC内部时，(1)中的结论是否一定成立？若成立，请证明；若不成立，请举出反例(画图说明)．
【强化训练3】如图所示，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是点E，F，且BF＝CE.求证：
(1)△ABC是等腰三角形；
(2)点D在∠BAC的角平分线上．
【题型9】HL的应用
【典例】如图所示，有两个长度相同的滑梯（即BC=EF），左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，则下列结论：（1）AB=DE；（2）∠ABC+∠DFE=90°；（3）∠ABC=∠DEF中正确的有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.0个
【强化训练1】如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠ABC和∠DFE的大小间的关系是（ ）
A.∠ABC=∠DFE
B.∠ABC＞∠DFE
C.∠ABC＜∠DFE
D.∠ABC+∠DFE=90°
【强化训练2】如图，太阳光线AC与A′C′平行且相等，同一时刻两根垂直于地面且高度相同的木杆在太阳光照射下的影子BC与B′C′一样长吗？说说你的理由．
【强化训练3】小明用三角板按如图所示的方法画角平分线，在∠AOB的两边分别取OC=OD，再分别以C，D为垂足，用三角板作OA，OB的垂线，交点为P，作射线OP，则OP就是∠AOB的角平分线，你认为小明的做法有道理吗？请你给出合理的解释．
【题型10】求高度或距离
【典例】如图，学校计划在该三角形空地上铺上绿色植被美化校园，已知绿色植被每平方米造价40元，则铺满这块空地需要（ ）
A.60a2元 B.120a2元 C.20元 D.40元
【强化训练1】如图，有一根电线杆垂直立在地面D处，在电线杆的点C处引拉线固定电线杆，拉线AC＝BC＝6m，且和地面成60°，则电线杆引线处C离地面的高度（即CD的长）是（ ）
A.3m B.m C.2m D.3
【强化训练2】如图，桌面上有一把直尺和一个透明的学具△ABC，其中∠ABC＝90°，AB＝6cm，AC＝10cm，学具△ABC放置在直尺的一侧，AB边与直尺的边缘重合，点A对应直尺的刻度为2cm．现将学具△ABC沿直尺边缘平移到△A'BC'所在位置，点A'对应直尺的刻度为12cm，连接CC'，则边AC扫过的面积为（ ）
A.120cm2 B.102cm2 C.90cm2 D.72cm2
【强化训练3】如图，在笔直的铁路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄，DA＝10km，CB＝15km，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个中转站E，使得C，D两村到E站的距离相等．则E应建在距A km.
【强化训练4】如图，某数学兴趣小组为测量学校C与河对岸工厂B之间的距离，在学校附近选一点A，利用测量仪器测得∠A＝60°，∠C＝90°，AC＝1km．据此，可求得学校与工厂之间的距离BC等于 km．
【强化训练5】学过《勾股定理》后，李老师和“几何小分队”的队员们到操场上测量旗杆AB高度，得到如下信息：
①测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长2米（如图1）；
②当将绳子拉直时，测得此时拉绳子的手到地面的距离CD为1米，到旗杆的距离CE为9米（如图2）．
根据以上信息，求旗杆AB的高度．
【强化训练6】如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船．河岸上一男子拽着绳子另一端向右走，绳端从C移动到E，同时小船从A移动到B，绳子始终绷紧且绳长保持不变．（1）若CF＝7米，AF＝24米，AB＝18米，求男子需向右移动的距离．（结果保留根号）
（2）此人以0.5米每秒的速度收绳，请通过计算回答，该男子能否在30秒内将船从A处移动到岸边点F的位置？北师大版（2024）八年级下册 1.3 直角三角形 强化训练（参考答案）
【题型1】直角三角形的性质
【典例】在△ABC中，∠A=56°，∠B=34°，则△ABC是（ ）
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.锐角或钝角三角形
【答案】B
【解析】由题意∠C=180°-∠A-∠B=180°-56°-34°=90°，
∴△ABC是直角三角形，
故选：B．
【强化训练1】如图，已知AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，∠A=56°，则∠DCB的度数是（ ）
A.30° B.45° C.56° D.60°
【答案】C
【解析】∵CD⊥AB，AC⊥BC，
∴∠ADC=∠CDB=∠ACB=90°，
∵∠A=56°，
∴∠ACD=90°-56°=34°，
∴∠DCB=90°-34°=56°，
故选：C．
【强化训练2】如图，将一个直角三角形纸片ABC（∠ACB=90°），沿线段CD折叠，使点B落在B′处，若∠ACB'=74°，则∠ACD的度数为（ ）
A.8° B.9° C.10° D.12°
【答案】A
【解析】∵∠ACB′=74°，∠ACB=90°，
∴∠BCB′=164°，
由翻折的性质可知：∠DCB=∠BCB′=82°，
∴∠ACD=∠ACB-∠DCB=90°-82°=8°．
故选：A．
【强化训练3】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=62°，D，E分别在AB，AC上，将△ADE沿DE折叠得△FDE，且满足EF∥AB，则∠1= .
【答案】76°
【解析】∵△ADE沿DE折叠得△FDE，
∴∠F=∠A，∠ADE=∠FDE，
∵EF∥AB，
∴∠F=∠BDF，
∴∠A=∠BDF，
∵∠C=90°，∠B=62°，
∴∠A=90°-∠B=28°，
∴∠BDF=28°，
∴∠ADF=180°-∠BDF=152°，
∴∠ADE=∠ADF=76°，
∴∠1=180°-∠A-∠ADE=180°-28°-76°=76°．
故答案为：76°．
【强化训练4】如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，a∥b,∠1+∠B＝54°，则∠2= .
【答案】36°
【解析】如图：
∵∠1+∠B＝54°，
∴∠EDC＝54°，
∵a∥b,
∴∠DCF＝∠EDC＝54°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠2=180°-90°-54°=36°，
故答案为：36°．
【强化训练5】在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线AB，CD和一块含60°角的直角三角尺EFG（∠EFG=90°，∠EGF=60°）”为主题开展数学活动．
（1）如图1，若三角尺的60°角的顶点G放在CD上，若∠2=2∠1，求∠1的度数；
（2）如图2，小颖把三角尺的两个锐角的顶点E，G分别放在AB和CD上，请你探索并说明∠AEF与∠FGC间的数量关系；
（3）如图3，小亮把三角尺的直角顶点F放在CD上，30°角的顶点E落在AB上，请你探索并说明∠AEG与∠CFG间的数量关系．
【答案】解 （1）∵AB∥CD，
∴∠1=∠EGD，
∵∠2+∠FGE+∠EGD=180°，∠2=2∠1，
∴2∠1+60°+∠1=180°，
解得∠1=40°．
（2）∠AEF+∠FGC=90°，理由如下：
如图，过点F作FP∥AB，
∵CD∥AB，
∴FP∥AB∥CD，
∴∠AEF=∠EFP，∠FGC=∠GFP，
∴∠AEF+∠FGC=∠EFP+∠GFP=∠EFG，
∵∠EFG=90°，
∴∠AEF+∠FGC=90°．
（3）∠AEG+∠CFG=300°．理由如下：
∵AB∥CD，
∴∠AEF+∠CFE=180°，
∴∠AEG-∠FEG+∠CFG-∠EFG=180°，
∵∠FEG=30°，∠EFG=90°，
∴∠AEG-30°+∠CFG-90°=180°，
∴∠AEG+∠CFG=300°．
【强化训练6】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，BE平分∠ABC，分别交CD，AC于点F，E．
（1）若∠CEF=50°，求∠A的度数；
（2）∠CFE与∠CEF相等吗？请说明理由．
【答案】解 （1）∵∠ACB=90°，∠CEF=50°，
∴∠CBE=40°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC=80°，
∴∠A=90°-80°=10°；
（2）∠CFE=∠CEF，理由如下：
∵∠ACB=90°，
∴∠CBE+∠CEB=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠EBA+∠BFD=90°
又∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE=∠EBA，
∴∠CEB=∠BFD，
∵∠BFD=∠CFE，
∴∠CEB=∠CFE，
即∠CFE=∠CEF．
【题型2】勾股定理
【典例】下列各图是以直角三角形各边为边在三角形外部画正方形得到的．每个正方形中的数及字母S表示所在正方形的面积，其中S的值恰好等于5的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵每个正方形中的数及字母S表示所在正方形的面积，∴每个正方形中的数字以及字母S表示所在正方形的边长的平方，
A.由勾股定理得，S＝4+9＝13，故A不符合题意；
B.S＝9﹣4＝5，故B符合题意；
C.S＝4+3＝7，故C不符合题意；
D.S＝4﹣3＝1，故D不符合题意；
故选：B．
【强化训练1】如图，在平面直角坐标系中，B，C两点的坐标分别为（﹣3，0）和（7，0），AB＝AC＝13，则点A的坐标为（ ）
A.（2，12） B.（3，13） C.（5，12） D.（5，13）
【答案】A
【解析】过点A作AD⊥BC于点D，
∵B（﹣3，0），C（7，0），
∴OB＝3，BC＝10，
∵AC＝AB＝13，
∴BD＝CD＝BC＝5，
∴AD=＝＝12．
∴OD＝BD﹣OB＝2，
∴A（2，12）．
故选：A．
【强化训练2】如图，△ABC的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC于点D，则BD的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如图所示：
S△ABC＝×BC×AE＝×BD×AC，
∵AE＝4，AC＝＝5，BC＝4
即×4×4＝×5×BD，
解得：BD＝．
故选：C．
【强化训练3】如图，在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，AD⊥BC，垂足为点D，BE是AC边上的中线，AD与BE相交于点G，则GE的长为 ．
【答案】
【解析】∵AB＝AC＝13，AD⊥BC，BC＝10，
∴BD＝CD＝BC＝5，∠ADB＝90°，
∴AD＝＝＝12，
∵BE是AC边上的中线，
∴点G为△ABC的重心，
∴DG＝AD＝4，GE＝BG，
∴BG＝＝＝，
∴GE＝BG＝，
故答案为：．
【强化训练4】如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝6，AB＝8，DE是边AB的垂直平分线，则△ADC的周长为 ．
【答案】16
【解析】∵∠BAC＝90°，AC＝6，AB＝8，
∴BC＝＝10，
∵DE是边AB的垂直平分线，
∴BD＝AD，
∴△ADC的周长＝AC+CD+AD＝AC+CD+BD＝AC+BC＝6+10＝16．
故答案为：16．
【强化训练5】如图，在△ABC中，AC＝8，BC＝6，CE是AB边上的中线，CD是AB边上的高，且AE＝5．
（1）求CD的长；
（2）求DE的长．
【答案】解 （1）∵CE是AB边上的中线，
∴AE＝BE＝5，
∴AB＝10，
又∵AC＝8，BC＝6，
∴AC2+BC2＝82+62＝100＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，
又∵CD是△ABC的高，
∴S△ABC=，
∴CD＝=4.8；
（2）在Rt△BDC中，由勾股定理得，
BD＝＝3.6，
∴DE＝BE﹣BD＝5﹣3.6＝1.4．
【强化训练6】如图：已知AB⊥BC，DC⊥BC，AE⊥DE，且AE＝12，CD＝3，CE＝4，求AD的长．
【答案】解 ∵DC⊥BC，AE⊥DE，
∴∠C＝∠AED＝90°，
在Rt△CDE中，由勾股定理得，DE＝＝＝5，
在Rt△ADE中，由勾股定理得，AD＝＝＝13，
即AD的长为13．
【题型3】最短路径问题
【典例】如图，长方体的底面邻边长分别是5cm和7cm，高为20cm，如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B（点B为棱的中点），那么所用细线最短为（ ）
A.20cm B.24cm C.26cm D.28cm
【答案】C
【解析】如图所示，将长方体的侧面展开，AC＝2（5+7）＝24（cm），
BC＝＝10（cm），
由勾股定理可得，AB＝＝＝26（cm），
∴所用细线最短为26cm，
故选：C．
【强化训练1】如图所示，有一根高为2.1m的木柱，它的底面周长为40cm，在准备元旦联欢晚会时，为了营造喜庆的气氛，老师要求小明将一根彩带从底柱向柱顶均匀地缠绕7圈，一直缠到起点的正上方为止，小明需要准备的这根彩带的长至少为（ ）
A.70cm B.350cm C.280cm D.300cm
【答案】B
【解析】将圆柱表面切开展开呈长方形，
则求螺旋线长为七个长方形并排后的长方形的对角线长，
因为圆柱高2.1m，底面周长0.4m，
x2＝（40×7）2+2102＝122500，
解得x＝350，
所以，彩带长至少是350cm．
故选：B．
【强化训练2】如图所示，有一个高16cm，底面周长为24cm的圆柱形玻璃容器，在外侧距下底2cm的点S处有一只蚂蚁，与蚂蚁相对的圆柱形容器的上口内侧距开口处2cm的点F处有一滴凝固的蜂蜜，则蚂蚁到凝固蜂蜜所走的最短路径的长度是（ ）cm．
A.12 B.20 C.24 D.28
【答案】B
【解析】如图所示，作点F关于AB的对称点F′，连接SF′，则蚂蚁到凝固蜂蜜所走的最短路径的长度＝SF′的长度，
过S作SE⊥F′F于E，
在Rt△SEF′中，∵SE＝×24＝12（cm），EF＝16﹣2+2＝16（cm），
∴SF'＝＝20（cm）．
故选：B．
【强化训练3】如图，圆柱形玻璃杯高为7cm，底面周长为20cm，在杯顶部C处有一滴蜂蜜离杯顶B点的曲线长度为2cm，此时一只蚂蚁正好也在杯外壁，离杯底2cm点A处，则蚂蚁从外壁A处到C处的最短距离为 cm．（杯壁厚度不计）
【答案】
【解析】如图，
将杯子侧面展开，连接AC，则AC即为最短距离，
AC＝＝（cm）．
答：蚂蚁从外壁A处到C处的最短距离为cm．
故答案为：．
【强化训练4】如图，长方体的底面是边长为2cm的正方形，高是6cm．
（1）如果用一根细线从点A开始经过4个侧面围绕一圈到达点B．那么所用的细线最短长度是多少厘米？
（2）如果从A点开始经过4个侧面缠绕2圈到达点B，那么所用细线最短长度是多少厘米？
【答案】解 （1）如图1所示，连接AB′，则AB′即为所用的最短细线长，
AA′＝8cm，A′B′＝AB＝6cm，
由勾股定理得AB′2＝AA′2+A′B′2＝62+82＝100，
则AB′＝10cm，
答：所用的细线最短长度是10cm．
（2）如图2所示，将长方体的侧面沿AB展开，取A′B′的中点C，取AB的中点C′，连接B′C′，AC，
则AC+B′C′为所求的最短细线长，
AC2＝AA′2+A′C2，AC＝cm，
B′C′2＝BB′2+C′B2＝73，
B′C′＝（cm），
AC+B′C′＝2（cm），
答：所用细线最短长度是2cm．
【题型4】勾股定理的逆定理
【典例】在单位长度为1的正方形网格中，下面的三角形是直角三角形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】A.三角形的三边为，2，3，，则这个三角形不直角三角形，本选项不符合题意；
B.三角形的三边为，，，，则这个三角形不直角三角形，本选项不符合题意；
C.三角形的三边为，，2，，则这个三角形是直角三角形，本选项符合题意；
D.三角形的三边为，，2，这个三角形不直角三角形，本选项不符合题意．
故选：C．
【强化训练1】△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，下列结论中不正确的是（ ）
A.如果∠A﹣∠B＝∠C，那么△ABC是直角三角形，且c是斜边
B.如果a2＝b2﹣c2，那么△ABC是直角三角形，且∠B是直角
C.如果∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，那么△ABC是直角三角形，且∠C是直角
D.a2∶b2∶c2＝9∶16∶25，那么△ABC是直角三角形，且c是斜边
【答案】A
【解析】A.∵∠A﹣∠B＝∠C，
∴∠A＝180°÷2＝90°，
∴△ABC是直角三角形，a为斜边，符合题意；
B.∵a2＝b2﹣c2，
∴b2＝c2+a2，
∴△ABC是直角三角形，不符合题意；
C.∵∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，
∴∠C＝90°，
∴△ABC是直角三角形，不符合题意；
D.∵a2∶b2∶c2＝9∶16∶25，那么△ABC是直角三角形，不符合题意．
故选：A．
【强化训练2】如图所示的网格是正方形网格，点A，B，P是网格线的交点，则∠PAB+∠PBA等于（ ）
A.30° B.45° C.60° D.75°
【答案】B
【解析】如图，延长AP交格点于D，连接BD，
则PD2＝BD2＝12+22＝5，PB2＝12+32＝10，
∴PD2+BD2＝PB2，
∴∠PDB＝90°，则△DPB为等腰直角三角形，
∴∠DPB＝45°，
∴∠PAB+∠PBA＝∠DPB＝45°，
故选：B．
【强化训练3】如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D，E是网格线交点，则∠DAE﹣∠BAC的度数为 ．
【答案】45°．
【解析】连接AF，EF，如图所示，
由图可得，△AFG≌△ACB，
∴∠BAC＝∠GAF，
∴∠DAE﹣∠BAC＝∠DAE﹣∠GAF＝∠FAE，
设每个小正方形网格的边长为a，
则AE＝EF＝＝a，
AF＝＝a，
∴AE2+EF2＝AF2，
∴△AEF是直角三角形，∠FAE＝45°，
∴∠DAE﹣∠BAC＝45°，
故答案为：45°．
【强化训练4】一种机器零件的形状如图所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角，工人师傅量得这个零件各边尺寸如图所示，这个零件符合要求吗？请说明理由．
【答案】解 ∵AD＝12，AB＝9，DC＝17，BC＝8，BD＝15，
∴AB2+AD2＝BD2，
BD2+BC2＝DC2．
∴△ABD，△BDC是直角三角形．
∴∠A＝90°，∠DBC＝90°．
故这个零件符合要求．
【强化训练5】如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，四边形ABCD的四个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：
（1）线段AC的长为 ，CD的长为 ，AD的长为 ．
（2）通过计算说明△ACD是什么特殊三角形．
【答案】解 （1）AC＝＝；
CD＝＝；
AD＝＝5．
（2）由（1）知AC2＝20，CD2＝5，AD2＝25，
∴AC2+CD2＝AD2，
故△ACD是直角三角形．
【题型5】勾股数
【典例】下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A.0.3，0.4，0.5
B.3，4，5
C.，，
D.5，7，12
【答案】B
【解析】A.不是勾股数，因为0.3，0.4，0.5不是正整数，不符合题意；
B.是勾股数，因为32+42＝52，符合题意；
C.不是勾股数，因为，，不是正整数，不符合题意；
D.不是勾股数，因为52+72≠122，不符合题意．
故选：B．
【强化训练1】《九章算术》是中国古代重要的数学著作，该著作中给出了勾股数a，b，c的计算公式：a＝（m2﹣n2），b＝mn，c＝（m2+n2），其中m＞n＞0，m，n是互质的奇数．下列四组勾股数中，不能由该勾股数计算公式直接得出的是（ ）
A.3，4，5
B.5，12，13
C.6，8，10
D.7，24，25
【答案】C
【解析】∵当m＝3，n＝1时，
a＝（m2﹣n2）＝（32﹣12）＝4，b＝mn＝3×1＝3，c＝（m2+n2）＝×（32+12）＝5，
∴选项A不符合题意；
∵当m＝5，n＝1时，
a＝（m2﹣n2）＝（52﹣12）＝12，b＝mn＝5×1＝5，c＝（m2+n2）＝×（52+12）＝13，
∴选项B不符合题意；
∵当m＝7，n＝1时，
a＝（m2﹣n2）＝（72﹣12）＝24，b＝mn＝7×1＝7，c＝（m2+n2）＝×（72+12）＝25，
∴选项D不符合题意；
∵没有符合条件的m，n使a，b，c各为6，8，10，
∴选项C符合题意，
故选：C．
【强化训练2】若a，12，13是一组勾股数，则a＝ ．
【答案】5
【解析】∵52+122＝132，
∴a＝5，
故答案为：5．
【强化训练3】材料阅读：给定三个数a，b，c，若它们满足a2+b2＝c2，则称a，b，c这三个数为“勾股数”．例如：
①32＝9，42＝16，52＝25，∵9+16＝25，即32+42＝52，∴3，4，5这三个数为勾股数．
②52＝25，122＝144，132＝196，∵25+144+169，即52+122＝132，∴5，12，13这三个数为勾股数．
若三角形的三条边a，b，c满足勾股数，即a2+b2＝c2，则这个三角形为直角三角形，且a，b分别为直角的两条邻边．（如题图所示）
根据以上信息，解答下列问题：
（1）试判断8，15，17是否为勾股数；
（2）若某三角形的三边长分别为7，24，25，求其面积；
（3）已知某直角三角形的两边长为6和8，求其周长．
【答案】解 （1）因为82+152＝172，且8，15，17都是正整数，
故8，15，17是为勾股数．
（2）∵72+242＝252，
∴该三角形是直角三角形，
∴其面积＝×7×24＝84．
（3）当8是直角边时，则另一条边＝＝10，周长为6+8+10＝24；
当8是斜边时，则另一条边＝＝2，周长为6+8+2＝14+2．
故其周长为24或14+2．
【题型6】互逆命题与互逆定理
【典例】下列正确叙述的个数是（ ）
①每个命题都有逆命题
②真命题的逆命题是真命题
③假命题的逆命题是真命题
④每个定理都有逆定理
⑤每个定理一定有逆命题
⑥命题“若a=b,那么a3=b3”的逆命题是假命题．
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】B
【解析】把原命题的题设与结论交换得到它的逆命题，所以①正确；
原命题：若a=b,则|a|=|b|，其逆命题为：若|a|=|b|，则a=b,它是假命题，所以②错误；
原命题：若am＞bm,则a＞b,其逆命题：若a＞b,则am＞bm,它是假命题，所以③错误；
定理的逆命题不一定是真命题，所以每个定理不一定有逆定理，所以④错误；
每个定理一定有逆命题，所以⑤正确；
命题“若a=b,那么a3=b3”的逆命题为“若a3=b3，则a=b”，它是真命题，所以⑥错误．
故选：B．
【强化训练1】已知命题：如果a=b,那么|a|=|b|．该命题的逆命题是（ ）
A.如果a=b,那么|a|=|b|
B.如果|a|=|b|，那么a=b
C.如果a≠b,那么|a|≠|b|
D.如果|a|≠|b|，那么a≠b
【答案】B
【解析】已知本题中命题的题设是a=b,结论是|a|=|b|，
所以它的逆命题中的题设是|a|=|b|，结论是a=b,
所以本题中的逆命题是如果|a|=|b|，那么a=b.
故选：B．
【强化训练2】命题：“两直线平行，则同旁内角互补”的逆命题为 ．
【答案】同旁内角互补，两直线平行
【强化训练3】已知：如图，△ABC中，点D，E是边BC上的两点，点G是边AB上一点，连接EG并延长．交CA的延长线于点F．从以下：①AD平分∠BAC，②EF∥AD，③∠AGF=∠F，三个条件中选两个作为条件，另一个作为结论，构成一个正确的数学命题，并加以证明．
条件： ，结论： ．（填序号）
证明： ．
【答案】解 条件是①AD平分∠BAC，②EF∥AD；结论是③∠AGF=∠F，
证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠DAB=∠DAC，
∵EF∥AD，
∴∠AGF=∠BAD，∠F=∠DAC，
∴∠AGF=∠F．
【题型7】用HL判定三角形全等
【典例】如图，AB∥EF∥DC，∠ABC=90°，AB=DC，那么图中的全等三角形共有( )
A.5对 B.4对 C.3对 D.2对
【答案】C
【解析】①△ABC≌△DCB ∵AB∥EF∥DC ∴∠ABC=∠DCB
∵AB=DC，BC=BC ∴△ABC≌△DCB；
②△ABE≌△CDE ∵∠ABE=∠DCE，∠AEB=∠DEC，AB=DC，∴△ABE≌△CDE；
③△BFE≌△CFE，∵BE=EC，EF=EF，∠BEF=∠CEF，∴△BFE≌△CFE．
∴图中的全等三角形共有3对．
【强化训练1】如图所示，∠C=∠D=90°添加一个条件，可使用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等．以下给出的条件适合的是（ ）
A.AC=AD B.AB=AB C.∠ABC=∠ABD D.∠BAC=∠BAD
【答案】A
【解析】需要添加的条件为BC=BD或AC=AD，理由为：若添加的条件为BC=BD，
在Rt△ABC与Rt△ABD中，∵
∴Rt△ABC≌Rt△ABD（HL）；
若添加的条件为AC=AD，理由为：在Rt△ABC与Rt△ABD中，
∵∴Rt△ABC≌Rt△ABD（HL）．故选A．
【强化训练2】如图，已知AC⊥BD于点P，AP=CP，请增加一个条件，用HL判定△ABP≌△CDP（不能添加辅助线），你增加的条件是 .
【答案】AB=CD
【解析】要使△ABP≌△CDP，已知AC⊥BD于点P，AP=CP，即一角一边，则我们增加斜边AB=CD，利用HL判定其全等．
【强化训练3】如图所示，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF．求证：Rt△ABE≌Rt△CBF．
【答案】证明 在Rt△ABE和Rt△CBF中，
∵
∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL）．
【强化训练4】在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，CF=AE，BC=DA．求证：Rt△ABE≌Rt△CDF．
【答案】证明 在Rt△ADC与Rt△CBA中，
∴Rt△ADC≌Rt△CBA（HL），
∴DC=BA．
又∵BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，
∴∠AEB=∠CFD=90°，
在Rt△ABE与Rt△CDF中，
∴Rt△ABE≌Rt△CDF（HL）．
【题型8】用HL证明边或角相等
【典例】如图，AB⊥BC于B，AD⊥CD于D，若CB=CD，且∠BAC=30°，则∠BAD的度数是（ ）
A.15° B.30° C.60° D.90°
【答案】C
【解析】∵AB⊥BC于B，AD⊥CD于D，
∴∠ABC=∠ADC=90°，
又∵CB=CD，AC=AC，
∴△ABC≌△ADC（HL），
∴∠BAC=∠DAC=30°，
∴∠BAD=∠BAC+∠DAC=60°．
故选C．
【强化训练1】如图，AB⊥AC于A，BD⊥CD于D，若AC=DB，则下列结论中不正确的是（ ）
A.∠A=∠D B.∠ABC=∠DCB C.OB=OD D.OA=OD
【答案】C
【解析】用HL证明边或角相等.
∵AB⊥AC于A，BD⊥CD于D，∴∠A=∠D=90°（A正确）．
又∵AC=DB，BC=BC，∴△ABC≌△DCB，∴∠ABC=∠DCB（B正确），
∴AB=CD．又∵∠AOB=∠DOC，∴△AOB≌△DOC，∴OA=OD（D正确）．
C中OD，OB不是对应边，不相等．故选C．
【强化训练2】已知，D为△ABC所在平面内一点，且DB＝DC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，DE＝DF.
(1)当点D在BC边上时(如图)，判断△ABC的形状(直接写出答案)；
(2)当点D在△ABC内部时，(1)中的结论是否一定成立？若成立，请证明；若不成立，请举出反例(画图说明)．
【答案】解 (1)△ABC是等腰三角形．
(2)如图，当点D在△ABC内部时，△ABC是等腰三角形依然成立．
理由：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED＝∠CFD＝90°.
在Rt△EBD与Rt△FCD中，
∴Rt△EBD≌Rt△FCD(HL)．
∴∠EBD＝∠FCD.
∵DB＝DC，
∴∠DBC＝∠DCB.
∴∠EBD＋∠DBC＝∠FCD＋∠DCB，
即∠EBC＝∠FCB.
∴AB＝AC.
∴△ABC是等腰三角形.
【强化训练3】如图所示，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是点E，F，且BF＝CE.求证：
(1)△ABC是等腰三角形；
(2)点D在∠BAC的角平分线上．
【答案】证明 (1)∵D是BC边上的中点，
∴DB＝DC，
又∵DE⊥AC，DF⊥AB，
∴∠BFD＝∠CED＝90°，
在Rt△BDF和Rt△CDE中
∴Rt△BDF≌Rt△CDE(HL)，
∴∠B＝∠C，
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形．
(2)∵Rt△BDF≌Rt△CDE，
∴DF＝DE，
又∵DE⊥AC，DF⊥AB，
∴点D在∠BAC的角平分线上．
【题型9】HL的应用
【典例】如图所示，有两个长度相同的滑梯（即BC=EF），左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，则下列结论：（1）AB=DE；（2）∠ABC+∠DFE=90°；（3）∠ABC=∠DEF中正确的有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.0个
【答案】C
【解析】∵在Rt△ABC和Rt△DEF中，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）
则（1）AB=DE，正确；
（2）∠ABC+∠DFE=90°，正确；
（3）∠ABC=∠DEF．故选 C．
【强化训练1】如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠ABC和∠DFE的大小间的关系是（ ）
A.∠ABC=∠DFE
B.∠ABC＞∠DFE
C.∠ABC＜∠DFE
D.∠ABC+∠DFE=90°
【答案】D
【解析】∵BC=EF，AC=DF，∠CAB=∠FDE=90°，
∴△ABC≌△DEF（HL），
∴∠BCA=∠DFE．
又∵在Rt△ABC中∠ABC+∠BCA=90°，
∴∠ABC+∠DFE=90°．故选D.
【强化训练2】如图，太阳光线AC与A′C′平行且相等，同一时刻两根垂直于地面且高度相同的木杆在太阳光照射下的影子BC与B′C′一样长吗？说说你的理由．
【答案】解 影子一样长，理由如下：
∵AB⊥BC，A′B′⊥B′C′，
∴∠ABC＝∠A′B′C′＝90°，
在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，
∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(HL)，∴BC＝B′C′.
即影子一样长．
【强化训练3】小明用三角板按如图所示的方法画角平分线，在∠AOB的两边分别取OC=OD，再分别以C，D为垂足，用三角板作OA，OB的垂线，交点为P，作射线OP，则OP就是∠AOB的角平分线，你认为小明的做法有道理吗？请你给出合理的解释．
【答案】解 小明的做法有道理．
理由如下：在Rt△OPC和Rt△OPD中，
∴Rt△OPC≌Rt△OPD（HL），
∴∠AOP=∠BOP，
∴OP就是∠AOB的角平分线．
【题型10】求高度或距离
【典例】如图，学校计划在该三角形空地上铺上绿色植被美化校园，已知绿色植被每平方米造价40元，则铺满这块空地需要（ ）
A.60a2元 B.120a2元 C.20元 D.40元
【答案】C
【解析】∵∠DAC＝∠C＝45°，
∴∠ADC＝90°，AD＝CD＝a米，
∴∠ADB＝90°，
∵∠B＝30°，
∴AB＝2AD＝2a（米），
∴BD＝＝a（米），
∴BC＝BD+CD＝（+1）a米，
∴S△ABC＝＝（+1）a2（平方米），
∵绿色植被每平方米造价40元，
∴铺满这块空地需要20（+1）a2元．
故选：C．
【强化训练1】如图，有一根电线杆垂直立在地面D处，在电线杆的点C处引拉线固定电线杆，拉线AC＝BC＝6m，且和地面成60°，则电线杆引线处C离地面的高度（即CD的长）是（ ）
A.3m B.m C.2m D.3
【答案】D
【解析】∵CD⊥AB，∠CBD＝60°，
∴∠BCD＝30°，
∴DB= =3m，
在Rt△BCD中，CD=，
故选：D．
【强化训练2】如图，桌面上有一把直尺和一个透明的学具△ABC，其中∠ABC＝90°，AB＝6cm，AC＝10cm，学具△ABC放置在直尺的一侧，AB边与直尺的边缘重合，点A对应直尺的刻度为2cm．现将学具△ABC沿直尺边缘平移到△A'BC'所在位置，点A'对应直尺的刻度为12cm，连接CC'，则边AC扫过的面积为（ ）
A.120cm2 B.102cm2 C.90cm2 D.72cm2
【答案】D
【解析】如图，过点A作AM⊥A′C′，垂足为M，
在Rt△ABC，AB＝6cm，AC＝10cm，
∴BC＝＝＝8（cm），
由平移的性质可知，AC＝A′C′＝10，AA′＝BB′＝12﹣3＝9（cm），
∴S平行四边形AA′C′C＝AA′ BC＝72（cm2），
故选：D．
【强化训练3】如图，在笔直的铁路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄，DA＝10km，CB＝15km，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个中转站E，使得C，D两村到E站的距离相等．则E应建在距A km.
【答案】15
【解析】设AE＝xkm，则BE＝（25﹣x）km，根据题意可得：
∵DE＝CE，
∴AD2+AE2＝BE2+BC2，
故102+x2＝（25﹣x）2+152，
解得；x＝15．
故答案为：15．
【强化训练4】如图，某数学兴趣小组为测量学校C与河对岸工厂B之间的距离，在学校附近选一点A，利用测量仪器测得∠A＝60°，∠C＝90°，AC＝1km．据此，可求得学校与工厂之间的距离BC等于 km．
【答案】
【解析】∵∠A＝60°，∠C＝90°，AC＝1km，
∴∠B＝30°，
∴AB＝2AC＝2（km），
∴BC＝＝＝（km）．
故学校与工厂BC之间的距离是km．
故答案为：．
【强化训练5】学过《勾股定理》后，李老师和“几何小分队”的队员们到操场上测量旗杆AB高度，得到如下信息：
①测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长2米（如图1）；
②当将绳子拉直时，测得此时拉绳子的手到地面的距离CD为1米，到旗杆的距离CE为9米（如图2）．
根据以上信息，求旗杆AB的高度．
【答案】解 设AB＝x，则AE＝x﹣1，AC＝x+2，根据题意得，
在Rt△ACE中，根据勾股定理得，AC2＝AE2+CE2，
∴（x+2）2＝（x﹣1）2+92，
∴x＝13．
答：旗杆AB的高度为13米．
【强化训练6】如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船．河岸上一男子拽着绳子另一端向右走，绳端从C移动到E，同时小船从A移动到B，绳子始终绷紧且绳长保持不变．（1）若CF＝7米，AF＝24米，AB＝18米，求男子需向右移动的距离．（结果保留根号）
（2）此人以0.5米每秒的速度收绳，请通过计算回答，该男子能否在30秒内将船从A处移动到岸边点F的位置？
【答案】解 （1）∵∠AFC＝90°，AF＝24米，CF＝7米，
∴AC=（米），
∵BF＝AF﹣AB＝24﹣18＝6（米），
∴BC=（米），
∴CE＝AC﹣BC＝（25﹣）米，
答：此人需向右移动的距离为（）米．
（2）∵需收绳绳长AC﹣CF＝25﹣7＝18（米），
且此人以0.5米每秒的速度收绳，
∴收绳时间，
答：该男子不能在30秒内将船从A处移动到岸边点F的位置．
