2025-2026学年四川省广元市利州区兴安中学九年级（下）入学数学试卷（含答案）

2025-2026学年四川省广元市利州区兴安中学九年级（下）入学数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.2的绝对值是（　　）
A. ±2 B. 2 C. D. -2
2.如图，l1∥l2，∠1=60°，则∠2=（　　）
A. 30°
B. 40°
C. 50°
D. 60°
3.银江水电站位于攀枝花市境内金沙江与雅砻江交汇处附近，每年可为国家电网输送约16亿千瓦时的清洁能源. 16亿可用科学记数法记为（　　）
A. 0.16×1010 B. 1.6×109 C. 16×108 D. 1600000000
4.下列实验仪器的平面示意图中，是轴对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
5.下列运算正确的是（　　）
A. （a2）3=a5 B. a4 a2=a8
C. 2a（a-b）=2a2-b D. （a+b）2=a2+2ab+b2
6.某年级7名教师某周使用人工智能（AI）办公的次数分别为：5，2，6，9，5，5，3.这组数据的众数和中位数分别为（　　）
A. 6，5 B. 5，9 C. 5，6 D. 5，5
7.如图，A、B、C是⊙O上的点，BC是圆的直径，在BA延长线上取一点D，使AD=AC，连接CD.则∠ACD为（　　）
A. 70°
B. 50°
C. 45°
D. 40°
8.关于抛物线y=-x2+6x-7，下列说法正确的是（　　）
A. 开口向上 B. 对称轴是直线x=-3
C. 与y轴的交点坐标是（0，7） D. 顶点坐标是（3，2）
9.中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有共买金，人出半，盈四；人出少半，不足三.问人数，金价各几何？其大意是：今有人合伙买金石，每人出钱，会多出4钱；每人出钱，又差了3钱.问人数，金价各是多少？设人数为x,金价为y,则可列方程组为（　　）
A. B. C. D.
10.如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A（-2，0），B两点，对称轴是直线x=2，下列结论中，①a＞0；②点B的坐标为（6，0）；③c=3b；④对于任意实数m,都有4a+2b≥am2+bm,所有正确结论的序号为（　　）
A. ①② B. ②③ C. ②③④ D. ③④
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.因式分解：a2+2a= .
12.在平面直角坐标系xOy中，点P（5，-1）关于y轴对称的点的坐标是 .
13.如图，∠1的度数为 .
14.在函数y=+中，自变量x的取值范围是______.
15.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，B在x轴的正半轴上，反比例函数的图象经过顶点D，分别与对角线AC，边BC交于点E，F，连接EF.若点E为AC的中点，则△CEF的面积为 .
16.如图，四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC，∠C=60°，AE∥CD交BC于点E，BC=8，AE=6，则AB的长为______.
三、计算题：本大题共1小题，共9分。
17.计算：.
四、解答题：本题共9小题，共87分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题9分)
先化简：（1-），再从-2，-1，1，2中选择一个合适的数作为x的值代入求值.
19.(本小题9分)
如图，AE∥BF，BD平分∠ABF交AE于点D．
（1）尺规作图：过点A作BD的垂线AC交BF于点C（不写作法，只保留作图痕迹）；
（2）连接CD，求证：四边形ABCD是菱形．
20.(本小题9分)
在深化教育综合改革、提升区域教育整体水平的进程中，某中学以兴趣小组为载体，加强社团建设，艺术活动学生参与面达100%，通过调查统计，八年级二班参加学校社团的情况（每位同学只能参加其中一项）：A.剪纸社团，B.泥塑社团，C.陶笛社团，D.书法社团，E.合唱社团，并绘制了如下两幅不完整的统计图.

（1）该班共有学生______人，并把条形统计图补充完整；
（2）扇形统计图中，m= ______，n= ______，参加剪纸社团对应的扇形圆心角为______度；
（3）小鹏和小兵参加了书法社团，由于参加书法社团几位同学都非常优秀，老师将从书法社团的学生中选取2人参加学校组织的书法大赛，请用“列表法”或“画树状图法”，求出恰好是小鹏和小兵参加比赛的概率.
21.(本小题9分)
如图，点A在反比例函数y=（k≠0）的图象上，点C是点A关于y轴的对称点，△OAC的面积是8.
（1）求反比例函数的解析式；
（2）当点A的横坐标为2时，过点C的直线y=2x+b与反比例函数的图象相交于点P，求交点P的坐标.
22.(本小题9分)
拜寺口双塔，分为东西两塔，位于宁夏回族自治区银川市贺兰县拜寺口内，是保存最为完整的西夏佛塔，已有近1000年历史，是中国佛塔建筑史上不可多得的艺术珍品.某数学兴趣小组决定采用我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的原理，来测量东塔的高度.东塔的高度为AB，选取与塔底B在同一水平地面上的E、G两点，分别垂直地面竖立两根高为1.5m的标杆EF和GH，两标杆间隔EG为46m,并且东塔AB、标杆EF和GH在同一竖直平面内.从标杆EF后退2m到D处（即ED=2m），从D处观察A点，A、F、D在一直线上；从标杆GH后退4m到C处（即CG=4m），从C处观察A点，A、H、C三点也在一直线上，且B、E、D、G、C在同一直线上，请你根据以上测量数据，帮助兴趣小组求出东塔AB的高度.
23.(本小题9分)
如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C的直线交AB的延长线于点M，作AD⊥MC，垂足为D，已知AC平分∠MAD.
（1）求证：MC是⊙O的切线；
（2）若，求CD的值.
24.(本小题9分)
随着“双减”政策的逐步落实，其中增加中学生体育锻炼时间的政策引发社会的广泛关注，体育用品需求增加，某商店决定购进A、B两种羽毛球拍进行销售，已知每副A种球拍的进价比每副B种球拍贵20元，用2800元购进A种球拍的数量与用2000元购进B种球拍的数量相同.
（1）求A、B两种羽毛球拍每副的进价；
（2）若该商店决定购进这两种羽毛球拍共100副，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100副羽毛球拍的资金不超过5900元，那么该商店最多可购进A种羽毛球拍多少副？
（3）若销售A种羽毛球拍每副可获利润25元，B种羽毛球拍每副可获利润20元，在第（2）问条件下，如何进货获利最大？最大利润是多少元？
25.(本小题9分)
△ABC是等边三角形，点D为线段BC上任意一点，连接AD，E为直线AB上一点.
（1）如图1，当点D为BC的中点时，点E在AB边上，连接DE.若AE=1，BE=3，求DE的长；
（2）如图2，若点E为AB延长线上一点，且BE=CD，点F为CB延长线上一点，且∠FAD=60°.求证：AF=AD+EF.
（3）如图3，在（1）的条件下，M为线段AD上一点，连接ME，将线段ME绕点E顺时针旋转（60°得到线段NE，连接MN.连接BN，DN，CM，当BN+DN的值最小时，直接写出△AMC的面积.
26.(本小题15分)
如图，已知抛物线与x轴交于A（1，0）和B（-5，0）两点，与y轴交于点C.直线y=-3x+3过抛物线的顶点P.
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）若直线x=m（-5＜m＜0）与抛物线交于点E，与直线BC交于点F.
①当EF取得最大值时，求m的值和EF的最大值；
②当△EFC是等腰三角形时，求点E的坐标.
1.【答案】B
2.【答案】D
3.【答案】B
4.【答案】D
5.【答案】D
6.【答案】D
7.【答案】C
8.【答案】D
9.【答案】B
10.【答案】C
11.【答案】a（a+2）
12.【答案】（-5，-1）
13.【答案】100°
14.【答案】1≤x≤2
15.【答案】2
16.【答案】2
17.【答案】解：
=
=
=6．

18.【答案】解：（1-）
=
=，
∵x≠1且x≠±2，
∴当x=-1时，原式=1．
19.【答案】（1）解：如图，射线AC即为所求；
（2）证明：∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∴∠ABD=∠ADB，
∴AB=AD，
∵AC⊥BD，
∴∠BAC=∠DAC，
∵∠DAC=∠ACB，
∴∠BAC=∠ACB，
∴BA=BC，
∴AD=BC，
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB=AD，
∴四边形ABCD是菱形．
20.【答案】（1）50，
把条形统计图补充完整如下：
（2）20，10，144；
（3）把小鹏和小兵分别记为a、b,其他3位同学分别记为c、d、e,
画树状图如下：
共有20种等可能的结果，其中恰好是小鹏和小兵参加比赛的结果有2种，
∴恰好是小鹏和小兵参加比赛的概率为=．
21.【答案】解：（1）如图：AC与y轴交于点M，
∵点C是点A关于y轴的对称点，△OAC的面积是8，
∴S△AOM=4，
∴AM MO=4，
∴AM MO=8，
∴k=8，
∴反比例函数的解析式：y=；
（2）∵点A的横坐标为2，
∴x=2时，y=4，
∴A（2，4），
∴C（-2，4），
∵直线y=2x+b过点C，
∴-2×2+b=4，
b=8，
∴直线y=2x+8，
联立，
∴或，
∴P（2-2，4+4）或（-2-2，4-4）．
22.【答案】解：设BD=x m,则BC=BD+DG+CG=x+46-2+4=（x+48）m,
∵AB⊥BC，EF⊥BC，
∴AB∥EF，
∴△ABD∽△FED，
∴，即，
同理可证△ABC∽△HGC，
∴，即，
∴，
解得x=48，
经检验，x=48是原方程的解，
∴=，
∴AB=36m,
∴该东塔AB的高度为36m.
23.【答案】∵AD⊥MC，
∴∠D=90°，
∵OC=OA，
∴∠ACO=∠CAO，
∵AC平分∠DAM，
∴∠OAC=∠DAC，
∴∠ACO=∠CAD，
∴AD∥OC，
∴∠DCO=180°-∠D=90°，
∵CO是⊙O的半径，
∴MC是⊙O的切线
24.【答案】解：（1）设A种羽毛球拍每副的进价为x元，
根据题意，得，
解得x=70，
70-20=50（元），
答：A种羽毛球拍每副的进价为70元，B种羽毛球拍每副的进价为50元；
（2）设该商店购进A种羽毛球拍m副，
根据题意，得70m+50（100-m）≤5900，
解得m≤45，m为正整数，
答：该商店最多购进A种羽毛球拍45副；
（3）设总利润为w元，
w=25m+20（100-m）=5m+2000，
∵5＞0，
∴w随着m的增大而增大，
当m=45时，w取得最大值，最大利润为5×45+2000=2225（元），
此时购进A种羽毛球拍45副，B种羽毛球拍100-45=55（副），
答：购进A种羽毛球拍45副，B种羽毛球拍55副时，总获利最大，最大利润为2225元．
25.【答案】解：（1）如图1，作EF⊥AD于F，
∵△ABC是等边三角形，点D是BC的中点，
∴BC=AB=AE+BE=4，AD⊥BC，BD=CD=BC=2，AD=AB=2，
∴EF∥BC，
∴△AEF∽△ABD，
∴=，
∴AF=AD=，EF=BD=，
∴DF=AD-AF=，
∴DE===；
（2）如图2，在AF上截取AG=AD，连接BG，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠ABC=∠C=∠BAC=60°，
∴∠FAD=∠BAC=60°，
∴∠FAB=∠CAD，
∴△AGB≌△ADC（SAS），
∴∠ABG=∠C=60°，BG=CD，
∴∠FBG=180°-∠ABG-∠ABC=60°，
∵BE=CD，
∴BG=BE，
∵∠FBE=∠ABC=60°，
∴∠FBE=∠FBG，
∵BF=BF，
∴△FBE≌△FBG（SAS），
∴EF=FG，
∴AF=AG+FG=AD+EF；
（3）如图3，在AC上截取AW=AE=1，连接WN，
∵∠ABC=60°，
∴△AEW是等边三角形，
∴∠AEW=60°，AE=EW，
∵段ME绕点E顺时针旋转60°得到线段EN，
∴∠MEN=60°，EM=EN，
∴∠MEN=∠AEW，
∴∠AEM=∠WEN，
∴△AEM≌△WEN（SAS），
∴∠EWN=∠BAD=30°，
∴∠AWN=90°，
∴点N在过W且于AW垂直的直线上l运动，
如图4，作点B关于l的对称点B′，连接DB′交l于点N，直线l交AB于I，B′D交AB于X，
∵∠AGN=90°，AG=1，∠BAC=60°，
∴AI=2AG=2，
∴BI=BD=2，
∵∠ABC=60°，
∴△BDI是等边三角形，
∴XI=BX=1，
∵∠NIX=∠AIG=30°，∠IXN=90°，
∴IN===，
∵GI=AG tan60°=AG=，
∴GN=GI+IN=，
∴AM=GN=，
∴S△AMC=AM CD=××2=．
26.【答案】解：（1）∵抛物线与x轴交于A（1，0）和B（-5，0）两点，
∴抛物线对称轴为直线x==-2，
在y=-3x+3中，令x=-2得y=9，
∴抛物线顶点为（-2，9），
设抛物线函数解析式为y=a（x+2）2+9，
将A（1，0）代入得：0=9a+9，
解得a=-1，
∴抛物线函数解析式为y=-（x+2）2+9=-x2-4x+5；
（2）①如图：
在y=-x2-4x+5中，令x=0得y=5，
∴C（0，5），
由B（-5，0），C（0，5）得直线BC解析式为y=x+5，
∴E（m，-m2-4m+5），F（m，m+5），
∴EF=-m2-4m+5-（m+5）=-m2-5m=-（m+）2+，
∵-1＜0，
∴当m=-时，EF取最大值，
∴m的值为-，EF的最大值为；
②∵E（m，-m2-4m+5），F（m，m+5），C（0，5），
∴EF2=（m2+5m）2，EC2=m2+（m2+4m）2，FC2=2m2；
若EF=EC，则（m2+5m）2=m2+（m2+4m）2，
解得m=0（E与C重合，舍去）或m=-4，
∴E（-4，5）；
若EF=FC，则（m2+5m）2=2m2，
解得m=0（舍去）或m=-5或m=--5（不符合题意，舍去），
∴E（-5，-2+6）；
若EC=FC，则m2+（m2+4m）2=2m2，
解得m=0（舍去）或m=-3或m=-5（不符合题意，舍去），
∴E（-3，8）；
综上所述，E的坐标为（-4，5）或（-5，-2+6）或（-3，8）．
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