2026届湖南省湘潭市高三第二次模拟自编卷数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 2026届湖南省湘潭市高三第二次模拟自编卷数学试题（含答案） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 464.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-04-01 00:00:00 | ||
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文档简介
2026届湖南省湘潭市高三第二次模拟自编卷
数学试题
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知，若（为虚数单位）是实数，则（ ）
A． B．2 C． D．3
3．设函数的定义域为，则“是上的增函数”是“任意，无零点”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．国际学生评估项目测试是世界经济合作与发展组织对各国中学生阅读、数学、科学能力评价测试．从年开始，每年进行一次测试评估．在评估研究时将测试成绩按一定规则转换成等级赋分，赋分范围是至分，如图是年的某地中学生参加阅读测试后用赋分数据绘制成的不完整频率分布直方图．根据图中数据，下面说法正确的是（ ）
A．该地学生成绩的中位数一定大于
B．该地学生成绩的平均数一定小于
C．该地学生成绩的极差介于至之间
D．该地学生成绩没有超过分的学生所占比例为
5．六名同学排成一排照相，则其中甲 乙 丙三人两两不相邻，且甲和丁相邻的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．已知两个不同的平面，和两条不同的直线，满足，，则“”是“”的（ ）
A．充要条件 B．充分非必要条件
C．必要非充分条件 D．既不充分也不必要条件
7．在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立.由于随机因素的干扰，发送信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送0时，接收为0和1的概率分别为和；发送1时，接收为0和1的概率分别为和.若接收信号为1的概率为，则发送信号为1的概率为（ ）
A．0.2 B．0.5 C．0.8 D．0.9
8．已知函数，方程（）有两个不等实根，则下列选项正确的是（ ）
A．2是的极大值点 B．函数无零点
C．a的取值范围是 D．，，使
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知，，则下列各式正确的有（ ）
A． B． C． D．
10．抛物线C：的准线为l，P为C上的动点，过P作的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（ ）
A．l与相切
B．当P，A，B三点共线时，
C．当时，
D．满足的点有且仅有2个
11．已知函数的定义域为D，若，，都有，则称是次可加函数，则（ ）
A．（）是次可加函数
B．（）是次可加函数
C．若，，，则次可加函数可以是周期函数
D．若，，，则次可加函数的表达式不唯一
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共10分。
12．若随机变量，且，则______.
13．已知曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点，则__________.
14．定义：对于一个位正整数，若其各位数字的极差（即最大数字与最小数字之差）不超过2，则称其为位“稳定数”，则三位“稳定数”共有__________个.
四、解答题：本题共5小题，共82分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．某县承包了一块土地，已知土地的使用面积与相应的管理时间的关系如下表所示：
土地使用面积亩 1 2 3 4 5
管理时间月 8 10 13 25 24
并调查了某村300位村民参与管理的意愿，得到的部分数据如下表所示：
单位：人
愿意参与管理 不愿意参与管理 合计
男性村民 150 50
女性村民 50
合计
(1)求出样本相关系数的大小，并判断管理时间与土地使用面积是否线性相关（当时，即可认为线性相关）；
(2)依据的独立性检验，分析村民的性别与参与管理的意愿是否有关；
(3)以该村村民的性别与参与管理意愿的情况估计该县的情况，从该县中任取3人，记取到不愿意参与管理的男性村民的人数为，求的分布列及数学期望.
参考公式：，其中.
临界值表：
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
参考数据：.
16．在中，内角所对的边分别为，且.
(1)判断的形状；
(2)设，且是边的中点，求当最大时，的面积.
17．如图，在三棱柱中，平面平面，，，，，为线段上一点，且．
(1)证明：平面；
(2)是否存在实数，使得点到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
18．已知椭圆中心在原点，左焦点为，其四个顶点的连线围成的四边形面积为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过椭圆的左焦点作斜率存在的两直线、分别交椭圆于、、、，且，线段、的中点分别为、.求四边形面积的最小值.
19．微积分的创立是数学发展中的里程碑，它的发展和广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段．对于函数在区间上的图像连续不断，从几何上看，定积分便是由直线和曲线所围成的区域（称为曲边梯形）的面积，根据微积分基本定理可得，因为曲边梯形的面积小于梯形的面积，即，代入数据，进一步可以推导出不等式：．
(1)请仿照这种根据面积关系证明不等式的方法，证明：；
(2)已知函数，其中．
①证明：对任意两个不相等的正数，曲线在和处的切线均不重合；
②当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
2026届湖南省湘潭市高三第二次模拟自编卷
数学试题（解析版）
1．B 2．D 3．A 4．C 5．D 6．B 7．C 8．D
9．AD 10．ABD 11．ABD
12．0.7/
13．0或2
14．151
15．(1)，管理时间与土地使用面程线性相关.
(2)认为村民的性别与参与管理的意愿有关.
（3）法一：依题意，的可能取值为，从该县中随机抽取一位村民，取到不愿意参与管理的男性村民的概率为，
故，
故的分布列为
0 1 2 3
则数学期望.
法二：依题意，从该县中随机抽取一位村民，取到不愿意参与管理的男性村民的概率为，
则，故.
16．(1)等腰三角形
(2)
17．(1)（1）证明：，，，故．
又面面，面面，面，
面．
面，，
又，面，，面．
(2)存在；或
18．(1)
(2)
19．(1)解：在曲线取一点．
过点作的切线分别交于，
因为，
可得，即．
(2)① ①由函数，可得，
不妨设，曲线在处的切线方程为
，即
同理曲线在处的切线方程为，
假设与重合，则，
代入化简可得，
两式消去，可得，整理得，
由（1）的结论知，与上式矛盾
即对任意实数及任意不相等的正数与均不重合；
②
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
数学试题
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知，若（为虚数单位）是实数，则（ ）
A． B．2 C． D．3
3．设函数的定义域为，则“是上的增函数”是“任意，无零点”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．国际学生评估项目测试是世界经济合作与发展组织对各国中学生阅读、数学、科学能力评价测试．从年开始，每年进行一次测试评估．在评估研究时将测试成绩按一定规则转换成等级赋分，赋分范围是至分，如图是年的某地中学生参加阅读测试后用赋分数据绘制成的不完整频率分布直方图．根据图中数据，下面说法正确的是（ ）
A．该地学生成绩的中位数一定大于
B．该地学生成绩的平均数一定小于
C．该地学生成绩的极差介于至之间
D．该地学生成绩没有超过分的学生所占比例为
5．六名同学排成一排照相，则其中甲 乙 丙三人两两不相邻，且甲和丁相邻的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．已知两个不同的平面，和两条不同的直线，满足，，则“”是“”的（ ）
A．充要条件 B．充分非必要条件
C．必要非充分条件 D．既不充分也不必要条件
7．在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立.由于随机因素的干扰，发送信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送0时，接收为0和1的概率分别为和；发送1时，接收为0和1的概率分别为和.若接收信号为1的概率为，则发送信号为1的概率为（ ）
A．0.2 B．0.5 C．0.8 D．0.9
8．已知函数，方程（）有两个不等实根，则下列选项正确的是（ ）
A．2是的极大值点 B．函数无零点
C．a的取值范围是 D．，，使
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知，，则下列各式正确的有（ ）
A． B． C． D．
10．抛物线C：的准线为l，P为C上的动点，过P作的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（ ）
A．l与相切
B．当P，A，B三点共线时，
C．当时，
D．满足的点有且仅有2个
11．已知函数的定义域为D，若，，都有，则称是次可加函数，则（ ）
A．（）是次可加函数
B．（）是次可加函数
C．若，，，则次可加函数可以是周期函数
D．若，，，则次可加函数的表达式不唯一
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共10分。
12．若随机变量，且，则______.
13．已知曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点，则__________.
14．定义：对于一个位正整数，若其各位数字的极差（即最大数字与最小数字之差）不超过2，则称其为位“稳定数”，则三位“稳定数”共有__________个.
四、解答题：本题共5小题，共82分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．某县承包了一块土地，已知土地的使用面积与相应的管理时间的关系如下表所示：
土地使用面积亩 1 2 3 4 5
管理时间月 8 10 13 25 24
并调查了某村300位村民参与管理的意愿，得到的部分数据如下表所示：
单位：人
愿意参与管理 不愿意参与管理 合计
男性村民 150 50
女性村民 50
合计
(1)求出样本相关系数的大小，并判断管理时间与土地使用面积是否线性相关（当时，即可认为线性相关）；
(2)依据的独立性检验，分析村民的性别与参与管理的意愿是否有关；
(3)以该村村民的性别与参与管理意愿的情况估计该县的情况，从该县中任取3人，记取到不愿意参与管理的男性村民的人数为，求的分布列及数学期望.
参考公式：，其中.
临界值表：
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
参考数据：.
16．在中，内角所对的边分别为，且.
(1)判断的形状；
(2)设，且是边的中点，求当最大时，的面积.
17．如图，在三棱柱中，平面平面，，，，，为线段上一点，且．
(1)证明：平面；
(2)是否存在实数，使得点到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
18．已知椭圆中心在原点，左焦点为，其四个顶点的连线围成的四边形面积为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过椭圆的左焦点作斜率存在的两直线、分别交椭圆于、、、，且，线段、的中点分别为、.求四边形面积的最小值.
19．微积分的创立是数学发展中的里程碑，它的发展和广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段．对于函数在区间上的图像连续不断，从几何上看，定积分便是由直线和曲线所围成的区域（称为曲边梯形）的面积，根据微积分基本定理可得，因为曲边梯形的面积小于梯形的面积，即，代入数据，进一步可以推导出不等式：．
(1)请仿照这种根据面积关系证明不等式的方法，证明：；
(2)已知函数，其中．
①证明：对任意两个不相等的正数，曲线在和处的切线均不重合；
②当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
2026届湖南省湘潭市高三第二次模拟自编卷
数学试题（解析版）
1．B 2．D 3．A 4．C 5．D 6．B 7．C 8．D
9．AD 10．ABD 11．ABD
12．0.7/
13．0或2
14．151
15．(1)，管理时间与土地使用面程线性相关.
(2)认为村民的性别与参与管理的意愿有关.
（3）法一：依题意，的可能取值为，从该县中随机抽取一位村民，取到不愿意参与管理的男性村民的概率为，
故，
故的分布列为
0 1 2 3
则数学期望.
法二：依题意，从该县中随机抽取一位村民，取到不愿意参与管理的男性村民的概率为，
则，故.
16．(1)等腰三角形
(2)
17．(1)（1）证明：，，，故．
又面面，面面，面，
面．
面，，
又，面，，面．
(2)存在；或
18．(1)
(2)
19．(1)解：在曲线取一点．
过点作的切线分别交于，
因为，
可得，即．
(2)① ①由函数，可得，
不妨设，曲线在处的切线方程为
，即
同理曲线在处的切线方程为，
假设与重合，则，
代入化简可得，
两式消去，可得，整理得，
由（1）的结论知，与上式矛盾
即对任意实数及任意不相等的正数与均不重合；
②
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
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