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学 科 数学 年 级 八 设计者
教材版本 沪科版 册、章 下册第十九章
课标要求 1.了解多边形的概念及顶点、边、内角、外角、对角线；探索并掌握多边形内角和与外角和公式；了解四边形的不稳定性 2.理解平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形的概念，以及它们之间的关系 3.探索并证明平行四边形的性质定理（对边相等、对角相等、对角线互相平分）和判定定理（一组对边平行且相等、两组对边分别相等、对角线互相平分） 4.探索并证明矩形（四个角是直角、对角线相等）和菱形（四条边相等、对角线互相垂直）的性质定理及判定定理。 5.理解正方形既是矩形又是菱形，掌握其包含关系 6.理解两条平行线之间距离的概念，能度量平行线之间的距离；探索并证明三角形的中位线定理。
内容分析 本章内容分为三大板块：多边形的内角和（含外角和、对角线）、平行四边形（含性质与判定）、特殊平行四边形（矩形、菱形、正方形）教材遵循“一般 → 特殊”的认知规律。通过类比三角形的研究方法（概念、性质、判定）来学习四边形，将多边形内角和问题转化为三角形问题；将平行四边形问题转化为三角形全等问题来解决，先从一般的多边形入手，研究内角和公式；然后聚焦到平行四边形这一特殊四边形；最后通过对角、边、对角线的“特殊化”，引出矩形、菱形、正方形。
学情分析 学生已经系统学行线的性质和判定、三角形的性质及全等三角形的判定与性质。这为证明平行四边形性质（如利用平行线证角相等，利用全等证边相等）打下了坚实基础。八年级学生已经具备一定的观察、操作和独立思考能力，对生活中的几何图形有好奇心，喜欢动手实践（如拼图、测量）。但学生的思维习惯还不够完善，对于几何证明的书写格式和逻辑严密性（如步步有据）往往掌握不到位，需要规范训练。
单元目标 （一）教学目标 1.掌握多边形内角和定理( 2) 180 及外角和360 并能运用公式进行边数、角度等相关计算。 2.掌握平行四边形的定义，能准确表述平行四边形的三条性质定理（对边相等、对角相等、对角线互相平分）。 3.掌握平行四边形的三种主要判定方法（一组对边平行且相等、两组对边分别相等、对角线互相平分），并能根据条件灵活选择判定方法。 4.理解两条平行线之间距离的概念，会度量并运用平行线间距离处处相等解决问题。 5.掌握矩形、菱形、正方形的定义、性质与判定。明确矩形、菱形、正方形与平行四边形之间的从属关系，能借助包含关系简化推理过程。能够综合运用特殊平行四边形的性质与判定解决较复杂的几何证明与计算问题。 6.理解三角形中位线的定义，掌握三角形中位线定理（平行于第三边且等于第三边的一半），并能运用该定理进行证明与计算。 （二）教学重点、难点 重点： 平行四边形的性质与判定；矩形、菱形、正方形的性质与判定；三角形中位线定理。 难点： 1. 灵活选择判定方法证明四边形是平行四边形或特殊平行四边形； 2. 区分矩形、菱形、正方形的判定条件，理解它们之间的包含关系； 3. 综合运用全等三角形、平行线、四边形知识进行较复杂的几何证明与计算。
单元知识结构框架及课时安排 单元知识结构框架 （二）课时安排 课时编号单元主要内容课时数19.1 多边形219.2 平行四边形519.3特殊的平行四边形5
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务19.1多边形 (第一课时) 1.理解多边形、凸多边形、正多边形的概念，能准确说出多边形的顶点、边、内角、外角、对角线； 2.掌握多边形内角和定理的推导过程，能运用内角和公式 ( 2) 180 进行简单计算 3. 经历从三角形内角和推导多边形内角和的过程，体会“分割转化”的数学思想1.能独立推导出多边形内角和公式，理解“从同一顶点出发作对角线”的分割方法； 2.能正确运用公式：已知边数 ，准确计算内角和；已知内角和，正确求解边数n 3.能尝试用不同的分割方法（如内部取点）推导内角和，并比较其异同任务一：情境导入，概念辨析与图形识别 任务二：小组合作，内角和公式的探究与推导 任务三：例题讲解，巩固多边形内角和19.1多边形 (第二课时)1.理解多边形外角、外角和的概念，掌握多边形外角和定理（任意多边形的外角和等于 360 ）； 2.理解正多边形的概念，掌握正多边形每个内角、每个外角的计算方法； 3. 能综合运用内角和、外角和公式解决与正多边形相关的计算问题。1. 能用自己的语言表述多边形外角和定理的内容； 2. 能运用外角和定理进行简单计算（已知边数求外角和、已知外角求边数） 3.能灵活选择内角和或外角和公式解决正多边形问题，体会两种路径的等价性。任务一：外角概念的建立与定理探究 任务二：正多边形的概念与计算 任务三：综合应用与拓展19.2.1平行四边形的性质(第一课时)1.理解平行四边形的定义（两组对边分别平行），能用符号语言表示平行四边形； 2. 掌握平行四边形的性质：对边相等、对角相等、邻角互补； 3.能运用平行四边形的性质进行简单的几何证明与计算。1.能准确说出平行四边形的定义，能用“□ABCD”正确表示； 2. 能独立表述平行四边形的三条性质（对边相等、对角相等、邻角互补）； 3.能运用三角形全等的方法证明平行四边形的性质；任务一：概念建立与性质猜想 任务二：性质的证明与应用 任务三：例题讲解，利用性质解决问题 19.2.1平行四边形的性质(第二课时)1.理解两条平行线之间距离的概念，掌握平行线间的距离处处相等 2.通过“平行线间的距离处处相等”的探究，体会从特殊到一般的研究方法1.能准确说出两条平行线之间距离的定义（一条直线上任意一点到另一条直线的距离）； 2.能证明并理解“平行线间的距离处处相等”； 3.能运用距离相等解决实际问题（如等底等高的平行四边形面积相等）。任务一：复习导入， 点到直线的距离 任务二：平行线间距离的探究 任务三：拓展练习，综合运用平行线间的距离解决问题19.2.1平行四边形的性质(第三课时)1.掌握平行四边形对角线的性质：对角线互相平分； 2.能综合运用平行四边形边、角、对角线的性质解决相关问题 3.经历探究平行四边形对角线性质的过程，进一步体会转化思想（构造全等三角形）1. 能准确表述平行四边形对角线互相平分的性质； 2.能运用三角形全等的方法证明对角线互相平分； 3.能运用该性质进行相关计算与证明。任务一：引入课题，回顾平行四边形的性质 任务二：对角线性质的探究与证明 任务三：例题讲解，应用性质解决实际问题19.2.2平行四边形的判定(第一课时) 1.掌握平行四边形的判定方法： 2.能根据条件灵活选择判定方法证明四边形是平行四边形； 3.能综合运用平行四边形的性质与判定解决简单的几何问题。1.能准确说出平行四边形的判定方法，并能用符号语言表达； 2.能区分性质与判定，明确判定是从“边”“对角线”的条件出发推出平行四边形； 3.能独立完成判定定理的证明过程。任务一：引入课题，回顾平行四边形的性质 任务二：逆向思考，提出猜想 任务三：判定定理的证明 任务四：例题讲解，应用判定定理解题19.2.2平行四边形的判定(第二课时) 1.理解三角形中位线的定义（连接三角形两边中点的线段）； 2. 掌握三角形中位线定理（平行于第三边且等于第三边的一半）； 3.能运用三角形中位线定理进行相关的计算与证明。1.能准确说出三角形中位线的定义，并能区分中线与中位线； 2.能在三角形中正确画出三条中位线； 能准确表述三角形中位线定理的内容。 3.能运用中位线定理进行相关计算任务一：概念引入与定理猜想 任务二：定理的证明 任务三：例题讲解，运用中位线定理解决问题。19.3.1矩形 (第一课时) 1.理解矩形的定义（有一个角是直角的平行四边形），明确矩形是特殊的平行四边形； 2.掌握矩形的两条性质定理 3.理解并掌握直角三角形斜边中线的性质（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）。1.能准确说出矩形的定义，并能用符号语言表示； 2.能准确表述矩形的两条性质定理； 3.能运用矩形的性质进行相关计算与证明； 4.能准确表述直角三角形斜边中线的性质，并能运用该性质解决简单问题。任务一：概念引入与性质猜想 任务二：性质的证明与应用 任务三：例题讲解与综合应用19.3.1矩形 (第二课时) 1.掌握矩形的三种判定方法 2. 能根据条件灵活选择判定方法证明四边形是矩形； 3.能综合运用矩形的性质与判定解决几何问题。1.能准确说出矩形的三种判定方法，并能用符号语言表达； 2.能区分矩形的性质与判定，明确判定是从条件出发推出矩形； 3.能独立完成判定定理的证明过程。任务一：逆向思考，提出猜想 任务二：判定定理的证明 任务三：例题讲解与综合应用19.3.2菱形 (第一课时) 1.理解菱形的定义（有一组邻边相等的平行四边形），明确菱形是特殊的平行四边形； 2.掌握菱形的两条性质定理： 3.能运用菱形的性质进行相关的计算与证明。1.能准确说出菱形的定义，并能用符号语言表示； 2.能准确表述菱形的两条性质定理； 3.能运用菱形的性质进行相关计算与证明； 4.能掌握菱形面积的两种计算方法，并能灵活运用。任务一：概念引入与性质猜想 任务二：性质的证明与应用 任务三：例题讲解，运用性质解决问题19.3.2菱形 (第二课时) 1. 掌握菱形的三种判定方法： 2. 能根据条件灵活选择判定方法证明四边形是菱形； 3. 能综合运用菱形的性质与判定解决几何问题。1. 能准确说出菱形的三种判定方法，并能用符号语言表达； 2.能区分菱形的性质与判定，明确判定是从条件出发推出菱形； 3.能独立完成判定定理的证明过程。 4.能运用菱形的判定解决简单的实际问题任务一：逆向思考，提出猜想 任务二：判定定理的证明 任务三：例题讲解与综合应用19.3.3正方形 1.理解正方形的定义（有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形），明确正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形； 2.掌握正方形的性质 3.掌握正方形的三种判定方法 4.能综合运用正方形的性质与判定解决几何问题。1.能准确说出正方形的定义，并能用符号语言表示； 2.能准确表述正方形的所有性质（从边、角、对角线三个维度）； 3.能准确说出正方形的三种判定方法，并能用符号语言表达； 4.能综合运用正方形的性质与判定、平行四边形、矩形、菱形知识解决几何证明题任务一：概念引入与性质探究 任务二：判定定理的探究与证明 任务三：例题讲解与综合应用
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第19章 多边形
19.1.2多边形
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
课堂练习
05
课堂小结
06
作业布置
01
教学目标
掌握多边形的外角和概念，并认识正多边形，了解四边形不具有稳定性；
01
探索并掌握多边形的外角和定理
02
经历猜想、探索、推理、归纳等过程，让学生体会化归思想和从具体到抽象的研究问题的方法
03
02
复习旧知
在顶点处一边与另一边的延长线组成的角叫作多边形的外角.
什么是多边形的内角和定理
n边形的内角和等于(n 2) 180°(n为不小于3的整数).
什么是多边形的外角
02
创设情境
思考：
(1)在一次数学基础知识抢答赛上，王老师出了这样一个问题：某个多边形所有的内角加起来等于它的外角和，那么该多边形是几边形？ 小明同学仅用几秒钟就解决了问题，他是怎么做到的？
(2)用四块大小、形状完全相同的四边形可拼成一块无空隙的纸板，这是为什么？
03
新知探究
前面研究了多边形的内角和，多边形外角和又有怎样的规律？
如图，四边形ABCD的每一个外角都与同它相邻的内角互补.你能利用四边形ABCD的内和来求四边形ABCD的外角和吗
A
C
D
B
每一个外角和它相邻的内角互补；
四个内角与四个外角的和是180°×4；
四边形的内角和：360°；
所以四边形的外角和：180°×4 – 360°=360°.
探究
03
新知探究
A1
A3
A2
An
A4
A5
2
1
3
4
5
n边形(n为不小于3的整数)的外角和等于多少呢
∴ n边形的外角和是：
又∵ n边形的内角和是：
证明：
∴ n个外角与n个内角的和是：
∵ n边形的每个外角与它相邻的内角互补，
n×180°
(n-2)×180°，
n×180°.
=360°.
-(n-2)×180°
与边数无关
03
新知探究
多边形的外角和定理
n边形(n为不小于3的整数)的外角和等于360°.
注意
一个外角相加而得到的，
② 多边形的外角和
都等于360°，
① 多边形的外角和是
而不是所有外角相加的和.
取每一个顶点处的
与边数无关，
是一个定值.
03
新知探究
多边形中，如果各条边都相等，各个内角都相等，这样的多边形叫作正多边形.下图分别是正三角形、正方形、正五边形和正六边形.
如何判断一个多边形是正多边形？
一个正多边形要满足两个条件，分别为各边相等、各内角相等，缺一不可.
03
新知探究
解：正六边形的内角和为
(6–2)×180°= 720°.
而且正六边形的6个内角的度数都相等，
所以每个内角的度数为：720°÷6 = 120°.
例1、求正六边形每个内角的度数.
你能借助多边形的外角和解决这个问题吗？
03
新知探究
解：正六边形的外角和为360°
而且正六边形的6个外角的度数都相等，
所以每个外角的度数为：360°÷6 = 60°
因为内角和相邻的外角互补
所以每一个内角的度数为：180°-60°=120°
03
新知探究
① 正n边形的每一个内角都相等，且都等于
② 正n边形的每一个外角都相等，且都等于
归纳
03
新知探究
三角形具有稳定性，图中四边形各边的长度已确定，但它的各角大小并不能确定，因此四边形具有不稳定性.
在日常生活中，四边形的不稳定性，也有较为广泛的应用，例如，活动的铁栅栏门，正是由于四边形的不稳定性，所以它可以拉开，也可以收拢.能举出应用四边形的不稳定性的其他例子吗？
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1. 若正多边形的一个内角是150°,则该正多边形的边数是( )
A.6 B.12 C.16 D.18
2.我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，其轮廓是一个正八边形，从窗户向外观看，景色宛如镶嵌于一个画框之中.一个正八边形窗户的示意图如图所示，这个正八边形的每一个内角的度数是（ C ）
A. 105° B. 120° C. 135° D. 150°
B
C
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
3.若正多边形的一个内角等于144°，则这个正多边形的边数是 .
4.一个正多边形的每个内角与和它相邻外角的度数之比为3∶1，则这个正多边形是 .
10
正八边形
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
5. 一个多边形的内角和与外角和的差为1260°，求它的边数．
解：设多边形的边数是n，
则：（n-2） 180°-360°=1260°，
解得：n=11，
答：这个多边形的边数是11．
05
课堂小结
多边形
外角和
多边形的外角和等于 360°
特别注意：与边数无关
正多边形
内角= ，外角=
四边形
具有不稳定性
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
下列图形是正多边形的是（ C ）
A. 等腰三角形 B. 长方形
C. 正方形 D. 五条边都相等的五边形
2.如图，在正五边形ABCDE中，连接AC，则∠ACB的度数是（ A ）
A. 36° B. 32° C. 30° D. 26°
C
A
06
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
3.一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为 .
4.学校大门口的电动伸缩门如图所示，其中间部分都是四边形
的结构，这是应用了四边形的 .
6
不稳定性
06
作业布置
【综合拓展类作业】
5.已知正多边形的每个内角是其外角的2倍，则这个多边形是正几边形.
解：设正多边形为正n边形，则其的内角和为(n-2)×180°，
所以每个内角为每个外角为
所以解得n=6
故这个多边形是正六边形。
Thanks!
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19.1.2多边形教学设计
学科 数学 年级 八 课型 新授课 单元 19
课题 19.1.2多边形 课时 1
教材分析 本课主要探究多边形外角和定理及正多边形的概念与性质。教材通过动态演示或具体计算，引导学生发现任意多边形的外角和均为360°这一恒定结论，同时结合正多边形的定义，探究其内角、外角的特点，为后续学习圆的内接正多边形、密铺等内容做好铺垫
学情分析 学生已掌握多边形内角和公式，具备一定的推理能力。对于外角和为定值的结论，部分学生易受内角和不固定性的影响而产生认知冲突。正多边形方面，学生虽在生活中常见，但对其与一般多边形的联系与区别理解不够深入，需加强归纳与对比。
核心素养目标 1. 掌握多边形的外角和概念，并认识正多边形，了解四边形不具有稳定性. 2. 探索并掌握多边形的外角和定理. 3. 经历猜想、探索、推理、归纳等过程，让学生体会化归思想和从具体到抽象的研究问题的方法
教学重点 探索并掌握多边形的外角和定理
教学难点 应用多边形外角和定理解决有关的问题
教学准备 多媒体课件
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
一、温故 复习提问，温故孕新 问题1：什么是多边形的内角和定理？ n边形的内角和等于(n 2) 180°(n为不小于3的整数). 问题2：什么是多边形的外角？ 在顶点处一边与另一边的延长线组成的角叫作多边形的外角. 学生回顾旧知，回答问题 通过复习重新巩固以前学的内容，为后面的学习进行铺垫。
二、引新 创设情境，引入课题 思考： (1)在一次数学基础知识抢答赛上，王老师出了这样一个问题：某个多边形所有的内角加起来等于它的外角和，那么该多边形是几边形？ 小明同学仅用几秒钟就解决了问题，他是怎么做到的？ (2)用四块大小、形状完全相同的四边形可拼成一块无空隙的纸板，这是为什么？ 学生思考回答问题 让学生带着疑问进入课堂，激发学习本节课的兴趣
三、探究 合作探究，活动领悟 前面研究了多边形的内角和，多边形外角和又有怎样的规律？ 如图，四边形ABCD的每一个外角都与同它相邻的内角互补.你能利用四边形ABCD的内和来求四边形ABCD的外角和吗？ 每一个外角和它相邻的内角互补； 四个内角与四个外角的和是180°×4； 四边形的内角和：360°； 所以四边形的外角和：180°×4 – 360°=360°. n边形(n为不小于3的整数)的外角和等于多少呢？ 证明： ∵ n边形的每个外角与它相邻的内角互补， ∴ n个外角与n个内角的和是： n×180°. 又∵ n边形的内角和是： (n-2)×180°， ∴ n边形的外角和是： n×180° -(n-2)×180° =360° 归纳： 多边形的外角和定理 n边形(n为不小于3的整数)的外角和等于360°. 注意 ① 多边形的外角和是取每一个顶点处的一个外角相加而得到的，而不是所有外角相加的和. ② 多边形的外角和与边数无关，都等于360°，是一个定值. 多边形中，如果各条边都相等，各个内角都相等，这样的多边形叫作正多边形.下图分别是正三角形、正方形、正五边形和正六边形. 如何判断一个多边形是正多边形？ 一个正多边形要满足两个条件，分别为各边相等、各内角相等，缺一不可. 三角形具有稳定性，图中四边形各边的长度已确定，但它的各角大小并不能确定，因此四边形具有不稳定性. 在日常生活中，四边形的不稳定性，也有较为广泛的应用，例如，活动的铁栅栏门，正是由于四边形的不稳定性，所以它可以拉开，也可以收拢.能举出应用四边形的不稳定性的其他例子吗？ 教师引导学生自主思考，可以进行讨论交流 通过探索的方式学习新知，培养学生独立思考，解决问题的态度.
四、变式 师生互动，变式深化 例1、求正六边形每个内角的度数. 解：正六边形的内角和为 (6–2)×180°= 720°. 而且正六边形的6个内角的度数都相等， 所以每个内角的度数为：720°÷6 = 120°. 你能借助多边形的外角和解决这个问题吗？ 解：正六边形的外角和为360° 而且正六边形的6个外角的度数都相等， 所以每个外角的度数为：360°÷6 = 60° 因为内角和相邻的外角互补 所以每一个内角的度数为：180°-60°=120° 归纳 ① 正n边形的每一个内角都相等，且都等于 ② 正n边形的每一个外角都相等，且都等于 学生思考解答 通过例题的讲解，巩固所学知识
五、尝试 尝试练习，巩固提高 1. 若正多边形的一个内角是150°,则该正多边形的边数是( ) A.6 B.12 C.16 D.18 2.我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，其轮廓是一个正八边形，从窗户向外观看，景色宛如镶嵌于一个画框之中.一个正八边形窗户的示意图如图所示，这个正八边形的每一个内角的度数是（ ） A. 105° B. 120° C. 135° D. 150° 3.若正多边形的一个内角等于144°，则这个正多边形的边数是 . 4.一个正多边形的每个内角与和它相邻外角的度数之比为3∶1，则这个正多边形是 . 5. 一个多边形的内角和与外角和的差为1260°，求它的边数． 自主完成练习，然后集体交流评价. 通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯.
六、提升 适时小结，兴趣延伸 回顾这节课你学到了什么？ 1.多边形外角和定理 2.正多边形的概念 各小组思考，代表总结本节课内容 学生回顾所学知识并内化，熟练掌握。
板书 设计
作业 设计 1.下列图形是正多边形的是（ ） A. 等腰三角形 B. 长方形 C. 正方形 D. 五条边都相等的五边形 2.如图，在正五边形ABCDE中，连接AC，则∠ACB的度数是（ ） A. 36° B. 32° C. 30° D. 26° 3.一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为 . 4.学校大门口的电动伸缩门如图所示，其中间部分都是四边形的结构，这是应用了四边的 . 5.已知正多边形的每个内角是其外角的2倍，则这个多边形是正几边形.
教学反思 教学中通过让学生分别计算不同多边形的外角和，引导其发现规律，较好地突破了“外角和为定值”这一难点。正多边形部分结合生活实例，增强了学习兴趣。但部分学生对外角概念理解仍有偏差，后续应强化内外角的对应关系，提升几何直观与逻辑表达
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