专题训练（四）　二元一次方程组 同步练习（含答案）2025-2026学年数学苏科版七年级下册

专题训练（四）　二元一次方程组
考点一　二元一次方程的概念与其解
1 （2025无锡锡山期中）给出下列方程：①x＋y＝1；②2x－＝1；③x2＋2x＝－1；④5xy＝1；⑤x－y＝2.其中是二元一次方程的是(　　)
A. ①⑤ B. ①② C. ①④ D. ①②④
2 既是方程x－y＝1的解，又是方程2x＋y＝5的解是(　　)
A. B. C. D.
3 （2025镇江期末）已知关于x，y的二元一次方程kx＋y＝3－k，若当k每取一个不为0的值时，方程都有一个公共解，则这个公共解为(　　)
A. B. C. D.
4 （2025泰州靖江月考）若关于x，y的方程2xm+1＋3yn-1＝3是二元一次方程，则m＋2n的值为　　　　．
5 （2025泰州海陵月考）已知3x＋2＝2y－x，用含x的代数式表示y，则y＝　　　　．
6 （2025南通如皋期末）若是方程x－2y＝0的解，则3a－6b－3＝　　　　．
7 （2025南通如皋期末）定义：对于任意两个有理数a，b组成的数对(a，b)，我们规定(a，b)＝a＋b－1，例如：(－2，5)＝－2＋5－1＝2，则当满足等式(－5，3x＋2m)＝6的x是正整数时，m的正整数值为　　　　．
考点二　二元一次方程组的解法
8 （2025连云港东海期中）已知方程组则x＋y等于(　　)
A. －4 B. －6 C. 2 D. 4
9 （2025南通海安期末）已知x，y满足方程组则x，y之间的关系式是(　　)
A. 2x＋y＝8 B. x＋2y＝7 C. x＋y＝5 D. 2x－y＝－5
10 （2025扬州邗江期末）若关于x，y的二元一次方程组的解是则关于x，y的二元一次方程组的解是(　　)
A. B. C. D.
11 （2025南通如皋期中）若是二元一次方程组的解，则a＋b的值为　　　　．
12 （2025南京秦淮期末）已知方程组则x2－y2＝　　　　．
13 （2025扬州宝应月考）已知甲、乙两人共同解方程组甲将①中的b看成了它的相反数，解得乙抄错②中的c，解得则a－b＋c＝　　　　．
14 （2025泰州兴化期末）已知关于x，y的二元一次方程组的解为则关于x，y的二元一次方程组的解为　　　　．
15 解方程组：
(1) (2)
16 已知关于x，y的方程组
(1) 当x＝y时，求a的值；
(2) 求代数式22x·4y的值；
(3) 若xy＝1，求a的值．
17 已知关于x，y的方程组和有相同的解．求：
(1) 这两个方程组的相同解；
(2) a，b的值．
18 已知关于x，y的方程组
(1) 请直接写出方程x＋2y－6＝0的所有正整数解；
(2) 无论实数m取何值，方程x－2y＋mx＋5＝0总有一个固定的解，请直接写出这个解；
(3) 若方程组的解中x恰为整数，m也为整数，求m的值．
考点三　三元一次方程组的解法
19 （2025宿迁模拟）若有理数x，y，m满足x＋y＋m＝6，3x－y＋m＝4，则代数式4xy的值可以是　　　　．（写出一个符合条件的即可）
20 解方程组：
(1) (2)
21 阅读材料：善于思考的小明在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法，解法如下：
解：将方程②变形为2(4x＋10y)＋2y＝10③，将方程①代入③，得2×6＋2y＝10，解得y＝－1，将y＝－1代入①，解得x＝4，所以该方程组的解为
(1) 试用小明的“整体代换”的方法解方程组
(2) 已知x，y，z满足求z的值．
考点四　二元一次方程组的应用
22 如图，现要在长方形草坪中规划出3块大小、形状一样的小长方形（图中阴影部分）区域种植鲜花．
(1) 如图1，大长方形的相邻两边长分别为60 m和45 m，求小长方形的相邻两边长；
(2) 如图2，设大长方形的相邻两边长分别为a和b，小长方形的相邻两边长分别为x和y，1个小长方形的周长与大长方形的周长的比值是否为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由．
图1 图2
23 已知用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货10 t；用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货11 t．某物流公司现有31 t货物，计划同时租用A型车m辆，B型车n辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物．根据以上信息，解答下列问题．
(1) 一辆A型车和一辆B型车装满货物一次可分别运货多少吨？
(2) 请你帮物流公司设计出所有可行的租车方案．
24 （2025无锡梁溪月考）某校欲购置规格分别为200 mL和500 mL的甲、乙两种洗手液，已知购买3瓶甲洗手液和2瓶乙洗手液需要80元，购买1瓶甲洗手液和4瓶乙洗手液需要110元．
(1) 求甲、乙两种洗手液的单价；
(2) 已知学校师生共1 000人，平均每人每天需要使用5 mL的洗手液，若采购两种洗手液共花费2 500元，则这批洗手液可供全校师生使用多少天？
(3) 为节约成本，学校购买了散装洗手液进行分装，现需要将8.4 L的洗手液装进最大容量为200 mL和500 mL的两种空瓶中（每瓶需装满），若分装时平均每瓶会损耗10 mL，请问如何分装可使总损耗最小，并求出此时需要的两种空瓶的数量．
专题训练(四)　二元一次方程组
1. A　2. D　3. C　4. 4　5. 2x＋1　6. －3　7. 3　8. B　9. A　10. A　11. 1　12. 3　13. 5　14.
15. 解：(1)
由②×2，得4x＋2y＝－4③，
由③－①，得3x＝－9，解得x＝－3，
将x＝－3代入①，得－3＋2y＝5，解得y＝4，
所以原方程组的解为
(2) 原方程组可化为
由②×5，得5x＋5y＝10③，
由①＋③，得7x＝－7，解得x＝－1，
将x＝－1代入②，得－1＋y＝2，解得y＝3，
所以原方程组的解为
16. 解：(1) 将x＝y代入方程组，得
解得a＝.
(2)
由①－②，得3y＝6－3a，即y＝2－a，
将y＝2－a代入①，得x＝a－3，
所以x＋y＝a－3＋2－a＝－1，
所以22x·4y＝22x·22y＝22(x＋y)＝2-2＝.
(3) 由(2)及xy＝1，得(a－3)2-a＝1.
当2－a＝0，即a＝2时，a－3＝－1，等式成立；
当a－3＝1，即a＝4时，等式成立．
综上，a的值为2或4.
17. 解：(1) 根据题意，得
由①＋②，得3x＝9，解得x＝3，
将x＝3代入②，得y＝1，
所以这两个方程组的相同解是
(2) 将代入到2ax＋by＝8，ax＋3by＝9中，得即
由①－②，得5a＝5，解得a＝1，
将a＝1代入②，得b＝2，
所以 a＝1，b＝2.
18. 解：(1) 由x＋2y－6＝0，得x＝6－2y，
当y＝1时，x＝4；当y＝2时，x＝2，
所以方程x＋2y－6＝0的所有正整数解为
(2) 根据题意，得x－2y＋mx＋5＝0，即(1＋m)x－2y＝－5，所以当x＝0时，y＝2.5，
所以固定的解为
(3)
由①＋②，得2x－6＋mx＋5＝0，则(2＋m)x＝1，所以x＝.
因为x恰为整数，m也为整数，
所以2＋m＝1或2＋m＝－1，
解得m＝－1或m＝－3.
19. 8(答案不唯一)
20. 解：(1)
由①－③，得y－z＝1④.
由②－④，得3z＝3，解得z＝1，
将z＝1代入④，得y－1＝1，解得y＝2，
将y＝2代入①，得x＋2＝2，解得x＝0，
所以原方程组的解是
(2)
由①＋②，得5x－z＝14④.
由①＋③，得4x＋3z＝15⑤.
④×3，得15x－3z＝42⑥，
由⑤＋⑥，得19x＝57，解得x＝3，
将x＝3代入④，得z＝1，
将x＝3，z＝1代入③，得y＝8，
所以原方程组的解是
21. 解：(1)
将②变形为3(2x－3y)＋4y＝11④，
将①代入④，得3×7＋4y＝11，解得y＝－，
将y＝－代入①，解得x＝－，
所以原方程组的解为
(2)
由①，得3(x＋4y)－2z＝47③.
由②，得2(x＋4y)＋z＝36④.
由③×2－④×3，得－7z＝－14，解得z＝2.
22. 解：(1) 设小长方形的宽为x m，长为y m.
根据题意，得解得
所以小长方形的相邻两边长分别是10 m，25 m.
(2) 是定值.理由如下：
根据题意可知，1个小长方形的周长C小＝2(x＋y).
因为a＝2x＋y，b＝x＋2y，大长方形的周长C大＝2(a＋b)＝2(2x＋y＋x＋2y)＝6(x＋y)，
所以＝＝，
所以1个小长方形的周长与大长方形的周长的比值是定值，为.
23. 解：(1) 设每辆A型车都载满货物一次可运货x t，每辆B型车都载满货物一次可以运货y t.
根据题意，得解得
所以1辆A型车载满货物一次可运货3 t，1辆B型车载满货物一次可运货4 t.
(2) 由(1)，得3m＋4n＝31，所以m＝.
因为m，n都是正整数，
所以或或
所以有3种租车方案，分别是方案一：A型车9辆，B型车1辆；方案二：A型车5辆，B型车4辆；方案三：A型车1辆，B型车7辆．
24. 解：(1) 设甲洗手液的单价为x元/瓶，乙洗手液的单价为y元/瓶．
根据题意，得解得
所以甲洗手液的单价为10元/瓶，乙洗手液的单价为25元/瓶．
(2) 设购进甲洗手液a瓶，乙洗手液b瓶．
根据题意，得10a＋25b＝2 500，所以 2a＋5b＝500，
所以 ＝＝10，
所以这批洗手液可供全校师生使用10天．
(3) 设有分装200 mL的洗手液m瓶，500 mL的洗手液n瓶．
根据题意，得200m＋500n＋10(m＋n)＝8 400，
所以m＝40－n.
因为m，n均为正整数，
所以或
因为要使分装时总损耗10(m＋n)最小，
所以
所以分装时需要200 mL的空瓶6瓶，500 mL的空瓶14瓶，才能使总损耗最小．