(共25张PPT)
第2课时 几何图形、工程和利润问题
1.能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出方程．
2．正确找出简单实际问题中的两个等量关系，并能列出二元一次方程组解决问题．
01
知识梳理
知识点一 几何图形问题
1．解决这类问题要准确掌握有关几何图形的性质和周长、面积等计算公式．
练习1 如图，周长为68 cm的长方形ABCD由7个相同的小长方形组成，求长方形ABCD的长和宽．
知识点二 工程问题
2．总工作量＝__________×工作时间．
工作效率
练习2 风味美饭店生意火爆，座无虚席，老板决定扩大规模重新装修．若先请甲施工队单独做3天，再请乙施工队单独做24天，可完成施工，风味美饭店老板共付工钱7 200元．若先请甲施工队单独做9天，再请乙施工队单独做16天，可完成施工，风味美饭店老板共付工钱7 600元．
(1)甲、乙两施工队工作1天，风味美饭店老板应各付多少工钱？
(2)若甲、乙两施工队合作，则需要同时做几天才能完成施工任务？
知识点三 利润问题
利润
利润率
练习3 某商场按定价销售某种商品时，每件可获利30元；按定价的八折销售该商品5件与将定价降低20元销售该商品8件获利相等．设该商品的进价、定价分别为x元、y元，则可列方程组为( ).
√
课后练习
02
基础巩固
√
1．周末小明和妈妈外出共消费了300元，下表中记录了他们一天所有的消费项目以及部分支出，如果每包饼干13元，每瓶矿泉水2元，那么他们买的饼干包数和矿泉水瓶数各是( ).
项目 早餐 午餐 购买书籍 饼干 矿泉水
支出金额(单位：元) 40 100 130
A．1，2 B．2，2 C．2，3 D．3，3
2．将一副三角板按如图方式摆放，且∠1的度数比∠2的度数多10°.若设∠1＝x°，∠2＝y°，则可列方程组为( ).
√
3．文具店老板从厂家购进A，B两种笔记本，A种笔记本每本进价为6.5元，B种笔记本每本进价为8元，共购进140本，花了1 000元，且文具店A种笔记本售价8元，B种笔记本售价10元．
(1)该文具店购进A，B两种笔记本各多少本？
(2)将购进的140本笔记本全部售完可获利多少元？
【解】(8－6.5)×80＋(10－8)×60＝240(元).
答：将购进的140本笔记本全部售完可获利240元．
能力达标
4．随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车已成为人们喜爱的交通工具．某汽车4S店计划购进一批新能源汽车进行销售．据了解，购进3辆A型新能源汽车、2辆B型新能源汽车共需95万元；购进4辆A型新能源汽车、1辆B型新能源汽车共需110万元．
(1)A，B两种型号的新能源汽车每辆的进价分别为多少万元？
(2)若该汽车4S店计划正好用250万元购进以上两种型号的新能源汽车(两种型号的新能源汽车均购买)，销售1辆A型新能源汽车可获利1.2万元，销售1辆B型新能源汽车可获利0.8万元．假如这些新能源汽车全部售出，问该汽车4S店共有几种购买方案？最大利润是多少万元？
【解】设购买A型新能源汽车m辆，B型新能源汽车n辆．由题意可得25m＋10n＝250且m，n均为正整数，
所以该汽车4S店共有4种购买方案．
当m＝2，n＝20时，获得的利润为1.2×2＋0.8×20＝18.4(万元).
当m＝4，n＝15时，获得的利润为1.2×4＋0.8×15＝16.8(万元).
当m＝6，n＝10时，获得的利润为1.2×6＋0.8×10＝15.2(万元).
当m＝8，n＝5时，获得的利润为1.2×8＋0.8×5＝13.6(万元)，
由上可得， 最大利润为18.4万元．
挑战创新
5．(课本延伸)在“二元一次方程组”这一章的复习课上，数学老师根据课本例题给出了下面的题目：
在某地“乡村振兴”工作中，甲、乙两个工程队先后接力为某村庄修建一条4 000米长的公路，甲工程队每天修建200米，乙工程队每天修建250米，一共用18天完成．
甲工程队修建的时间
乙工程队修建的时间
18
4 000
(2)张晓同学的思路是假设甲工程队一共修建了x米公路，乙工程队一共修建了y米公路．下面请你按照张晓的思路列出方程组，并求出乙工程队修建了多少天？(共19张PPT)
10．2.2 加减消元法
1.掌握加减消元法，能解二元一次方程组．
2．了解解二元一次方程组时的消元思想，“化未知为已知”的化归思想．
3．能解同一个未知数的系数既不相等也不互为相反数的二元一次方程组．
4．会灵活使用合适的方法解二元一次方程组．
01
知识梳理
知识点一 用加减消元法解二元一次方程组
1．当二元一次方程组的两个方程中某个未知数的系数___________或__________时，把这两个方程的两边分别__________或__________，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，进而求得二元一次方程组的解，这种解二元一次方程组的方法叫作加减消元法，简称加减法．
互为相反数
相等
相加
相减
2．加减消元法的具体步骤．
(1)变形：把方程组中系数的最小公倍数较小的未知数的系数化成互为相反数或相等．
(2)加减：当方程组中同一个未知数的系数互为相反数时，则把两个方程__________；当方程组中同一个未知数的系数相等时，则把两个方程__________．消元得到一元一次方程．
相加
相减
知识点二 利用“整体思想”求字母或式子的值
【解】①＋②，得3(x＋y)＝3－3m，即x＋y＝1－m.因为x＋y＝0，所以1－m＝0.所以m＝1.
知识点三 用加减消元法解二元一次方程组解决实际问题
练习3 (教材P97例7变式)在某路段建设工程中，有A，B两种车辆参与土方运输．已知5辆A种车和2辆B种车一次可运土64 m3；3辆A种车和4辆B种车一次可运土72 m3.A，B两种车每辆一次可分别运土多少立方米？
课后练习
02
基础巩固
√
1
－1
15
能力达标
1
7．(跨学科融合)下面3个天平左盘中“ ”“ ”分别表示两种不同质量的物体，则第三个天平右盘中砝码的质量是________．
10
挑战创新(共11张PPT)
专题四 求二元一次方程(组)中的参数值
类型一 由二元一次方程组解的关系求参数值
√
(1)试选择其中一名同学的思路，解答此题；
类型二 由两个方程组同解求参数值
类型三 由方程组的错解求参数值
－2
●
●
O
●
Q(共23张PPT)
第十章 二元一次方程组
10.1 二元一次方程组的概念
1.认识二元一次方程和二元一次方程组．
2．了解二元一次方程的解和二元一次方程组的解，会求二元一次方程的解．
01
知识梳理
知识点一 二元一次方程
1．方程含有__________个未知数，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是__________，像这样的方程叫作二元一次方程．
两
1
①③⑦
知识点二 二元一次方程组
2．把多个方程放在一起就组成了一个方程组．方程组中含有__________个未知数，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是__________，一共有两个方程，像这样的方程组叫作二元一次方程组．
两
1
√
知识点三 二元一次方程的解
3．一般地，使二元一次方程两边的值__________的两个未知数的值，叫作二元一次方程的解．一个二元一次方程可以有__________组解．
相等
无数
√
知识点四 二元一次方程组的解
4．一般地，二元一次方程组的两个方程的__________，叫作二元一次方程组的解．
公共解
课后练习
02
基础巩固
√
√
√
√
5．方程2x＋3y＝9的非负整数解有________对．
2
6．已知方程(3n－6)xm-2＋yn2－3＝0是关于x，y的二元一次方程，则m＋n的立方根是________．
1
能力达标
9．一批机器零件共840个，甲先做4天后乙加入，再做8天刚好完成．设甲每天做x个，乙每天做y个．
(1)列出关于x，y的二元一次方程．
【解】依题意，得(4＋8)x＋8y＝840，即12x＋8y＝840.
(2)当x＝36时，y的值是多少？
【解】当x＝36时，12×36＋8y＝840，解得y＝51.
(3)若乙每天做45个，则甲每天做多少个？
【解】当y＝45时，12x＋8×45＝840，
解得x＝40.
答：若乙每天做45个，则甲每天做40个．
挑战创新
10．(生活中的数学)校团委开展以“我爱读书”为主题的演讲比赛活动，为奖励表现突出的学生，计划拿出200元用于购买单价分别为8元和10元的两种笔记本(两种都要购买且钱正好花完)作为奖品，则购买方案有几种？
【答案】4种(共22张PPT)
10.2 消元——解二元一次方程组
10．2.1 代入消元法
1.掌握代入消元法，能解二元一次方程组．
2．了解解二元一次方程组时的消元思想，“化未知为已知”的化归思想．
01
知识梳理
知识点一 用含一个未知数的式子表示另一个未知数
练习1 把下列方程改写成用含x的式子表示y的形式：
(1)2x－y＝7;
【解】移项，得－y＝7－2x.系数化为1，得y＝2x－7.
知识点二 用代入消元法解二元一次方程组
1．把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现__________，进而求得这个二元一次方程组的解．这种解二元一次方程组的方法叫作代入消元法，简称代入法．
消元
2．代入消元法的具体步骤．
(1)变形：把一个方程的一个未知数用__________________表示出来．
(2)代入：将变形得到的式子代入___________，得到消元后的一元一次方程．
(3)求解：解消元后的一元一次方程．
(4)回代：把求得的一元一次方程的解代回变形后的式子求出另一个未知数的值．
含另一个未知数的式子
另一个方程
知识点三 用代入消元法解二元一次方程组，解决实际问题
练习3 某星期日，蔬菜经营户老王用145元从蔬菜批发市场批发了一些黄瓜和茄子到菜市场售卖，黄瓜和茄子当天的批发价与零售价见下表．当天他卖完这些黄瓜和茄子共赚了90元．这天老王批发的黄瓜和茄子分别有多少千克？
品名 黄瓜 茄子
批发价/(元·kg-1) 3 4
零售价/(元·kg-1) 4 7
课后练习
02
基础巩固
√
√
√
【答案】a＝14，b＝2.
能力达标
x＋y＝9
7．先阅读材料：
8．某停车场的收费标准如下：中型汽车的停车费为15元/辆，小型汽车的停车费为8元/辆．现在停车场内停有30辆中、小型汽车，这些车共缴纳停车费324元．中、小型汽车各有多少辆？
挑战创新
9．对于实数x，y定义新运算：x☆y＝ax＋by－4(其中a，b为常数)，已知1☆2＝3，3☆1＝7，则ab的值为( ).
A．3 B．4
C．8 D．9
√(共22张PPT)
章末作业
√
一、选择题
√
√
3．某果农将采摘的荔枝分装为大箱和小箱销售，其中每个大箱装4千克荔枝，每个小箱装3千克荔枝．该果农现采摘有32千克荔枝，根据市场销售需求，大小箱都要装满，则所装的箱数最多为( ).
A．8箱 B．9箱
C．10箱 D．11箱
√
√
5．二元一次方程x＋3y＝10的非负整数解共有( )对．
A．2 B．3
C．4 D．5
√
7．把方程x－2y＝5改写成用含y的式子表示x的形式，可以写成x＝________．
二、填空题
5＋2y
x＋y＝1(答案不唯一)
三、解答题
12．师生一起去参观博物馆，下面是许老师和小龙、小咏同学有关租车问题的对话．许老师：“客运公司有60座和45座两种型号的客车可供租用，60座客车每辆每天的租金比45座的贵150元．”
小龙：“如果我们七年级租用45座的客车a辆，那么还有15人没有座位；如果租用60座的客车可少租2辆，且正好坐满”．
小咏：“八年级师生昨天在这个客运公司租了4辆60座和2辆45座的客车到该博物馆参观，一天的租金共计5 100元．”
根据以上对话，解答下列问题：
(1)参加此次活动的七年级师生共有________人．
420
(2)客运公司60座和45座的客车每辆每天的租金分别是多少元？
(3)若同时租用两种或一种客车，要使七年级每位师生都有座位，且每辆客车恰好坐满，问有几种租车方案？(共21张PPT)
10.3 实际问题与二元一次方程组
第1课时 行程和配套问题
1.能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出方程．
2．正确找出简单实际问题中的两个等量关系，并能列出二元一次方程组解决问题．
01
知识梳理
知识点一 列二元一次方程组解决实际问题
1．列二元一次方程组解应用题的基本步骤．
(1)审：弄清题意和题目中的数量关系．
(2)设：根据题意设出两个__________表示题目中的两个未知量．
(3)找：找出题目中的__________．
(4)列：根据所设未知数以及等量关系列出方程组．
(5)解：解出所列的方程组．
(6)验：__________方程组的解是否符合问题的实际意义．
(7)答：规范作答．
未知数
等量关系
检验
练习1 某中学七年级(3)班去体育用品商店买一些篮球和排球，供班上同学进行体育锻炼时使用，买了2个篮球和6个排球，共花了570元，并且每个排球比篮球便宜25元．每个篮球和排球的售价各是多少元？
知识点二 行程问题
2．速度×__________＝路程；顺流速度＝静水速度__________水流速度；逆流速度＝静水速度__________水流速度．
时间
＋
－
练习2 若一艘轮船沿江水顺流航行120 km需用3 h，它沿江水逆流航行60 km也需用3 h，设这艘轮船在静水中的航速为x km/h，江水的流速为y km/h，则根据题意可列方程组为( ).
√
知识点三 配套问题
3．实际数量比＝__________．
练习3 某工厂现有95个工人，一个工人每天可做8个螺杆或22个螺母，两个螺母和一个螺杆为一套．现在要求工人每天做的螺杆和螺母完整配套而没有剩余，若设安排x个工人做螺杆，y个工人做螺母，则列出正确的二元一次方程组为( ).
配套比
√
课后练习
02
基础巩固
√
1．10年前，琪琪妈妈的年龄是琪琪的6倍，10年后，琪琪妈妈的年龄是琪琪的2倍，琪琪和她妈妈现在的年龄分别是多少岁？若设琪琪和她妈妈现在分别是x岁和y岁，根据题意可列方程组为( ).
2．1号仓库和2号仓库共存粮400吨，现运出1号仓库存粮的60%，运出2号仓库存粮的40%，结果1号仓库和2号仓库所余粮食之比是2∶1，则1号仓库与2号仓库原来各存粮多少吨？设1号仓库和2号仓库原来各存粮x吨、y吨，下列方程组正确的是( ).
√
3．某市的出租车是这样收费的：起步价所包含的路程为0～3 km，超过3 km的部分按每千米另行收费．小刘说：“我乘出租车从家到汽车站走了4.5 km，付车费15.9元．”小李说：“我乘出租车从家到汽车站走了6 km，付车费19.8元．”小明乘出租车从学校到汽车站走了8.5 km，应付车费________元．
26.3
4．从甲地到乙地，先下山再走平路，某人骑自行车以每小时12千米的速度下山，以每小时9千米的速度走平路，到达乙地共用55分钟；他返回时，以每小时8千米的速度通过平路，以每小时4千米的速度上山，共用1.5小时，则甲、乙两地的距离为________．
9千米
能力达标
5．用1块A型钢板可制成3块C型钢板和4块D型钢板；用1块B型钢板可制成5块C型钢板和2块D型钢板．现在需要58块C型钢板、40块D型钢板，问恰好用A型钢板、B型钢板各多少块？如果设用A型钢板x块，用B型钢板y块，则可列方程组为( ).
√
6．某服装厂要生产一批同种型号的校服，已知每3 m长的某种布料可做2件上衣或3条裤子．现有此种布料600 m，请你帮助设计一下，该如何分配布料，才能使校服成套而不至于浪费，能生产多少套校服？
挑战创新
7．A，B两地相距3千米，甲从A地出发步行到B地，乙从B地出发步行到A地，两人同时出发，20分钟后两人相遇，又经过10分钟，甲所余路程为乙所余路程的2倍．
(1)求甲、乙每小时各行多少千米？
(2)在他们出发后几分钟两人相距1.5千米？(共6张PPT)
新课标 新题型
(素材来源：人教七下P116数学活动)项目式学习．
【项目主题】轮胎换位问题．
【问题情境】目前，户外骑自行车进行锻炼已经成为我们日常生活中常见的一种锻炼方式．而在骑行的过程中，自行车的轮胎与地面摩擦会有损耗，所以行驶一定的里程轮胎就要报废．
【问题解决】(1)如果前、后轮没有压力差，前轮可以行驶4 000 km，后轮也可以行驶4 000 km，求这对轮胎行驶的里程数的最大值．
【解】4 000
【问题探究】由于后轮受到的压力大，所以损耗也大一些，如果行驶到某里程数，将前、后轮交换一次，再使用到前后轮同时报废，可以使行驶的里程数最大．
(2)设每个新轮胎报废时的总磨损量为k，若前轮可以行驶5 000 km，后轮可以行驶3 000 km，则行驶的里程数为多少时交换前、后轮胎？这对轮胎行驶的里程数的最大值是多少？
●
●
O
●
Q(共25张PPT)
*10.4 三元一次方程组的解法
1.知道解三元一次方程组的基本思想方法是消元，即化“三元”为“二元”．
2．*能解简单的三元一次方程组(选学).
01
知识梳理
知识点一 三元一次方程组
1．方程组含有__________个未知数，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是__________，一共有三个方程，像这样的方程组叫作三元一次方程组．
三
1
√
知识点二 三元一次方程组的解法
2．解三元一次方程组的具体步骤．
(1)变形：通过加减消元或代入消元把三元一次方程组化成__________方程组．
(2)求解：求解二元一次方程组．
(3)回代：将求得的二元一次方程组的解代入原方程组中一个适当的方程中，得到一个一元一次方程．
(4)求解：解一元一次方程得到第三个未知数的值．
(5)写解：用“{”写出方程组的解．
二元一次
知识点三 构造三元一次方程组求值
练习3 (教材P109例2变式)在等式y＝ax2＋bx＋c中，当x＝－2时，y＝9；当x＝0时，y＝3；当x＝2时，y＝5.求a，b，c的值．
【答案】a＝1，b＝－1，c＝3.
课后练习
02
基础巩固
√
√
√
4．有甲、乙、丙三种商品，若购甲1件、乙2件、丙3件，共需136元；若购甲3件、乙2件、丙1件，共需240元，则购甲、乙、丙三种商品各1件共需 ( ).
A．94元 B．92元
C．91元 D．90元
√
15
能力达标
6．设“ ， ， ”分别表示三种不同的物体，如图，前面两架天平保持平衡，如果要使第三架也平衡，那么“？”处可以放的物体为( ).
A． B．
C． D．
√
【思路分析】七年级(5)班数学探究小组，观察后发现方程①的左边是x＋y，而方程②的括号里也是x＋y，他想到可以把x＋y视为一个整体，把方程①直接代入到方程②中，这样，就可以将方程②直接转化为一元一次方程，从而达到“消元”的目的．
(1)【完成解答】请你按照探究小组的思路，完成解方程组的过程．
(2)你还能用其他的方法来求得方程组的解吗？
挑战创新
8．一方有难八方支援，某市政府筹集了抗洪必需物资138 t打算运往灾区．现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力(假设每辆车均满载)和运费如下表所示：
车型 甲 乙 丙
汽车运载量/(t/辆) 6 9 10
汽车运费/(元/辆) 500 600 600
(1)若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费10 000元，分别需要甲、乙两种车型各几辆？
(2)为了节约运费，该市政府可以调用甲、乙、丙三种车型参与运送，已知它们的总辆数为16，要求三种车型同时参与运货，请用列方程组的方法求出满足条件的所有运送方案．
(3)在(2)的基础上，哪种方案的运费最少？最少的运费是多少元？
【解】三种方案的运费分别是①3×500＋10×600＋3×600＝9 300(元)；
②4×500＋6×600＋6×600＝9 200(元)；
③5×500＋2×600＋9×600＝9 100(元).
9 100<9 200<9 300，
答：甲种车型5辆、乙种车型2辆、丙种车型9辆时运费最少，最少的运费是9 100元．
