(共12张PPT)
培优拓展(十一)椭圆的第二、第三定义
椭圆是最重要的圆锥曲线之一,除了教材中学习的定义外,还有两种重要定义,我们一般称为第二定义和第三定义.
第二定义:平面内到定点距离与到定直线(定点不在定直线上)距离之比为常数e(0
第三定义:平面内与两定点连线的斜率之积为常数λ(λ<0且λ≠-1)的动点的轨迹为椭圆(不含两定点).
椭圆第二定义在处理焦半径与椭圆外线段(距离)和最值问题时有很大优势,第三定义则适用于快速解决椭圆的中点弦、中心弦问题.如能合理利用椭圆的第二、第三定义,能使很多问题变难为易,迎刃而解.
角度一 第二定义
方法技巧
椭圆的第二定义
B
角度二 第三定义
例2已知A,B是椭圆 =1(a>b>0)长轴的两个端点,M,N是椭圆上关于x轴对称的两点,直线AM,BN的斜率分别为k1,k2,且k1k2≠0,若|k1|+|k2|的最小值
为1,则椭圆的离心率为 .
解析 如图所示,连接MB,因为M,N关于x轴对称,所以kMB=-kBN=-k2.
A
y米
P2
F
0
F
X
P
I
y
M
A
B
0
X
W
目方法技巧
由椭圆的第三定义可得：若A,B是椭圆上关
于原点对称的两点，P是椭圆上异于A,B的，点，若
kPA,kPB都存在，则(1)若椭圆的焦点在x轴上，则
pA·kpB=e2一1=一%2；(2)若椭圆的焦点在y
轴上，则kpA·kps=一2（a>b>0).
y米
P
Q
A
B
0
X(共21张PPT)
突破1 圆锥曲线中的最值、范围问题
考点一 构造不等式求最值、范围
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)设斜率为k(k≠0)的直线l过点F,交椭圆C于A,B两点,记线段AB的中点为N,直线ON交直线x=3于点M,直线MF交椭圆C于P,Q两点,求∠MFA的大小,并求四边形APBQ面积的最小值.
[对点训练1]双曲线C: (a>0,b>0)的左顶点为A,焦距为4,过右焦点F作垂直于实轴的直线交C于B,D两点,且△ABD是直角三角形.
(1)求双曲线C的方程;
(2)M,N是双曲线C右支上的两动点,设直线AM,AN的斜率分别为k1,k2,若k1k2=-2,求点A到直线MN的距离d的取值范围.
即y1y2+2(x1+1)(x2+1)=0,
即y1y2+2(my1+n+1)(my2+n+1)=0,
整理得(2m2+1)y1y2+2m(n+1)(y1+y2)+2(n+1)2=0,代入根与系数的关系得,3(n2-1)(2m2+1)-12m2n(n+1)+2(n+1)2(3m2-1)=0,化简得n2-4n-5=0,解得n=5或n=-1(不满足题目条件,舍去),则直线MN的方程为x-my-5=0,得
考点二 构造函数求最值、范围
例2在直角坐标系xOy中,圆Γ的圆心P在y轴上(P不与O重合),且与双曲线Ω:
(a>0,b>0)的右支交于A,B两点.已知|PA|2+|PB|2=|OA|2+|OB|2.
(1)求Ω的离心率;
(2)若Ω的右焦点为F(2,0),且圆Γ过点F,求|FA|+|FB|的取值范围.
由圆Γ的圆心P在y轴上,设P(0,m)(m≠0),
因为|PA|2+|PB|2=|OA|2+|OB|2,
化简得m(y1+y2)=m2,由m≠0,得y1+y2=m,由圆Γ的圆心为P,弦AB中点为M,所以MP⊥AB,
(2)如图,由Ω的右焦点为F(2,0),得c=2,由(1)知,c= a,所以有a=b= ,故双曲线的方程为x2-y2=2.
由双曲线方程可知,x1>1,x2>1.
设圆Γ的方程为x2+(y-m)2=r2,由圆Γ过点F(2,0),
则4+m2=r2,则圆Γ的方程可化为x2+y2-2my-4=0,
消去x化简得y2-my-1=0,Δ=m2+4>0,
[对点训练2] 如图,已知四边形ABCD的四个顶点都在抛物线x2=4y上,且A,B在第一象限,AC∥x轴,抛物线在点A处的切线为l,且BD∥l.
(1)设直线CB,CD的斜率分别为k和k',求k+k'的值;
(2)P为AC与BD的交点,设△BCD的面积为S1,
△PAD的面积为S2,若tan∠BCA=2,求 的取值范围.(共32张PPT)
第2讲 圆锥曲线的定义、方程与性质
考点一 圆锥曲线的定义与标准方程
例1(1)(2025全国2,6)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点A在C上,过A作C的准线的垂线,垂足为B.若直线BF的方程为y=-2x+2,则|AF|=( )
A.3 B.4 C.5 D.6
C
解析 由直线BF的方程:y=-2x+2知F(1,0),所以=1,p=2,所以抛物线方程为y2=4x,准线方程为x=-1,所以B(-1,4),所以yA=4,代入抛物线方程得A(4,4),所以|AF|=|AB|=+xA=1+4=5,故选C.
B
[对点训练1](1)(多选题) 已知定圆M:(x-1)2+y2=16,点A是圆M所在平面内一定点,点P是圆M上的动点,若线段PA的中垂线交直线PM于点Q,则点Q的轨迹可能为( )
A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆
ABD
解析 由题知,M(1,0),半径r=4.
因为Q是线段PA的中垂线上的点,所以|QA|=|PQ|.
①如图,若点A在圆M内部,且不为圆心,则|MA|<4, |QM|+|QA|=|QM|+|QP|=4,所以根据椭圆定义可知点Q轨迹是以M,A为焦点的椭圆,故A正确;
②如图,若点A在圆M外部,则||QA|-|QM||=||PQ|-|QM||=|PM|=4,|MA|>4,所以根据双曲线定义可知点Q轨迹是以M,A为焦点的双曲线,故B正确;
③若点A在圆M上(与点P不重合),则线段PA的中垂线恒过圆心M,即点Q的轨迹为点M.
④若点A为圆M的圆心,即A与M重合时,
Q为半径PM的中点,
所以Q点轨迹是以M为圆心,以2为半径的圆,故D正确;
不存在轨迹为抛物线的可能,故C错误.故选ABD.
D
解析 如图,设双曲线的左焦点为F1,由双曲线定义知,|PF|=2a+|PF1|=|PF1|+2,所以△APF的周长为|PA|+|PF|+|AF|=|PA|+2+|PF1|+|AF|,由于2+|AF|
是定值,要使△APF的周长最小, 则|PA|+|PF1|最小,
即P,A,F1三点共线,因为A(0,6 ),F1(-3,0),
考点二 椭圆、双曲线的几何性质(多考向探究预测)
考向1椭圆、双曲线的几何性质
B
(2)(多选题)(2025全国2,11)双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,左、右顶点分别为A1,A2,以F1F2为直径的圆与C的一条渐近线交于M,N两点,且∠NA1M=,则( )
A.∠A1MA2=
B.|MA1|=2|MA2|
C.C的离心率为
D.当a=时,四边形NA1MA2的面积为8
ACD
解析 因为A1A2与MN互相平分,所以四边形A1MA2N是平行四边形,所以∠A1MA2=π-∠NA1M=π-π=,A正确;
以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=c2,不妨取渐近线y=x,由设M(a,b),N(-a,-b),又因为A2(a,0),所以MA2⊥A1A2.在Rt△MA2A1中,∠A1MA2=,所以|MA1|∶|MA2|=2∶,所以B错误;
所以|A1M|=,由|A1M|=2|A1A2|,得=4a,即c2=13a2,即e2=13,所以e=,所以C正确;
因为当a=时,c2=26,从而b2=24,即b=2,所以=2=2·2a·b·=2ab=2××2=8,所以D正确.故选ACD.
[对点训练2] 已知O为坐标原点,F1(-1,0),F2(1,0),Q(0,3),向量m=(1,-2),动点P满足 ∥m,写出一个a,使得有且只有一个点P同时满足
||PF1|-|PF2||=2a(0考向2离心率问题
D
解析 (方法一)如图,设A(x0,y0),B(0,t),F1(-c,0),F2(c,0).
由对称性不妨设t<0.
增分技巧
求圆锥曲线离心率的值(取值范围)的方法
定义法 根据条件求出a,c,直接利用公式e= 求解
方程法 根据条件得到关于a,b,c的齐次等式(不等式),然后将该齐次等式(不等式)两边同时除以a或a2转化为关于e或e2的方程(不等式),解方程(不等式)即可得e的值(取值范围)
[对点训练3](2025黑龙江大庆高三质量检测)已知F1,F2是双曲线=1 (a>b>0)的左、右焦点,以F2为圆心,a为半径的圆与双曲线的一条渐近线交
于A,B两点,若3|AB|≥2|F1F2|,则双曲线的离心率的取值范围是 .
(1,]
解析 设以F2(c,0)为圆心,a为半径的圆与双曲线的一条渐近线bx-ay=0交于A,B两点,
则点F2到渐近线bx-ay=0的距离d==b,|AB|=2.
由3|AB|≥2|F1F2|,得6≥4c,即9a2-9b2≥4c2,
解得18a2≥13c2,即,
于是e≤,而e>1,
所以双曲线的离心率的取值范围是(1,].
考点三 抛物线的几何性质
例4(多选题)(2024辽宁大连模拟)已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,焦点到准线的距离为2,Q为C上的一个动点,则( )
A.C的焦点坐标为(1,0)
B.若M(3,5),则△QMF周长的最小值为11
C.若M(0,4),则|QM|的最小值为2
D.在x轴上不存在点E,使得∠QEF为钝角
BCD
解析 因为抛物线C的焦点到准线的距离为2,则C:x2=4y,焦点F(0,1),所以A错误;
[对点训练4]已知抛物线的方程为x2=4y,过其焦点F的直线与抛物线交于M,N两点,且|MF|=5,O为坐标原点,则△MOF的面积与△NOF的面积之比
为( )
D
解析 根据抛物线的对称性,不妨设点M在第一象限.
由题可知,抛物线焦点F(0,1),准线方程为y=-1,过焦点F的直线斜率存在.
设M(x1,y1),N(x2,y2),lMN:y=kx+1,|MF|=y1+1=5,
∴y1=4,x1=4,即M(4,4).(共21张PPT)
突破3 圆锥曲线中的证明、探索性问题
考点一 证明问题
例1已知过点F1(-1,0)的直线l与圆F2:(x-1)2+y2=16相交于G,H两点,线段GH的中点为E,过线段GF1的中点F且平行于EF2的直线交GF2于点P,记点P的轨迹为C.
(1)求轨迹C的方程;
(2)若A,B为轨迹C上的两个动点且均不在y轴上,点M满足
(λ,μ∈R),其中O为坐标原点,从下面①②③中选取两个作为条件,证明另外一个成立.
①点M在轨迹C上;
②直线OA与OB的斜率之积为- ;
③λ2+μ2=1.
(1)解 如图,由题意可知,圆F2:(x-1)2+y2=16的圆心为F2(1,0),半径r=4,由题意可知,直线GH斜率不为0,即P不在x轴上,因为E为GH的中点,则GH⊥EF2,又因为FP∥EF2,则GH⊥FP,即FP为线段GF1的中垂线,则|PG|=|PF1|,可得|PF1|+|PF2|=|PG|+|PF2|=|GF2|=4>2=|F1F2|,由椭圆定义可知,点P的轨迹是以F1,F2为焦点的椭圆,且不包含长轴的两端点,则a=2,c=1,可得
(1)求双曲线C的方程;
(2)设双曲线C的左、右两个顶点分别为A1,A2,T为直线l:x=1上的动点,且T不在x轴上,直线TA1与C的另一个交点为M,直线TA2与C的另一个交点为N,直线MN与x轴的交点为P,直线l与MN的交点为Q,证明:
则lMN:x=my+4,所以点P坐标为(4,0).
考点二 探索性问题
例2已知双曲线E:=1(a>0,b>0)的离心率为,且左焦点F到渐近线的距离为.过点F作直线l1,l2分别交双曲线E于A,B和C,D,且线段AB,CD的中点分别为M,N.
(1)求双曲线E的标准方程;
(2)若直线l1,l2斜率的乘积为-,试探究:是否存在定圆T,使得直线MN被圆T截得的弦长恒为4 若存在,请求出圆T的标准方程;若不存在,请说明理由.
(2)如图,由(1)知F(-3,0),设A(x1,y1),B(x2,y2),
则直线l1:y=k1(x+3),l2:y=k2(x+3),
则kMT=kNT,所以M,T,N三点共线.
综上,直线MN过定点T(2,0).
所以存在定圆T:(x-2)2+y2=4,使得直线MN被圆T截得的弦长恒为4.
此时直线MN:x=2也经过点(2,0).
故直线MN过定点T(2,0).
所以存在定圆T:(x-2)2+y2=4,使得直线MN被圆T截得的弦长恒为4.
(1)求椭圆C的方程;
(2)直线l与椭圆C交于不同的M,N两点,且直线OM,MN,ON的斜率依次成等比数列.椭圆C上是否存在一点P,使得四边形OMPN为平行四边形 若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.(共11张PPT)
培优拓展(十二)椭圆、双曲线的垂径定理
在培优拓展(十二)中我们介绍了椭圆的第三定义,并由其得出:若A,B是椭圆上关于原点对称的两点,P是椭圆上异于A,B的点,若kPA,kPB都存在,当椭圆的焦点在x轴上时,则kPA·kPB=e2-1=- .如图,取弦PB的中点M,由三角形中位线性质知OM∥PA,所以有kOM·kPB=e2-1=- ,这个结论我们称之为椭圆的垂径定理.类比也可得出双曲线的垂径定理.
角度一 椭圆垂径定理的应用
角度二 双曲线的垂径定理的应用
例2已知双曲线E的中心为原点,F(3,0)是双曲线E的一个焦点,过点F的直线与双曲线E相交于A,B两点,且AB的中点坐标为M(-12,-15),则E的方程为( )
C
[对点训练2]已知双曲线x2- =1上存在两点M,N关于直线l:y=x+m对称,且线段MN的中点Q在抛物线y2=9x上,则m的值为 .
0或-4
y中
P
M
B
X
A
目方法技巧
若AB是椭圆
6=1(a>b>0)的不平行
于对称轴的弦，M(xo,yo)为线段AB的中，点，则
根据椭圆的垂径定理有oM·AB=e2一1=
得方法技巧
2
y
若AB是双曲线
=1(a>0,6>0)的不
平行于对称轴的弦，M(xo,yo)为线段AB的中
b2
点，则koM·bAB=e2一1=(共30张PPT)
第3讲 直线与圆锥曲线的位置关系
考点一 中点弦问题
C
A
[对点训练1](1) 已知抛物线C:y2=2px(p>0),过C的焦点F且倾斜角为 的直线交C于A,B两点,线段AB的中点为W,|FW|= ,则p=( )
A.1 B.2 C.3 D.4
B
(方法二)设线段AB的中点E(x0,y0)(x0,y0>0),
∵|MA|=|NB|,∴点E也是MN的中点.
∵M在x轴正半轴上,N在y轴正半轴上,
∴M(2x0,0),N(0,2y0).
考点二 弦长、面积问题
例2(2025全国2,16)已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,长轴长为4.
(1)求C的方程;
(2)过点(0,-2)的直线l与C交于A,B两点,O为坐标原点.若△OAB的面积为,求|AB|.
解(1)由题意,2a=4,a=2,
又e=,
所以c=,b=,
故椭圆C的方程为=1.
(2)设P(0,-2),显然直线AB的斜率存在,设直线AB的方程为y=kx-2.
由消去y并整理得(2k2+1)x2-8kx+4=0,
由题意Δ=64k2-4×4(2k2+1)>0,
即k2>.
设点A,B的横坐标分别为x1,x2,则x1x2>0,x1+x2=,x1x2=.
则S△OAB=|S△OAP-S△OBP|==|OP||x1-x2|=,
即|x1-x2|=,
所以(x1-x2)2=2,
即(x1+x2)2-4x1x2=2,
即()2-=2,
解得k2=,符合题意.
则|AB|=|x1-x2|=.
[对点训练2](2024黑龙江双鸭山模拟)在平面直角坐标系xOy中,设椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,过F2作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与C交于A,B两点,直线l2与C交于D,E两点,且△AF1F2的周长是4+2.
(1)求椭圆C的方程;
(2)当|AB|=|DE|时,求△ODE的面积.
解(1)由题意知,
解得a=2,b=1,c=,
所以椭圆C的方程为+y2=1.
(2)如图,由(1)知F1(-,0),F2(,0).
若直线l1的斜率不存在,则直线l2的斜率为0,不满足|AB|=|DE|;
若直线l1的斜率为0,则A,F1,F2三点共线,不合题意;
所以直线l1的斜率存在且不为0,
设直线l1的方程为x=my+,
联立消去x得(+1)y2+y-=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=-,y1y2=-,∴|AB|=. (*)
直线l2为x=-y+,将(*)中m替换为-.
同理可得|DE|=.
由|AB|=|DE|,得,解得m2=2,则|DE|=,
∴直线l2的方程为y=±(x-),
∴坐标原点O到直线l2的距离为d=,S△ODE=.
即△ODE的面积为.
考点三 切线问题
D
[对点训练3](1)已知抛物线C:x2=4y,过直线l:x+2y=4上的动点P可作C的两条切线,记切点为A,B,则直线AB( )
A.斜率为2 B.斜率为±2
C.恒过点(0,-2) D.恒过点(-1,-2)
D
故直线AB的方程为y+n=(2-n)x,斜率不为定值,故A,B错误,当x=-1时,y=-2,所以直线AB恒过点(-1,-2),C错误,D正确.故选D.
(2) 设P为圆O:x2+y2=5上任意一点,过点P作椭圆 的两条切线,切点分别为A,B,点O,P到直线AB的距离分别为d1,d2,则d1·d2的值为 . (共10张PPT)
规范解答六 解析几何
题意理解
序号 解题入门 破题环节
1 点P到x轴的距离等于点P到点(0, )的距离 ①联想抛物线的定义;
②利用距离公式建立等式
2 矩形ABCD有三个顶点在W上 ①以三个点各自的横坐标为变量,表示三个点的坐标;
②AB⊥BC,二者斜率之积为-1
3 证明:矩形ABCD的周长大于3 ①将矩形周长表示出来;
②将周长转化为相邻两边长度和的2倍,用弦长公式表示;
③利用导数求函数的最值
答题模板
换元,根据两直线垂直的斜率关系,建立m,n的关系式
利用弦长公式表示|AB|和|BC|,进而表示出周长h
将周长的一半进行平方,建立函数
利用导数方法求函数的最小值
即m=n时等号成立,矛盾,
根据等号成立的条件,排除边界值
y米
D
C
A
B
0
X
具
教师讲评
1.试题以解析几何中的抛物线为背景，考查求
动，点轨迹方程、不等式估计、弦长公式、导数研究函
数最值等内容，综合性较强
2.试题将一个边长可变的矩形搭在抛物线上，
允许它在抛物线上滑动，需要考查滑动过程中让矩
形周长最小化的问题，需要一定的动态思维.
3.本题解答主要体现了转化的数学思想，不断
将问题转化为已知和可求的问题求解.
4.第(1)问，设动点坐标，利用条件建立方程，
直接法求轨迹方程；第(2)问设出点A,B,C的坐
标，利用ABBC建立关系，用弦长公式表示出周
长，并进行放缩，再建立函数，利用导数求最值(共57张PPT)
第1讲 直线与圆
领航高考风向标
通览主干知识
1.两直线位置关系、距离公式
2.圆的定义与方程
对含参数的圆的一般式方程形式,一定要注意其表示圆的条件.
3.圆锥曲线
知识点 内容
定义 (1)椭圆:|MF1|+|MF2|=2a(2a>|F1F2|);
(2)双曲线:||MF1|-|MF2||=2a(0<2a<|F1F2|);
(3)抛物线:|MF|=d(d为点M到准线的距离)
若点F在准线l上,点的轨迹是过F且与l垂直的直线
4.圆锥曲线中的几个重要结论
(1)圆锥曲线的中点弦斜率公式
(2)过曲线上点P(x0,y0)的切线方程
过曲线C:Ax2+By2+Dx+Ey+F=0上一点P(x0,y0)的切线方程为
微点拨 1.求解两条直线平行的问题时,在利用A1B2-A2B1=0建立方程求出参数的值后,要注意代入检验,排除两条直线重合的可能性.
2.与直线Ax+By+C=0平行的直线方程可设为Ax+By+m=0(m≠C);与直线Ax+By+C=0垂直的直线方程可设为Bx-Ay+m=0.
链高考1.(2021新高考Ⅱ,3)抛物线y2=2px(p>0)的焦点到直线y=x+1的距离为 ,则p=( )
B
链高考2.(2024全国甲,理12)已知b是a,c的等差中项,直线ax+by+c=0与圆x2+y2+4y-1=0交于A,B两点,则|AB|的最小值为( )
A.1 B.2
C.4 D.2
C
微点拨 在双曲线的定义中,有两点是缺一不可的:其一,绝对值;其二, 0<2a<|F1F2|.如果满足第二个条件但不满足第一个条件,那么其轨迹只能是双曲线的一支.
链高考3.(2024新高考Ⅰ,12)设双曲线C: =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2作平行于y轴的直线交C于A,B两点.若
|F1A|=13,|AB|=10,则C的离心率为 .
解析 如图,由双曲线的对称性不妨设点A为双曲线C与直线AB在第一象限的交点.由题意知,|AF2|=5,2a=|F1A|-|AF2|=13-5=8,∴a=4.
(1)求C的方程;
(2)过点P(4,0)的直线交C于A,B两点,N为线段FP的中点,直线NB交直线MF于点Q.证明:AQ⊥y轴.
考点一 直线的方程及其应用
例1(1)已知直线m:(a-2)x+ay-2=0和直线n:x+3ay+1=0,则“a= ”是“m∥n”的( )
A.充要条件 B.必要不充分条件
C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件
A
(2)直线l过点P(1,0),且与以A(2,1),B(0, )为端点的线段有公共点,则直线l斜率的取值范围为 .
解析 设PA与PB的倾斜角分别为α,β,直线PA的斜率kAP=1,直线PB的斜率kBP=- .
如图,当直线l由PA变化到与y轴平行的位置PC时,它的倾斜角由α增至90°,斜率的取值范围为[1,+∞).
当直线l由PC变化到PB的位置时,它的倾斜角由90°增至β,斜率的变化范围是(-∞,- ].
故斜率的取值范围是(-∞,- ]∪[1,+∞).
延伸探究1
若本例(2)中P(1,0)改为P(-1,0),其他条件不变,求直线l斜率的取值范围.
延伸探究2
若将本例(2)中的点B坐标改为B(2,-1),其他条件不变,求直线l倾斜角的取值范围.
解 设直线PA与PB的倾斜角分别为α,β,直线PA的斜率kAP=1,直线PB的斜率kBP=-1,当直线l由PB变化到PA的位置时,它的斜率的取值范围是[-1,1].
[对点训练1] 两直线3x+y-3=0与6x+my+1=0平行,则它们之间的距离为( )
D
考点二 圆的方程
例2(2022全国乙,理14)过四点(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三点的一个圆的方程为 .
解析 (方法一)若圆过点(0,0),(4,0),(-1,1),则设圆心为(a1,b1),半径为r1,
∴圆的方程为(x-2)2+(y-3)2=13.
若圆过点(0,0),(4,0),(4,2),则设圆心为(a2,b2),半径为r2,
若圆过点(0,0),(-1,1),(4,2),则设圆心为(a3,b3),半径为r3,
若圆过点(4,0),(-1,1),(4,2),则设圆心为(a4,b4),半径为r4,
(方法二 几何法)设点A(0,0),B(4,0),C(-1,1),D(4,2),
[对点训练2](2022全国甲,文14)设点M在直线2x+y-1=0上,点(3,0)和(0,1)均在☉M上,则☉M的方程为 .
(x-1)2+(y+1)2=5
(方法三)设圆心M(a,1-2a),☉M的半径为r,则
r2=(a-3)2+(1-2a)2=(a-0)2+(1-2a-1)2,
整理可得-10a+10=0,即a=1.
则圆心M(1,-1),故所求☉M的方程为(x-1)2+(y+1)2=5.
考点三 直线与圆的位置关系(多考向探究预测)
考向1切线问题
例3(1) 已知点P为直线l:3x-4y+12=0上的一点,过点P作圆C:(x-3)2+(y-2)2=1的切线PM,切点为M,则切线长|PM|的最小值为( )
A
(2)(2022新高考Ⅰ,14)写出与圆x2+y2=1 和(x-3)2+(y-4)2=16都相切的一条直线的方程: .
解析 在平面直角坐标系中,画出圆x2+y2=1和圆(x-3)2+(y-4)2=16.设点O(0,0),O1(3,4),
由图得两圆外切,则☉O与☉O1有两条外公切线和一条内公切线,易得其中一条外公切线l的方程为x=-1.由图可知,内公切线l1与另一条外公切线l2的斜率均存在.
[对点训练3] 过点P(-2,3)作斜率为-2的直线,若光线沿该直线传播经x轴反射后与圆C:(x-3)2+(y-2)2=r2(r>0)相切,则r=( )
D
考向2弦长问题
例4(1) 已知圆O1:x2+y2=5与圆O2:x2+y2-2x-4y=0交于A,B两点,则|AB|=( )
C
(2)(2023新高考Ⅱ,15)已知直线x-my+1=0与☉C:(x-1)2+y2=4交于A,B两点,写出满足“△ABC面积为 ”的m的一个值:
.
增分技巧
求解圆的弦长的3种方法
关系 法 根据半径、弦心距、弦长构成的直角三角形,得三者间的关系为r2=d2+ (其中l为弦长,r为圆的半径,d为圆心到直线的距离)
公式 法 根据公式 求解(其中l为弦长,x1,x2为直线与圆相交所得交点的横坐标,k为直线的斜率)
距离 法 联立直线与圆的方程,解方程组求出两交点坐标,用两点间距离公式求解
[对点训练4] 已知直线y=kx+1与圆x2+y2=4相交于M,N两点,若|MN|= ,则|k|=( )
B
考点四 圆与圆的位置关系
例5(多选题) 已知圆C1:x2+y2=1,圆C2:(x-3)2+(y+4)2 =r2(r>0),P,Q分别是圆C1与圆C2上的动点,( )
A.若圆C1与圆C2无公共点,则0B.当r=5时,两圆公共弦所在直线方程为6x-8y-1=0
C.当r=2时,|PQ|的取值范围为[2,8]
D.当r=3时,过点P作圆C2的两条切线,切点分别为A,B,则∠APB不可能等于
BC
解析 如图,易知圆C1:x2+y2=1的圆心为C1(0,0),半径r1=1;
圆C2:(x-3)2+(y+4)2=r2的圆心为C2(3,-4),半径为r,圆心距|C1C2|=5.
对于A,圆C1与圆C2无公共点,则|C1C2|>r1+r2或|C1C2|<|r-1|,即可得5>r+1或5<|r-1|,解得06,所以A错误;
对于B,当r=5时,公共弦所在直线方程为x2+y2-[(x-3)2+(y+4)2]=1-25,
整理可得6x-8y-1=0,所以B正确;
对于C,当r=2时,|C1C2|>r+1=3,可知两圆外离,|PQ|∈[|C1C2|-3,|C1C2|+3],即|PQ|∈[2,8],所以C正确;
[对点训练5](多选题)已知圆C1:x2+y2=9与圆C2:(x-3)2+(y-4)2=16,下列说法正确的是( )
A.C1与C2的公切线恰有4条
B.C1与C2相交弦的方程为3x+4y-9=0
C.C1与C2相交弦的弦长为
D.若P,Q分别是圆C1,C2上的动点,则|PQ|max=12
BD(共27张PPT)
突破2 圆锥曲线中的定点、定值问题
考点一 定点(定直线)问题
(1)求C的方程;
(2)记C的左、右顶点分别为A1,A2,过点(-4,0)的直线与C的左支交于M,N两点,M在第二象限,直线MA1与直线NA2交于P.证明:点P在定直线上.
(2)证明 (方法一)(ⅰ)当直线MN的斜率存在时,设直线MN的方程为y=k(x+4),设M(x1,y1),N(x2,y2),y1>0.
(方法二)由于直线MN与双曲线左支交于M,N两点,∴直线MN的斜率不为0.
(1)求C的方程;
(2)过点(-2,3)的直线交C于P,Q两点,直线AP,AQ与y轴的交点分别为M,N,证明:线段MN的中点为定点.
∵直线AP,AQ分别与y轴交于M,N两点,且过A(-2,0),
∴设直线AP的方程为y-0=k1(x+2),即y=k1x+2k1,设直线AQ的方程为
y-0=k2(x+2),即y=k2x+2k2,
∴M(0,2k1),N(0,2k2),T(0,k1+k2).
又y1=k(x1+2)+3,y2=k(x2+2)+3,y1=k1x1+2k1,y2=k2x2+2k2,
综上,线段MN的中点为定点(0,3).
(方法二)设P(x1,y1),Q(x2,y2),显然直线PQ斜率存在,故设直线PQ:y=k(x+2)+3.
考点二 定值问题
例2在平面直角坐标系中,已知F1(-1,0),F2(1,0),Q为动点,且|F2Q|=4,线段F1Q的垂直平分线交线段F2Q于点P,设P的轨迹是曲线C,射线PF1,PF2分别与C交于A,B两点.
(1)求C的方程;
解 (1)由已知得|PF1|=|PQ|,且|PF1|+|PF2|=|PQ|+|PF2|=|QF2|=4>|F1F2|=2,
所以点P的轨迹是以F1(-1,0),F2(1,0)为焦点的椭圆,且2a=4,2c=2,
所以a=2,c=1,b2=a2-c2=3,
[对点训练2] 已知动圆P过定点F(0,1)且与直线y=3相切,记圆心P的轨迹为曲线E.
(1)已知A,B两点的坐标分别为(-2,1),(2,1),直线AP,BP的斜率分别为k1,k2,证明:k1-k2=1;
(2)若点M(x1,y1),N(x2,y2)是轨迹E上的两个动点且x1x2=-4,设线段MN的中点为Q,圆P与动点Q的轨迹Γ交于不同于F的三点C,D,G,求证:△CDG的重心的横坐标为定值.
(2)显然直线MN的斜率存在,如图,设直线MN的方程为y=kx+b,k,b∈R,联立
消去y并整理得x2+4kx+4b-8=0,
因为Δ>0,所以x1x2=4b-8,
又x1x2=-4,所以b=1,
所以x2+4kx-4=0,直线MN的方程为
y=kx+1,x1+x2=-4k,y1+y2=k(x1+x2)+2=-4k2+2,
所以线段MN的中点坐标为Q(-2k,-2k2+1).
得x4+(4-2n)x2+4mx=0,
设C,D,G的横坐标分别为c,d,g,
因为C,D,G都异于F,
所以c,d,g都不为零,
故关于x的方程x3+(4-2n)x+4m=0的根为c,d,g,
令(x-c)(x-d)(x-g)=0,
即有x3-(c+d+g)x2+(cd+dg+gc)x-cdg=0,
所以c+d+g=0,
故△CDG的重心的横坐标为定值.
