(共56张PPT)
第1讲 三角函数的图象与性质
领航高考风向标
通览主干知识
1.同角三角函数的基本关系、诱导公式
2.三角函数图象的变换
由函数y=sin x的图象变换得到y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象的步骤
3.三角函数的图象与性质
4.函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的三大性质
求单调区间时,必须保证ω>0
微点拨 其他两类函数的三大性质类似,代入公式可解,注意公式的不同之处.对y=Atan(ωx+φ),当φ=kπ(k∈Z)时为奇函数,不能为偶函数.
5.三角恒等变换
(1)两角和与差的正弦、余弦、正切公式
sin(α±β)=sin αcos β±cos αsin β.
cos(α±β)=cos αcos β sin αsin β.
sin(α+β)sin(α-β)=sin2α-sin2β(平方正弦公式).
cos(α+β)cos(α-β)=cos2α-sin2β.
(2)二倍角公式
sin 2α=2sin αcos α.
cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α.
1+sin 2α=(sin α+cos α)2.
1-sin 2α=(sin α-cos α)2.
(3)辅助角公式
(4)降幂公式与升幂公式
6.正弦定理、余弦定理、面积公式
(1)正弦定理、余弦定理
(2)三角形面积公式
微点拨 各象限角的三角函数值的符号:一全正,二正弦,三正切,四余弦.
链高考1.(2024北京,12)已知α∈ ,且α与β的终边关于原点对称,则cos β的最大值为 .
微点拨 无论哪种变换,每一个变换总是针对自变量x而言的,即图象变换要看“自变量x”发生多大变化,而不是看“ωx+φ”的变化.
D
链高考3.(2024新高考Ⅰ,7)当x∈[0,2π]时,曲线y=sin x与y=2sin(3x- )的交点个数为( )
A.3 B.4 C.6 D.8
C
链高考4.(多选题)(2024新高考Ⅱ,9)对于函数f(x)=sin 2x和g(x)=sin
下列正确的有( )
A.f(x)与g(x)有相同的零点
B.f(x)与g(x)有相同的最大值
C.f(x)与g(x)有相同的最小正周期
D.f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴
BC
两函数的最大值均为1,B正确;
两函数的最小正周期都为π,C正确;
A
B
链高考7.(2024新高考Ⅰ,4)已知cos(α+β)=m,tan αtan β=2,则cos(α-β)=( )
A
解析 ∵tan αtan β=2,∴sin αsin β=2cos αcos β.∵cos(α+β)=m,
即cos αcos β-sin αsin β=cos αcos β-2cos αcos β=m,
∴cos αcos β=-m,sin αsin β=-2m.
∴cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=-m-2m=-3m.
链高考8.(2024新高考Ⅱ,13)已知α为第一象限角,β为第三象限角,
tan α+tan β=4,tan αtan β= +1,则sin(α+β)= .
链高考9.(2024全国甲,文13)函数f(x)=sin x- cos x在[0,π]上的最大值是 .
2
链高考10.(2024全国甲,理11)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知B=60°,b2= ac,则sin A+sin C=( )
C
链高考11.(2023北京,7)在△ABC中,(a+c)(sin A-sin C)=b(sin A-sin B),则C=( )
B
解析 因为(a+c)(sin A-sin C)=b(sin A-sin B),
所以由正弦定理得(a+c)(a-c)=b(a-b),即a2-c2=ab-b2,
考点一 三角函数图象的变换
A.1 B.2 C.3 D.4
C
由图可知,两函数图象有3个交点.故选C.
(2)设函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π),将函数f(x)的图象先向右平移 个单位长度,再横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,所得的图象与y=sin x图象重合,则( )
A
D
A
考点二 三角函数的图象与解析式
D
(2)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)+B(其中A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示,有以下结论:
所有正确结论的序号是( )
A.①② B.①③④
C.③④ D.①④
B
[对点训练2](1) 函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,-π<φ<π)的部分图象如图所示,把函数f(x)的图象向右平移 个单位长度得到g(x)的图象,则g(x)的解析式为( )
A
(2)(2025黑龙江哈尔滨高三联考)已知函数f(x)=2cos(ωx-φ)(ω>0,|φ|<)的部分图象如图所示,则f()=( )
A.-1 B.1
C. D.-
B
解析 设f(x)的最小正周期为T,
由题图可知,,所以T=π.
又因为ω>0,所以ω==2.
因为f()=2cos(2×-φ)=2,
所以2×-φ=2kπ,k∈Z,
所以φ=-2kπ,k∈Z.
又|φ|<,令k=0,可得φ=,
所以f(x)=2cos(2x-),故f()=2cos=1.
故选B.
考点三 三角函数的性质
D
B
[对点训练3](1) 关于函数f(x)=sin x+cos 2x,给出下列三个命题:
①f(x)是周期函数;
②曲线y=f(x)关于直线x= 对称;
③f(x)在区间[0,2π)上恰有3个零点.
其中真命题的个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
D
解析 对于①,因为f(x)=sin x+cos 2x,所以f(x+2π)=sin(x+2π)+cos 2(x+2π) =sin x+cos 2x=f(x),故T=2π,所以①正确;
对于②,因为f(π-x)=sin(π-x)+cos 2(π-x)=sin x+cos 2x=f(x),
(2)(多选题)(2025黑龙江齐齐哈尔二模)A,B是函数f(x)=tan(2x-)与直线y=2的两个交点,则下列说法正确的有( )
A.|AB|min=
B.f(x)的定义域为
C.f(x)图象的对称中心为(,0),k∈Z
D.f(x)在区间[-]上单调递增
AC
解析 f(x)=tan(2x-)的最小正周期T=,则|AB|min=,故A正确;
由2x-≠kπ+,k∈Z,得x≠,k∈Z,所以f(x)的定义域为
{x,k∈Z},故B错误;
由2x-,k∈Z,解得x=,k∈Z,
所以f(x)的对称中心为(,0),k∈Z,故C正确;
当x=-时,得2x-=-,当x=时,得2x-,此时f(x)无意义,因此区间
[-]不可能是f(x)的单调递增区间,故D错误.故选AC.(共27张PPT)
培优拓展(四)三角函数中的“ω”“φ”的取值范围问题
三角函数中ω,φ的取值范围问题是高考的重点和热点,主要考查由三角函数的最值(值域)、单调性、零点等求ω,φ的取值范围,难度中等偏上.其解法主要利用整体代换与数形结合的方法.
角度一 三角函数的最值(值域)与ω,φ的取值范围
例1(1) 已知函数f(x)= sin ωx+cos ωx(ω>0)在区间[0,1]上恰好有两个最值,则ω的取值范围是( )
C
D
角度二 单调性与ω,φ的取值范围
C
B
角度三 零点与ω,φ的取值范围
例3(1)已知函数f(x)=2sin2ωx+ sin 2ωx(ω>0)在(0,π)内恰有两个零点,则ω的取值范围是( )
B
角度四 对称性与ω,φ的取值范围
D
C
针对训练
A.11 B.5 C.9 D.7
D
B
BC
C
A(共38张PPT)
第2讲 三角恒等变换与解三角形
考点一 三角恒等变换
B
(2)(2025全国2,8)已知0<α<π,cos,则sin(α-)=( )
A. B. C. D.
D
解析 由0<α<π可知0<,因为cos,所以sin,
所以sin α=2sincos=2×,cos α=2cos2-1=2×()2-1=-.
所以sin(α-)=sin αcos-cos αsin-(-)×.
故选D.
B
A
解析 由sin α+sin γ=sin β,cos β+cos γ=cos α,得sin α-sin β=-sin γ,cos α-cos β =cos γ,∴(sin α-sin β)2+(cos α-cos β)2=(-sin γ)2+cos2γ=1,
D
考点二 正弦、余弦定理及其应用(多考向探究预测)
考向1正弦、余弦定理与面积公式
例2(1)(2025全国2,5)在△ABC中,BC=2,AC=1+,AB=,则A=( )
A.45° B.60° C.120° D.135°
A
解析 在△ABC中,由余弦定理得cos A=,又0
C
考向2解三角形中的最值与范围问题
例3(1)(2024黑龙江二模)在锐角三角形ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且c-b=2bcos A,则 的取值范围为( )
B
解析 因为c-b=2bcos A,则由正弦定理得sin C-sin B=2sin Bcos A,
又sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B,
所以sin Acos B+cos Asin B-sin B=2sin Bcos A,
则sin B=sin Acos B-sin Bcos A=sin(A-B).
A
(3) 在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,2asin A-bsin B=3csin C,若S表示△ABC的面积,则 的最大值为( )
D
[对点训练2](1) 已知△ABC角A,B,C的对边分别为a,b,c满足
,则角B的最大值为( )
A
AB
ABC
考点三 解三角形的实际应用
例4 如图,小明为了测量某高楼的高度AB,他首先在C处,测得楼顶A的仰角为60°,然后沿BC方向行走22.5米至D处,又测得楼顶A的仰角为30°,则楼
高AB为 米.
[对点训练3]一艘轮船在江中向正东方向航行,在点P处观测到灯塔A,B在一直线上,并与航线成30°角.
轮船沿航线前进1 000米到达C处,此时观测到灯塔A在北偏西45°方向,灯塔B在北偏东15°方向,则此时轮船到灯塔B之间的距离CB为 米.
考点四 解三角形与向量
例5(1)已知△ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则·()的最小值是( )
A.-2 B.- C.- D.-1
B
解析 (方法一)取BC的中点O,∵△ABC为等边三角形,∴AO⊥BC,
∴以O为原点,OC,OA所在直线为x轴与y轴建立如图所示的平面直角坐标系,连接OP,AP,BP,CP,设P(x,y).
=(0,),=(-1,0),=(1,0),=2,
∴=(-x,-y)·(-x,-y)=x2+y2-y=x2+(y-)2-,
∴≥-,∴·()=2≥-,
∴所求最小值为-.故选B.
(方法二)记O为BC的中点,
∵=2,
∴·()=2≥-.
故选B.
(2)在△ABC中,M为BC边上任意一点,N为线段AM上任意一点,若=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ的取值范围是( )
A. B.
C.[0,1] D.[1,2]
C
解析 由题意,设=t(0≤t≤1),
当t=0时,=0,所以λ+μ=0,所以λ=μ=0,从而有λ+μ=0;当0因为M,B,C三点共线,所以=1,
即λ+μ=t∈(0,1].
综上,λ+μ的取值范围是[0,1].故选C.
[对点训练4](2023全国乙,理12)已知☉O的半径为1,直线PA与☉O相切于点A,直线PB与☉O交于B,C两点,D为BC的中点,若|PO|=,则的最大值为( )
A. B.
C.1+ D.2+
A
解析 (方法一)设∠DPO=α,由题可知α∈[0,).因为||=,||=1,所以∠OPA=,所以||=||cos α=cos α.
①当在PO两侧时,=||||cos(α+)=cos αcos(α+) =cos α(cos α-sin α)=cos2α-sin αcos α=sin 2α
=-sin(2α-)+.
因为α∈[0,),所以-≤2α-,所以-≤sin(2α-)<,
所以0<-sin(2α-)+≤1,所以0<≤1.
②当在PO同侧时,=||||cos(α-)=cos αcos(α-)
=cos2α+sin αcos α=sin 2α=sin(2α+)+.
因为α∈[0,),所以≤2α+,所以≤sin(2α+)≤1,所以1≤.综上,最大值为.
故选A.
(方法二)以圆心O为坐标原点建立平面直角坐标系(图略),则圆O:x2+y2=1,令点P(,0),因为|OA|=1,且OA⊥PA,所以∠POA=,不妨令A(),设直线PD的方程为y=k(x-),B(x1,y1),C(x2,y2),由得(k2+1)x2-2k2x+
2k2-1=0,由Δ=8k4-4(k2+1)(2k2-1)=4-4k2>0,解得-1y1+y2=k(x1+x2-2)=-,所以D(,-),于是=(-),=(-,-),所以.设t=1-k,则0规范解答二 三角函数与解三角形
题意理解(共48张PPT)
专项突破二 三角函数与解三角形解答题
考点一 三角函数的性质与图象的综合应用
例1(2025全国2,15)已知函数f(x)=cos(2x+φ)(0≤φ<π),f(0)=,
(1)求φ;
(2)设函数g(x)=f(x)+f(x-),求g(x)的值域和单调区间.
解(1)因为f(0)=cos φ=,且0≤φ<π,所以φ=.
(2)由(1)可知f(x)=cos(2x+),所以g(x)=cos(2x+)+cos 2x=cos 2x-sin 2x +cos 2x=cos 2x-sin 2x)=cos(2x+).因为x∈R,所以当cos(2x+)=1时,g(x)max=;当cos(2x+)=-1时,g(x)min=-,所以g(x)的值域为[-].
由2kπ-π≤2x+≤2kπ,k∈Z,得kπ-≤x≤kπ-,k∈Z;由2kπ≤2x+≤2kπ+π,k∈Z,得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.所以g(x)的单调递增区间为[kπ-,kπ-],k∈Z;单调递减区间为[kπ-,kπ+],k∈Z.
[对点训练1] 已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期为π.
(1)求ω的值;
(2)再从条件①、条件②、条件③三个条件中选择一个作为已知,确定f(x)的解析式.设函数g(x)=f(x)-2sin2x,求g(x)的单调递增区间.
考点二 正弦定理、余弦定理及综合应用(多考向探究预测)
考向1求三角形中的边与角
例2(2023新高考Ⅱ,17)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC面积为 ,D为BC的中点,且AD=1.
(1)若∠ADC= ,求tan B;
(2)若b2+c2=8,求b,c.
[对点训练2] 已知△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,
(a+b)(sin B-sin A)=c[sin(A+B)-sin A].
(1)求角B;
解 (1)因为(a+b)(sin B-sin A)=c[sin(A+B)-sin A],
所以(a+b)(sin B-sin A)=c[sin(π-C)-sin A],
即(a+b)(sin B-sin A)=c(sin C-sin A),
由正弦定理可得(a+b)(b-a)=c(c-a),
所以b2-a2=c2-ac,即a2+c2-b2=ac,
考向2与面积有关的解三角形问题
例3(2023全国甲,文17)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知
[对点训练3] 在△ABC中,内角A,B,C所对应的边分别为a,b,c, acos B-
bsin A= c,c=2,
(1)求A的大小;
(2)点D在BC上,
①当AD⊥AB,且AD=1时,求AC的长;
②当BD=2DC,且AD=1时,求△ABC的面积S△ABC.
考向3解三角形中的证明问题
例4(2022全国乙,理17)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知
sin Csin(A-B)=sin Bsin(C-A).
(1)证明:2a2=b2+c2;
(2)若a=5,cos A= ,求△ABC的周长.
(1)证明 ∵sin Csin(A-B)=sin Bsin(C-A),
∴sin Csin Acos B-sin Csin Bcos A=sin Bsin Ccos A-sin Bsin Acos C,
[对点训练4] 已知锐角三角形ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,其中
(1)求证:B=2C;
(2)已知点M在线段AC上,且∠ABM=∠CBM,求BM的取值范围.
由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B,整理得c=a-2ccos B.
由正弦定理得sin C=sin A-2sin Ccos B,故sin C=sin(B+C)-2sin Ccos B,
即sin C=sin Bcos C+sin Ccos B-2sin Ccos B,
整理得sin C=sin(B-C),
(2)解 因为点M在线段AC上,且∠ABM=∠CBM,即BM平分∠ABC,
又∠ABC=2C,所以C=∠CBM,则∠BMC=π-C-∠CBM=π-2C.
考向4解三角形中的最值与范围问题
例5已知四边形ABCD内接于圆O,AB=2,∠ADB=30°,∠BAD是钝角.
(1)求AC的最大值;
(2)若BD=2 ,求四边形ABCD周长的最大值.
延伸探究
(变结论)在例5(2)的条件下,求△BCD面积的最大值.
解 设BC=x,CD=y,因为∠BCD=60°,
在△BCD中,由余弦定理得12=x2+y2-xy≥2xy-xy=xy,即xy≤12,当且仅当x=y=6时,等号成立,
[对点训练5](2025黑龙江哈尔滨高三一模)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知asin=bsin A.
(1)求B;
(2)若△ABC为锐角三角形,b=,求2a-c的取值范围.
解(1)因为asin=bsin A,由正弦定理得sin Asin()=sin Bsin A,
故sin Acos=2sincossin A.
在△ABC中,00,0<,
则cos>0,可得sin,
所以,所以B=.
(2)由正弦定理可得2R==2(R为△ABC外接圆的半径),所以a=2sin A,c=2sin C.
因为B=,则A+C=,C=-A,
所以2a-c=4sin A-2sin(-A)=3sin A-cos A=2sin(A-).
因为△ABC为锐角三角形,则解得则A-∈(0,),sin(A-)∈(0,),
故2a-c∈(0,3).
考点三 解三角形的实际应用
例6如图,某人开车在山脚下水平公路上自A向B行驶,山脚与公路处于同一水平面上.在A处测得山顶P处的仰角∠PAO=30°,该车以45 km/h的速度匀速行驶4分钟后,到达B处,此时测得山顶P处的仰角∠PBO=45°,
(1)求此山的高OP的值;
(2)求该车从A到B的行驶过程中观测P点的仰角正切值的最大值.
(1)当走私船发现了巡逻艇时,两船相距多少海里
(2)巡逻艇应该沿什么方向去追,才能最快追上走私船 (共33张PPT)
培优拓展(五)三角形中的特殊线段问题
三角形中的特殊线段主要是三角形中一边的中线、角的平分线以及高线,在考查过程中主要涉及长度的计算、范围的计算等.
角度一 三角形中的中线问题
(2)如图,设AM的延长线交BC于点D.因为点M为△ABC的重心,所以点D为BC的中点,
角度二 三角形中的角平分线问题
例2(1)(2023全国甲,理16)在△ABC中,∠BAC=60°,AB=2,BC= ,∠BAC的角平分线交BC于D,则AD= .
2
(2)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=13, A= ,b>c,△ABC的内切圆圆I的面积为3π.
①求b,c的值及cos∠ABC;
②若点D在AC上,且B,I,D三点共线,试讨论在BC边上是否存在点M,使得
若存在,求出点M的位置,并求出△DBM的面积;若不存在,请说明理由.
角度三 三角形中的高线问题
例3(2023新高考Ⅰ,17)已知在△ABC中,A+B=3C,2sin(A-C)=sin B.
(1)求sin A;
(2)设AB=5,求AB边上的高.
角度四 三角形中其他线段的长度问题
针对训练
1.在①b(sin A+sin B)=(c+a)(sin C-sin A),
② 这三个条件中任选一个,补充在下面的横线上,并解答.
在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且 .
(1)求角C的大小;
(2)已知c=7,D是边AB的中点,且CD⊥CB,求CD的长.
解 (1)选条件①.
由b(sin A+sin B)=(c+a)(sin C-sin A)及正弦定理,
得b(a+b)=(c+a)(c-a),即a2+b2-c2=-ab,
因为∠ADC+∠BDC=π,所以cos∠ADC+cos∠BDC=0.
由余弦定理得a2=BD2+CD2-2BD·CDcos∠BDC,
b2=AD2+CD2-2AD·CDcos∠ADC,因为D是边AB的中点,
(方法四)以C为坐标原点,CB所在直线为x轴,CD所在直线为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系,
则C(0,0),B(a,0),设D(0,d),因为D是边AB的中点,所以A(-a,2d).
(2)在△ABC中,由点D在边AB上,CD为∠ACB的平分线,得
S△ABC=S△ACD+S△BCD,
