《高考快车道》专题突破练17（课后习题）（教师版）高三 二轮专题复习讲义 数学

专题突破练17
(分值:111分)
主干知识达标练
1.(2023北京,5)的展开式中含x的项的系数为(　　)
A.-80 B.-40
C.40 D.80
答案D
解析的展开式的通项为Tk+1=(2x)5-k·(-)k=(-1)k,25-kx5-2k,令5-2k=1,得k=2,所以的展开式中含x的项的系数为(-1)223=80.故选D.
2.三名男同学和两名女同学随机站成一列,则两名女同学相邻的概率是(　　)
A. B. C. D.
答案B
解析五名同学排成一列的排法有=120(种),其中两名女同学相邻的排法有=48(种),所以两名女同学相邻的概率是.故选B.
3.已知(1-2x)9=a0+a1x+…+a9x9,则a0+ai=(　　)
A.-2 B.-19 C.15 D.17
答案D
解析令x=1,得a0+a1+…+a9=(1-2)9=-1.
(1-2x)9的展开式的通项为Tk+1=(-2x)k=(-1)k·2kxk(k=0,1,…,9),
所以a1=(-1)1××2=-18,
所以a0+ai=-1-(-18)=17.故选D.
4.(2024辽宁沈阳二模)我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化,每一“重卦”由6个爻组成,爻分为阳爻“”和阴爻“”,如图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦,记事件A=“取出的重卦中至少有1个阴爻”,事件B=“取出的重卦中至少有3个阳爻”,则P(B|A)=(　　)
A. B.
C. D.
答案C
解析P(A)=,事件AB=“取出的重卦中有3阳3阴或4阳2阴或5阳1阴”,
则P(AB)=,
则P(B|A)=.
故选C.
5.有5名志愿者参加社区服务,共服务星期六、星期日两天,每天从中任选2人参加服务,则恰有1人连续参加两天服务的选择种数为(　　)
A.120 B.60 C.40 D.30
答案B
解析(方法一)先在5名志愿者中安排1名在这两天都参加社区服务,有5种安排方法,再在星期六、星期日,每天从剩下的4名志愿者中安排1名不同的志愿者参加社区服务,有4×3=12(种)安排方法.由分步乘法计数原理得恰有1人在这两天都参加的不同的安排方法共有5×12=60(种).
(方法二)在5名志愿者中安排2名在星期六参加社区服务,有=10(种)安排方法.再从星期六参加社区服务的2名志愿者中安排1名及从剩下的3名志愿者中安排1名在星期日参加社区服务,有2×3=6(种)安排方法.由分步乘法计数原理得恰有1人在这两天都参加的不同的安排方法共有10×6=60(种).
(方法三)从5名志愿者中,在星期六、星期日两天各安排2名参加社区服务,有=100(种)安排方法,星期六、星期日两天的志愿者全不相同的安排方法有=30(种),全相同的安排方法有=10(种),所以恰有1人在这两天都参加的不同的安排方法共有100-30-10=60(种).故选B.
6.(多选题)对于的展开式,下列说法中正确的是(　　)
A.常数项是
B.各项系数的和是64
C.第4项的二项式系数最大
D.奇数项的二项式系数的和是32
答案ACD
解析()6的展开式的通项为Tk+1=(k=0,1,…,6),令3-k=0,得k=2,所以常数项为,故A正确;
令x=1,得()6=,所以各项系数的和是,故B错误;
第4项的二项式系数最大,故C正确;
奇数项的二项式系数的和为×26=32,故D正确.
故选ACD.
7.(多选题)某班星期一上午要安排语文、数学、英语、物理4节课,且该天上午总共4节课,下列结论正确的是(　　)
A.若数学课不安排在第一节,则有18种不同的安排方法
B.若语文课和数学课必须相邻,且语文课排在数学课前面,则有6种不同的安排方法
C.若语文课和数学课不能相邻,则有12种不同的安排方法
D.若语文课、数学课、英语课按从前到后的顺序安排,则有3种不同的安排方法
答案ABC
解析对于A,先安排数学课,有3种排法,再安排其他3节课,有种排法,故总共有3=18(种)排法,故A正确;对于B,采用捆绑法,有=6(种)排法,故B正确;对于C,先排英语课和物理课,有种排法,再采用插空法排语文课和数学课,有种排法,故总共有=12(种)排法,故C正确;对于D,4节课共有种排法,语文课、数学课、英语课的排列顺序共有种,所以有=4(种)排法,故D错误.
故选ABC.
8.(5分)已知某厂甲、乙两车间生产同一批衣架,且甲、乙两车间的产量分别占全厂产量的60%,40%,甲、乙车间的优品率分别为95%,90%.现从该厂这批产品中任取一件,则取到优品的概率为　　　　　.(用百分数表示)
答案93%
解析从该厂这批产品中任取一件,设A1=“取到的产品由甲车间生产”,A2=“取到的产品由乙车间生产”,B=“取到的产品为优品”.
由题可得P(A1)=0.6,P(A2)=0.4,P(B|A1)=0.95,
P(B|A2)=0.9,
故P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=0.6×0.95+0.4×0.9=0.93=93%.
9.(5分)(2023新高考Ⅰ,13)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课,学生需从这8门课中选修2门或3门课,并且每类选修课至少选修1门,则不同的选课方案共有　　　种(用数字作答).
答案64
解析(方法一　直接法) 若选2门课,只需体育类和艺术类各选1门,有=16(种)不同的选课方案;若选3门课,则需体育类选1门、艺术类选2门,或体育类选2门、艺术类选1门,有=48(种)不同的选课方案.综上,共有16+48=64(种)不同的选课方案.
(方法二　间接法) 由题意可知,从8门课中选择2门或者3门共有=84(种)不同的选课方案,只选择体育类或艺术类的选课方案有=20(种),则符合题意的共有84-20=64(种)不同的选课方案.
关键能力提升练
10.将1到30这30个正整数分成甲、乙两组,每组各15个数,使得甲组的中位数比乙组的中位数小2,则不同的分组方法数是(　　)
A.2 B.2
C.2 D.2
答案B
解析因为甲组、乙组均为15个数,所以其中位数也均为从小到大排列的第8个数,即各组小于中位数的有7个数,大于中位数的也有7个数.因为甲组的中位数比乙组的中位数小2,所以甲组的中位数和乙组的中位数中间有1个数,所以小于甲组的中位数的数至少有7×2-1=13(个),至多有7×2=14(个),所以甲组的中位数为14或15.
若甲组的中位数为14,则乙组的中位数为16,15一定在乙组,此时从1~13中选7个数放到甲组,剩下的6个数放到乙组,再从17~30中选7个数放到甲组,剩下的7个数放到乙组,此时有种分组方法;若甲组的中位数为15,则乙组的中位数为17,16一定在甲组,此时从1~14中选7个数放到甲组,剩下的7个数放到乙组,再从18~30中选6个数放到甲组,剩下的7个数放到乙组,此时有种分组方法.
综上可得不同的分组方法数是=2.故选B.
11.(多选题)甲箱中有3个红球和2个白球,乙箱中有2个红球和2个白球(两箱中的球除颜色外没有其他区别),先从甲箱中随机取出一球放入乙箱,分别用事件A1和A2表示从甲箱中取出的球是红球和白球;再从乙箱中随机取出两球,用事件B表示从乙箱中取出的两球都是红球,则(　　)
A.P(A1)= B.P(B)=
C.P(B|A1)= D.P(A2|B)=
答案ABD
解析依题意可得P(A1)=,P(A2)=.
若从甲箱中取出红球,则乙箱中有3个红球和2个白球,所以P(B|A1)=;
若从甲箱中取出白球,则乙箱中有2个红球和3个白球,所以P(B|A2)=,
所以P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=,故A,B正确,C错误;
P(A2|B)=,故D正确.故选ABD.
12.(2025东北三省四市高三模拟)现有4名志愿者,通过培训后,拟安排在冰壶、短道速滑、高山滑雪三个项目进行志愿者服务,假设每个项目至少安排一名志愿者,且每位志愿者只能参与其中一个项目,在甲被安排到冰壶项目的条件下,乙被安排到短道速滑项目的概率为(　　)
A. B. C. D.
答案D
解析记“甲被安排到冰壶项目”为事件A,“乙被安排到短道速滑项目”为事件B.
甲被安排到冰壶项目分为两类,甲一人被安排到冰壶项目的种数为,两人被安排到冰壶项目的种数为,所以P(A)=.
甲被安排到冰壶项目且乙被安排到短道速滑项目的种数为1+=5,
所以P(AB)=.所以P(B|A)=.故选D.
13.(多选题)从标有1,2,3,…,8的8张卡片中有放回地抽取两次,每次抽取一张,依次得到数字a,b,记点A(a,b),B(1,-1),O(0,0),则(　　)
A.∠AOB是锐角的概率为
B.∠ABO是直角的概率为
C.△AOB是锐角三角形的概率为
D.△AOB的面积不大于5的概率为
答案ACD
解析由题可知点A位于第一象限.
用图表表示点A的坐标,如图.
a b
1 2 3 4 5 6 7 8
1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (1,7) (1,8)
2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (2,7) (2,8)
3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (3,7) (3,8)
4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (4,7) (4,8)
5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (5,7) (5,8)
6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) (6,7) (6,8)
7 (7,1) (7,2) (7,3) (7,4) (7,5) (7,6) (7,7) (7,8)
8 (8,1) (8,2) (8,3) (8,4) (8,5) (8,6) (8,7) (8,8)
可以得到,试验的样本空间包含的样本点的个数为n(Ω)==64,且每个样本点都是等可能的,所以这是一个古典概型.
对于A,如图,设直线l过点O,且与OB垂直,因为kOB=-1,所以l:y=x,所以当a对于B,如图,设直线m过点B,且与OB垂直,所以l:y+1=x-1,即l:y=x-2,所以当b=a-2时,∠ABO是直角.设B=“∠ABO是直角”,则n(B)=6,所以P(B)=,故B错误;
对于C,如图,若△AOB为锐角三角形,则点A位于直线l和m之间,由题易知点A位于直线y=x-1上,所以当b=a-1时,△AOB为锐角三角形.
设C=“△AOB为锐角三角形”,则n(C)=7,所以P(C)=,故C正确;
对于D,如图,|OB|=,直线OB:y=-x,即x+y=0.设直线n:y=-x+c,即x+y-c=0,c>0,直线OB与直线n的距离为d,则d=c.若△AOB的面积为5,则|OB|d=5,即c=5,解得c=10,即n:y=-x+10,所以当b≤-a+10,即a+b≤10时,S△AOB≤5.
设D=“△AOB的面积不大于5”,则n(D)=43,所以P(D)=,故D正确.故选ACD.
14.(5分)已知a=1+2+22+23+…+220,则a除以10所得的余数为　　　　.
答案1
解析a=1+2+22+23+…+220=(1+2)20=320=910=(10-1)10=1010-109+…+102-10+=10(109-108+…+10-)+1,
故a除以10所得的余数为1.
15.(5分)将1,2,3,…,9这9个数填入如图所示的格子中(要求每个数都要填入,每个格子中只能填一个数),记第1行中最大的数为a,第2行中最大的数为b,第3行中最大的数为c,则a答案60 480
解析由题可知,c=9,c可选的位置有3个,第3行其余2个位置任取2个数,共有种情况;第2行,取剩下6个数中最大的数为b,可选的位置有3个,其余2个位置任取2个数,共有种情况;第1行,剩下3个数任意排列,则有种情况.故共有=60 480(种)填法.
16.(15分)(2025黑龙江哈尔滨高三联考)现需要对某人工智能芯片进行性能测试,规则如下:首次测试(测试Ⅰ)通过率为p(0(1)已知p=0.8,q=0.4,若某批次生产了10万枚芯片,预估合格芯片的数量;
(2)已知一枚芯片合格,求其是通过测试Ⅰ的概率(结果用p,q表示).
解(1)设事件A:芯片合格,记X为该生产批次合格芯片的数量,则每个芯片通过测试的概率为P(A)=p+(1-p)q=0.8+(1-0.8)×0.4=0.88,
于是X~B(105,0.88),
则E(X)=105×0.88=88 000,
所以预估合格芯片的数量为88 000枚.
(2)记事件A:芯片合格,事件B:通过测试Ⅰ,事件C:通过测试Ⅱ.
由题意得P(A)=P(B)+P()P(C|)=p+(1-p)q,
P(AB)=P(B)P(A|B)=p·1=p,
则P(B|A)=,
故所求概率为.
核心素养创新练
17.(17分)在一个抽奖游戏中,主持人从编号为1,2,3,4的四个外观相同的空箱子中随机选择一个,放入一件奖品,再将四个箱子关闭.主持人知道奖品在哪个箱子里.游戏规则是主持人请抽奖人在这四个箱子中选择一个,若奖品在此箱子里,则奖品由获奖人获得.现有抽奖人甲选择了2号箱,在打开2号箱之前,主持人先打开了另外三个箱子中的一个空箱子.按游戏规则,主持人将随机打开甲的选择之外的一个空箱子.
(1)计算主持人打开4号箱的概率;
(2)当主持人打开4号箱后,现在给抽奖人甲一次重新选择的机会,请问他是坚持选2号箱,还是改选1号或3号箱 (以获得奖品的概率最大为决策依据)
解(1)设Ai=“i号箱里有奖品”(i=1,2,3,4),B=“主持人打开4号箱”,则Ω=A1∪A2∪A3∪A4,且A1,A2,A3,A4两两互斥.
由题意可知,P(A1)=P(A2)=P(A3)=P(A4)=,P(B|A1)=,P(B|A2)=,P(B|A3)=,P(B|A4)=0.由全概率公式,得P(B)=P(Ai)P(B|Ai)=×()=.
(2)在主持人打开4号箱的条件下,1号箱、2号箱、3号箱里有奖品的条件概率分别为P(A1|B)=,P(A2|B)=,P(A3|B)=,
所以甲应该改选1号或3号箱.
1