《高考快车道》专题突破练23（课后习题）（教师版）高三 二轮专题复习讲义 数学

专题突破练23
(分值:68分)
主干知识达标练
1.(17分)(2025全国1,18)已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,下顶点为A,右顶点为B,|AB|=.
(1)求C的方程;
(2)已知动点P不在y轴上,点R在射线AP上,且满足|AP|·|AR|=3.
(ⅰ)设P(m,n),求R的坐标(用m,n表示);
(ⅱ)设O为坐标原点,Q是C上的动点,直线OR的斜率是直线OP的斜率的3倍,求|PQ|的最大值.
解(1)∵椭圆离心率为e=,
∴,∴b2=a2-c2=a2,
即a2=9b2.
由题意知A(0,-b),B(a,0),
∴|AB|=,
∴b2=1,a2=9,
∴椭圆的标准方程为+y2=1.
(2)(ⅰ)由(1)知A(0,-1),
∴=(m,n+1).
∵点R在射线AP上,
设R(xR,yR),=t(t>0),
∴||=t||.
又|AP|·|AR|=3,
∴t|AP|2=t||2=t[m2+(n+1)2]=3,
∴t=,
∴xR=tm=,yR=t(n+1)-1=-1,∴点R的坐标为(-1).
(ⅱ)由(ⅰ)可知kOR=,kOP=,∵kOR=3kOP,即,得m2+(n+4)2=18,可知点P在以点(0,-4)为圆心,以3为半径的圆上.
又点Q在椭圆+y2=1上,故而可设点Q(3cos θ,sin θ),圆心N(0,-4),
∴|QN|2=9cos2θ+(sin θ+4)2=9-9sin2θ+sin2θ+8sin θ+16=-8sin2θ+8sin θ+25=-8(sin θ-)2+27.
∵sin θ∈[-1,1],∴|QN|max=3,
∴|PQ|max=3+3.
2.(17分)(2025上海,20)已知椭圆=1(a>),其右顶点为A,点M(0,m)且m>0,点P在该椭圆上.
(1)若该椭圆右焦点坐标为(2,0),求其离心率e;
(2)若a=4,=2,求m的值;
(3)若MA的垂直平分线斜率为2,且交椭圆于C,D两点,∠CMD为钝角,求a的取值范围.
解(1)由题意知b2=5,c=2,则a==3,
故该椭圆的离心率e=.
(2)由题意知点A坐标为(4,0),点M坐标为(0,m),设点P坐标为(x0,y0),则=(x0,y0-m),=(4-x0,-y0).
∵2,∴
解得∴点P的坐标为().
∵点P在椭圆上,∴=1 m2=10,
又m>0,∴m=.
(3)由题意知kAM==- m=,
∴AM中点坐标为(),∴MA的垂直平分线的方程为y-=2(x-),即y=2x-a.设点C坐标为(x1,y1),点D坐标为(x2,y2),则=(x1,y1-),=(x2,y2-),由得(4a2+5)x2-3a3x+a4-5a2=0,∴x1+x2=,x1·x2=,Δ=(-3a3)2-4(4a2+5)(a4-5a2)=a4+25a2>0.
∵∠CMD为钝角,∴<0,
即x1x2+(y1-)(y2-)<0,
即x1x2+(2x1-a-)(2x2-a-)<0 5x1x2-(x1+x2)+a2<0,
∴5·a2<0,解得a2<11,又a>,∴故所求a的取值范围是().
关键能力提升练
3.(17分)已知双曲线C1:x2-=1经过椭圆C2:+y2=1的左、右焦点F1,F2,设C1,C2的离心率分别为e1,e2,且e1e2=.
(1)求C1,C2的方程;
(2)设P为C1上一点,且在第一象限内,若直线PF1与C2交于A,B两点,直线PF2与C2交于C,D两点,设AB,CD的中点分别为M,N,记直线MN的斜率为k,当k取最小值时,求点P的坐标.
解(1)依题意可得a2-1=1,得a2=2,
由e1e2=,得,
解得b2=2,故C1的方程为x2-=1,C2的方程为+y2=1.
(2)如图,易知F1(-1,0),F2(1,0),设P(x0,y0),直线PF1,PF2的斜率分别为k1,k2,
则k1=,k2=,k1k2=,
因为点P在C1:x2-=1上,即有=1,可得k1k2==2为定值.
设直线PF1的方程为y=k1(x+1),与椭圆方程+y2=1联立,消去y可得(2+1)x2+4x+2(-1)=0,且Δ>0恒成立,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则有x1+x2=,可得M(),直线PF2的方程为y=k2(x-1),C(x3,y3),D(x4,y4),
同理可得N(),
则k=-
=-
=-
=-,
由k1k2=2可得k=-,
又点P在第一象限内,故k2>k1>0,k=-≥-=-,
当且仅当=2(k1+k2),即k1+k2=2时等号成立,而k1+k2>2=2,故等号可以取到.
即当k取最小值时,k1+k2=2,与k1k2=2联立,可解得k1=-1,k2=+1,故PF1的方程为y=(-1)(x+1),PF2的方程为y=(+1)(x-1),
联立可解得即有P(,2).
核心素养创新练
4.(17分)已知双曲线E的渐近线为y=±x,左顶点为A(-,0).
(1)求双曲线E的方程;
(2)直线l:x=t交x轴于点D,过点D的直线交双曲线E于B,C,直线AB,AC分别交l于G,H,若O,A,G,H均在圆P上,
①求点D的横坐标;
②求圆P面积的取值范围.
解(1)因为双曲线的渐近线关于坐标轴及原点对称,又顶点在x轴上,可设双曲线的方程为=1(a>0,b>0),从而渐近线方程为y=±x,所以.
因为双曲线的左顶点为A(-,0),
所以a=,b=1,
所以双曲线E的方程为-y2=1.
(2)如图,
①由题知,直线BC斜率存在,设D(t,0),B(x1,y1),C(x2,y2),直线BC的方程为my=x-t,将x=my+t代入双曲线方程,消去x整理得(m2-3)y2+2mty+t2-3=0,易知该方程有两解,所以m2-3≠0且Δ=12(t2+m2-3)>0,则y1+y2=-,y1y2=.
设直线AG的倾斜角为α,不妨设0<α<,则∠AGH=-α,由O,A,G,H四点共圆知∠HOD=∠AGH,所以直线OH的倾斜角为-α,kAG·kOH=tan α·tan(-α)==1.
又A(-,0),直线AC的方程为y=(x+),令x=t,则y=,
从而H(t,),所以kOH=,又kAG=kAB=,
所以kAG·kOH==1 (t+)y1y2=t(x1+)(x2+),
将x1=my1+t,x2=my2+t代入上式,得(t+)y1y2=t(my1+t+)(my2+t+),
所以(t+)y1y2=t[m2y1y2+m(t+)(y1+y2)+(t+)2],
所以(t+)·=t[m2·+m(t+)·+(t+)2],
化简得4t2+3t-3=0,
解得t=-(不符合题意,舍去)或t=.
故点D的坐标为(,0).
②直线AG的方程为y=tan α·(x+),
由①知t=,所以G(tan α).
直线OH的方程为y=x,所以H(),若G,H在x轴上方时,G在H的上方,即tan α>0时,tan α>;
若G,H在x轴下方时,即tan α<0时,tan α<,所以tan α>或tan α<-.又直线AG与双曲线的渐近线不平行,
所以tan α≠±.所以0<α<π,tan α>或tan α<且tan α≠±.
因为OG=,
设圆P的半径为R,面积为S,
则2R=,
所以R2=
=
=
=(25tan2α++26)
≥(2+26)=,
当且仅当25tan2α=,即tan α=±时,等号成立,又因为tan α>或tan α<-且tan α≠±,
故上述不等式取不到等号,所以R2>且R2≠,从而S>且S≠.
所以圆P面积的取值范围为()∪(,+∞).
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