《高考快车道》专题突破练24（课后习题）（教师版）高三 二轮专题复习讲义 数学

专题突破练24
(分值:68分)
主干知识达标练
1.(17分)已知抛物线C关于y轴对称,顶点在原点,且经过点P(2,2),动直线l:y=kx+b不经过点P,与C相交于A,B两点,且直线PA和PB的斜率之积等于3.
(1)求C的标准方程;
(2)证明:直线l过定点,并求出定点坐标.
(1)解由抛物线C关于y轴对称,故可设C:x2=2py(p>0),
由P(2,2)在抛物线C上,故4=2p×2,
解得p=1,故C:x2=2y.
(2)证明如图,设A(x1,y1),B(x2,y2),kPA=,
同理可得kPB=,
由题意得kPA·kPB==3,
化简得x1x2+2(x1+x2)=8,(*)
联立直线l方程与抛物线方程,有
即x2-2kx-2b=0,Δ=4k2+8b>0,x1+x2=2k,x1x2=-2b,代入(*)式,即有-2b+2×2k=8,化简得b=2k-4,
此时Δ=4k2+8b=4k2+16k-32,则Δ>0有解,则l:y=k(x+2)-4,
即直线l过定点(-2,-4).
2.(17分)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的右顶点为A2,双曲线C的左、右焦点分别为F1,F2,且|F1F2|=4,双曲线C的一条渐近线方程为y=x.
(1)求双曲线C的标准方程;
(2)已知过点P(1,4)的直线与双曲线C右支交于A,B两点,点Q在线段AB上,若存在实数λ(λ>0且λ≠1),使得=-λ=λ,证明:直线A2Q的斜率为定值.
(1)解设双曲线C的半焦距为c,
由|F1F2|=4,得2c=4,即c=2,
所以a2+b2=4,
又双曲线C的一条渐近线方程为y=x,
所以,解得a=1,b=,
故双曲线C的方程为x2-=1.
(2)证明如图,设直线与双曲线C交于A(x1,y1),B(x2,y2),点Q(x0,y0),P(1,4),
因为存在实数λ>0且λ≠1,使得=-λ=λ,
所以(1-x1,4-y1)=-λ(x2-1,y2-4),(x0-x1,y0-y1)=λ(x2-x0,y2-y0),
整理得x1-λx2=1-λ, ①
x1+λx2=(1+λ)x0, ②
两式相乘得-λ2=x0(1-λ2), ③
同理y1-λy2=4(1-λ), ④
y1+λy2=(1+λ)y0, ⑤
两式相乘得-λ2=4y0(1-λ2), ⑥
由于双曲线C上的点的坐标满足3x2-y2=3,且A,B均在双曲线上,
所以③×3-⑥得3-λ2(3)=(3x0-4y0)(1-λ2),
即3-3λ2=(3x0-4y0)(1-λ2),
又λ>0,λ≠1,所以3x0-4y0=3,
即点Q(x0,y0)在直线3x-4y-3=0上,
又A2(1,0)也在直线3x-4y-3=0上,
所以直线A2Q的斜率为(定值).
关键能力提升练
3.(17分)中心在原点、焦点在坐标轴上的双曲线C经过点(-),一条渐近线方程为x-y=0.
(1)求C的方程;
(2)若过C的上焦点F的直线与C交于A,B两点,求证:以AB为直径的圆过定点,并求该定点.
(1)解由题可设双曲线方程为x2-3y2=λ(λ≠0),
∵双曲线经过点(-),
∴λ=(-)2-3()2=-3,
∴双曲线C的方程为y2-=1.
(2)证明如图,设直线AB方程为x=m(y-2),A(x1,y1),B(x2,y2),
联立 3y2-(m2y2-4m2y+4m2)=3 (3-m2)y2+4m2y-4m2-3=0,显然Δ>0,m≠±,
∴y1+y2=-,y1y2=-,则x1x2=m2(y1-2)(y2-2)=m2[y1y2-2(y1+y2)+4]=,
以AB为直径的圆的方程为(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0,即x2-(x1+x2)x+x1x2+y2-(y1+y2)y+y1y2=0,由对称性知以AB为直径的圆必过y轴上的定点,令x=0,得y2-(y1+y2)y+x1x2+y1y2=0,
∴y2+y+=0,
即(3-m2)y2+4m2y+5m2-3=0.
∴[(3-m2)y+5m2-3](y+1)=0对 m∈R恒成立,y=-1,
∴以AB为直径的圆经过定点(0,-1).
当y=2时,A(-3,2),B(3,2),此时圆的方程为x2+(y-2)2=9,也经过点(0,-1),经验证,以AB为直径的圆过定点(0,-1).
核心素养创新练
4.(17分)在平面直角坐标系xOy中,重新定义两点A(x1,y1),B(x2,y2)之间的“距离”为|AB|=|x2-x1|+|y2-y1|,我们把到两定点F1(-c,0),F2(c,0)(c>0)的“距离”之和为常数2a(a>c)的点的轨迹叫“椭圆”.
(1)求“椭圆”的方程;
(2)根据“椭圆”的方程,研究“椭圆”的范围、对称性,并说明理由;
(3)设c=1,a=2,作出“椭圆”的图形,设此“椭圆”的外接椭圆为C,C的左顶点为A,过点F2作直线交C于M,N两点,△AMN的外心为Q,求证:直线OQ与MN的斜率之积为定值.
(1)解设“椭圆”上任意一点为P(x,y),
则|PF1|+|PF2|=2a,即|x+c|+|y|+|x-c|+|y|=2a,即|x+c|+|x-c|+2|y|=2a(a>c>0),所以“椭圆”的方程为|x+c|+|x-c|+2|y|=2a(a>c>0).
(2)解由方程|x+c|+|x-c|+2|y|=2a,得2|y|=2a-|x+c|-|x-c|,
因为|y|≥0,所以2a-|x+c|-|x-c|≥0,即2a≥|x+c|+|x-c|,所以解得-a≤x≤a,
由方程|x+c|+|x-c|+2|y|=2a,得|x+c|+|x-c|=2a-2|y|,
即2a-2|y|=
所以2a-2|y|≥2c,
所以c-a≤y≤a-c,
所以“椭圆”的范围为x∈[-a,a],y∈[c-a,a-c].在“椭圆”方程中以-x代x,方程不变,即“椭圆”关于y轴对称;同理可得“椭圆”关于x轴和原点对称,如图.
(3)证明由题意可设椭圆C的方程为=1,将点(1,1)代入得=1,解得,
所以椭圆C的方程为=1,F2(1,0),A(-2,0),由题意可设直线MN的方程为x=my+1(m≠0),M(x1,y1),N(x2,y2),
联立得(m2+3)y2+2my-3=0,Δ=4m2+12(m2+3)=16m2+36>0恒成立,
则y1+y2=-,y1y2=-,
因为AM的中点为(),kAM=,所以直线AM的中垂线的方程为y-=-(x-)=-(x-),
同理直线AN的中垂线的方程为y-=-(x-),
设Q(x0,y0),则y1,y2是方程y0-=-(x0-)的两根,即y1,y2是方程y2+(mx0+y0)y+3x0=0的两根,
所以y1+y2=,y1y2=,又因为y1+y2=-,y1y2=-,所以=-=-,解得x0=-,y0=,所以=-3m,
所以kMN·kOQ==-3,
所以直线OQ与MN的斜率之积为定值-3.
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