《高考快车道》专题突破练1（课后习题）（教师版）高三 二轮专题复习讲义 数学

专题突破练1
(分值:84分)
主干知识达标练
温馨提示:本册单选题每题5分,多选题每题6分.
1.(2025全国1,5)已知f(x)是定义在R上且周期为2的偶函数,当2≤x≤3时,f(x)=5-2x,则f(-)=(　　)
A.- B.-
C. D.
答案A
解析由题知,f(-x)=f(x),且f(x+2)=f(x),所以f(-)=f()=f()=5-2×=-.故选A.
2.(2025北京,7)已知函数f(x)的定义域为D,则“函数f(x)的值域为R”是“对任意M∈R,存在x0∈D,使得|f(x0)|>M”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
答案A
解析∵f(x)的定义域为D,若f(x)的值域为R,则对任意M∈R,存在x0∈D,使得|f(x0)|>M,∴充分性成立.反之,若任意M∈R,存在x0∈D,使|f(x0)|>M,则f(x)的值域不一定为R,此时f(x)的值域可能为[0,+∞),∴必要性不成立.故选A.
3.已知函数f(x)的图象如图所示,则函数f(x)的解析式可能为(　　)
A.f(x)=cos 2x·(ex-e-x)
B.f(x)=sin 2x·ln
C.f(x)=
D.f(x)=·ln
答案B
解析对于A,函数f(x)=cos 2x·(ex-e-x)的定义域为R,而题设函数的图象中在自变量为0时无意义,不符合图象,排除;对于C,当x>0时,f(x)=>0,不符合图象,排除;对于D,当x>0时,f(x)=·ln[ln x2-ln(x2+1)]<0,不符合图象,排除.故选B.
4.已知f(x)是定义在R上的偶函数,f(x+2)=f(x),且f(x)在[-1,0]上单调递减,若a=f(log345),b=f(-log58),c=f(),则(　　)
A.aB.aC.cD.b答案B
解析因为f(x)是偶函数,f(x+2)=f(x),f(x)在[-1,0]上单调递减,所以f(x)在[1,2]上单调递减.a=f(log345)=f(2+log35)=f(log35),b=f(-log58)=f(log58),因为53=125>34=81,83=512<54=625,所以5>,8<,所以1f()>f(log35),故a5.(2024辽宁一模)已知函数f(x+2)为偶函数,且当x≥2时,f(x)=lo(x2-4x+7),若f(a)>f(b),则(　　)
A.(a+b-4)(a-b)<0
B.(a+b-4)(a-b)>0
C.(a+b+4)(a-b)<0
D.(a+b+4)(a-b)>0
答案A
解析因为函数f(x+2)为偶函数,故其图象关于y轴对称,则f(x)的图象关于直线x=2对称,当x≥2时,f(x)=lo(x2-4x+7),因为y=x2-4x+7在[2,+∞)上单调递增,而y=lox在(0,+∞)上单调递减,故f(x)在[2,+∞)上单调递减,则f(x)在(-∞,2]上单调递增,故由f(a)>f(b),可得|a-2|<|b-2|,即|a-2|2<|b-2|2,则a2-4a+46.(多选题)德国数学家狄利克雷是解析数论的创始人之一.他提出了著名的狄利克雷函数:D(x)=以下对D(x)的说法正确的是(　　)
A.D(D(x))=1
B.D(x)的值域为{0,1}
C.存在x是无理数,使得D(x+1)=D(x)+1
D. x∈R,总有D(x+1)=D(-x-1)
答案ABD
解析由D(x)=可得D(x)的值域为{0,1},所以D(D(x))=1,故选项A,B正确;因为当x是无理数时,D(x)=0且x+1是无理数,所以D(x+1)=0,所以D(x+1)≠D(x)+1,故选项C错误;当x是无理数时,x+1,-x-1均为无理数,此时有D(x+1)=D(-x-1)=0,当x是有理数时,x+1,-x-1均为有理数,此时有D(x+1)=D(-x-1)=1,所以 x∈R,总有D(x+1)=D(-x-1),故选项D正确.故选ABD.
7.(多选题)已知函数f(x)的定义域为R,f(x-1)是奇函数,f(x+1)为偶函数,当-1≤x≤1时,f(x)=,则(　　)
A.f(x)的图象关于直线x=1对称
B.f(x)的图象关于点(-1,0)对称
C.f(x+8)=f(x)
D.f(2 021)=
答案ABC
解析设g(x)=f(x-1),因为g(x)是奇函数,所以g(-x)=f(-x-1)=-g(x)=-f(x-1),即f(-1+x)+f(-1-x)=0,即f(x)的图象关于点(-1,0)对称,B正确;设h(x)=f(x+1),因为h(x)为偶函数,所以h(-x)=h(x),即f(-x+1)=f(x+1),所以f(x)的图象关于直线x=1对称,A正确;由f(x)的图象关于点(-1,0)对称可得f(x)+f(-2-x)=0,由f(x)的图象关于直线x=1对称,可得f(x)=f(2-x),两式联立得f(2-x)+f(-2-x)=0,把x换成x+2,得f(-x)+f(-4-x)=0,即f(x)+f(x-4)=0,把x换成x-4,得f(x-4)+f(x-8)=0,即f(x)=f(x-8),把x换成x+8,则有f(x+8)=f(x),故f(x)的周期为8,故C正确;因为T=8,所以f(2 021)=f(252×8+5)=f(5)=f(-3),又f(-1+x)+f(-1-x)=0,令x=-2,得f(-3)+f(1)=0,f(1)=,所以f(2 021)=f(-3)=-f(1)=-,故D错误.故选ABC.
8.(5分)若函数f(x)=的值域为(2,+∞),则实数a的取值范围为　　　　.
答案a>1
解析当x>4时,f(x)=log2x,此时f(x)>log24=2,故当x≤4时,有6a-x>2恒成立,即6a>2+x在x≤4时恒成立,即6a>6,即a>1.
9.(5分)已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,f(3)=0,对任意两个不相等的正实数a,b都有>0,则不等式f(2x-1)<0的解集为　　　　　.
答案(0,2)
解析不妨设a>b>0,则>0等价于f(a)>f(b),所以f(x)在(0,+∞)内单调递增,
又函数f(x)为奇函数,所以f(x)在(-∞,0)和(0,+∞)内均单调递增.
∵f(3)=0,∴f(-3)=0,易知当x∈(0,3)时,f(x)<0,当x∈(-∞,-3)时,f(x)<0.
则由不等式f(2x-1)<0可知2x-1<-3或0<2x-1<3,即2x<-2或1<2x<4,
∴20<2x<22,∴010.(5分)已知函数f(x)具有下列性质:
①当x1,x2∈[0,+∞)时,都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1;
②在区间(0,+∞)上,f(x)单调递增;
③f(x)是偶函数.
则f(0)=　　　　;函数f(x)可能的一个解析式为f(x)=　　　　　　　.
答案-1　|x|-1(答案不唯一)
解析因为当x1,x2∈[0,+∞)时,都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1,令x1=x2=0,可得f(0)=f(0)+f(0)+1,解得f(0)=-1.不妨令f(x)=|x|-1,x∈R,
则f(x)=|x|-1=所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,满足②;
又f(-x)=|-x|-1=|x|-1=f(x),所以f(x)为偶函数,满足③;
当x1,x2∈[0,+∞)时,f(x1+x2)=|x1+x2|-1=x1+x2-1,f(x1)=|x1|-1=x1-1,f(x2)=|x2|-1=x2-1,
所以f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1,满足①.
关键能力提升练
11.设函数f(x)是定义在R上的奇函数,且对于任意的x,y∈R,都有|f(x)-f(y)|<|x-y|.若函数g(x)=f(x)+x,则不等式g(2x-x2)+g(x-2)<0的解集是(　　)
A.(-1,2)
B.(1,2)
C.(-∞,-1)∪(2,+∞)
D.(-∞,1)∪(2,+∞)
答案D
解析∵f(x)是定义在R上的奇函数,即f(x)+f(-x)=0,∴g(-x)=f(-x)-x=-f(x)-x=-g(x),故g(x)为奇函数.∵对于任意的x,y∈R,有|f(x)-f(y)|<|x-y|,∴|(g(x)-x)-(g(y)-y)|<|x-y|,当x≠y时,有<1,即|-1|<1,∴0<<2,∴g(x)单调递增,∵g(2x-x2)+g(x-2)<0,∴g(2x-x2)<-g(x-2)=g(2-x),∴2x-x2<2-x,整理得,x2-3x+2>0,解得x>2或x<1,故选D.
12.(多选题)已知定义在R上的函数f(x)满足:f(x+y)=f(x)+f(y)-3xy(x+y),则(　　)
A.y=f(x)是奇函数
B.若f(1)=1,则f(-2)=4
C.若f(1)=-1,则y=f(x)+x3为增函数
D.若 x>0,f(x)+x3>0,则y=f(x)+x3为增函数
答案ABD
解析对于A,f(x)的定义域为R,关于原点对称,令x=y=0,可得f(0)=2f(0),解得f(0)=0.令y=-x,可得f(0)=f(x)+f(-x),即f(x)+f(-x)=0,故y=f(x)是奇函数,A正确;对于B,令x=y=1,可得f(2)=2f(1)-3×2,又f(1)=1,则f(2)=2×1-6=-4;由A可知,y=f(x)为奇函数,故f(-2)=-f(2)=4,故B正确;对于C,由A知,f(0)=0,又f(1)=-1,对y=f(x)+x3,当x=0时,y=f(0)+0=0;当x=1时,y=f(1)+1=0.故当f(1)=-1时,y=f(x)+x3不是增函数,故C错误;对于D,在R上任取x1>x2,令h(x)=f(x)+x3,则h(x1)-h(x2)=f(x1)+-f(x2)-=f[(x1-x2)+x2]-f(x2)+(x1-x2)(+x1x2)=f(x1-x2)+f(x2)-3(x1-x2)x2[(x1-x2)+x2]-f(x2)+(x1-x2)(+x1x2)=f(x1-x2)-3x1x2(x1-x2)+(x1-x2)(+x1x2)=f(x1-x2)+(x1-x2)(-2x1x2)=f(x1-x2)+,由题可知 x>0,f(x)+x3>0,又x1-x2>0,故f(x1-x2)+>0,即h(x1)-h(x2)>0,h(x1)>h(x2),故y=h(x)在R上为增函数,也即y=f(x)+x3在R上为增函数,故D正确.故选ABD.
13.(多选题)已知函数f(x)与其导函数g(x)的定义域均为R,且y=f(x)-x与y=g(1-2x)均为偶函数,则下列说法一定正确的有(　　)
A.f(x)关于x=1对称
B.关于点(0,1)对称
C.g(x+2)+g(x)=2
D.g(0)=1
答案BCD
解析对于A项,因为y=g(1-2x)为偶函数,所以g(x)的图象关于直线x=1对称.若f(x)的图象关于直线x=1对称,则导函数g(x)的图象关于点(1,0)对称,这与g(x)的图象关于直线x=1对称矛盾,所以A错误;对于B项,因为y=f(x)-x为偶函数,所以f(x)-x=f(-x)+x,即f(x)-f(-x)=2x,所以=2,所以B正确;对于C项,因为y=f(x)-x为偶函数,所以y=f'(x)-(x)'=g(x)-1为奇函数,所以y=g(x)-1的图象关于点(0,0)对称,g(x)的图象关于点(0,1)对称,所以g(-x)+g(x)=2.又g(x)的图象关于直线x=1对称,所以g(1+(x+1))=g(1-(x+1)).所以,g(x+2)=g(1+(x+1))=g(1-(x+1))=g(-x)=2-g(x),所以g(x+2)+g(x)=2,故C正确;对于D项,由C知,g(-x)+g(x)=2,所以g(0)=1,D正确.故选BCD.
14.(5分)(2025黑龙江齐齐哈尔二模)已知函数f(x)=2x-sin 2x,则不等式f(x2)+f(2x-3)<0的解集为　　　　.
答案(-3,1)
解析f(x)=2x-sin 2x的定义域为R,
∵f'(x)=2-2cos 2x=2(1-cos 2x)≥0,∴函数f(x)是R上的增函数.
∵f(-x)=-2x-sin(-2x)=-(2x-sin 2x)=-f(x),
∴函数f(x)是奇函数,
∴由f(x2)+f(2x-3)<0得f(x2)<-f(2x-3)=f(3-2x),
∴x2<3-2x x2+2x-3<0 (x-1)(x+3)<0 -3∴不等式f(x2)+f(2x-3)<0的解集为(-3,1).
15.(5分)已知f(x)不是常数函数,且满足:f(x)+f(-x)=0,f(x+π)=f(x).①请写出函数f(x)的一个解析式:　　　　;②将你写出的解析式f(x)构成h(x)=f(x)+log2(-x)+,若h(-3)+h(3)=-3,则实数a的值为　　　　.
答案y=sin 2x(答案不唯一,是周期为π的奇函数均可)　0或2
解析由f(x)+f(-x)=0,可知函数f(x)为奇函数,
由f(x+π)=f(x),可知函数是周期函数,周期为π,函数f(x)的一个解析式为y=sin 2x.
设g(x)=log2(-x),定义域为R,
则g(-x)+g(x)=log2(+x)+log2(-x)=log21=0,所以函数g(x)是奇函数,
则h(-x)+h(x)=-a2+2a-3,由题意可知,-a2+2a-3=-3,
解得a=0或a=2.
核心素养创新练
16.(5分)双曲函数是一类与三角函数类似的函数,基本的双曲函数有:双曲正弦函数sin h(x)=,双曲余弦函数cos h(x)=,双曲正切函数tan h(x)=.给出下列四个结论:
①函数y=cos h(x)是偶函数,且最小值为2;
②函数y=sin h(x)是奇函数,且在R上单调递增;
③函数y=tan h(x)在R上单调递增,且值域为(-1,1);
④若直线y=t与函数y=cos h(x)和y=sin h(x)的图象共有三个交点,这三个交点的横坐标分别为x1,x2,x3,则x1+x2+x3>ln(1+).
其中所有正确结论的序号是　　　　　　.
答案②③④
解析对①:f(x)=y=cos h(x)=,定义域为R,f(-x)=cos h(-x)==f(x),所以f(x)为偶函数,因为ex>0,e-x>0,所以f(x)==1,当且仅当e-x=ex=1,即x=0时取等号,故①错误;
对②:g(x)=sin h(x)=,定义域为R,g(-x)=sin h(-x)==-=-g(x),所以g(x)为奇函数.
因为y=ex在定义域R上单调递增,y=-e-x在定义域R上单调递增,
所以g(x)=在定义域R上单调递增,故②正确;
对③:由y=tan h(x)==1-,知y=tan h(x)在R上单调递增.因为e2x+1>1,所以0<<2,所以-1<1-<1,所以y=tan h(x)的值域为(-1,1),故③正确;
对④:由①②知y=cos h(x)是偶函数且最小值为1,y=sin h(x)是奇函数且在R上单调递增,所以函数y=t与y=cos h(x)和y=sin h(x)的图象共有三个交点,则得t>1.设直线y=t与y=cos h(x)的图象交点的横坐标是x1,x2,直线y=t与y=sin h(x)的图象交点的横坐标是x3.
由双曲余弦函数为偶函数,得x1+x2=0,则得t=>1,所以>2,
即-2-1>0,得>1+,则x3>ln(1+),所以x1+x2+x3>ln(1+),故④正确.故答案为②③④.
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