《高考快车道》专题突破练2（课后习题）（教师版）高三 二轮专题复习讲义 数学

专题突破练2
(分值:85分)
主干知识达标练
1.下列函数中,在区间(-1,1)上为减函数的是 (　　)
A.f(x)=sin x
B.f(x)=cos x
C.f(x)=ln(x+1)
D.f(x)=2-x
答案D
解析对于A,因为(-1,1) (-),所以y=sin x在区间(-1,1)上为增函数,故A错误;对于B,因为f(x)=cos x是偶函数,在区间(-1,0)上是增函数,在区间(0,1)上是减函数,故B错误;对于C,f(x)=ln(x+1)的定义域是(-1,+∞),函数y=ln(x+1)在区间(-1,1)上是增函数,故C错误;对于D,因为f(x)=2-x=在区间(-1,1)上是减函数,故D正确.故选D.
2.设a∈R.若函数f(x)=(a-1)x为指数函数,且f(2)>f(3),则a的取值范围是(　　)
A.(1,2)
B.(2,3)
C.(-∞,2)
D.(-∞,1)∪(1,2)
答案A
解析由函数f(x)=(a-1)x为指数函数,得a>1且a≠2,当a>2时,函数f(x)=(a-1)x单调递增,有f(2)f(3),符合题意,故正确.故选A.
3.(2025黑龙江大庆高三质量检测)已知函数f(x)的定义域为R,f(1+x)=f(3-x),且f(x)在区间[2,+∞)上单调递减,则不等式f(2x-3)>f(3)的解集是(　　)
A.(-∞,3) B.(-∞,2)
C.(3,+∞) D.(2,3)
答案D
解析由函数f(x)的定义域为R,f(1+x)=f(3-x),得函数f(x)的图象关于直线x=2对称.因为函数f(x)在区间[2,+∞)上单调递减,所以不等式f(2x-3)>f(3) |2x-3-2|<|3-2|,即-1<2x-5<1,解得24.若函数f(x)=ln(ex+1)+ax为偶函数,则实数a的值为(　　)
A.- B.0 C. D.1
答案A
解析f(x)=ln(ex+1)+ax的定义域为R,f(-x)=ln(e-x+1)-ax=ln()-ax=ln(ex+1)-x-ax,由于f(x)=ln(ex+1)+ax为偶函数,故f(-x)=f(x),即ln(ex+1)-(1+a)x=ln(ex+1)+ax (1+2a)x=0,故1+2a=0,解得a=-.故选A.
5.(多选题)函数f(x)=loga|x|+1(0答案BCD
解析函数f(x)=loga|x|+1(06.已知实数a,b满足log2a+lob>0,则(　　)
A.
B.loga2>logb2
C.
D.2a-2b<3-a-3-b
答案C
解析因为log2a+lob>0,所以log2a>log2b,又y=log2x为增函数,故a>b>0.对于A,因为y=为减函数,所以,故A错误;对于B,当a=4,b=2时,loga2=0,3-4-3-2<0,此时2a-2b>3-a-3-b,故D错误.故选C.
7.(5分)已知函数f(x)=xα(0<α<1)在区间(-1,0)上单调递减,则α的一个取值为　　　　.
答案(答案不唯一)
解析因为f(x)=xα(0<α<1)在区间(0,+∞)上单调递增,又f(x)在区间(-1,0)上单调递减,
所以f(x)可以为偶函数,不妨取α=,此时f(x)=,函数定义域为x∈R,且f(-x)==f(x),
故f(x)=为偶函数,满足在区间(-1,0)上单调递减.
8.(5分)已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x<0时,f(x)=2lg(-x)-x2,则f()=　　　.
答案9
解析由题意得f(x)为奇函数且定义域为R,
所以f()=-f(-),
又f(-)=2lg()-=1-10=-9,
所以f()=9.
关键能力提升练
9.(多选题)设函数f(x)=函数g(x)=f(x)-f(-x),则下列说法正确的是(　　)
A.当a=0时,函数g(x)有3个零点
B.当a>0时,函数g(x)只有1个零点
C.当-2D.存在实数a,使得函数g(x)没有零点
答案ABC
解析函数g(x)的零点个数即方程g(x)=0的不相等的根的个数,
当x≥0时,f(x)=x|x-2|,则-x≤0,f(-x)=-ax,
由f(x)-f(-x)=0,有x|x-2|=-ax,
所以x=0或-a=|x-2|,
当x<0时,f(x)=ax,则-x>0,f(-x)=-x|x+2|,
由f(x)-f(-x)=0,有-x|x+2|=ax,所以-a=|x+2|,
所以问题转化为关于x的方程-a=|x-2|(x≥0)和-a=|x+2|(x<0)的解的个数,作出函数y=|x-2|(x≥0),y=|x+2|(x<0),y=-a的图象如图.
当-a=2,即a=-2时,有3个交点,即函数g(x)有4个零点,
当0<-a<2,即-2当-a<0,即a>0时,只有x=0这一个零点,函数g(x)只有1个零点,
当-a>2或-a=0,即a<-2或a=0时,有2个交点,函数g(x)有3个零点,
无论实数a取何值,函数g(x)总有零点.
故选ABC.
10.(多选题)已知函数f(x)=,下列结论正确的有(　　)
A.f(x)在区间(1,+∞)单调递增
B.f(x)图象关于y轴对称
C.f(x)在定义域内只有1个零点
D.f(x)的值域为[0,1]
答案BCD
解析因为f(2)=,f(3)=,所以f(2)>f(3),因此f(x)在区间(1,+∞)内不是单调递增的,故A错误;易知f(x)定义域为R,且f(-x)==f(x),所以f(x)为偶函数,因此图象关于y轴对称,故B正确;令f(x)=0即=0,得x=0,因此f(x)在定义域内只有1个零点,故C正确;当x∈(0,+∞)时,f(x)=,由基本不等式可得x+≥2,当且仅当x=1时,等号成立,所以0<,所以当x∈(0,+∞)时,011.已知函数f(x)=()|x-1|,若f(2a2+a+2)-f(2a2-2a+4)<0,则实数a的取值范围为(　　)
A.(,+∞) B.(-∞,)
C.(,1) D.(,1)∪(1,+∞)
答案A
解析当x≥1时,f(x)=()|x-1|=()x-1在区间[1,+∞)上单调递减,又2a2+a+2=2(a+)2+>1,2a2-2a+4=2(a-)2+>1,所以由f(2a2+a+2)-f(2a2-2a+4)<0,得f(2a2+a+2)2a2-2a+4,解得a>,所以实数a的取值范围为(,+∞).故选A.
12.(多选题)已知函数f(x)=lg x+lg(2-x),则下列结论中正确的是(　　)
A.f(x)在区间(0,1)上单调递减,在区间(1,2)上单调递增
B.f(x)在区间(0,2)上单调递减
C.f(x)的图象关于直线x=1对称
D.f(x)有最大值,但无最小值
答案CD
解析函数f(x)=lg x+lg(2-x)的定义域为(0,2),且f(x)=lg x+lg(2-x)=lg(-x2+2x).因为y=-x2+2x在区间(0,1)内单调递增,在区间(1,2)内单调递减,且y=lg x在区间(0,+∞)上单调递增,故f(x)在区间(0,1)内单调递增,在区间(1,2)内单调递减,故选项A,B错误;由于f(2-x)=lg(2-x)+lg x=f(x),故f(x)的图象关于直线x=1对称,故选项C正确;因为y=-x2+2x在x=1处取得最大值,且y=lg x在区间(0,+∞)上单调递增,所以f(x)有最大值,但无最小值,故选项D正确.故选CD.
13.(2024黑龙江哈尔滨模拟)已知函数f(x)=|ln x|,若0A.(4,+∞) B.[4,+∞)
C.(5,+∞) D.[5,+∞)
答案C
解析由f(a)=f(b)得|ln a|=|ln b|,根据y=|ln x|的图象,及01),因为g(x)在区间(1,+∞)上单调递增,所以g(b)>4+1=5,即a+4b>5,故选C.
14.(2025内蒙古鄂尔多斯模拟)已知函数f(x)=若函数g(x)=[f(x)]2-2(m+2)f(x)+4m恰有5个零点,则实数m的取值范围是(　　)
A.(0,1] B.(0,)
C.[1,+∞) D.(,+∞)
答案B
解析
作出函数f(x)的大致图象,如图所示.因为函数g(x)=[f(x)]2-2(m+2)f(x)+4m恰有5个零点,所以方程[f(x)]2-2(m+2)f(x)+4m=0有5个实数根.设t=f(x),则方程化为t2-2(m+2)t+4m=0,易知此方程有两个不等的实根t1,t2,
不妨令t115.(5分)f(x)=若y=f(f(x)+1)-k有两个零点,则k的取值范围是　　　　　　　　　.
答案[)
解析易知函数y=ex在R上是增函数,函数y=在区间(0,+∞)内是减函数,所以,当x≤0时,10时,>0,于是函数f(x)的值域为(0,+∞),
又函数f(x)在区间(-∞,0)内单调递增,在区间(0,+∞)内单调递减,
函数f(x)的大致图象如图所示.
设t=f(x)+1,由f(x)>0,可知t>1,则f(t)=.
因为y=f(f(x)+1)-k有两个零点,所以f(t)-k=0,即=k,于是t=>1,则方程t=f(x)+1=,即f(x)=-1有两个零点,所以由f(x)的图象可知,使方程f(x)=-1有两个零点,则满足解得≤k<.
综上所述,实数k的取值范围是[).
核心素养创新练
16.(多选题)我们知道,函数y=f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x)为奇函数.有同学发现可以将其推广为:函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x+a)-b为奇函数.已知函数f(x)=,则下列结论正确的有(　　)
A.函数f(x)的值域为(0,2]
B.函数f(x)的图象关于点(1,1)成中心对称图形
C.函数f(x)的导函数f'(x)的图象关于直线x=1对称
D.若函数g(x)满足y=g(x+1)-1为奇函数,且其图象与函数f(x)的图象有2 024个交点,记为Ai(xi,yi)(i=1,2,…,2 024),则(xi+yi)=4 048
答案BCD
解析对于A,显然f(x)的定义域为R,2x>0,则0<<2,即函数f(x)的值域为(0,2),A错误;对于B,令h(x)=f(x+1)-1=-1=-1=,h(-x)==-h(x),即函数y=f(x+1)-1是奇函数,因此函数f(x)的图象关于点(1,1)成中心对称,B正确;对于C,由选项B知,f(-x+1)-1=-[f(x+1)-1],即f(1-x)+f(1+x)=2,两边求导得-f'(1-x)+f'(1+x)=0,即f'(1-x)=f'(1+x),因此函数f(x)的导函数f'(x)的图象关于直线x=1对称,C正确;对于D,由函数g(x)满足y=g(x+1)-1为奇函数,得函数g(x)的图象关于点(1,1)成中心对称,由选项B知,函数g(x)的图象与函数f(x)的图象有2 024个交点关于点(1,1)对称,因此(xi+yi)=xi+yi=1 012×2+1 012×2=4 048,D正确.故选BCD.
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