《高考快车道》专题突破练6（课后习题）（教师版）高三 二轮专题复习讲义 数学

专题突破练6
(分值:68分)
1.(17分)已知函数f(x)=ex+(a-e2)x,其中a∈R.
(1)若a=e2-2,求函数f(x)在[0,2]上的最值;
(2)当a<0时,证明:F(x)=f(x)-ax2在(0,2)内存在唯一零点.
(1)解当a=e2-2时,f(x)=ex-2x,所以f'(x)=ex-2.
令f'(x)>0,得x>ln 2;令f'(x)<0,得x所以f(x)在[0,ln 2]上单调递减,在[ln 2,2]上单调递增,
又f(0)=1,f(ln 2)=2-2ln 2,f(2)=e2-4>1,
所以f(x)在[0,2]上的最小值为2-2ln 2,最大值为e2-4.
(2)证明F(x)=f(x)-ax2=ex+(a-e2)x-ax2(a<0),所以F'(x)=ex-ax+a-e2.
令g(x)=ex-ax+a-e2,则g'(x)=ex-a>0.所以g(x)在(0,2)内单调递增,又因为g(0)=1+a-e2<0,g(2)=-a>0,所以存在x0∈(0,2),使得g(x0)=0,即当x∈(0,x0)时,g(x)<0,当x∈(x0,2)时,g(x)>0,所以F(x)在(0,x0)内单调递减,在(x0,2)内单调递增,又F(0)=1>0,F(x0)2.(17分)已知函数f(x)=xe-x+asin x,e是自然对数的底数,若x=0恰为f(x)的极值点.
(1)求实数a的值;
(2)求f(x)在区间-∞,上零点的个数.
解(1)由题意得f'(x)=+acos x,因为x=0为f(x)的极值点,故f'(0)=1+a=0,所以a=-1,此时f'(x)=-cos x.
当x<0时,1-x>ex>0,故当x<0时,>1,所以f'(x)>0,则f(x)在(-∞,0)上单调递增.
f'(x)=-cos x=,令g(x)=1-x-excos x,则g'(x)=-1-ex(cos x-sin x),当00,则g'(x)<0,则g(x)在(0,)内单调递减,故g(x)(2)由(1)知f(x)=xe-x-sin x,f'(x)=-cos x,当x<0时,f'(x)>0,f(x)在(-∞,0)上单调递增,则f(x)3.(17分)已知函数f(x)=xex-(x+1)2(m≥0).
(1)当m=0时,求函数f(x)的极小值;
(2)若函数f(x)在区间(-∞,1)上有且只有一个零点,求m的取值范围.
解(1)当m=0时,f(x)=xex,可得f'(x)=(x+1)ex,令f'(x)=0,解得x=-1.
当x∈(-∞,-1)时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当x∈(-1,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,所以函数f(x)的极小值为f(-1)=-.
(2)若m=0,f(x)=xex,令f(x)=0,解得x=0,当x<0时,f(x)<0;
当x>0时,f(x)>0,所以函数f(x)在区间(-∞,1)上有且只有一个零点,符合题意.
若m>0,由f'(x)=(x+1)(ex-m),令f'(x)=0,解得x=-1或x=ln m.
①若m=,此时f'(x)≥0,可得f(x)在R上单调递增,且f(-1)=-<0,f(1)=e->0,此时函数f(x)在区间(-∞,1)上有且只有一个零点,符合题意.
②若m>,可得ln m>-1,令f'(x)>0,可得x<-1或x>ln m,令f'(x)<0,可得-10,函数f(x)在区间(-∞,1)上有且只有一个零点;当m≥时,f(1)≤0,函数f(x)在区间(-∞,1)上无零点,故③若00,可得x>-1或x0,f(ln m)=-(ln m)2-<0,此时函数f(x)在区间(-∞,1)上有且只有一个零点,符合题意.综上可得,实数m的取值范围为[0,).
4.(17分)已知函数f(x)=-x3+3x2+a(x>0),g(x)=xln x+ax2-2x.
(1)若f(x),g(x)的导数分别为f'(x),g'(x),且{x|f'(x)<0} {x|g'(x)<0},求a的取值范围;
(2)用min{a,b}表示a,b中的最小值,设h(x)=min{f(x),g(x)},若|a|>1,判断h(x)的零点个数.
解(1)因为f(x)=-x3+3x2+a(x>0),
所以f'(x)=-3x2+6x,由f'(x)<0,得x>2,
因为g(x)=xln x+ax2-2x,所以g'(x)=ln x+2ax-1,
所以问题转化为当x>2时,ln x+2ax-1<0恒成立,即当x>2时,a<恒成立.
设F(x)=(x>2),则F'(x)=,当x∈(2,e2)时,F'(x)<0,F(x)单调递减,当x∈(e2,+∞)时,F'(x)>0,F(x)单调递增,所以F(x)min=F(e2)=-,
所以a<-,即a的取值范围是-∞,-.
(2)因为g(x)=x(ln x+ax-2),
设m(x)=ln x+ax-2,则m'(x)=+a,
(ⅰ)若a<-1,当x∈0,-时,m'(x)>0,m(x)单调递增,
当x∈-,+∞时,m'(x)<0,m(x)单调递减,
所以m(x)≤m-=ln--3<0,
所以当a<-1时,m(x)<0,g(x)<0,h(x)≤g(x)<0,h(x)没有零点.
(ⅱ)若a>1,由(1)知f'(x)=-3x2+6x,
当x∈(0,2)时,f'(x)>0,f(x)在(0,2)内单调递增,且f(0)=a>0,所以f(x)>0,
当x∈(0,2)时,m(x)单调递增,且m=-ln a-1<0,m(2)=ln 2+2a-2>0,
存在唯一x1∈(0,2)使得m(x1)=0,则g(x1)=0,h(x1)=0,
当x∈[2,+∞)时,m(x)=ln x+ax-2>ln 2+2a-2>0,g(x)>0,
当x∈[2,+∞)时,f'(x)<0,f(x)在[2,+∞)上单调递减,
且f(2)=a+4>0,f(4a)=-64a3+48a2+a<-64a3+48a3+a3=-15a3<0,所以存在唯一x2∈(2,+∞)使得f(x2)=0,h(x2)=0.
综上,当a<-1时,h(x)没有零点,当a>1时,h(x)有2个零点.
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