《高考快车道》专题突破练8（课后习题）（教师版）高三 二轮专题复习讲义 数学

专题突破练8
(分值:103分)
主干知识达标练
1.若tan()=,则tan α=(　　)
A. B.
C.- D.-
答案A
解析因为tan()=,
所以tan(α+)=,
tan α=tan(α+)=.
故选A.
2.已知cos α=,sincos β=,则cos 2β=(　　)
A. B. C.- D.-
答案A
解析因为cos α=,所以cos α=1-2sin2,sin=±,
又sincos β=,所以cos β=±,
所以cos 2β=2cos2β-1=2×-1=,故选A.
3.在某直角三角形中,一个锐角α的斜边与其邻边的比,叫做该锐角的正割,用sec α表示;锐角α的斜边与其对边的比,叫做该锐角的余割,用csc α表示,则csc 10°-sec 10°=(　　)
A.4 B.8
C. D.4
答案A
解析csc 10°-sec 10°==4.故选A.
4.△ABC内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若b=2asin B,bc=4,则△ABC的面积为(　　)
A.1 B.
C.2 D.2
答案A
解析根据已知及正弦定理得sin B=2sin Asin B,
因为B∈(0,π),所以sin B≠0,所以1=2sin A,解得sin A=,所以S△ABC=bcsin A=×4×=1.故选A.
5.已知△ABC的内角A,B,C对应的边分别为a,b,c,∠BAC=,∠BAC的平分线交边BC于点D,若AD=,则b+2c的最小值为(　　)
A.2+2 B.4
C.3+2 D.3+2
答案C
解析如图,S△ABC=bcsin∠BAC=bc,
因为∠BAC的平分线交边BC于点D,且AD=,
所以∠BAD=∠CAD=,S△ABD=×AD×c×sin∠BAD=c,S△CAD=×AD×b×sin∠CAD=b,而S△ABC=S△ABD+S△CAD,所以bc=c+b,
化简得bc=c+b,即=1,
则b+2c=(b+2c)()=3+≥3+2=3+2,
当且仅当b=c=+1时,取等号,即b+2c的最小值为3+2.故选C.
6.(2025东北三省四市高三模拟)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若cos(A-B)-cos(A+B)=,且ab=,则△ABC的外接圆的面积为(　　)
A. B.π C.2π D.4π
答案B
解析由cos(A-B)-cos(A+B)=,得cos Acos B+sin Asin B-cos Acos B+sin Asin B=,所以sin Asin B=.又因为ab=,结合正弦定理=2R(其中R为△ABC的外接圆的半径),所以ab=4R2sin Asin B=R2=,解得R2=1,则△ABC的外接圆的面积为πR2=π.故选B.
7.已知sin α=,α∈(,π),若=4,则tan(α+β)=(　　)
A.- B.-
C. D.
答案C
解析因为sin α=,α∈(,π),
所以cos α=-=-,tan α==-.
因为=sin α+cos α·tan β=tan β=4,
所以tan β=-,
所以tan(α+β)=.
8.(5分)已知sin α-cos α=1,则sin(-2α)的值为　　　　.
答案
解析已知sin α-cos α=1,
则2(sin α-cos α)=2sin(α-)=1,
所以sin(α-)=,
令β=α-,则α=β+,即sin β=,
所以sin(-2α)=sin(-2β-)=sin(-2β)=cos 2β=1-2sin2β=.
9.(5分)若函数f(x)=2sincos+Acos x(A>0)的最大值为,则A=　　　,f()=　 .
答案1　
解析f(x)=2sincos+Acos x=sin x+Acos x=sin(x+φ),
由最大值为,A>0,则A=1,
所以f(x)=sin x+cos x=sin(x+),所以f()=sin()=sin.
10.(5分)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若=1,则A=　　　.
答案
解析在△ABC中,由=1及正弦定理得=1,
而sin C=sin(A+B)=sin Acos B+sin Bcos A,则=1,
整理得sin Acos B-sin Bcos A+sin B=sin Acos B+sin Bcos A,即2sin Bcos A=sin B,
又sin B>0,因此cos A=,而011.(13分)已知函数f(x)=.
(1)求f()的值;
(2)已知f(α)=,求sin 2α的值.
解(1)f(x)==sin x+cos x=sin(x+),所以f()=sin()=sin.
(2)由f(α)=,得sin(α+)=,
所以sin 2α=-cos(+2α)=-cos[2(α+)]=-[1-2sin2(α+)]=-(1-2×)=-.
关键能力提升练
12.已知tan=-,则=(　　)
A.- B.
C.- D.
答案C
解析tan=-,故tan θ==-,则=-.故选C.
13.已知sin(α-β)=2cos(α+β),tan(α-β)=,则tan α-tan β=(　　)
A. B. C. D.
答案C
解析因为sin(α-β)=2cos(α+β),所以sin αcos β-cos αsin β=2(cos αcos β-sin αsin β),
两边同除以cos αcos β,得到tan α-tan β=2-2tan αtan β,即tan αtan β=1-,tan(α-β)=,所以tan α-tan β=.故选C.
14.(多选题)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且c=b(2cos A+1),则下列结论正确的有(　　)
A.A=2B
B.若a=b,则△ABC为直角三角形
C.若△ABC为锐角三角形,则的最小值为1
D.若△ABC为锐角三角形,则的取值范围为()
答案ABD
解析对于A,在△ABC中,由正弦定理得sin C=2sin Bcos A+sin B,
由sin C=sin(A+B),
得sin Acos B-cos Asin B=sin B,
即sin(A-B)=sin B,
由0则sin B>0,故0所以A-B=B或A-B+B=π,即A=2B或A=π(舍去),即A=2B,A正确;
对于B,若a=b,结合A=2B和正弦定理知,则cos B=,又0对于C,在锐角三角形ABC中,01,C错误;
对于D,在锐角三角形ABC中,由令cos B=t∈(),则=f(t)=2t-,易知函数f(t)=2t-单调递增,所以可得∈(),D正确.
故选ABD.
15.(多选题)(2025全国1,11)已知△ABC的面积为,cos 2A+cos 2B+2sin C=2,cos Acos Bsin C=,则(　　)
A.sin C=sin2A+sin2B
B.AB=
C.sin A+sin B=
D.AC2+BC2=3
答案ABC
解析由cos 2A+cos 2B+2sin C=2,得1-2sin2A+1-2sin2B+2sin C=2,
所以sin C=sin2A+sin2B.故A正确.
sin2A+sin2B=sin C=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B,
所以sin A(sin A-cos B)+sin B(sin B-cos A)=0.(*)
由cos Acos Bsin C=,可知A,B均为锐角.
若A+B>,则
所以sin A>cos B,sin B>cos A,
与(*)式矛盾,舍去.
同理,若A+B<,与(*)式也矛盾.
所以A+B=,所以B=-A,C=.
由cos Acos Bsin C=,得sin Acos A=.
在△ABC中设内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.
由S△ABC=absin C=,得ab=,
所以csin A·ccos A=,即c2sin Acos A=,
所以c2=2,所以AB=.故B正确.
所以AC2+BC2=AB2=2≠3.故D错误.
因为(sin A+sin B)2=(sin A+cos A)2=1+2sin Acos A=,所以sin A+sin B=.故C正确.
故选ABC.
16.(5分)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,其面积为S,若asin=bsin A,6S=,则△ABC的形状是　　　　　.
答案直角三角形
解析因为asin=bsin A,
所以sin A·sin=sin B·sin A.
因为00,
所以cos=sin B,
所以cos=2sincos.
因为00,所以sin,
所以,所以B=.
因为6S=,所以6×bcsin A=|||cos A=bccos A,
所以tan A=.
因为017.(13分)(2025黑龙江大庆高三质量检测)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且asin B-bcos A=0.
(1)求A;
(2)若a=4,△ABC的面积为2,求△ABC的周长.
解(1)asin B-bcos A=0,由正弦定理可得sin Asin B-sin Bcos A=0,
因为0则sin A-cos A=0,
即2sin(A-)=0.
因为0(2)因为A=,所以S△ABC=bcsin A=bc=2,所以bc=8.
由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccos A,
即16=b2+c2-2×8×,
所以b2+c2=24.
所以(b+c)2=b2+c2+2bc=24+16=40,所以b+c=2.
则△ABC的周长为a+b+c=4+2.
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