湖南常德市2025-2026学年下学期高三年级模拟考试（二模）数学试卷（无答案）

2026 年常德市高三年级模拟考试数学
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项 中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合 ，则 ( )
A. B.
C. D.
2. 已知 是虚数单位,满足 ,则 ( )
A. B. C. D.
3. 一个袋中有 6 个大小和质地相同的球, 其中红球 2 个, 白球 4 个, 现从中不放回地依次随机摸取 2 次，每次摸出 1 个球，则第二次摸出的球是红球的概率为( )
A. B. C. D.
4. 如图，在边长为 2 的正方形 中， 、 分别为 、 的中点，则 ()
A. -1 B. 1
C. D.
5. 一个圆锥的底面半径与一个球的半径相等, 且它们的体积也相等, 则圆锥的侧面积与球的表面积的比值为( )
A. 1 B. C. D.
6. 已知圆 与双曲线 的渐近线相切,则椭圆 的离心率 ( )
A. B. C. D.
7. 已知实数 满足: ,则 ( )
A. B.
C. D.
8. 已知 中， ， ， 分别是角 ， ， 的对边， 的面积 ，角 的平分线交 于 点，且 ， ，则 ()
A. B. C. D. 3
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知 ,则( )
A. B.
C. D.
10. 下列说法正确的是( )
A. 样本数据2,3,3,4,7,8,10,18的第 80 百分位数为 10
B. 样本数据的正线性相关程度越强,则样本相关系数 的值越大
C. 根据分类变量 与 的成对数据,计算得到 ,依据 的独立性检验,结论为变量 与 不独立
D. 一元线性回归模型的残差比较均匀地分布在以取值为 0 的横轴为对称轴的水平带状区域内
11. 已知 成等差数列,若关于 的方程组 恰有 2 组解,则 ( )
A. B.
C. D.
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知曲线 在 处的切线 与圆 相交于 两点,则 _____.
13. 已知函数 为奇函数，则实数
14. 函数 的值域为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤.
15. 已知数列 的前 项和 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，数列 的前 项和为 ，求证: .
16. 如图,三棱柱 中,平面 平面 , 为 的中点.
(1)证明:平面 平面 ；
(2)若 ，求直线 与平面 所成角的正弦值.
17. 泊松分布是一种统计与概率学里常见的离散型分布. 若随机变量 服从参数为 的泊松分布 (记作 ),则其概率分布为 ,其中 为自然对数的底数.
( 1 )当 时，泊松分布可以用正态分布来近似，当 时，泊松分布基本上就等于正态分布,此时可认为 . 若 ,求 的值；
( 2 )设 ，当 且 时，二项分布可近似看成泊松分布，即
,其中
某工厂生产电子元器件,次品率为 0.3%,各元件是否为次品相互独立,记 为产品中的次品数, 按泊松分布近似计算.
(i) 这 1000 件产品中恰有 2 件次品的概率;
(ii) 求使得 最大时的 值.
(参考数据: ; 若 ,则有 ,
18. 抛物线 的焦点为 为坐标原点,抛物线 上的一点 到焦点 的距离为 2 .
(1)求抛物线 的标准方程；
(2)已知直线 交抛物线 于 两点,直线 交抛物线的准线于点 ,且 轴.
(i) 证明: 直线 过定点;
(ii) 点 为抛物线 的准线与 轴的交点,若 的面积与 的面积相等,求直线 的方程.
19. 已知函数 (其中 为自然对数的底数).
(1)求函数 的单调区间；
(2)当 时，证明: ；
(3)若 有两个不同的实数解 ,且 ,求证: .