湖南长沙市周南中学2026届高三下学期仿真演练数学卷（三）（含答案）
文档属性
| 名称 | 湖南长沙市周南中学2026届高三下学期仿真演练数学卷（三）（含答案） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 118.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-31 00:00:00 | ||
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文档简介
湖南长沙市周南中学 2026 届高三下学期仿真演练数学卷(三)
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 已知 ,则 ( )
A. B. C. D.
2. 若复数 ,则 ( )
A. B. 3i C. -3 D. 3
3. 正方体 中， 是 的中点，则点 到平面 的距离为 ( )
A. B. C. D.
4. ( )
A. B. C. D.
5. 已知公差不为 0 的等差数列 ,其前 项和为 . 若满足 ,且 成等比数列,则使得 成立的 的最小值为 ( )
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
6. 下列命题错误的是( )
A. 若数据 的标准差为 ,则数据 的标准差为
B. 若 ,则
C. 若 ,则
D. 若 为取有限个值的离散型随机变量,则
7. 已知定义域为 的奇函数 满足 ,且当 时, , 若对任意 ，都有 ，则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
8. 设 为原点,直线 与离心率为 的双曲线 的左右两支分别交于 两点, 与 的渐近线交于 分别在 的左侧) 两点,且 , 则当 最小时， ( )
A. B. C. 10 D.
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.在每小题给出的选项中, 有 多项符合题目要求.全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分.
9. 在一次机器人大赛中, 7 位评委给某机器人的打分 (单位: 分) 为
80,83,87,90,93,97,100,则下列说法正确的有( )
A. 去掉一个最低分和一个最高分后, 这组数据的极差不变
B. 去掉一个最低分和一个最高分后, 这组数据的平均数不变
C. 去掉一个最低分和一个最高分后, 这组数据的方差会变小
D. 这组数据的 75% 分位数为 93
10. 阅读数学材料:“设 为多面体 的一个顶点，定义多面体 在点 处的离散曲率为 ,其中 为多面体 的所有与点 相邻的顶点,且平面 ,平面 ,平面 和平面 为多而体 的所有以 为公共点的面.”解答问题: 已知在直四棱柱 中，底面 为菱形， ，则()
A. 直四棱柱 是正方体，则直四棱柱 在顶点 处的离散曲率为
B. 若 ,则三棱锥 在顶点 处的离散曲率为
C. 若四面体 在点 处的离散曲率为 ，则 平面
D. 若直四棱柱 在顶点 处的离散曲率为 ，则 与平面 所成角的正切值为
11. 已知函数 和 ,下列说法正确的是 ( )
A. 若 ,则 有极值
B. 若 ,则 和 的图象有两个不同的交点
C.
D. 若 有两个不同的零点 ,则
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 若向量 满足 ，且 ，则 与 的夹角为_____.
13. 已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，过焦点 的直线交 于 ， 两点,分别过 作 的垂线,垂足分别为 ,若 ,且三角形 的面积等于 ,则 的值等于_____.
14. 已知函数 满足: . 若函数 在区间 上单调,且 ,则当 取得最小值时, _____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤.
15. 已知数列 是等差数列， .
(1)求 的通项公式；
(2)设数列 的前 项和为 ，求 .
16. 如图 1,在边长为 2 的正方形 中, 分别为线段 的中点,现将四边形 折起至 ，得到三棱柱 ，如图 2 所示，记二面角 的平面角为 .
图1
图2
(1)若 时，求三棱柱 的体积；
(2)若 为线段 上一点，满足 ，求直线 与平面 所成角的正弦值的取值范围.
17. 已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若 ,且存在 ,使得 成立,求 的取值范围.
18. 已知点 ,圆 为圆上的一个动点,线段 的中垂线与 交于点 ,当点 在圆上运动时,记点 的轨迹为曲线 .
(1)求Γ的方程；
(2)若过定点 且斜率存在的直线 与曲线 交于 两点，试探究:
①在 轴上是否存在定点 ，使得直线 ， 的斜率之积为定值？若存在，求出点 的坐标; 若不存在, 请说明理由.
②若 为平面内一动点，直线 ， ， 斜率的倒数成等差数列，则点 是否在某定直线上 若存在, 求出该定直线的方程; 若不存在, 请说明理由.
19. 某学校数学小组建立了如下的数学模型: 将一个小盒里放入 6 个小球, 其中 4 个黑球, 2 个红球.模型一为: 若取出黑球, 则放回小盒中, 不作任何改变; 若取出红球, 则放回小盒并再往小盒里加入 2 个红球; 模型二为: 若取出黑球, 则放回小盒中, 不作任何改变; 若取出红球, 则用黑球替换该红球重新放回小盒中.
(1)分别计算在两种模型下，抽两次球，第二次取到的球是红球的概率；
(2)在模型二的前提下:
① 求在第 次抽球时,抽到的球恰好是第二个红球的概率(结果用 表示).
②现规定当两个红球都被抽出来时停止抽球，且最多抽球 10 次，第 10 次抽球结束后无论盒中是否还有红球均停止抽球,记抽球的次数为 ,求 的数学期望.
1. C
依题意, 且 , 所以 .
故选: C
2. A
易知 ,所以复数 , 可得 ,所以 .
故选: A
3. C
因为 ,
所以 ,
所以
,
从而 ,
故选: C.
4. D
.
故选: D
5. B
设等差数列 的公差为 ,由 成等比数列知 ,
即 ,解得 或 (舍去),
故 .
由 得 ,
故选:B.
6. D
数据 的标准差为 ,则数据 的标准差为 ,故 正确；
,则 ,得 ,
,故 B 正确;
则 ,故 C 正确;
为取有限个值的离散型随机变量,
则 ,故 D 错误.
故选: D.
7. B
解: 由题意, 为周期为 4 的函数,且是奇函数 0 在函数定义域内,故 ,得 ,
所以当 时, ,
当 时, ,此时 ,
又知道 ,所以 以 为对称轴,
且当 时 单调递增,当 时 单调递减.
当 时,令 ,得 ,或 ,
所以在 内当 时,
设 ,
若对于 都有 ,
所以
因为 ,所以
① 当 时， 在 上单调递减，故
得 ,无解.
② 时， ，此时 最大， 最小，即 得 .
③ 当 时，即 ，此时 最小， 最大，即
得 ,
④ 当 时， 在 上单调递增，故
解得, ,
综上 .
故选: .
8. D
由题意知直线 斜率存在,设直线 ,
的坐标分别为 ,
联立直线 方程与双曲线方程可得:
故 ,
同时联立直线 方程与两条渐近线方程可得:
,故 ,
所以 ,
所以线段 和线段 有相同的中点,设为 ,
所以 ,
所以 ,
因为 ,
所以 ,
设 ,
易得 ,则 ,故 ,
从而 ,
当且仅当 时取等号,此时 ,
设 为双曲线经过第一象限渐近线的倾斜角,
于是 ,
所以 ,即 ,
解得 ,
从而 .
故选: D.
9. BC
对于 ,原极差: ; 去掉最低分 80、最高分 100 后,
剩余数据为83,87,90,93,97,极差为 ,极差改变,故 错误;
对于 ,原数据总和: ,原平均数 ,
去掉两端后总和为 ,平均数 ,平均数不变,故 正确;
对于 ,方差衡量数据波动程度,去掉了离平均数 (90) 最远的两个数据 80 和 100,剩余数据波动更小，因此方差变小，故 C 正确；
对于 D,计算 75% 分位数: 由 ,向上取整得分位数位置为第 6 位,
第 6 位数据是 97 , 不是 93 , 故 D 错误.
10. BCD
A. 直四棱柱 是正方体，则直四棱柱 在顶点 处
的
离散曲率为 ,故 A 错误;
B. 若 ，则三棱锥 在顶点 处的离散曲率为
,故 B 正确；
C. 若四面体 在点 处的离散曲率为 ，
即 ,
则 ,故 为正三角形, ,
所以 ,所以四边形 为正方形,
所以直四棱柱 是正方体，因为 平面 ,
平面 ,所以 ,因为 平面 ,
平面 ,所以 平面 ,
又因为 平面 ,所以 ,
同理可得 ,又 平面 平面 ,
,则有 平面 ,故 正确;
D. 若直四棱柱 在顶点 处的离散曲率为:
,则 ,如图,设 ,
,则 ,由 可知 ,
因为四边形 为菱形,所以 ,又 平面 ,
平面 ,所以 平面 ,
所以 即 与平面 所成角,
,
故 ,故 正确. 故选: BCD.
11. AD
,定义域为 , 令 ,则 ,因为 ,所以当 时, ,当 时,
所以 在 上单调递增,在 上单调递减,所以 有极值, 所以 A 正确;
当 时, ,令 ,即 ,解得 ,此时 和 的图象只有一个交点, 所以 B 错误;
令 ,则 ,则当 时, ,当 时,
所以 在 上单调递增,在 上单调递减,所以 ,所以 ,所以 C 错误;
若 有两个不同的零点 ,则 ,
两式相减得 ,所以 ,两式相加可得
要证 ,即证 ,即证 ,也就是证
,即证 ,
假设 ,令 ,则 ,
令 ,则 ,因为 ,所以 ,所以 在 上单调递增,所以 ,
所以 时 ,所以 在 上单调递增,所以
,即 ,所以 成立,所以 正确.
故选: AD
12.
由 ,
由 ,
因为 ,所以
故答案为:
13.
如图所示,作 ,垂足为 ,则 ,
由抛物线的定义可知 ,
则 ,故
则 ,结合题意知 ,故 ,
则 ，则 ，
所以直线 的斜率为 ,而 ,则直线 的方程为 ,
设 ,联立方程组 ,整理得 ,
所以 ,所以 ,则 ,
所以 的面积为 ,解得 .
故答案为:
14.
易知 ,
若 ,由辅助角公式得 ,
其中 ,
因为 ,则 ,
则 ,所以 ,
若 ,则 ,
其中 ,同上 ,与前提矛盾, 舍去,
故 ,
易知 以 为对称中心,
根据题意函数 在区间 上单调,且 ,则
则当 取得最小值时, .
故答案为: .
15.
(2)
(1)由 可得 ,故公差 ,
所以 ,
(2)由于 ,
故
16.
(2)
(1)翻折前，在图 1 中，因为四边形 为正方形，所以 ， ， ,
因为 分别为 的中点,所以 ,
所以四边形 为平行四边形,且 ，
因为 ,所以 ,
翻折后，在图 2 中， ， ，
所以二面角 的平面角为 ,
因为 平面 ,所以 平面 ,
当 时,即 ,且 ,则 ,
所以三棱柱 的体积为 .
(2)因为 平面 ，以点 为坐标原点， 、 所在直线分别为 、 轴， 过点 且垂直于平面 的直线为 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则 ,
设点 ,其中 ,由题意可知 ,则 ,故 ,
因为 ,则 ,解得 ,
则点 ,
设平面 的一个法向量为 ,
则 ,取 ,则 ,
设直线 与平面 所成角为 ,
则 ,
因此直线 与平面 所成角的正弦值的取值范围为 .
17.
(2)
(1) 当 时, ,有 ,由 ,有 , 故曲线 在点 处的切线方程为 .
(2) ，其中 ， ，
时, 时, ,
故 在 上单调递减,在 上单调递增.
若 ,则 时, ,不符合题意;
若 ,则 时, ,
由题意,有 ,即 ,
因为 ,有 ,即 ,得 ,
故 的取值范围是 .
18.
(2)① 时，直线 ， 的斜率之积为定值；②_____
(1)由题意可得， ，则 ， 故点 的轨迹为椭圆,且 ,所以 , 则曲线 的方程为 ;
(2)① 设直线 的方程为 ，点 ， ， .
联立 ,消 可得 ,
则 ,
所以 ,
所以 ,
整理得 ,
则当 ,即 时,直线 的斜率之积为定值;
② 设点 ， ， ， ，
由直线 斜率的倒数成等差数列,则 ,
即 ,所以 ,
又 ,代入可得 .
当 时,则点 在直线 上,显然不满足定直线,
当 时, ,
又直线 的斜率不能为零,则 ,
所以 ,即 .
由①可得， ，则 .
综上,所以点 在定直线 上 (经检验 合题意).
19. ;
(2)① ；②
(1)记在模型一下,第二次取到红球的概率为 ,则分为取到“黑红”和“红红”两种
情况，
则 ;
记在模型二下,取到红球的概率为 ,同样分为取到“黑红”和“红红”两种情况,
则 ;
(2)① 设第 次是第一次取到红球，第 次是第二次取到红球的概率为 ， 则 ,
则第 次恰好抽到第二个红球的概率 为 中 从 1 到 取值累加求和,即
利用等比数列求和公式即可得
②由题可知， 的取值依次为 ，
当 时, ,
由数学期望的定义和①中的概率公式可知，
设 ,
由错位相减法可得 ,
所以 .
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 已知 ,则 ( )
A. B. C. D.
2. 若复数 ,则 ( )
A. B. 3i C. -3 D. 3
3. 正方体 中， 是 的中点，则点 到平面 的距离为 ( )
A. B. C. D.
4. ( )
A. B. C. D.
5. 已知公差不为 0 的等差数列 ,其前 项和为 . 若满足 ,且 成等比数列,则使得 成立的 的最小值为 ( )
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
6. 下列命题错误的是( )
A. 若数据 的标准差为 ,则数据 的标准差为
B. 若 ,则
C. 若 ,则
D. 若 为取有限个值的离散型随机变量,则
7. 已知定义域为 的奇函数 满足 ,且当 时, , 若对任意 ，都有 ，则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
8. 设 为原点,直线 与离心率为 的双曲线 的左右两支分别交于 两点, 与 的渐近线交于 分别在 的左侧) 两点,且 , 则当 最小时， ( )
A. B. C. 10 D.
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.在每小题给出的选项中, 有 多项符合题目要求.全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分.
9. 在一次机器人大赛中, 7 位评委给某机器人的打分 (单位: 分) 为
80,83,87,90,93,97,100,则下列说法正确的有( )
A. 去掉一个最低分和一个最高分后, 这组数据的极差不变
B. 去掉一个最低分和一个最高分后, 这组数据的平均数不变
C. 去掉一个最低分和一个最高分后, 这组数据的方差会变小
D. 这组数据的 75% 分位数为 93
10. 阅读数学材料:“设 为多面体 的一个顶点，定义多面体 在点 处的离散曲率为 ,其中 为多面体 的所有与点 相邻的顶点,且平面 ,平面 ,平面 和平面 为多而体 的所有以 为公共点的面.”解答问题: 已知在直四棱柱 中，底面 为菱形， ，则()
A. 直四棱柱 是正方体，则直四棱柱 在顶点 处的离散曲率为
B. 若 ,则三棱锥 在顶点 处的离散曲率为
C. 若四面体 在点 处的离散曲率为 ，则 平面
D. 若直四棱柱 在顶点 处的离散曲率为 ，则 与平面 所成角的正切值为
11. 已知函数 和 ,下列说法正确的是 ( )
A. 若 ,则 有极值
B. 若 ,则 和 的图象有两个不同的交点
C.
D. 若 有两个不同的零点 ,则
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 若向量 满足 ，且 ，则 与 的夹角为_____.
13. 已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，过焦点 的直线交 于 ， 两点,分别过 作 的垂线,垂足分别为 ,若 ,且三角形 的面积等于 ,则 的值等于_____.
14. 已知函数 满足: . 若函数 在区间 上单调,且 ,则当 取得最小值时, _____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤.
15. 已知数列 是等差数列， .
(1)求 的通项公式；
(2)设数列 的前 项和为 ，求 .
16. 如图 1,在边长为 2 的正方形 中, 分别为线段 的中点,现将四边形 折起至 ，得到三棱柱 ，如图 2 所示，记二面角 的平面角为 .
图1
图2
(1)若 时，求三棱柱 的体积；
(2)若 为线段 上一点，满足 ，求直线 与平面 所成角的正弦值的取值范围.
17. 已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若 ,且存在 ,使得 成立,求 的取值范围.
18. 已知点 ,圆 为圆上的一个动点,线段 的中垂线与 交于点 ,当点 在圆上运动时,记点 的轨迹为曲线 .
(1)求Γ的方程；
(2)若过定点 且斜率存在的直线 与曲线 交于 两点，试探究:
①在 轴上是否存在定点 ，使得直线 ， 的斜率之积为定值？若存在，求出点 的坐标; 若不存在, 请说明理由.
②若 为平面内一动点，直线 ， ， 斜率的倒数成等差数列，则点 是否在某定直线上 若存在, 求出该定直线的方程; 若不存在, 请说明理由.
19. 某学校数学小组建立了如下的数学模型: 将一个小盒里放入 6 个小球, 其中 4 个黑球, 2 个红球.模型一为: 若取出黑球, 则放回小盒中, 不作任何改变; 若取出红球, 则放回小盒并再往小盒里加入 2 个红球; 模型二为: 若取出黑球, 则放回小盒中, 不作任何改变; 若取出红球, 则用黑球替换该红球重新放回小盒中.
(1)分别计算在两种模型下，抽两次球，第二次取到的球是红球的概率；
(2)在模型二的前提下:
① 求在第 次抽球时,抽到的球恰好是第二个红球的概率(结果用 表示).
②现规定当两个红球都被抽出来时停止抽球，且最多抽球 10 次，第 10 次抽球结束后无论盒中是否还有红球均停止抽球,记抽球的次数为 ,求 的数学期望.
1. C
依题意, 且 , 所以 .
故选: C
2. A
易知 ,所以复数 , 可得 ,所以 .
故选: A
3. C
因为 ,
所以 ,
所以
,
从而 ,
故选: C.
4. D
.
故选: D
5. B
设等差数列 的公差为 ,由 成等比数列知 ,
即 ,解得 或 (舍去),
故 .
由 得 ,
故选:B.
6. D
数据 的标准差为 ,则数据 的标准差为 ,故 正确；
,则 ,得 ,
,故 B 正确;
则 ,故 C 正确;
为取有限个值的离散型随机变量,
则 ,故 D 错误.
故选: D.
7. B
解: 由题意, 为周期为 4 的函数,且是奇函数 0 在函数定义域内,故 ,得 ,
所以当 时, ,
当 时, ,此时 ,
又知道 ,所以 以 为对称轴,
且当 时 单调递增,当 时 单调递减.
当 时,令 ,得 ,或 ,
所以在 内当 时,
设 ,
若对于 都有 ,
所以
因为 ,所以
① 当 时， 在 上单调递减，故
得 ,无解.
② 时， ，此时 最大， 最小，即 得 .
③ 当 时，即 ，此时 最小， 最大，即
得 ,
④ 当 时， 在 上单调递增，故
解得, ,
综上 .
故选: .
8. D
由题意知直线 斜率存在,设直线 ,
的坐标分别为 ,
联立直线 方程与双曲线方程可得:
故 ,
同时联立直线 方程与两条渐近线方程可得:
,故 ,
所以 ,
所以线段 和线段 有相同的中点,设为 ,
所以 ,
所以 ,
因为 ,
所以 ,
设 ,
易得 ,则 ,故 ,
从而 ,
当且仅当 时取等号,此时 ,
设 为双曲线经过第一象限渐近线的倾斜角,
于是 ,
所以 ,即 ,
解得 ,
从而 .
故选: D.
9. BC
对于 ,原极差: ; 去掉最低分 80、最高分 100 后,
剩余数据为83,87,90,93,97,极差为 ,极差改变,故 错误;
对于 ,原数据总和: ,原平均数 ,
去掉两端后总和为 ,平均数 ,平均数不变,故 正确;
对于 ,方差衡量数据波动程度,去掉了离平均数 (90) 最远的两个数据 80 和 100,剩余数据波动更小，因此方差变小，故 C 正确；
对于 D,计算 75% 分位数: 由 ,向上取整得分位数位置为第 6 位,
第 6 位数据是 97 , 不是 93 , 故 D 错误.
10. BCD
A. 直四棱柱 是正方体，则直四棱柱 在顶点 处
的
离散曲率为 ,故 A 错误;
B. 若 ，则三棱锥 在顶点 处的离散曲率为
,故 B 正确；
C. 若四面体 在点 处的离散曲率为 ，
即 ,
则 ,故 为正三角形, ,
所以 ,所以四边形 为正方形,
所以直四棱柱 是正方体，因为 平面 ,
平面 ,所以 ,因为 平面 ,
平面 ,所以 平面 ,
又因为 平面 ,所以 ,
同理可得 ,又 平面 平面 ,
,则有 平面 ,故 正确;
D. 若直四棱柱 在顶点 处的离散曲率为:
,则 ,如图,设 ,
,则 ,由 可知 ,
因为四边形 为菱形,所以 ,又 平面 ,
平面 ,所以 平面 ,
所以 即 与平面 所成角,
,
故 ,故 正确. 故选: BCD.
11. AD
,定义域为 , 令 ,则 ,因为 ,所以当 时, ,当 时,
所以 在 上单调递增,在 上单调递减,所以 有极值, 所以 A 正确;
当 时, ,令 ,即 ,解得 ,此时 和 的图象只有一个交点, 所以 B 错误;
令 ,则 ,则当 时, ,当 时,
所以 在 上单调递增,在 上单调递减,所以 ,所以 ,所以 C 错误;
若 有两个不同的零点 ,则 ,
两式相减得 ,所以 ,两式相加可得
要证 ,即证 ,即证 ,也就是证
,即证 ,
假设 ,令 ,则 ,
令 ,则 ,因为 ,所以 ,所以 在 上单调递增,所以 ,
所以 时 ,所以 在 上单调递增,所以
,即 ,所以 成立,所以 正确.
故选: AD
12.
由 ,
由 ,
因为 ,所以
故答案为:
13.
如图所示,作 ,垂足为 ,则 ,
由抛物线的定义可知 ,
则 ,故
则 ,结合题意知 ,故 ,
则 ，则 ，
所以直线 的斜率为 ,而 ,则直线 的方程为 ,
设 ,联立方程组 ,整理得 ,
所以 ,所以 ,则 ,
所以 的面积为 ,解得 .
故答案为:
14.
易知 ,
若 ,由辅助角公式得 ,
其中 ,
因为 ,则 ,
则 ,所以 ,
若 ,则 ,
其中 ,同上 ,与前提矛盾, 舍去,
故 ,
易知 以 为对称中心,
根据题意函数 在区间 上单调,且 ,则
则当 取得最小值时, .
故答案为: .
15.
(2)
(1)由 可得 ,故公差 ,
所以 ,
(2)由于 ,
故
16.
(2)
(1)翻折前，在图 1 中，因为四边形 为正方形，所以 ， ， ,
因为 分别为 的中点,所以 ,
所以四边形 为平行四边形,且 ，
因为 ,所以 ,
翻折后，在图 2 中， ， ，
所以二面角 的平面角为 ,
因为 平面 ,所以 平面 ,
当 时,即 ,且 ,则 ,
所以三棱柱 的体积为 .
(2)因为 平面 ，以点 为坐标原点， 、 所在直线分别为 、 轴， 过点 且垂直于平面 的直线为 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则 ,
设点 ,其中 ,由题意可知 ,则 ,故 ,
因为 ,则 ,解得 ,
则点 ,
设平面 的一个法向量为 ,
则 ,取 ,则 ,
设直线 与平面 所成角为 ,
则 ,
因此直线 与平面 所成角的正弦值的取值范围为 .
17.
(2)
(1) 当 时, ,有 ,由 ,有 , 故曲线 在点 处的切线方程为 .
(2) ，其中 ， ，
时, 时, ,
故 在 上单调递减,在 上单调递增.
若 ,则 时, ,不符合题意;
若 ,则 时, ,
由题意,有 ,即 ,
因为 ,有 ,即 ,得 ,
故 的取值范围是 .
18.
(2)① 时，直线 ， 的斜率之积为定值；②_____
(1)由题意可得， ，则 ， 故点 的轨迹为椭圆,且 ,所以 , 则曲线 的方程为 ;
(2)① 设直线 的方程为 ，点 ， ， .
联立 ,消 可得 ,
则 ,
所以 ,
所以 ,
整理得 ,
则当 ,即 时,直线 的斜率之积为定值;
② 设点 ， ， ， ，
由直线 斜率的倒数成等差数列,则 ,
即 ,所以 ,
又 ,代入可得 .
当 时,则点 在直线 上,显然不满足定直线,
当 时, ,
又直线 的斜率不能为零,则 ,
所以 ,即 .
由①可得， ，则 .
综上,所以点 在定直线 上 (经检验 合题意).
19. ;
(2)① ；②
(1)记在模型一下,第二次取到红球的概率为 ,则分为取到“黑红”和“红红”两种
情况，
则 ;
记在模型二下,取到红球的概率为 ,同样分为取到“黑红”和“红红”两种情况,
则 ;
(2)① 设第 次是第一次取到红球，第 次是第二次取到红球的概率为 ， 则 ,
则第 次恰好抽到第二个红球的概率 为 中 从 1 到 取值累加求和,即
利用等比数列求和公式即可得
②由题可知， 的取值依次为 ，
当 时, ,
由数学期望的定义和①中的概率公式可知，
设 ,
由错位相减法可得 ,
所以 .
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