辽宁大连市第四十八中学2025-2026学年高三下学期校内一模数学试卷（含答案）
文档属性
| 名称 | 辽宁大连市第四十八中学2025-2026学年高三下学期校内一模数学试卷（含答案） |
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|
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 123.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-31 00:00:00 | ||
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文档简介
2025-2026 大连市第四十八中学高三下学期校内一模高三数学试 卷
(时间: 120 分钟 总分: 150 分)
注意事项:
1、答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上；并将条形码粘贴在指定区域.
2、第I卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号. 不能答在试卷上.
3、第II卷答案用黑色签字笔填写在试卷指定区域内. 第I卷
一、选择题(本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 每小题只有一个选项符合题 意)
1. 若集合 满足: ,则 ( )
A. B. C. D.
2. 已知复数 对应的向量为 ( 为坐标原点)， 与实轴正向的夹角为 ，且复数 的模为 2,则复数 为( )
A. B. 2 C. D.
3. 是 的( )
A. 充要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 已知函数 则 ( )
A. B. 2e
C. D.
5. 把 5 名志愿者分配到三个不同的社区，每个社区至少有一个志愿者，其中甲社区恰有 1 名志愿者的分法有( )
A. 14 种 B. 35 种 C. 70 种 D. 100 种
6. 设等差数列 的前 项和为 ,若 ,则下列结论正确的是( )
A. 当且仅当 时 取最小值
B. 当且仅当 时 取最大值
C. 当且仅当 时 取最小值
D. 当且仅当 时 取最大值
7. 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理, 创制了一幅“弦图”, 它由四个全等的直角三角形和一个正方形所构成(如图),后人称其为“赵爽弦图”. 在直角三角形 中,已知 , ，在线段 上任取一点 ，线段 上任取一点 ，则 的最大值为( )
A. 25 B. 27 C. 29 D. 31
8. 如图,已知圆锥的底面半径为 2,母线长为 为圆锥底面圆的直径, 是 的中点， 是母线 的中点，则异面直线 与 所成角的余弦值为( )
A. B.
C. D.
二、多选题(本题共 4 小题，每小题 6 分，共 18 分)
9. 下列不等式不一定成立的是( )
A. 若 ,则
B. 若 ,则
C. 若 ,则 D. 若 ,则
10. 已知圆 ,下列说法正确的是( )
A. 的取值范围是
B. 若 ,过 的直线与圆 相交所得弦长为 ,方程为
C. 若 ,圆 与圆 相交
D. 若 ,直线 恒过圆 的圆心,则 恒成立
11. 已知函数 在 上是单调函数,且 . 则 的可能取值为( )
A. B. 2
C. D. 1
第II卷三、填空题(本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.)
12. 若 ，则 _____.
13. 已知向量 ，若 与 同向，则 _____.
14. 抛物线有如下光学性质: 由其焦点射出的光线经抛物线反射之后沿对称轴方向射出. 今有抛物线 (如图) 一条平行 轴的光线射向 上一点 点,经过 的焦点 射向 上的点 ,再反射后沿平行 轴的方向射出,若两平行线间的最小距离是 4 ，则 的方程是_____.
四、解答题:(本大题共 6 小题, 共 70 分, 解答题应写出文字说明、证明过程 或演算步骤.)
15. 在 中， 为 边上一点， .
(1)求 的值；
(2)若 ，求 的长.
16. 如图四棱锥 ，若在侧面 上存在一条直线段 与 平行.
(1)证明:底面 为矩形;
(2)若 与平面 所成角都为 ，点 为 的三等分点(靠近点 ,求二面角 的大小.
17. 某快递公司收取快递费用的标准是:重量不超过 的包裹收费 10 元；重量超过 的包裹，除 收费 10 元之外，超过 的部分，每超出 (不足 时按1kg计算)需再收 5 元.公司从承揽过的包裹中, 随机抽取 100 件, 其重量统计如下:
包裹重量(单位:kg) (0,1] (1,2] (2,3] (3,4] (4,5]
包裹件数 43 30 15 8 4
公司又随机抽取了 60 天的揽件数, 得到频数分布表如下:
揽件数 [300,400) [400,500]
天数 6 6 30 12 6
以记录的 60 天的揽件数的频率作为各揽件数发生的概率
(1)计算该公司 3 天中恰有 2 天揽件数在 的概率;
(2)估计该公司对每件包裹收取的快递费的平均值；
(3)公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的用做其他费用, 目前前台有工作人员 3 人, 每人每天揽件不超过 150 件, 每人每天工资 100 元，公司正在考虑是否将前台工作人员裁减 1 人，试计算裁员前后公司每日利润的数学期望, 并判断裁员是否对提高公司利润有利
(注: 同一组中的揽件数以这组数据所在区间中点值作代表)
18. 设函数 .
(1)当 时，求函数 的极值;
(2)若函数 有两个零点，求实数 取值范围；
(3)若对任意的 ， 恒成立，求实数 的取值范围.
19. 已知椭圆 的左右焦点分别为 ,左顶点为 ,且满足 ，椭圆 上的点到焦点距离的最大值为3.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若 是椭圆上的任意一点，求 的取值范围；
(3)已知直线 与椭圆相交于不同的两点 ， (均不是长轴的端点)， ,垂足为 且 ,求证: 直线 恒过定点.
1. B
由集合 满足: ,如图所示:
故选: B
2. D
设复数 ,
向量 与实轴正向的夹角为 且复数 的模为 2,
,
.
故选:D.
3. C
由不等式 ,即 ,
解得 或 ,即不等式的解集为 或 ,
所以 是 的充分不必要条件.
故选: C.
4. A
当 时,因为 ,所以 ,所以 是周期为 3 的函
数,
所以 ,
又因为 ,所以 ,
故选: A.
5. C
甲社区恰有 1 名志愿者有 种,对其余 4 人先分组,再分配.
其余 4 人的分组有 “3 和 1 ”及“2 和 2”两种分法:
(1)按“3 和 1”分组，有 ；
(2)按“2 和 2”分组，有 ；
故甲社区恰有 1 名志愿者的分法有 .
故选:
6. A
因为 ,则 ,从而 ,因此该等差数列是递增数列,
所以 .
由 ,得 ,则数列 的前 6 项为负数,从第 7 项起为正数,所以当且仅当 时, 取最小值,
故选: A.
7. C
建立如图所示平面直角坐标系,
设 ,
.
,所以当 时,
取得最大值为 .
故选:
8. A
延长 至点 ,使 ,连接 .
因为 是母线 的中点,所以 ,
所以 为异面直线 与 所成的角 (或补角).
由题意知 ,又 是 的中点,所以 ,
所以在 Rt 中, .
因为 ,
所以 ,所以 .
在 中, ,
则由余弦定理得 ,
故选: A.
9.
对于 ,当 时, ,故 不一定成立;
对于 ,因为 ,所以 ,
当 时, ,即 ,故 不一定成立;
对于 ,当 时, ,故 不一定成立;
对于 ,因为 ,所以 ,所以 ,故 一定成立.
故选: ABC.
10. ACD
对于 ,方程表示圆可得 ,解得 ,故 正确;
对于 ,若 ,可得圆方程: ,
过 的直线与圆 相交所得弦长为 ,
则圆心 到直线的距离为 1,当直线的斜率不存在时, ,满足条件,故 不正确; 对于 ,圆心 ,半径为 2,故 正确;
对于 ,直线 恒过圆 的圆心,
可得 , 当且仅当 时取等号,故 正确.
故选: ACD.
11. AB
对于 A, ,若 , 可取
则 ,在 上单减,故 A 正确.
对于 ,若 ,
,
此时可以取 ,使得函数在 单减,故 正确.
对于 ,若 ,
即 ,
,故 C 错误.
对于 ,若 , ,故 D 错误.
故选: AB.
12.
因为 ,
则 ,
所以 .
故答案为: .
13.
解: 有题意 与 同向,所以 .
可得 ,所以 ,解得 ,
经检验 都满足题意，
故答案为: +2 .
14.
由抛物线的光学性质可得: 必过抛物线的焦点 ,
当直线 斜率不存在时,易得 ;
当直线 斜率存在时,设 的方程为
由 ,得 ,整理得 ,
所以 ,
所以 ;
综上,当直线 与 轴垂直时,弦长最短,
又因为两平行光线间的最小距离为 4,故 ,
所以抛物线方程为 .
故答案为: .
15. .
(1)在 中,据余弦定理,有 . 又 ,
所以 .
(2)因为 ，则 .
所以 .
在 中,据正弦定理,有 .
所以 .
16.(1)依题 面 面 ,故 面
面 面 ，由线面平行性质及平行传递性得:
又 ,故底面 为平行四边形
又 ,底面 为矩形
(2)设 在底面的投影为 平面
依题: ,易知 为矩形 的外心,
由对称性可知,矩形对角线的交点即为 ,如图建系,
则
由 ,得 ,所以
又
设面 的法向量为
,取
同理可得面 的法向量为 ,
因为 ,故所求二面角 的大小为 .
17.(1) ；(2)公司对每件快递收取的费用的平均值可估计为 15 元；(3)公司将前台工作人员裁员 1 人对提高公司利润不利.
(1) 样本中包裹件数在 内的天数为 48,频率为 ,
可估计概率为 ,未来 3 天中,包裹件数在 间的天数 服从二项分布,
即 ,故所求概率为 ;
(2)样本中快递费用 的分布列如下表:
10 15 20 25 30
0.43 0.3 0.15 0.08 0.04
故样本中每件快递收取的费用的平均值为
(元),
故该公司对每件快递收取的费用的平均值可估计为 15 元.
(3)根据题意及(2)，揽件数每增加 1，可使前台工资和公司利润增加 (元)， 若不裁员，则每天可揽件的上限为 450 件，公司每日揽件数情况如下:
包裹件数(近似处理 50 150 250 350 450
实际揽件数 50 150 250 350 450
频率 0.1 0.1 0.5 0.2 0.1
EY
故公司平均每日利润的期望值为 (元)；
若裁员 1 人，则每天可揽件的上限为 300 件，公司每日揽件数情况如下:
包裹件数(近似处理 50 150 250 350 450
实际揽件数 50 150 250 300 300
频率 0.1 0.1 0.5 0.2 0.1
EY
故公司平均每日利润的期望值为 (元)
因 975<1000 ，故公司将前台工作人员裁员 1 人对提高公司利润不利.
18. (1)极小值 1 ；无极大值；
(2) ；
(3) .
(1) 因为
所以当 时, 在 上单调递减;
当 时, 在 上单调递增;
所以当 时, 取得极小值 ,无极大值.
(2)由题可得 ,
令 ,得 .
设 ,则 .
所以当 时， ， 在 上单调递增；
当 时, 在 上单调递减;
所以 的最大值为 ,又 ,可知:
当 时，函数 有 2 个零点，
即实数 取值范围为 .
(3)原命题等价于 恒成立，
令 ,
则等价于 在 上单调递减, 在 恒成立,
所以 恒成立,又 ,
所以 ,
即 的取值范围是 .
19.(1) 由已知 ,解得 ,则 , 故椭圆 的标准方程为 .
(2)设 ，则 ，又 ， .
.
由于 在椭圆 上， .
由 在区间 上单调递增,可知
当 时, 取最小值为 0 ; 当 时, 取最大值为 12 .
故 的取值范围是
(3)由 消去 得: .
设 ,则
由 得 .
,即 ,
可得 ,则 ,
即
化简得 .
或 ,均适合 .
当 时,直线过 ,舍去;
当 时,直线 过定点 .
故直线 恒过定点 .
(时间: 120 分钟 总分: 150 分)
注意事项:
1、答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上；并将条形码粘贴在指定区域.
2、第I卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号. 不能答在试卷上.
3、第II卷答案用黑色签字笔填写在试卷指定区域内. 第I卷
一、选择题(本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 每小题只有一个选项符合题 意)
1. 若集合 满足: ,则 ( )
A. B. C. D.
2. 已知复数 对应的向量为 ( 为坐标原点)， 与实轴正向的夹角为 ，且复数 的模为 2,则复数 为( )
A. B. 2 C. D.
3. 是 的( )
A. 充要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 已知函数 则 ( )
A. B. 2e
C. D.
5. 把 5 名志愿者分配到三个不同的社区，每个社区至少有一个志愿者，其中甲社区恰有 1 名志愿者的分法有( )
A. 14 种 B. 35 种 C. 70 种 D. 100 种
6. 设等差数列 的前 项和为 ,若 ,则下列结论正确的是( )
A. 当且仅当 时 取最小值
B. 当且仅当 时 取最大值
C. 当且仅当 时 取最小值
D. 当且仅当 时 取最大值
7. 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理, 创制了一幅“弦图”, 它由四个全等的直角三角形和一个正方形所构成(如图),后人称其为“赵爽弦图”. 在直角三角形 中,已知 , ，在线段 上任取一点 ，线段 上任取一点 ，则 的最大值为( )
A. 25 B. 27 C. 29 D. 31
8. 如图,已知圆锥的底面半径为 2,母线长为 为圆锥底面圆的直径, 是 的中点， 是母线 的中点，则异面直线 与 所成角的余弦值为( )
A. B.
C. D.
二、多选题(本题共 4 小题，每小题 6 分，共 18 分)
9. 下列不等式不一定成立的是( )
A. 若 ,则
B. 若 ,则
C. 若 ,则 D. 若 ,则
10. 已知圆 ,下列说法正确的是( )
A. 的取值范围是
B. 若 ,过 的直线与圆 相交所得弦长为 ,方程为
C. 若 ,圆 与圆 相交
D. 若 ,直线 恒过圆 的圆心,则 恒成立
11. 已知函数 在 上是单调函数,且 . 则 的可能取值为( )
A. B. 2
C. D. 1
第II卷三、填空题(本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.)
12. 若 ，则 _____.
13. 已知向量 ，若 与 同向，则 _____.
14. 抛物线有如下光学性质: 由其焦点射出的光线经抛物线反射之后沿对称轴方向射出. 今有抛物线 (如图) 一条平行 轴的光线射向 上一点 点,经过 的焦点 射向 上的点 ,再反射后沿平行 轴的方向射出,若两平行线间的最小距离是 4 ，则 的方程是_____.
四、解答题:(本大题共 6 小题, 共 70 分, 解答题应写出文字说明、证明过程 或演算步骤.)
15. 在 中， 为 边上一点， .
(1)求 的值；
(2)若 ，求 的长.
16. 如图四棱锥 ，若在侧面 上存在一条直线段 与 平行.
(1)证明:底面 为矩形;
(2)若 与平面 所成角都为 ，点 为 的三等分点(靠近点 ,求二面角 的大小.
17. 某快递公司收取快递费用的标准是:重量不超过 的包裹收费 10 元；重量超过 的包裹，除 收费 10 元之外，超过 的部分，每超出 (不足 时按1kg计算)需再收 5 元.公司从承揽过的包裹中, 随机抽取 100 件, 其重量统计如下:
包裹重量(单位:kg) (0,1] (1,2] (2,3] (3,4] (4,5]
包裹件数 43 30 15 8 4
公司又随机抽取了 60 天的揽件数, 得到频数分布表如下:
揽件数 [300,400) [400,500]
天数 6 6 30 12 6
以记录的 60 天的揽件数的频率作为各揽件数发生的概率
(1)计算该公司 3 天中恰有 2 天揽件数在 的概率;
(2)估计该公司对每件包裹收取的快递费的平均值；
(3)公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的用做其他费用, 目前前台有工作人员 3 人, 每人每天揽件不超过 150 件, 每人每天工资 100 元，公司正在考虑是否将前台工作人员裁减 1 人，试计算裁员前后公司每日利润的数学期望, 并判断裁员是否对提高公司利润有利
(注: 同一组中的揽件数以这组数据所在区间中点值作代表)
18. 设函数 .
(1)当 时，求函数 的极值;
(2)若函数 有两个零点，求实数 取值范围；
(3)若对任意的 ， 恒成立，求实数 的取值范围.
19. 已知椭圆 的左右焦点分别为 ,左顶点为 ,且满足 ，椭圆 上的点到焦点距离的最大值为3.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若 是椭圆上的任意一点，求 的取值范围；
(3)已知直线 与椭圆相交于不同的两点 ， (均不是长轴的端点)， ,垂足为 且 ,求证: 直线 恒过定点.
1. B
由集合 满足: ,如图所示:
故选: B
2. D
设复数 ,
向量 与实轴正向的夹角为 且复数 的模为 2,
,
.
故选:D.
3. C
由不等式 ,即 ,
解得 或 ,即不等式的解集为 或 ,
所以 是 的充分不必要条件.
故选: C.
4. A
当 时,因为 ,所以 ,所以 是周期为 3 的函
数,
所以 ,
又因为 ,所以 ,
故选: A.
5. C
甲社区恰有 1 名志愿者有 种,对其余 4 人先分组,再分配.
其余 4 人的分组有 “3 和 1 ”及“2 和 2”两种分法:
(1)按“3 和 1”分组，有 ；
(2)按“2 和 2”分组，有 ；
故甲社区恰有 1 名志愿者的分法有 .
故选:
6. A
因为 ,则 ,从而 ,因此该等差数列是递增数列,
所以 .
由 ,得 ,则数列 的前 6 项为负数,从第 7 项起为正数,所以当且仅当 时, 取最小值,
故选: A.
7. C
建立如图所示平面直角坐标系,
设 ,
.
,所以当 时,
取得最大值为 .
故选:
8. A
延长 至点 ,使 ,连接 .
因为 是母线 的中点,所以 ,
所以 为异面直线 与 所成的角 (或补角).
由题意知 ,又 是 的中点,所以 ,
所以在 Rt 中, .
因为 ,
所以 ,所以 .
在 中, ,
则由余弦定理得 ,
故选: A.
9.
对于 ,当 时, ,故 不一定成立;
对于 ,因为 ,所以 ,
当 时, ,即 ,故 不一定成立;
对于 ,当 时, ,故 不一定成立;
对于 ,因为 ,所以 ,所以 ,故 一定成立.
故选: ABC.
10. ACD
对于 ,方程表示圆可得 ,解得 ,故 正确;
对于 ,若 ,可得圆方程: ,
过 的直线与圆 相交所得弦长为 ,
则圆心 到直线的距离为 1,当直线的斜率不存在时, ,满足条件,故 不正确; 对于 ,圆心 ,半径为 2,故 正确;
对于 ,直线 恒过圆 的圆心,
可得 , 当且仅当 时取等号,故 正确.
故选: ACD.
11. AB
对于 A, ,若 , 可取
则 ,在 上单减,故 A 正确.
对于 ,若 ,
,
此时可以取 ,使得函数在 单减,故 正确.
对于 ,若 ,
即 ,
,故 C 错误.
对于 ,若 , ,故 D 错误.
故选: AB.
12.
因为 ,
则 ,
所以 .
故答案为: .
13.
解: 有题意 与 同向,所以 .
可得 ,所以 ,解得 ,
经检验 都满足题意，
故答案为: +2 .
14.
由抛物线的光学性质可得: 必过抛物线的焦点 ,
当直线 斜率不存在时,易得 ;
当直线 斜率存在时,设 的方程为
由 ,得 ,整理得 ,
所以 ,
所以 ;
综上,当直线 与 轴垂直时,弦长最短,
又因为两平行光线间的最小距离为 4,故 ,
所以抛物线方程为 .
故答案为: .
15. .
(1)在 中,据余弦定理,有 . 又 ,
所以 .
(2)因为 ，则 .
所以 .
在 中,据正弦定理,有 .
所以 .
16.(1)依题 面 面 ,故 面
面 面 ，由线面平行性质及平行传递性得:
又 ,故底面 为平行四边形
又 ,底面 为矩形
(2)设 在底面的投影为 平面
依题: ,易知 为矩形 的外心,
由对称性可知,矩形对角线的交点即为 ,如图建系,
则
由 ,得 ,所以
又
设面 的法向量为
,取
同理可得面 的法向量为 ,
因为 ,故所求二面角 的大小为 .
17.(1) ；(2)公司对每件快递收取的费用的平均值可估计为 15 元；(3)公司将前台工作人员裁员 1 人对提高公司利润不利.
(1) 样本中包裹件数在 内的天数为 48,频率为 ,
可估计概率为 ,未来 3 天中,包裹件数在 间的天数 服从二项分布,
即 ,故所求概率为 ;
(2)样本中快递费用 的分布列如下表:
10 15 20 25 30
0.43 0.3 0.15 0.08 0.04
故样本中每件快递收取的费用的平均值为
(元),
故该公司对每件快递收取的费用的平均值可估计为 15 元.
(3)根据题意及(2)，揽件数每增加 1，可使前台工资和公司利润增加 (元)， 若不裁员，则每天可揽件的上限为 450 件，公司每日揽件数情况如下:
包裹件数(近似处理 50 150 250 350 450
实际揽件数 50 150 250 350 450
频率 0.1 0.1 0.5 0.2 0.1
EY
故公司平均每日利润的期望值为 (元)；
若裁员 1 人，则每天可揽件的上限为 300 件，公司每日揽件数情况如下:
包裹件数(近似处理 50 150 250 350 450
实际揽件数 50 150 250 300 300
频率 0.1 0.1 0.5 0.2 0.1
EY
故公司平均每日利润的期望值为 (元)
因 975<1000 ，故公司将前台工作人员裁员 1 人对提高公司利润不利.
18. (1)极小值 1 ；无极大值；
(2) ；
(3) .
(1) 因为
所以当 时, 在 上单调递减;
当 时, 在 上单调递增;
所以当 时, 取得极小值 ,无极大值.
(2)由题可得 ,
令 ,得 .
设 ,则 .
所以当 时， ， 在 上单调递增；
当 时, 在 上单调递减;
所以 的最大值为 ,又 ,可知:
当 时，函数 有 2 个零点，
即实数 取值范围为 .
(3)原命题等价于 恒成立，
令 ,
则等价于 在 上单调递减, 在 恒成立,
所以 恒成立,又 ,
所以 ,
即 的取值范围是 .
19.(1) 由已知 ,解得 ,则 , 故椭圆 的标准方程为 .
(2)设 ，则 ，又 ， .
.
由于 在椭圆 上， .
由 在区间 上单调递增,可知
当 时, 取最小值为 0 ; 当 时, 取最大值为 12 .
故 的取值范围是
(3)由 消去 得: .
设 ,则
由 得 .
,即 ,
可得 ,则 ,
即
化简得 .
或 ,均适合 .
当 时,直线过 ,舍去;
当 时,直线 过定点 .
故直线 恒过定点 .
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