河北黄骅中学等校2026届高三下学期高考模拟卷（一模）数学试题（含答案）

2026 届高考模拟卷 数学
(120 分钟 150 分)
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项 中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 已知复数 ，则其共轭复数 ( )
A. B. C. D.
2. 已知集合 ，则 ()
A. B.
C. D.
3. 的展开式中 的系数为( )
A. 0 B. 10 C. -20 D. 20
4. 某货船执行从 港口到 港口的航行任务, 港口在 港口的正北方向,已知河水的速度为向东 . 若货船在静水中的航速为 ，船长调整船头方向航行，使得实际路程最短. 则该船完成此段航行的实际速度为( )
A. B. C. D.
5. 已知 是定义在 上的偶函数,函数 的图象关于点 中心对称, 若 ,则 ( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
6. 是圆 上的动点, 是直线 上的动点,则 的最小值为 ( )
A. B.
C. D.
7. 球面与过球心的平面的交线叫做大圆, 将球面上三点用三条大圆弧连接起来所组成的图形叫做球面三角形, 每条大圆弧叫做球面三角形的一条边, 两条边所在的半平面构成的二面角叫做球面三角形的一个内角. 如图,球 的半径 为球 的球面上的四点. 若球面三角形 的三条边长均为 ,则此球面三角形一个内角的余弦值为
( )
A. B. C. D.
8. 已知函数 ,若 在 上恒成立,则实数 的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 若 ,且 ,则( )
A. B. C. D.
10. 设 是一个随机试验中的两个事件,且 , 则下列结论中正确的是( )
A. B.
C. D.
11. 在 中, 为边 的中点,则 ( )
A. B. C. D. 最大时，
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 函数 恒有 ,且 在 上单调递增, 则
13. 已知集合 ,将 与 的乘积 放入如图的 方格中，则方格中全部数之和的最大值为_____.
14. 已知 为抛物线 上两点， 为焦点， 为坐标原点， 在第一象限，且点 的纵坐标大于点 的纵坐标，若 ，则点 的坐标为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.
15. 如图，在四棱锥 中，底面 为矩形， ，侧面 为等边三角形,平面 平面 为 中点.
(1)证明:平面 平面 ；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值.
16. 已知正项数列 的前 项之积为 ,且 .
(1)求证:数列 是等差数列；
(2)设 ，求 的前 项和 .
17. 某学校为提升学生的科学素养，要求所有学生在学年中完成规定的学习任务，并获得相应过程性积分. 现从该校随机抽取 100 名学生，获得其科普测试成绩(百分制，且均为整数) 及相应过程性积分数据，整理如下表:
科普测试成绩 科普过程性积分 人数
4 10
3
2
1 23
0 2
(1)当 时,
(i) 从该校随机抽取一名学生, 估计这名学生的科普过程性积分不少于 3 分的概率;
(ii) 从该校科普测试成绩不低于 80 分的学生中随机抽取 2 名,记 为这 2 名学生的科普过程性积分之和,估计 的数学期望 ;
(2)从该校科普过程性积分不高于 1 分的学生中随机抽取一名，其科普测试成绩记为 ，上述 100 名学生科普测试成绩的平均值记为 . 若根据表中信息能推断 恒成立,直接写出 的最小值.
18. 在平面直角坐标系 中,已知椭圆 的右顶点为 ,点 分别是 轴负半轴、 轴正半轴上的动点.
(1)若 是 的左焦点,且 ,求 的值;
(2)设 ， 上存在 轴上方一点 . 若 ，求 的坐标；
(3) 设 ,过 的直线 与 交于 两点 两点不重合),与 轴交于 且 的纵坐标 ,记 与 到直线 的距离分别为 . 若存在直线 ,满足 成立,求 的取值范围.
19. 已知函数 ,其中 .
(I) 讨论 的单调性;
(II) 设曲线 与 轴正半轴的交点为 ,曲线在点 处的切线方程为 ,求证: 对于任意的正实数 ,都有 ;
(III) 若关于 的方程 ( 为实数) 有两个正实根 ,求证:
1. A
,所以 ,
故选: A.
2. B
由 可得 ,即 ,即得 ,
则 .
故选: B.
3. A
由题意得 展开式的通项公式为 ,
令 ,
令 ,所以 的系数为 0 .
故选: A.
4. B
设船在静水中的速度为 ,水流速度为 ,船实际航行速度为 ,则
且 ,设 ,由船需要准确到达正北方向的 点,得 ,
则 ,解得 ,而 ,于是
所以该船完成此段航行的实际速度为 .
故选: B
5. A
因为 ,
所以 ,所以 ,
因为 是偶函数,所以 ,故 ,
又因为 的图象关于点 中心对称,
所以 ,即 ,故 .
故选: A.
6. C
由题意得,圆 的圆心为 ,半径 .
因为 到直线 的距离 ,
当且仅当 时等号成立,所以直线与该圆相离,
所以 的最小值为 .
故选: C.
7. C
因为球面三角形 的三条边长均为 ,
所以球面三角形每条边所对的圆心角均为 ,所以四面体 为正四面体.
取 的中点 ,连接 ,如图,
则 ,且 ,
则 为二面角 的平面角.
由余弦定理可得 .
所以此球面三角形一个内角的余弦值为 .
故选: C
8. D
函数 的定义域为 ,
① 当 时， ，
当 时， ，不符合题意；
② 当 时，取 ，则 ，不符合题意；
③ 当 时,设 ,
则 ,当且仅当 时取等号.
(i) 若 ,即 ,取 ,
,不满足题意；
(ii) 若 ,即 ,
若 在 上恒成立,则需 在 上恒成立,
又 ,
当 时, ; 当 时, ,
所以 在区间 上单调递增,在区间 上单调递减,
所以 ,
故 ,解得 ,所以 .
综上可知, .
故选: D.
9.
令 且 ,则 恒成立,
所以 在 上单调递减,则 ,即 ,
因为 且 ,
而 ,
所以 ,
设 且 ,则 ,所以 在 单调递减,
由 ,得 ,则 ,所以 .
故选: BC
10. ABD
对于 ,因为 ,所以 .
因为 与 为互斥事件,所以 ,
所以
,所以 ,
故 ，故 A 正确；
对于 ,
, 故 B 正确;
对于 ,
所以 ,故 C 错误;
对于 ,故 正确,
故选: ABD.
11. BCD
,
,即 整理得 , ,即 .
对于 选项, ,
,不能确定 ,故 错误;
对于 选项, ,故 正确;
对于 选项,设 ,
在 中, ,
由余弦定理知, ,
在 中， ，
由余弦定理知, ,
,整理得 ,
在三角形中,两边之和大于第三边, ,
,故 C 正确;
对于 选项，在 中，
当且仅当 ,即 时等号成立,
的最小值为 ,
的最大值为 ；
此时不妨设 ,则 ,
又 为边 的中点,则 ,
,
为边 的中点, ,
又 ,则 是边长为 2 的正三角形,
,故 D 正确.
故选: BCD.
12.
已知 恒有 ,根据正弦函数的性质可得: ,即 ,
所以 ,所以
已知 在 上单调递增,所以 ,即 ,解得 .
当 时,因为 ,所以 ,
因为 在 上单调递增,所以 ,
解得 ,所以 ,
解得 ,故 .
当 时,因为 ,所以 或 .
取 ,则 ,因为 ,
所以 ,故 在 上单调递减,不满足题意.
同理可得, 时,也不满足题意.
综上可得: .
故答案为: .
13. 110
解: 由表格数据可得所有数之和为:
,
,
集合 ,
,
设 ,则 ,
当 或 时， 取最大值，最大值为 110 ，
此时 可取最大值 110 .
故答案为: 110 .
14.
设 ,则 , 结合抛物线定义, ,
当 位于 轴的不同侧时, ,
由 ,
整理可得 ,所以 ,
所以 ,解得 (负值舍),此时 的坐标为 ;
当 位于 轴同侧时, ,此时无解.
故答案为:
15.(1)
如图所示，作线段 的中点 ，连接 ，
因为侧面 为等边三角形,所以 ,
因为平面 平面 ,平面 平面 面 ,
所以 平面 ,因为 平面 ,所以 ,
因为底面 为矩形,所以 ,
因为 ， 面 ， 面 ，所以 面 ， 因为 平面 ，所以平面 面 .
(2)
如图所示，作 中点 ，连接 ，则
由( 1 )可得， 面 ， 面 ，所以 面 ，
则可以 为坐标原点,以 分别为 轴,建立空间直角坐标系;
则 ,
可得 ,
设面 的法向量为 ,则 ,得 ,
令 ,解得 ,所以面 的一个法向量为 ,
易知面 得一个法向量为 ,
设平面 与平面 夹角为 ,则 ,
所以平面 与平面 夹角的余弦值为 .
16.
(1)依题意， ，当 时，得 ，则 ，
由 ,得 ,则 ,即 ,
当 时, ,于是 ,解得 ,
所以数列 是以 4 为首项,3 为公差的等差数列.
(2)由(1)得 ，
则 ,
所以
.
17. (1) (i)0.35; (ii)
(2)7.
(1) (i) 由表知,科普过程性积分不少于 3 分的学生人数为 ,
则从该校随机抽取一名学生,这名学生的科普过程性积分不少于 3 分的频率为 , 所以从该校随机抽取一名学生, 这名学生的科普过程性积分不少于 3 分的概率估计为 0.35 .
(ii) 依题意, 从样本中成绩不低于 80 分的学生中随机抽取一名, 这名学生的科普过程性积分为 3 分的频率为 ,
所以从该校学生科普测试成绩不低于 80 分的学生中随机抽取一名, 这名学生的科普过程性积分为 3 分的概率估计为 ,
同理, 从该校学生科普测试成绩不低于 80 分的学生中随机抽取一名, 这名学生的科普过程
性积分为 4 分的概率估计为 ,
的所有可能值为6,7,8,
,
所以 的数学期望 .
(2)由表知， ，则 ，
从该校科普过程性积分不高于 1 分的学生中随机抽取一名，其科普测试成绩记为 ，则 的最大值为 69,100 名学生科普测试成绩的平均值记为 ,要使 恒成立,当且仅当 ,
显然 的最小值为各分数段取最小值求得的平均分,
因此 ,
则 ,解得 ,
所以根据表中信息能推断 恒成立的 的最小值是 7 .
18.
(2)
(3)
(1)因为 与 的左焦点重合,故 ,因此 .
又因为 ,而 ,
所以 ,解得: (负舍).
(2)因为 ，又因为 ，
而 ，
代入解得 .
若 在第一象限,则 ,故 在第二象限.
设 ,而 ,
整理可得 .
代入椭圆 方程 ，可得: .
所以解得 (增根舍去),所以 .
因此 .
(3)由题意可知:直线 的解析式为 ，
设直线 的解析式为 ,且 .
联立 ,
可得 .
根据韦达定理, .
因为 两点均在直线 的左侧,故 .
又因为 ,因此 ,
代入化简可得方程 .
设 ,又因为 ,故 .
① 若 ,此时直线 与 存在两个交点. 若存在 ,使得 ,
而 ,故 ,
可得 ,故 ,因此 .
② 若 ，而此时 在 的外部， ，故 .
若存在 ,使得 ,
而 ,
故 ,可得 ,故 .
综上所述， 的取值范围为 .
19.(I) 由 ,可得,其中 且 ,
下面分两种情况讨论:
(1)当 为奇数时:
令 ,解得 或 ,
当 变化时, 的变化情况如下表:
(-1,1) (1,+∞)
- + -
↘ ↗ ↘
所以, 在 上单调递减,在 内单调递增.
(2)当 为偶数时,
当 ,即 时,函数 单调递增;
当 ,即 时,函数 单调递减.
所以, 在 上单调递增, 在 上单调递减.
(II) 证明: 设点 的坐标为 ,则 ,曲线 在点 处的切线方程为 ,即 ,令 ,即
,则
由于 在 上单调递减,故 在 上单调递减,又因为 ,所以当 时, ,当 时, ,所以 在 内单调递增,在 内单调递减,所以对任意的正实数 都有 ,即对任意的正实数 ,都有 .
(III) 证明: 不妨设 ,由 (II) 知 ,设方程 的根为 , 可得
. 当 时, 在 上单调递减,又由 (II) 知
,可得 .
类似的,设曲线 在原点处的切线方程为 ,可得 ,当 , ,即对任意 .
设方程 的根为 ,可得 ,因为 在 上单调递增,且
,因此 .
由此可得 .
因为 ,所以 ,故 ,
所以 .