第 8 章 实数 8.1 平方根
1. 求下列各数的平方根：
1
（1）196； （2）0.16； （3） 4；10
25
（4） 9 ； （5）0； （6）0.0025；
2. 求下列各式的值：
1
（1）± 900； （2）± 1.69； （3）± 3 ；
16
64 11
（4）± ( 11)2； （5） ± ； （6）± 1+ ；
81 25
3.求下列各式中 的值：
2 1（1）2 = 0； （2）( + 1)2 = 48 ；
4
（3）3( 1)2 = 27； （
4）3(5 + 1)2 48 = 0；
4. 已知 2 1的平方根为 ± 3，3 + 1的平方根为± 4，求 + 2 的平方根。
1/11
第 8 章 实数 8.2 算术平方根
1. 比较大小：
（1） 12_____ 15； （2） 21______5； （3） 3_____ 2；（4）0＞_____ 2025；
2. 求下列各数的算术平方根：
11
（1）0.64； （2）1 25； （
3）1.96； （4）72；
3. 求下列各式的值：
1 11
（1） 16 + ； （2） 52 42； （3） ( 3) × ( 27)； （4） 1 ；
49 36
4. 求下列各式的值：
121 1 1 2
（1） 172 82； （2） 0.81 0.01 ； （3） 6 ÷ ；
100 4 5
16 4 2
（4） 4 × 0.36； （5） 9 ÷ 3 × |
100| 625；
5. 已知 2 7的平方根是± 5，2 + 1的算术平方根是 4，求 + 的值。
2/11
第 8 章 实数 8.3 立方根
1. 求下列各数的立方根：
（1）－343；
27
（2） 512；
（3）－0.008；
（4）1331；
10
（5） 227 ；
343
（6） ± 125 ；
3 5 ( > )
2. 定义新运算： = 3 , 计算：5 (1 8) = ______。 ( ≤ )
3. 已知( 1)是 125的立方根，求( 7)的立方根。
4. 已知 3 + 7 的平方根为± 3，2 + 3 的算术平方根为 4，求 + 2 的立方根。
5. 若( 2022)2 + + 2023 = 0，求 + 的立方根。
3/11
第 8 章 实数 8.4 立方根的应用
1. 用计算器求下列各式的值（精确到 0.01）：
3 1
（1 3） 1510 2 3； （ ） 79813 3； （3） 0.017085； （4） ；
5
2. 求下列各式的值：
3 3 19 33 1 15（1） 6 ； （2 3）± 0.729 ； （3） 1 ； （4） 1 +
27 64 16
；
3
5 3
1 63
27 256 + 1 6 3 3
3
（ ） ； （ ） 0.001 × 0.008 × ( 2)3；
16 64
3. 求下列各式中 x 的值：
1
（1） 3 = 4； （2）( + 1)3 = 125；
2
（3）8 3
125
= 8 ； （4）343( + 3)
3 + 27 = 0；
4/11
第 8 章 实数 8.5 实数的运算
1. 求下列各式的值：
3 49 9
（1） ( 2)3 ÷ + ( 1)2； （2） 0.04 + 3 64 + 1 ；
16 25
3 ( 1)2023 + 3（ ） 27 + |3 10| 10；
（4）|1 2| + | 2 3| + | 3 2| + |2 5|；
2. 求下列各数的相反数和绝对值：
3 1
（1） 11； （2） 15 4； （3） ； （4）3 ( ≥ 3)；
125
3. 3 3计算：（1）4 6 + 2 6 = ______； （2） 4 | 4| = ______；
4. 求下面各式的值：
（1 3） 8 + 16 + |1 2| 2； （2）3 2 3 + 2 2 + 3；
5/11第 8 章 实数 8.1 平方根
1. 求下列各数的平方根：
（1）196；
答案：± 14
（2）0.16；
答案：± 0.4
1
（3） 4；10
1
答案：± 100
25
（4） 9 ；
5
答案：± 3
（5）0；
答案：0
（6）0.0025；
答案：± 0.05
2. 求下列各式的值：
（1）± 900；
答案：± 30
（2）± 1.69；
答案：± 1.3
1
（3）± 3 ；
16
7
答案：± 4
（4）± ( 11)2；
答案：± 11
1/19
第 8 章 实数 8.1 平方根
64
（5）± ；
81
8
答案：± 9
11
（6）± 1+ ；
25
6
答案：± 5
3.求下列各式中 的值：
1
（1）2 2 = 08 ；
1
答案： =±
4
（2）( + 1)2 = 4；
答案： = 1或 = 3
4
（3）3( 1)2 = 27；
11 7
答案： = =9 或 9
（4）3(5 + 1)2 48 = 0；
3
答案： = 或 = 15
4. 已知 2 1的平方根为 ± 3，3 + 1的平方根为± 4，求 + 2 的平方根。
答案： ∵ 2 1的平方根为± 3， ∴ 2 1 = 9，解得 = 5；
∵ 3 + 1的平方根为± 4，
∴ 3 + 1 = 16，代入 = 5得 15 + 1 = 16，解得 = 2；
则 + 2 = 5 + 4 = 9，9的平方根为± 3，故 + 2 的平方根为± 3。
2/19
第 8 章 实数 8.2 算术平方根
1. 比较大小：
（1） 12______ 15； 答案：＜
（2） 21______5； 答案：＜
（3） 3______ 2； 答案：＞
（4）0＞______ 2025； 答案：＞
2. 求下列各数的算术平方根：
（1）0.64；
答案：0.8
11
（2）1 25；
6
答案： 5
（3）1.96；
答案：1.4
（4）72；
答案：7
3. 求下列各式的值：
1
（1） 16 + ；
49
1
答案：4 7
（2） 52 42；
答案： 3
（3） ( 3) × ( 27)；
答案：9
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第 8 章 实数 8.2 算术平方根
11
（4） 1 ；
36
5
答案： 6
4. 求下列各式的值：
（1） 172 82；
答案：15
121
（2） 0.81 0.01 ；
100
答案： 0.3
1 1 2
（3） 6 ÷ 5 ；4
25
答案：
2
（4） 4 × 0.36；
答案：1.2
16 4 2
（5） ÷ × | 100| 6259 3 ；
答案： 15
5. 已知 2 7的平方根是± 5，2 + 1的算术平方根是 4，求 + 的值。
答案： ∵ 2 7的平方根是 ± 5， ∴ 2 7 = 25，解得 = 16；
∵ 2 + 1的算术平方根是 4，
∴ 2 + 1 = 16，代入 = 16得 32 + 1 = 16，解得 = 15；
则 + = 16 + ( 15) = 4 15 = 19。
4/19
第 8 章 实数 8.3 立方根
1. 求下列各数的立方根：
（1）－343；
答案：( 7)，因为( 7)3 = 343) 3，所以( 343 = 7)。
27
（2） 512；
3 3 27 3 27 3
答案： ，因为( )3 = ，所以 = 。
8 8 512 512 8
（3）－0.008；
答案： 0.2，因为( 0.2)3 = 0.008 3，所以 0.008 = 0.2。
（4）1331；
答案： 11，因为 113 = 1331 3，所以 1331 = 11。
10
（5） 227 ；
4 10 64
答案： 3 ，先将带分数化为假分数
2 =
27 27 ，
4 3 64 3 10 4因为( ) = ，所以 2 = 3 27 27 3 。
343
（6） ± 125 ；
7 7 343 7 343 3 343 7
答案： ± ，因为( )3 = ，( )3 = ，所以 ± =±
5 5 125 5 125 125 5
3 5 ( > )
2. 定义新运算： = 3 , 计算：5 (1 8) = ______。 ( ≤ )
3
答案：5，计算过程：1 8 = 1 × 8 = 2，5 2 = 3 × 5 5 × 2 = 15 10 = 5，
故 5 (1 8) = 5。
5/19
第 8 章 实数 8.3 立方根
3. 已知( 1)是 125的立方根，求( 7)的立方根。
答案： 1 3，解析：因为 125 = 5，所以 1 = 5，解得 = 6。
则 7 = 6 7 = 1 3， 1 = 1。
4. 已知 3 + 7 的平方根为± 3，2 + 3 的算术平方根为 4，求 + 2 的立方根。
3 5 3 + 7 = ( ± 3)
2 = 9
答案： ，解析：根据题意列方程组：
2 + 3 = 42 = 16
3
两式相加得 5 + 10 = 25，化简得 + 2 = 5，故 + 2 的立方根为 5。
5. 若( 2022)2 + + 2023 = 0，求 + 的立方根。
答案： 1，解析：因为( 2022)2 ≥ 0， + 2023 ≥ 0，且两者和为 0，
所以 2022 = 0， + 2023 = 0，解得 = 2022， = 2023。
则 + = 2022 2023 = 1 3， 1 = 1。
6/19
第 8 章 实数 8.4 立方根的应用
1. 用计算器求下列各式的值（精确到 0.01）：
（1 3） 1510；
答案：11.47 3，通过计算器计算得 1510 ≈ 11.47。
（2 3） 79813；
3
答案： 43.06，通过计算器计算得 79813 ≈ 43.06。
（3 3） 0.017085；
答案：0.26 3，通过计算器计算得 0.017085 ≈ 0.26。
3 1
（4） ；
5
3 1
答案： 0.58，通过计算器计算得 ≈ 0.58。
5
2. 求下列各式的值：
3
（1） 63 ；
3 3
答案：6，根据立方根性质 3 = ，故 63 = 6。
3
（2）± 0.729 ；
3
答案：± 0.9，因为 0. 93 = 0.729，（ 0.9） = 0.729 3，所以± 0.729 =± 0.9。
3 19
（3） 1 27 ；
2 19 8 3 8 2 3 19 2
答案： ，解析：1 = = 1 = 3 27 27， 27 3，故 27 3。
3 1 15
（4） 1 + ；
64 16
5
答案：
4
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第 8 章 实数 8.4 立方根的应用
1 33 63
（5） 27 256 + 1 ；
16 64
3 1 1 63 1 3 1 1
答案： 19，解析： 27 = 3， 256 = 16， = ，1 = ， = ，
16 4 64 64 64 4
1 1
原式 = 3 16 + = 19。
4 4
6 3 0.001 × 3
3 3
（ ） 0.008 × （ 2） ；
答案： 0.04，
3 3 3
解析： 0.001 = 0.1 3， 0.008 = 0.2， （ 2） = 2，
原式 = 0.1 × 0.2 × 2 = 0.04。
3. 求下列各式中 x 的值：
1
（1） 3 = 4；
2
3
答案： = 2，解析： 3 = 8， = 8 = 2。
3
（2）（ + 1） = 125；
3
答案： = 4，解析： 125 = 5，故 + 1 = 5，解得 = 4。
125
（3）8 3 = 8 ；
5 125 3 125 5
答案： = ，解析： 3 = ， = = 。
4 64 64 4
3
（4）343（ + 3） + 27 = 0；
24 3 3 27
答案： = ，解析：343（ + 3） = 27，（ + 3） = 7 343，
3 27 3 3 24
+ 3 = = ，解得 = 3 = 。
343 7 7 7
8/19
第 8 章 实数 8.5 实数的运算
1. 求下列各式的值：
3 49
（1） ( 2)3 ÷ + ( 1)2；
16
15 3
答案： ，解析： ( 2)3
49 7
= 2， = ， ( 1)2 = 1，
7 16 4
7 8 15
原式 = 2 ÷ + 1 = 7 + 1 = 7 。4
9
（2） 0.04 + 3 64 + 1 ；
25
9 16
答案： 3，解析： 0.04 = 0.2 3， 64 = 4， 1 = = 0.8，
25 25
原式 = 0.2 4 + 0.8 = 3。
（3）( 1)2023 + 3 27 + |3 10| 10；
答案： 1，解析：( 1)2023 = 1 3， 27 = 3，|3 10| = 10 3，
原式 = 1+ 3 + 10 3 10 = 1。
（4）|1 2| + | 2 3| + | 3 2| + |2 5|；
答案： 5 1，解析：|1 2| = 2 1，| 2 3| = 3 2，
| 3 2| = 2 3，|2 5| = 5 2，
原式 = 2 1 + 3 2 + 2 3 + 5 2 = 5 1。
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第 8 章 实数 8.5 实数的运算
2. 求下列各数的相反数和绝对值：
（1） 11；
答案：相反数是 11，绝对值是 11。
（2） 15 4；
答案：相反数是 4 15，绝对值是 4 15（因为 15 ≈ 3.87 < 4， 15 4 < 0）。
3 1
（3） ；
125
1 1 3 1 1
答案：相反数是 ，绝对值是 （因为 = ）。
5 5 125 5
（4）3 （ ≥ 3）；
答案：相反数是 3，绝对值是 3（因为 ≥ 3时，3 ≤ 0）。
3. 计算：
（1）4 6 + 2 6 = ______；
答案：6 6，
3 3
（2） 4 | 4| = ______；
答案：0 3 3，解析：| 4| = 4 3 4 3，故 4 = 0。
4. 求下面各式的值：
（1 3） 8 + 16 + |1 2| 2；
答案：5，原式 = 2 + 4 + 2 1 2 = 5。
（2）3 2 3 + 2 2 + 3；
答案：5 2 3，
解析：展开合并同类项：3 2 3 3 + 2 2 + 2 3 = 5 2 3。
10/19
